Đang tải... (xem toàn văn)
Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế dộ làm việc tốt nhất là hệ luôn luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó. Trạng thái tối ưu có thể đạt được hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng được đặt ra vào sự hiểu biết về đối tượng và các tác động lên đối tượng.
Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang Phầ nI TỔ NG QUAN VỀ ĐIỀ U KHIỂ N TỐ I ƯU VÀĐIỀ U KHIỂ N PHI TUYẾ N Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang I.1 Chấ t lượ ng tố i ưu 1.1 Đặ c điể m củ a bà i toá n tố i ưu a) Khá i niệ m Mộ t hệ đ iề u khiể nđ ï c thiế t kế û chế đ ộ m việ c tố t nhấ t hệ luô n luô nơ û trạ ng thá i tố iư u theo mộ t tiê u chuẩ n chấ t lư ï ng nà ó (đ tđ ï c giá tròcư ï c trò ) Trạ ng thá i tố iư u đ tđ ï c hay khô ng tù y thuộ c o yê u cầ u chấ t lư ï ng đ ï cđ ặ t ra, o sư ï hiể u biế t đ ố i tư ï ng cá c tá cđ ộ ng lê nđ ố i tư ï ng, hoặ c iề u kiệ n m việ c củ a hệ điều khiển… Xé t bà i toá nđ iề u khiể n tố iư u mộ t miề n [um, un] nà ó tì mđ ï c giá trò tố i * u Ji thìđ ó giá tròtố iư u cụ c Như ng bà i toá n khô ng có đ iề u kiệ n rà ng * * * buộ cđ ố i vơ ù i u thìgiá tròtố iư u J = extremum(Ji ) vơ ù i Ji cá c giá tròtố iư u cụ c * , giá trò J chí nh giá trò tố iư u n cụ c Điề u kiệ n tồ n tạ i cư ï c trò : (1) Đạ o hà m bậ c mộ t củ a J theo u phả i bằ ng J 0 u (I.1.1) (2) Xé t giá trò đ o hà m bậ c hai củ a J theo u tạ iđ iể m cư ï c trò : 2J iể m cư ï c trò cư ï c tiể u 0 :đ u 2J iể m cư ï c trò cư ï cđ i 0 :đ u (I.1.2) (I.1.3) b) Điề u kiệ n nh lậ p bà i toá n tố i ưu Để nh lậ p bà i toá n tố iư u thìyê u cầ ầ u tiê n hệ thố ng phả i có đ ặ c tí nh phi tuyế n có cư ï c trò Bư ù c quan trọ ng việ c nh lậ p mộ t hệ tố iư u xá cđ ò nh tiê u chấ t lư ï ng J Nhiệ m vụ cơbả nơ û đ â y đ ả m bả o cư ï c trò củ a tiê u chấ t lư ï ng J Chỉtiê u chấ t lư ï ng J phụ thuộ c o tí n hiệ u x(t), tí n hiệ iề u khiể n u(t) thơ ø i gian t Bà i toá nđ iề u khiể n tố iư u xá cđ ò nh tí n hiệ iề u khiể n u(t) đ ể chỉtiê u chấ t lư ï ng J đ t cư ï c trò vơ ù i õ ng hạ n chế nhấ tđ ò nh củ a u x Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang Chỉ tiê u chấ t lư ï ng thư ø ng có ng nhưsau: T J L[ x(t ), u (t ), t ]dt (I.1.4) đ ó L mộ t phiế m hà mđ ố i vơ ù i tí n hiệ u x, tí n hiệ iề u khiể n u thơ ø i gian t Chẳ ng hạ n, xé t bà i toá nđ iề u khiể n tố iư u cho đ ộ ng cơmộ t chiề u kí ch tư ø đ ộ c lậ p vơ ù i tí n hiệ iề u khiể n u dò ng đ iệ n phầ nư ù ng iu tí n hiệ u x gó c quay củ a trụ cđ ộ ng Phư ng trì nh trạ ng thá i củ ộ ng cơđ iệ n mộ t phư ng trì nh vi phâ n cấ p hai d 2x u d (I.1.5) vơ ù i t k M / M q ; kM = CM = const.; Mq mô men n tí nh Khi đ ó : - Đố i vơ ù i bà i toá n tá cđ ộ ng nhanh (hay tố iư u thơ ø i gian) tiê u chấ t lư ï ng J có ng: T J ldt T (I.1.6) - Đố i vơ ù i bà i toá n tố iư u nă ng suấ t, tiê u chấ t lư ï ng J có ng: T J xdt (I.1.7) - Đố i vơ ù i bà i toá n tố iư u nă ng lư ï ng, tiê u chấ t lư ï ng J có ng: T J u (t ) dt (I.1.8) c) Tố i ưu hó a tó nh vàđộ ng Tố iư u hó a tó nh bà i toá n tố iư u khô ng phụ thuộ c o thơ ø i gian Cò n tố iư u hó a đ ộ ng loạ i bà i toá n mà đ ó thơ ø i gian cũ ng mộ t biế n mà ng ta phả i xem xé tđ ế n 1.2 Xâ y dự ng bà i toá n tố i ưu Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang a) Tố i ưu hó a khô ng cóđiề u kiệ n rà ng buộ c Cho phiế m hà m L(u) mộ t hà m củ a vectơđ iề u khiể n u = (u1 u2 … un)T Bà i toá n đ ï cđ ặ t chọ n giá trò ể L(u) đ t cư ï c tiể u Ta có vò trí đ iể m cư ï c tiể u cụ c đ iể m mà tạ iđ ó giá trò u* thỏ a mả n: L(u) L(u*) vơ ù i mọ i u nằ m lâ n cậ n củ a u* Nế u L(u) L(u*) vơ ù i mọ i u u* đ ï c gọ i đ iể m cư ï c tiể u n cụ c Giả sư û hà m L(u) có đ o hà m theo u, đ iề u kiệ n cầ nđ ể u* có đ iể m cư ï c tiể u cụ c đ o hà m bậ c nhấ t củ a hà m L(u) bằ ng khô ng, đ o hà m bậ c hai củ a L(u) lơ ù n hơ n khô ng Tư ù c : L / u1 L / u 2 L (u*) L / u u L / u n L / u1u L Luu u L / u n u1 (I.1.9) L / u1u L / u1u n 0 2 L / u n u L / u n u n (I.1.10) Nế u Luu xá cđ ò nh â m, đ iể m cư ï c trò cư ï cđ i cụ c Nế u Luu khô ng xá cđ ò nh đ iể m cư ï c tròlà đ iể m uố n Nế u Luu bá n xá cđ ò nh thìcá c nh phầ n bậ c cao củ a phầ n mơ û rộ ng cầ n phả iđ ï c kiể m tra đ ể xá cđ ò nh loạ i củ iể m cư ï c trò Lư u ý rằ ng, Luu xá c đ ò nh dư ng (â m) nế u tấ t cá c giá tròriê ng củ a đ ề u dư ng (â m) Luu khô ng xá cđ ò nh nế u cá c giá trò riê ng củ a có giá trò dư ng â m, ng tấ t đ ề u c khô ng Luu bá n xá cđ ò nh nế u có mộ t giá tròriê ng nà ó bằ ng khô ng b) Tố i ưu hó a vớ i cá c điề u kiệ n rà ng buộ c Cho L(u,x) hà m có đ iề u khiể n u Rm vectơtrạ ng thá i x Rn Bà i toá nđ ï c đ ặ t chọ n ể L(u,x) cư ï c tiể u đ ng thơ ø i phả i thỏ a phư ng trì nh rà ng buộ c f ( x, u) Để tì mđ iề u kiệ n cầ n đ ủ cho cư ï c tiể u cụ c đ ng thơ ø i thỏ a f ( x, u) , ng ta khai triể n chuổ i Taylor cho dL kiể m tra cá c nh phầ n bậ c nhấ t bậ c hai chuổ i Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang Điề u kiệ n cầ nđ ể có đ iể m cư ï c tiể u cụ c hà mđ nh giá L phả i bằ ng hằ ng số đ ố i vơ ù i sư ï biế n thiê n củ a u Điề u nà y có nghó a đ o hà m bậ c nhấ t củ a L phả i bằ ng khô ng Tư ng tư ï nhưvậ y ta có đ o hà m bậ c nhấ t củ a f cũ ng phả i bằ ng khô ng đ ố i vơ ù i sư ï biế n thiê n củ a x u: dL = Lxdx + Ludu = df f u du f x dx (I.1.11) (I.1.12) vơ ù i Lx, Lu cá c vectơđ ộ dố c củ a L theo x u f x , f u cá c ma trậ n n x n ma trậ n n x m Giả sư ûf x tư ø (I.1.11) suy ra: dx f x1 f u du (I.1.13) Thay (I.1.13) o phư ng trì nh (I.1.12) ta đ ï c: dL Lu du Lx f x1 f u du (I.1.14) Để dL = theo du vơ ù i bấ t kỳ đ iể m cư ï c tiể u u df , ta phả i có : Lu Lx f x1 f u (I.1.15) Thư ø a số Lagrange đ ï cđ ò nh nghó a sau: Lx f x1 (I.1.16) Tư ø (I.1.15) suy ra: Lu f u (I.1.17) Đồ ng thơ ø i nhậ n thấ y rằ ng: Lx Lx Lx Lx f x1 f x1 Lx f x (I.1.18) Hà m Hamilton đ ï cđ ò nh nghó a nhưsau: H ( x, u) L( x, u) f ( x, u) Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n (I.1.19) Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang Lấ o hà m H(x,u) theo x theo u đ ng thơ ø i kế t hơ ï p vơ ù i phư ng trì nh (I.1.17) (I.1.18) suy đ iề u kiệ n cầ nđ ể u đ iể m cư ï c tiể u củ a bà i toá n tố iư u có đ iề u kiệ n rà ng buộ c : H x ( x, u) Lx ( x, u) f x ( x, u) H u ( x, u) Lu ( x, u) f u ( x, u) (I.1.20) Tuy nhiê nđ ể giả iđ ï c nghiệ m ta cầ n rú t thê m õ ng phư ng trì nh tư ø đ iề u kiệ n rà ng buộ c: f x ( x, u) Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n (I.1.21) Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang I.2 Cá c phương phá p điề u khiể n tố i ưu 2.1 Phương phá p biế n phâ n cổđiể n Euler – Lagrange Xé t bà i toá n tố iư u liê n tụ c: T Q( x, u ) f o ( x, u )dt (I.2.1) uU ù i x(0) = xo , x(T) X x (t ) f ( x, u) vơ (I.2.2) Nhậ n xé t: Q(x,u) hà m phụ thuộ c o u(t) nê n viế t nh Q(u) Nế u gọ i u*(t) nghiệ m tố iư u củ a bà i toá n liê n tụ c x*(t) quỹ đ o trạ ng thá i tư ng ù ng Q(u*) Q(u) vơ ù i mọ i u(t) U Giả sư û u*(t) mộ tđ iể m U thìphả i có mộ t lâ n cậ n u*(t)+u(t) củ a u* nằ m hoà n n U vơ ù i u(t) mộ t vetor hà m thơ ø i gian nhậ n giá trò â m hay dư ng đ ủ nhỏ : Q(u*) Q(u* + u) dQ = Q(u* + u) – Q(u*) (I.2.3) Nế u u rấ t nhỏ vế trá iđ ï c xấ p xỉdQ Q dQ u du u u* dQ Do u(t) nhậ n giá tròâ m hay dư ng tù y ý du u u* o Q nê nđ ể có (I.2.3) cầ n phả i có : dQ 0 du u u* chỉphụ thuộ c (I.2.4) Biế n phâ n hà m mụ c tiê u Tư ø phư ng trì nh trạ ng thá i (I.2.2) khó biể u diễ n x(t) mộ t cá ch tư ø ng minh theo u(t) nê n i chung hà m mụ c tiê u (I.2.1) vẫ n hà m phụ thuộ c o x(t) u(t) Cò n phư ng trì nh (I.2.2) đ ï c xem đ iề u kiệ n biê n củ a bà i toá n Ta có : T Q(u ) f o ( x, u )dt (I.2.5) T Q(u u ) f o ( x x , u u )dt Trư ø theo vế phư ng trì nh dư ù i cho phư ng trì nh trê n ta có : Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n (I.2.6) Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang f f o x o u dt x u 0 T (I.2.7) Q Q(u u ) Q(u ) Trong đ ó : f o f o f o f , , , o x x1 x2 xn f o f o f o f , , , o u u1 u u r (I.2.8) x (t ) f ( x, u) (I.2.9) x(t ) x (t ) f ( x x , u u ) (I.2.10) x f f x u x u x f f x u x u (I.2.11) Trong đ ó : f x f x f n x1 f x n f n x n , f u f u f n u n f u r f n u n (I.2.12) x(0) = 0, x(0) = xo đ iể m xá cđ ò nh cho trư ù c Nhâ n hai vế (I.2.11) cho vetor pT(t) ta có : f f p T x x u x u (I.2.13) Cộ ng biể u thư ù c dư ù i dấ u tí ch phâ n củ a (I.2.7) vơ ù i (I.2.13) ta có : T f f f f Q o x o u p T x x u dt x u x u 0 f o f f f pT u p T p T x dt u u x x T Q p (T ) x (T ) T Vectơp(t) chọ n: p T p T f f 0 x x Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n (I.2.14) Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang Vơ ù iđ iề u kiệ n biê n: pT (T ) x (T ) - Khi đ iể m cuố i x(T) cho trư ù c đ iể m cố đ ò nh thìdo x(T) = nê n suy T p (T ) x (T ) - Khi đ iể m cuố i x(T) khô ng cho trư ù c vectơp(t) phả i thỏ a mả nđ iề u kiệ n biê n p(T) = Tư ø (I.2.14) suy ra: T f f Q p T u dt u u (I.2.15) Đặ t hà m Hamilton: H ( x, u, p) pT f ( x, u) f ( x, u) H p vơ ù i: x T H ; p x T (I.2.16) (I.2.17) Cô ng thư ù c biế n phâ n hà m mụ c tiê u (I.2.15) trơ û nh: H u dt u T (I.2.18) Q Điề u kiệ n cự c tiể u Vơ ù i sai lệ ch Q* xung quanh nghiệ m tố iư u u*(t) lơ ù n hơ n hoặ c bằ ng khô ng ta có : H u T Q* u dt (I.2.19) x * ,u * , p * vơ ù i: x*(t), p*(t) nghiệ m củ a (I.2.17) Nế u vectơhà m H u khô ng đ ng nhấ t bằ ng khô ng vơ ù i mọ i t [0, T] chọ n: x * ,u * , p * m n V0 n dt J ik xi xk j ij i ,k 1 xi j 1 i 1 (I.2.20) H u (t ) u (I.2.21) T * * x ,u , p * Phầ n I Tổ ng quan đ iề u khiể n tố iư u Điề u khiể n phi tuyế n Đề tà i nghiê n cư ù u khoa họ c cấ p trư ø ng Trang 10 vơ ù i <