A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Một yếu tố định hình thành phát triển nhân cách, óc sáng tạo, khả tư độc lập, ham tìm tòi khám phá, giải vấn đề có xác khoa học việc học toán Có thể nói môn toán môn thể thao trí tuệ Do đó, cần phải phát bồi dưỡng kịp thời học sinh có khiếu toán để tạo điều kiện cho em phát triển tư duy, khả sáng tạo, tạo sở ban đầu cho việc bồi dưỡng phát triển tài sau Trong môn toán giải toán biểu động hoạt động trí tuệ Giải toán đòi hỏi học sinh phải tư cách linh hoạt, sáng tạo, huy động tổng hợp kiến thức học để giải tình cụ thể, phức tạp khác Trong thực tế, lớp học luôn có đối tượng giỏi - trung bình yếu Do người giáo viên cần phải xác định yêu cầu “phổ cập” diện đại trà kiến thức kĩ Đồng thời phải đặt yêu cầu cao số học sinh giỏi Đó toán có nội dung kiến thức phức tạp hơn, đòi hỏi tư cao Chuyên đề “Các toán tính tuỏi” chuyên đề tập hợp nhiều dạng toán bản, điển hình Tiểu học Bên cạnh điều kiện tốt để khai thác, sử dụng cho viẹc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán Tiểu học Song nội dung phương pháp bồi dưỡng để học sinh giỏi phát triển tư khiếu toán mình, làm để em tự tìm kiếm phương pháp học tập cho giải toán khó? Đó trăn trở đồng chí giáo viên đứng lớp Tiểu học nói chung thân nói riêng Băn khoăn với câu hỏi nêu trên, mạnh dạn nghiên cứu đề tài : Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, chuyên đề “Các toán tính tuổi” II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Thực trạng: Trong năm học gần đây, phân công chủ nhiệm, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp thấy có thuận lợi khó khăn sau: - Giáo viên dạy bồi dưỡng thường nhằm giải tập chưa ý đến việc rèn kĩ giải toán, đặc biệt chưa ý rèn thao tác tư cho học sinh (đây việc làm cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi) - Chuyên đề “ Các toán tính tuổi” có số lượng phong phú, kiểu đa dạng nên việc nghiên cứu để phân loại tìm cách giải phù hợp việc làm dễ dàng giáo viên đòi hỏi phải đầu tư thời gian trí tuệ tương đối nhiều Học sinh hiểu, ghi nhớ dạng toán cách giải dạng toán thiếu bền chặt, khả vận dụng trình giải toán nâng cao lại “khiêm tốn “ Đây điểm khó khăn cho giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi - Bên cạnh phận phụ huynh học sinh thiếu quan tâm đến việc học bồi dưỡng em, chưa mua tài liệu tham khảo cho em theo yêu cầu hướng dẫn giáo viên dạy, việc học sinh nhận dạng toán thuộc chuyên đề “Các toán tuổi” hạn chế - Số học sinh có khả phát triển môn toán Kết thực trạng: Với thực trạng nêu trên, từ đầu năm học, trước bắt tay vào bồi dưỡng học sinh giỏi, cho học sinh làm kiểm tra để nắm bắt kết học tập em Kết khảo sát 10 học sinh lớp cụ thể sau: Điểm Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - Dưới SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 0 0 20 30 50 TSHS 10 Nguyên nhân thực trạng trên: - Việc dạy giáo viên chưa bản, chưa phát huy hết tính tích cực chủ động, sáng tạo học sinh trình học tập Thêm vào việc đầu tư cho nghiên cứu dạy chưa nhiều dẫn đến việc nội dung tiết dạy nghèo nàn, đơn điệu, giáo viên lên lớp thường với mục đích tiến hành chữa tập mà chưa