TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ************* PHẠM THỊ HÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHÉO HÓA MA TRẬN TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Huy Thảo, ngƣời tận tình hƣớng dẫn bảo em suốt trình học tập nhƣ nghiên cứu đề tài khóa luận Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ môn Vật lý lý thuyết Ban chủ nhiệm khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh Song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nhƣ hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên không tránh khỏi thiếu sót định mà thân chƣa thấy đƣợc Em mong nhận đƣợc góp ý quý thầy, cô giáo bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Đƣợc hƣớng dẫn tận tình TS Nguyễn Huy Thảo nỗ lực thân, em hoàn thành khóa luận Em xin cam đoan công trình riêng em, không trùng lặp với kết tác giả công bố trƣớc Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 1.1 Lý thuyết ma trận 1.1.1 Ma Trận 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Cộng hai ma trận 1.1.4 Tích hai ma trận 1.1.5 Ma trận khả nghịch 1.1.6 Ma trận chuyển 1.1.7 Ma trận đồng dạng 1.1.8 Ma trận chuyển vị 1.1.9 Ma trận chéo 1.1.10 Ma trận đơn vị 1.1.11 Ma trận tam giác 1.1.12 Ma trận đối xứng đối xứng lệch 1.1.13 Ma trận Hermitian 1.1.14 Ma trận trực giao 1.2 Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 1.2.1 Vấn đề chéo hóa ma trận 1.2.1.1 Đặt toán 1.2.1.2 Cách giải 1.2.1.3 Ma trận chéo hóa đƣợc 10 1.2.1.4 Giải toán chéo hóa ma trận 10 1.2.1.5 Quy trình chéo hóa ma trận 12 1.2.1.6 Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác 13 1.2.1.7 Thuật toán chéo hóa ma trận 14 1.2.2 Vấn đề chéo hóa trực giao 14 1.2.2.1 Cơ sở trực chuẩn 15 1.2.2.2 Phƣơng pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt 15 1.2.2.3 Phƣơng pháp chéo hóa trực giao 16 1.2.2.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 17 1.2.2.5 Quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 18 1.3 Chéo hóa ma trận khối 20 1.3.1 Khái niệm phép toán 20 1.3.2 Một số kết 21 1.3.3 Ma trận nghịch đảo ma trận khối 22 1.3.4 Các dạng chéo hóa ma trận khối 22 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 33 2.1 Một số toán chéo hóa ma trận ma trận đối xứng 33 2.1.1 Bài toán chéo hóa ma trận 33 2.1.2 Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng 38 2.2 Một số toán chéo hóa ma trận khối 43 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chéo hóa ma trận kĩ thuật việc giải toán vật lý Phƣơng pháp đƣợc thực cách biến đổi trực tiếp sử dụng máy tính để giải Chéo hóa giúp cho việc bắt đầu giải toán giải thích tƣợng vật lý cách dễ hiểu, đơn giản Phƣơng pháp chéo hóa ma trận đƣợc khám phá vào năm 1926 Augustin Luois Cauchy Chéo hóa ma trận vấn đề lý thú quan trọng vật lý, đƣợc ứng dụng nhiều lĩnh vực chuyên ngành khác vật lý nhƣ toán học đại Trong toán học không tìm hiểu sâu ma trận đối xứng ma trận khối nhƣ vật lý Hai phƣơng pháp chéo hóa đƣợc ứng dụng nhiều để giải toán vật lý môn học, điện học, lƣợng tử… Thông qua chéo hóa ma trận mà việc giải toán trở nên đơn giản Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết thân chéo hóa ma trận đƣợc áp dụng vật lý nhƣ bƣớc đầu giúp cho việc giải toán vật lý cách đơn giản hơn, em lựa chọn đề tài: “Một số toán chéo hóa ma trận vật lý” làm đề tài tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tƣ logic đặc thù cho môn Tìm hiểu kiến thức chéo hóa ma trận Mục tiêu đề tài mà em chọn số toán chéo hóa ma trận Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: ma trận Phạm vi nghiên cứu: chéo hóa ma trận tập trung chủ yếu đƣa số toán chéo hóa ma trận vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Nghiên cứu phƣơng pháp chéo hóa số toán chéo hóa ma trận vật lý Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc, tra cứu tài liệu Phƣơng pháp vật lý lý thuyết vật lý toán Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận bao gồm chƣơng: Chƣơng Cơ sở lý thyết ma trận chéo hóa ma trận 1.1 Lý thuyết ma trận 1.2 Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 1.3 Chéo hóa ma trận khối Chƣơng Một số toán chéo hóa ma trận 2.1 Một số toán chéo hóa ma trận vuông ma trận đối xứng 2.2 Một số toán chéo hóa ma trận khối NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 1.1 Lý thuyết ma trận 1.1.1 Ma Trận Định nghĩa: Cho K trƣờng tùy ý Một bảng gồm mxn phần tử aij (1 ) có dạng: ( , đƣợc gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi aij đƣợc gọi thành phần ma trận Kí hiệu là: A= (aij)m x n Ta nói ma trận A có m dòng, n cột Vectơ dòng (hay hàng) (ai1 ai2 …ain) đƣợc gọi dòng (hay hàng) thứ i ma trận A Vectơ cột ( , đƣợc gọi cột thứ j ma trận A Khi m = n ma trận (aij )m x n đƣợc gọi ma trận vuông cấp n Kí hiệu: A= (aij ) m x n Tập hợp tất ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trƣờng K đƣợc kí hiệu Mat( m x n, K) 1.1.2 Định nghĩa Cho A= (aij ) m x n, B= (bij ) mxn hai ma trận thuộc Mat(m x n, K) Ta gọi tổng hai ma trận A B ma trận C= (cij ) m x n xác định bởi: cij = aij + bij, i= ̅̅̅̅̅, j ̅̅̅̅̅ kí hiệu D= λ.A Nhƣ vậy: A+B= (aij + bij )m x n , λ.A= (λ aij )m x n 1.1.3 Cộng hai ma trận a Định nghĩa Cho hai ma trận cỡ mxn: A = [aij]m x n , B = [bij]m x n Tổng A + B ma trận cỡ mxn xác định A + B = [aij + bij]m x n Tức ( A + B)ij = aij + bij nhƣ muốn cộng hai ma trận cỡ ta cộng phần tử vị trí Ví dụ: * + * + * + b Tính chất: A+B=B+A A+ = + A = A Nếu gọi –A = [aij]m x n có A + (-A) = (-A) + A = Nếu có thêm ma trận C với C = [cij]m x n (A + B) + C = A + (B + C) 1.1.4 Tích hai ma trận Cho ma trận A = (aij) B = (bij) tích ma trận A với ma trận B ma trận C = (cij) đƣợc xác định bởi: cik = ∑ Ta gọi mà phần tử , i = 1,…,m; k = 1,…,p kí hiệu C = A.B 1.1.5 Ma trận khả nghịch Định nghĩa: Ta gọi ma trận vuông A ma trận khả nghịch (hay ma trận vuông không suy biến), có ma trận vuông B Mat( n x n, K) cho A.B = B.A = En Khi B gọi ma trận nghịch đảo A kí hiệu B= A-1 Nếu A ma trận khả nghịch ma trận nghịch đảo 1.1.6 Ma trận chuyển Định nghĩa: Cho (e)= { ⃗ ⃗ ⃗ } ( {⃗ ⃗ ⃗ } sở không gian vectơ n chiều V Ta gọi ma trận vuông cấp n: C= (aij) cij đƣợc xác định bởi: ⃗⃗⃗= ∑ Gọi ( ⃗⃗⃗, j= 1, , n ma trận chuyển từ sở (e) sang sở ( + ( sở (e) sở ( + lần lƣợt tọa độ vectơ ⃗⃗⃗⃗ lần lƣợt ta có công thức đổi tọa độ từ sở (e) sang sở ( viết dƣới dạng ma trận là: ( + ( + 1.1.7 Ma trận đồng dạng Định ngĩa: Ta nói A, B ma trận đồng dạng Cho hai ma trận A B tồn ma trận C ma trận khả nghịch cho: B= C-1 A.C Kí hiệu: A 1.1.8 Ma trận chuyển vị Ta gọi ma trận At ma trận chuyển vị ma trận A dòng ma trận A cột ma trận At Tức là: A=( + ( + Ta có: ( At)t= A (A+B)t = At + Bt (A.B)t = Bt At Ví dụ: A= ( + ( + 1.1.9 Ma trận chéo Đƣờng chéo chứa phần tử a11, a22, a33, …, anm ma trận vuông A = (aij)n đƣợc gọi đƣờng chéo A, đƣờng chéo lại đƣợc gọi đƣờng chéo phụ + =( P-1 = -2.( P-1 = ( + + P-1.B.P = ( + ( =( + ( + ( )=( ) + Bài tập áp dụng: Bài 1: Chéo hóa ma trận sau: A=( C=( +; B = ( + ,; D = ( , Đáp số: Ma trận A có dạng chéo hóa là: ( + Ma trận B có dạng chéo là: ( + Ma trận C có dạng chéo hóa là: ( , Ma trận D không chéo hóa đƣợc không tồn sở gồm vectơ riêng Bài 2: Tìm ma trận P làm chéo hóa A xác định P-1AP 37 1) A = ( ) 2) A = ( Đáp số: P = ( ) 3) A = ( Đáp số: P = ( + 4) A = ( + ) ) P-1.A.P = ( P-1.A.P = ( ) ) Đáp số: P = ( + P-1.A.P = ( + Đáp số: P = ( + P-1.A.P = ( + 2.1.2 Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng Bài 1: Cho ma trận A, tìm ma trận trực giao Q cho B = Q-1.A.Q ma trận chéo A=( + Lời giải: Phƣơng trình đặc trƣng A là: Det(A –λI) = | | =  - λ3 + 3λ2 + 6λ – =  (λ + 2)( λ – 1)(- λ + 4) =  { Với λ = giải hệ phƣơng trình: { { Chọn ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 2, 2) vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ1 = -2 Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Với λ2 = 1, giải hệ phƣơng trình: { { Chọn ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 1, -2) vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = 38 Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Với λ3 = 4, giải hệ phƣơng trình: { { Chọn ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, -2, 1) vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ3 = Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Vậy (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A Ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là: Q= ( ) Ma trận chéo P là: B = ( + Bài 2: Cho ma trận A = ( + Hãy tìm ma trận trực giao Q để đƣa A dạng chéo B = Q-1.A.Q Tìm ma trận chéo B Lời giải: Trƣớc hết ta nhận xét ma trận A ma trận đối xứng nên A chéo hóa trực giao đƣợc Giải phƣơng trình đặc trƣng: det (A – λI) = | | =  -(5 – λ).(1+ λ)2 = [ Tìm sở trực chuẩn không gian riêng λ1=5 (m1 = 1) Giải hệ phƣơng trình: (A – λI).X = 39 Ta có: ( + /=( + ( + /=( +( { { t + /=( + { } Lấy ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 1, 1) = ⃗⃗⃗⃗ chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗đƣợc ⃗⃗⃗⃗ = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗‖ =( ) + λ2 = -1 (m2 = 2) Giải hệ phƣơng trình: (A – λI) = ( + / { t, v ( +  2x + 2y +2z = Để tìm sở trực chuẩn không gian riêng ứng với λ2 = -1 ta làm nhƣ sau: Lấy ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 1, 0, -1) , ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1, -1) sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗ đƣợc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , b2 = 〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, -1) + (0, 1, -1) = ( Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗ đƣợc ⃗⃗⃗⃗⃗ 〈⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗‖ = =( ) =) =( ) Ma trận Q B cần tìm là: B=( Q= ( + ) Chú ý: Ma trận Q không Q phụ thuộc vào cách chọn vectơ riêng 40 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa trực giao A xác định P-1.A.P: 1) A = ( ) 4) A = ( 2) A = ( 3) A = ( + * 5) A = ( + , 6) A = ( , Đáp số: 1) P = / 2) P = ( , 3) P = ( 4) P = ( P-1AP = ( P-1AP = ( + , ) P-1AP = ( 5) P = ( ) ) 41 ) 6) P = ( ) Bài tập 2: Cho ma trận vuông cấp hai thực hay phức: A=( ) Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d để ma trận A chéo hóa đƣợc Hƣớng dẫn: Đa thức đặc trƣng ma trận A: | | |( )|= λ2 – (a +d)λ +ad – bc TH 1: A ma trận thực + Nếu A có giá trị riêng phân biệt, A chéo hóa đƣợc + Nếu A có giá trị riêng λ0 Để A chéo hóa đƣợc A phải có vectơ riêng độc lập tuyến tính: ⃗⃗⃗⃗⃗ , (| ;⃗⃗⃗⃗⃗ { | ) Khi ta có: ,{ Hệ hai phƣơng trình có | | nên c= Hay: , ;, Suy a = d b = c = Từ điều ta dễ dàng suy điều kiện cần đủ để ma trận thực A chéo hóa đƣợc hoặc a = d b = c = TH 2: A ma trận phức Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thực ta suy ra: Điều kiện cần đủ để ma trận phức A chéo hóa đƣợc hoặc a = d b = c = 42 2.2 Một số toán chéo hóa ma trận khối Bài toán 1: Chéo hóa ma trận khối sau: =( M= ( ) ) Lời giải: Ma trận A = ( + Giải phƣơng trình đặc trƣng det (A – λI) = 0, ta có: | | =  (5 – λ).( -4 – λ + λ2) + 42 - 18λ -16 +8λ =  -20 – λ + 6λ2 – λ3 + 26 - 10λ = – λ3 + 6λ2– 11λ + = Phƣơng trình có nghiệm là: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = Giải phƣơng trình (A – λI) ⃗ = để tìm vectơ riêng + Với λ1 = ta có hệ phƣơng trình sau: { { / / Vậy với V(λ=1) có sở là: {⃗⃗⃗⃗⃗ ( + } + Với λ2 = ta có hệ phƣơng trình sau: { { / / Vậy với V(λ=2) có sở là: {⃗⃗⃗⃗⃗ ( + } 43 + Với λ3 = ta có hệ phƣơng trình sau: { { Vậy với V(λ=3) có sở là: ,⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy ma trận P = ( Det P = – ) ma trận làm chéo hóa ma trận B =+ =( P-1 = -2.( P-1 = ( + + P-1.A.P = ( =( - + ( + ( Ma trận D = ( | + ( )=( + + Giải phƣơng trình đặc trƣng det (D – λI) = |=0  ( -1 – λ).(-1)1+1 [ – 3(-1)3+1[ ) ] – 3(-1)2+1[ ] =0  - λ2 +6 λ – – λ3 + λ2 - λ +18 - λ + λ – =  - λ3 + λ2 - λ +4 = (λ – 1) (λ – 2)2 = => * 44 ] - Giải phƣơng trình: (D – λI).X =  ( D – λI) / = ( + + TH λ = 1: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( { + / ( + x=y=z=a / /  V(λ= 1) có sở { ( + } + TH λ = 2: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( { / + / ( + { /=a( ++b( + Vậy V(λ= 2) có sở { Vậy ma trận P = ( P-1 = ( P-1DP = ( }; { + } Det P = – = + Suy P-1 = ( +( + +( 45 + =( +( +=( + Trị riêng M: 1, 2, 3, 1, 2, Vectơ riêng M: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ma trận E ma trận chéo ma trận M có dạng: E= ( ) Bài toán 2: Tìm ma trận chéo khối ma trận khối tam giác sau: M=( ,=( ) Lời giải: A=( + Giải phƣơng trình đặc trƣng det (A – λI) = | |  -λ3 + 5λ2 - 8λ +4 =  (λ -1)( λ – 2)2 = => * Giải phƣơng trình (A –λI) ⃗ = Với λ1 = => V(λ1 = 1) có sở {⃗⃗ Với