ý đến việc rèn kĩ thao tác tư cho học sinh - Nội dung chuyên đề “ Các toán tính tuổi” phong phú giáo viên chưa tiến hành phân loại mà dạy cách thiếu hệ thống nên việc tiếp nhận học sinh nhiều khó khăn - Việc học học sinh mang tính thụ động, chưa tự giác, thêm vào việc ghi nhớ kiến thức, kỹ giải toán (phân tích đề, nhận dạng toán, thiết lập mối liên hệ toán học toán ) chưa khoa học bền vững Khả suy luận, khả tư học sinh đặc điểm tâm lí lứa tuổi nên nhiều hạn chế - Cách học em thụ động, phụ thuộc nhiều vào truyền tải giáo viên - Đứng trước toán em thường có tâm lí chờ đợi giáo viên hướng dẫn bắt tay vào làm, khả tự tìm hiểu đề bài, xây dựng chương trình giải, tự kiểm tra làm tự sửa chữa hạn chế B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Từ việc nghiên cứu thực trạng tìm tòi nghiên cứu vận dụng số giải pháp sau: Phân dạng toán thuộc chuyên đề toán tính tuổi Lựa chọn nội dung phương pháp dạy phù hợp với dạng đối tượng học sinh Tổ chức thực nghiệm sư phạm rút kinh nghiệm II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Biện pháp 1: Phân dạng toán tính tuổi Trong nội dung phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, với chuyên đề tìm tòi, nghiên cứu phân dạng để dạy cho học sinh Vì nghĩ dạy theo dạng học sinh nắm vững khắc sâu kiến thức cách giải dạng toán Từ việc vận dụng vào giải toán em thuận tiện nhiều Chuyên đề chủ yếu để bồi dưỡng học sinh lớp Có thể phân chia “ Các toán tính tuổi” thành dạng sau: - Dạng 1: Bài toán “Trung bình cộng” - Dạng 2: Bài toán “ T ìm hai số biết tổng hiệu hai số đó” - Dạng 3: Bài toán “ T ìm hai số biết tổng tỉ số hai số đó” - Dạng 4: Bài toán “ T ìm hai số biết hiệu tỉ số hai số đó” - Dạng 5: Bài toán “ Tìm hai số biết hai tỉ số” - Dạng 6: Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm - Dạng 7: Các toán tính tuổi với số thập phân - Dạng 8: Một số toán khác Biện pháp 2: Lựa chọn nội dung phương pháp dạy phù hợp với dạng đối tượng học sinh Với biện pháp thường thực công việc sau: - Hướng dẫn để học sinh hiểu đặc trưng nội dung dạng toán - Hướng dẫn học sinh ghi nhớ kiến thức cần thiết phải sử dụng giải dạng toán - Lựa chọn phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh nội dung - Hướng dẫn học sinh thực ví dụ điển hình cho dạng toán Cụ thể: *Dạng 1: Bài toán “Trung bình cộng” I NỘI DUNG Dạng toán mô tả sau: Tìm số cách lấy tổng tất số tập hợp xét chia cho số số II NHỮNG KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý ĐỂ ÁP DỤNG KHI GIẢI DẠNG TOÁN NÀY: Một số cho trung bình cộng số lại số số trung bình cộng tất số cho Cho số a, b, c số chưa biết x a) Nếu cho biết x lớn số trung bình cộng số a, b, c, x n đơn vị số trung bình cộng số tìm sau: Số trung bình cộng số a, b, c, x = ( a + b + c + n ) : b) Nếu cho biết x bé trung bình cộng số a, b, c, x n đơn vị trung bình cộng số tìm sau: Số trung bình cộng số a, b, c, x = ( a + b + c - n) : (Cả điều lưu ý giáo viên minh hoạ sơ đồ đoạn thẳng đặt câu hỏi để học sinh tự rút ra) III PHƯƠNG PHÁP DẠY: Phương pháp áp dụng định nghĩa số trung bình cộng Nội dung phương pháp lấy tổng tất số tập hợp xét chia cho số số Phương pháp “Dùng sơ đồ đoạn thẳng”: Nội dung phương pháp diễn đạt toán sơ đồ đoạn thẳng, dùng đoạn thẳng thay số cho, mối liên hệ chúng với số phải tìm IV VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Tuổi trung bình cộng hai anh em nhiều tuổi em tuổi Hỏi anh em tuổi? * Với dạng toán hướng dẫn kĩ ví dụ đầu để em nắm cách giải, sau em vận dụng làm ví dụ tương tự Với toán này, hướng dẫn học sinh sau: - Yêu cầu học sinh đọc đề tìm hiểu yêu cầu đề bài, mối quan hệ kiện toán ?Bài toán thuộc dạng toán ? - Hướng dẫn học sinh tìm cách giải toán ?Bài giải phương pháp nào? ?Nếu ta coi tuổi em phần tuổi trung bình cộng hai anh em bao nhiêu? ?Thế tuổi anh? - Yêu cầu lớp vẽ sơ đồ tóm tắt tự giải - học sinh làm bảng lớp Giải: Ta có sơ đồ: Tuổi trung bình: t Tuổi em: Tuổi anh: Vậy anh em số tuổi là: x = (tuổi) Đáp số: tuổi - Học sinh nhận xét làm bạn rút cách giải dạng toán: + Vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi hai người + Tìm số tuổi người (Tìm tuổi anh em) Ví dụ 2: Một lớp ghép trường Dân tộc nội trú có bạn chơi thân với đó: Nga tuổi; Nam 10 tuổi; Hùng 12 tuổi tuổi Đức tuổi trung bình bạn tuổi Hỏi Đức tuổi? *Ở toán tiến hành sau: - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, suy nghĩ để tìm liệu toán Cụ thể: +Dữ liệu biết: Nga: tuổi; Nam: 10 tuổi; Hùng: 12 tuổi Đức: trung bình tuổi bạn tuổi +Dữ liệu cần phải tìm: Đức: tuổi? - Yêu cầu học sinh xác định dạng toán - Học sinh suy nghĩ, trao đổi tìm cách giải toán: + Tìm tuổi trung bình bạn + Tìm tuổi Đức - Học sinh trình bày giải Giải: Ta có sơ đồ sau: Trung bình cộng tuổi Tổng số tuổi: Tuổi Nga, Nam , Hùng Tuổi Đức Số tuổi trung bình cộng bạn là: ( + 10 + 12 + ) : = 11 (tuổi) Tuổi Đức là: 11 + = 13 (tuổi) Đáp số: Đức 13 tuổi - Tổ chức cho học sinh chữa củng cố cách giải dạng toán: Tìm trung bình số tuổi bạn ta áp dụng lưu ý 2a (Nếu cho biết x lớn số trung bình cộng số a, b, c, x n đơn vị số trung bình cộng số tìm sau: Số trung bình cộng số a, b, c, x = (a + b + c + n) : Ví dụ 3: Tuổi trung bình cộng cầu thủ đội bóng đá lớn tuổi so với tuổi trung bình 10 cầu thủ (không tính tuổi đội trưởng) Hỏi tuổi đội trưởng nhiều tuổi trung bình toàn đội bao nhiêu? *Vì ví dụ ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh nắm vững cách giải dạng toán nên ví dụ ta tiến hành: - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, suy nghĩ tìm cách giải tự giải - Tổ chức cho học sinh chữa bài, củng cố cách giải tìm cách giải khác * Các cách giải cụ thể: Cách 1: Áp dụng phương pháp „Sơ đồ đoạn thẳng“ ta có lời giải sau: Tuổi trung bình 10 cầu thủ: Tuổi trung bình 11 cầu thủ: Số tuổi 10 cầu thủ Số tuổi 11 cầu thủ: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi Vì tuổi đội trưởng gồm: Tuổi trung bình 10 cầu thủ 11 cầu thủ Suy ra: Tuổi đội trưởng tuổi trung bình toàn đội là: 11 - = 10 (tuổi) Đáp số: 10 tuổi Cách 2: Nếu bớt 11 số tuổi đội trưởng tổng số tuổi 11 cầu thủ (tức toàn đội) bị bớt 11 Suy ra: Số tuổi trung bình đội bị bớt là: 11 : 11 = (tuổi) vừa tuổi trung bình 10 cầu thủ (không kể đội trưởng) Vậy tuổi đội trưởng tuổi trung bình toàn đội : 11 - = 10 (tuổi) Đáp số: 10 tuổi V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: (Mức độ khó tăng dần phù hợp cho đối tượng : Trung bình, khá, giỏi) Tuổi trung bình hai anh em anh tuổi Hỏi em anh tuổi? Gia đình Nam có người: bố, mẹ, anh Dũng Nam Hãy tính tuổi Nam, biết tuổi bố 35, tuổi mẹ 33, anh Dũng mẹ 26 tuổi, tuổi Nam tuổi trung bình gia đình 18 tuổi Tuổi trung bình 30 học sinh tuổi so với tuổi trung bình cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh Tính xem tuổi cô giáo chủ nhiệm nhiều tuổi trung bình 30 học sinh bao nhiêu? *Dạng 2: Bài toán „Tìm hai số biết tổng hiệu hai số đó“ I NỘI DUNG: Cho biét tổng hiệu số tuổi hai người II NHỮNG KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ: - Quy tắc tính số lớn số bé: Số lớn = (tổng + hiệu) : Số bé = (tổng - hiệu) : - Nhận xét: Hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian III PHƯƠNG PHÁP DẠY: - Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn số tuổi hai người IV VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Hiện anh em tuổi năm tổng số tuổi hai anh em 25 Tính tuổi anh em *Với toán này, tiến hành sau: - Yêu cầu học sinh đọc đề tìm hiểu yêu cầu đề bài, mối quan hệ liệu toán ?Bài thuộc dạng toán gì? - Yêu cầu học sinh nhắc lại cách giải dạng toán - Hướng dẫn học sinh tìm cách giải toán: ?Bài giải phương pháp nào? ?Nếu ta coi tuổi em phần tuổi anh phần thế? ?Tổng số tuổi hai anh em bao nhiêu? Vì sao? - Cả lớp tự làm - học sinh làm bảng lớp Giải: Cách 1: năm sau số tuổi hai anh em tăng: + = 10 (tuổi) Tổng số tuổi hai anh em là: 25 - 10 = 15 (tuổi) Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi hai anh em là: Anh: Em: tuổi 15 tuổi Số tuổi anh là: (15 + 5) : = 10 (tuổi) Số tuổi em là: 10 - = (tuổi) Đáp số: Anh: 10 tuổi; Em: 5tuổi - Học sinh nhận xét làm bạn nêu cách giải khác Cách 2: Ta có sơ đồ tuổi anh em sau năm nữa: Tuổi anh: 25 tuổi Tuổi em: tuổi năm sau tuổi em là: (25 - 5) : = 10 (tuổi) Số tuổi em là: 10 - = (tuổi) Số tuổi anh là: + = 10 (tuổi) Đáp số: Anh: 10 tuổi; Em: tuổi *Sau tổ chức cho học sinh làm tập tương tự dạng: Ví dụ 2: Tính tuổi hai cha biết cha hai lần tuổi 16 tuổi hai lần tuổi cha lớn tổng số tuổi hai cha 27 - Đối với toán này, trước hết yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, tìm hiểu mối liên hệ kiện biết kiện cần tìm - Sau học sinh độc lập suy nghĩ tìm cách giải toán tự giải (Yêu cầu học sinh lên bảng giải) Giải: Ta có sơ đồ sau: Tuổi : 16 tuổi Tuổi cha : 27 tuổi Tuổi là: Tuổi cha là: 27 - 16 = 11 (tuổi) 11 x + 16 = 38 (tuổi) Đáp số: Cha: 38 tuổi; Con: 11 tuổi - Cuối tổ chức cho học sinh chữa bài, rút cách giải toán: + Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi con, cha hai lần tuổi cha + Dựa vào sơ đồ tìm số tuổi người V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tuổi mẹ lần tuổi 52 Biết năm 28 tuổi mẹ sinh Tính số tuổi mẹ Anh em tuổi Biết năm trước tổng số tuổi hai anh em 26 Tính tuổi anh em Nếu đem số tuổi mẹ nhân với cộng với số tuổi 96 tuổi Tính số tuổi hai mẹ con, biết năm sinh mẹ 30 tuổi *Dạng 3: Bài toán “Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số đó” I NỘI DUNG: Cho biết tổng số tuổi tỉ số tuổi hai người II KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ: - Nhận xét: tổng số tuổi hai người tổng số phần sơ đồ đoạn thẳng - Tìm số tuổi ứng với phần sơ đồ - Tìm số tuổi người III PHƯƠNG PHÁP DẠY: - Dùng “Sơ đồ đoạn thẳng” để biểu diễn tỉ số tuổi hai người IV VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi 1/4 tuổi mẹ Tính tuổi người biết tổng số tuổi mẹ 40 *Ở toán hướng dẫn học sinh giải sau: ?Bài toán cho biết gì? ?Bài toán yêu cầu gì? ?Bài thuộc dạng toán học? ?Hãy xác định hai số cần tìm, tổng tỉ số? (Hai số cần tìm: tuổi mẹ tuổi con; tổng: 40; tỉ số: 1/4) *Bước yêu cầu học sinh tóm tắt tự giải toán Giải: Ta có sơ đồ: Tuổi con: 40 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi : 40 : (1 + 4) = (tuổi) Tuổi mẹ : 40 - = 32 (tuổi) Tuổi bà : 32 x = 64 (tuổi) Đáp số : Bà : 64 tuổi ; Mẹ : 32 tuổi ; Con : tuổi *Sau học sinh giải xong, tổ chức cho học sinh nhận xét, rút cách giải dạng toán để từ em vận dụng làm tập tương tự Như : Ví dụ 2: Trước đây, vào lúc anh tuổi em tuổi anh gấp lần tuổi em Biết tổng số tuổi hai anh em 32 Tính tuổi anh em - Bài toán cho biết tuổi anh tuổi em hai thời điểm Vì để học sinh giải được, giáo viên phải hướng dẫn để học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi hai anh em hai thời điểm : trước Từ em tìm mối quan hệ tỉ số số tuổi anh tuổi em - Sau học sinh vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi hai anh em hai thời điểm, giáo viên tổ chức cho học sinh dựa vào sơ đồ giải toán thuộc dạng Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số Giải : Vì hiệu số phần tuổi anh tuổi em không thay đổi theo thời gian Như tuổi anh lần tuổi em trước Theo ta có sơ đồ biểu diễn tuổi anh tuổi em trước : 32 tuổi Tuổi em trước đây: Tuổi anh trước đây: Tuổi em : Tuổi anh : Tuổi em trước : 32 : (3 + 5) = (tuổi) Tuổi em : x = 12 (tuổi) Tuổi anh : x = 20 (tuổi) Đáp số : Anh : 20 tuổi ; Em : 12 tuổi - Giáo viên tổ chức cho học sinh chữa củng cố quy trình giải toán : vẽ sơ đồ đoạn thẳng, đưa toán dạng quen thuộc giải toán V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tuổi mẹ gấp lần tuổi anh, tuổi anh gấp lần tuổi em Tuổi mẹ cộng với tuổi anh 48 tuổi Tính tuổi người Hiện tổng số tuổi hai anh em 27 tuổi năm sau 1/4 tuổi em 1/5 tuổi anh tuổi Tính tuổi người Tuổi Lan, tuổi mẹ Lan tuổi bà ngoại cộng lại 140 tuổi Tính tuổi người Biết tuổi Lan có ngày tuổi mẹ có nhiêu tuần, tuổi Lan có tháng tuổi bà có nhiêu năm *Dạng : Bài toán « Tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số » Loại : Cho biết hiệu số tuổi hai người I.NỘI DUNG : Cho biết hiệu số tuổi hai người II NHỮNG KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ : - Hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian - Hiệu số tuổi hai người hiệu số phần sơ đồ đoạn thẳng - Tìm số tuổi ứng với phần sơ đồ - Tìm số tuổi người III PHƯƠNG PHÁP DẠY: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tỉ số tuổi hiệu số tuổi hai người thời điểm cho IV VÍ DỤ MINH HOẠ : Ví dụ : Mẹ 27 tuổi Tính tuổi người Biết năm tuổi 1/4 tuổi mẹ *Ở loại toán quy trình hướng dẫn tương tự dạng toán Giải : Ta có sơ đồ tuổi mẹ gấp lân tuổi : Tuổi : Tuổi mẹ: 27 tuổi Tuổi tuổi mẹ gấp lần tuổi