λ2 = => có hai sở là: { B=( + 46 } ⃗⃗ ⃗⃗ C= D = trị riêng λ = 4, vectơ sở không gian riêng A⃗= ⃗ ⃗ +( ,( , = ( , +( ,( +( , ( , = ( , = 2( , = ( , +( ,( , = ( , ,=( Tính M – 4I = ( =( , = 2( , , ,( ) = ( ,   { 47 , ⃗ ,=( (M – 4I) ⃗ =  ( { ,= ( { ⃗⃗ = Vậy vectơ riêng ⃗ = = ( ) ( ) Vậy P = ( ) E = P-1.M.P = ( , Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ma trận chéo Q = P-1.M.P ma trận khối sau: Đáp số: Q = M = ( ) ( M = ( ) Đáp số: Q = ( ) 48 ) Đáp số: Q M = ( ) ( ) Bài 2: Tìm ma trận chéo ma trận khối tam giác sau: M = ( M = ( M = ( M = ( , Đáp số: Q = ( + Đáp số: Q = ( , Đáp số: Q = ( , Đáp số: Q = ( 49 , + , , KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số toán chéo hóa ma trận vật lý”, đối chiếu với mục đích đề khóa luận đƣợc hoàn thành Theo hƣớng tìm hiểu chi tiết chéo hóa ma trận vuông ma trận khối, khóa luận thu đƣợc số kết sau: - Giới thiệu đƣợc lý thuyết ma trận số ma trận thƣờng xuất vật lý nhƣ: Ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo, ma trận hermitian, ma trận đối xứng, ma trận trực giao, ma trận khối… - Đƣa đƣợc phƣơng pháp chéo hóa ma trận vuông, chéo hóa ma trận đối xứng phƣơng pháp chéo hóa ma trận trực giao Tìm hiểu đƣợc kĩ thuật chéo hóa ma trận khối kĩ thuật thƣờng đƣợc sử dụng vật lý đại - Đƣa đƣợc số toán chéo hóa ma trận, chéo hóa ma trận đối xứng chéo hóa ma trận khối Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân nhiều thiếu sót Em hy vọng nhận đƣợc đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc Hy vọng với nội dung đƣợc trình bày khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, góp phần nghiên cứu toán chéo hóa ma trận vuông, chéo hóa ma trận đối xứng chéo hóa ma trận khối vật lý Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô! 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp tập 1, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Đình Trí (2006), Bài tập Toán học cao cấp tập 1, NXB Giáo dục [3] Phan Hồng Trƣờng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP Hà Nội [4] Trần Thái Hoa (2014), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội [5] Diagonalisation of a 3x3 matrix https://www.youtube.com/watch?v=Sf91gDhVZWU [6] How-To Guide to Matrix Diagonalization https://www.youtube.com/watch?v=SADvoCEekVg [7] Matrix https://www.youtube.com/watch?v=0oGJTQCy4cQ [8] Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization https://www.youtube.com/watch?v=2V733b-DMdI https://www.youtube.com/watch?v=Dxo2hxRQPHY 51 ... thuyết ma trận 1.2 Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 1.3 Chéo hóa ma trận khối Chƣơng Một số toán chéo hóa ma trận 2.1 Một số toán chéo hóa ma trận vuông ma trận đối xứng 2.2 Một số toán chéo hóa ma trận. .. 22 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 33 2.1 Một số toán chéo hóa ma trận ma trận đối xứng 33 2.1.1 Bài toán chéo hóa ma trận 33 2.1.2 Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng... ma trận chéo? (ma trận vuông A gọi ma trận trực giao AtA = I) 1.2.1.3 Ma trận chéo hóa a Định nghĩa: Cho ma trận vuông A Nếu tồn ma trận khả đảo P cho P-1 AP ma trận chéo nói ma trận A chéo hóa