là: 27 : = (tuổi Tuổi là: - = (tuổi) Tuổi mẹ là: 27 + = 33 (tuổi) Đáp số: Mẹ: 33 tuổi; Con: tuổi Loại 2: Phải giải toán phụ để tìm số tuổi hai người I CÁCH GIẢI: - Trước hết, ta phải giải toán phụ để tìm hiệu số tuổi hai người (đưa dạng toán “Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số đó”) - Sau giải loại II VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 2: Sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi tổng số tuổi hai mẹ lúc 60 Hỏi cách năm tuổi mẹ gấp lần tuổi con? * Để học sinh giải toán này, hướng dẫn em phương pháp phân tích, tổng hợp sau: ? Muốn biết cách năm tuổi mẹ gấp lần tuổi ta phải biết làm nào? ? Muốn biết tuổi mẹ tuổi ta phải biết làm nào? ? Vì ta cần tìm tuổi mẹ tuổi sau năm nữa? ? Cách giải toán có khác với cách giải toán loại 1? (Ở toán trước hết phải giải toán phụ để tìm hiệu số tuổi hai người) *Học sinh tự làm - Giáo viên theo dõi hướng dẫn thêm số học sinh chưa nắm vững Giải: Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi hai mẹ tuổi mẹ gấp lần tuổi con: Tuổi con: 60 tuổi Tuổi mẹ : Tuổi tuổi mẹ gấp lần tuổi là: 60 : ( + ) = 12 (tuổi) Tuổi mẹ tuổi mẹ gấp lần tuổi là: 60 - 12 = 48 (tuổi) Mẹ là: 48 - 12 = 36 (tuổi) Tuổi là: 12 - = (tuổi) Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi hai mẹ tuổi mẹ gấp lần tuổi con: Tuổi con: 36 tuổi 10 Tuổi mẹ: Tuổi tuổi mẹ gấp lần tuổi là: 36 : = (tuổi) Thời gian từ tuổi mẹ gấp lần tuổi đến là: - = (năm) Đáp số: năm V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tuổi ngày tuổi mẹ nhiêu tuầntuổi mẹ tuổi Biết sinh mẹ 32 tuổi Hiện mẹ 28 tuổi năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi người Mẹ 24 tuổi Biết 1/7 tuổi mẹ ½ tuổi 1/8 tuổi bố Hỏi tuổi người bao nhiêu? *Dạng 5: Bài toán “Tìm hai số biết hai tỉ số” I NỘI DUNG: Bài toán cho biết tỉ số tuổi hai người hai thời điểm khác II CẤCH GIẢI: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ tuổi hai người hai thời điểm dựa vào để phân tích tìm lời giải Ngoài kết hợp với số phương pháp giải toán khác như: phương pháp khử, phương pháp giả thiết tạm Trong số trường hợp đưa dạng “Tìm hai số biết tổng (hiệu) tỉ số chúng” III VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1: Hiện anh 36 tuổi, trước tuổi anh tuổi em hồi anh gấp đôi tuổi em Tính tuổi em *Hướng dẫn học sinh làm bài: - Yêu cầu học sinh đọc đề bài, phân tích tìm hiểu mối quan hệ kiện toán - Hướng dẫn học sinh tóm tắt toán sơ đồ đoạn thẳng ? Nếu ta coi tuổi em trước phần tuổi anh trước phần thế? ? Vậy tuổi em phần? Vì sao? ? Thế tuổi anh phần vậy? Vì sao? - Tổ chức cho học sinh tự tóm tắt giải toán Giải: Cách 1: Theo ta có sơ đồ biểu diễn tuổi anh tuổi em trước nay: Tuổi em trước đây: 36 tuổi 11 Tuổi anh trước đây: Tuổi em nay: Tuổi anh nay: Nhận xét : Hiệu số phần tuổi anh tuổi em không thay đổi theo thời gian Như vậy, tuổi anh lần tuổi em trước Tuổi em : 36 : x = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi * Sau tổ chức cho học sinh chữa bài, rút cách giải dạng toán, cho học sinh suy nghĩ tìm cách giải khác cho toán Cụ thể sau : Cách : (Giải phương pháp suy luận) : Giải : Gọi tuổi em trước phần : - Tuổi anh trước phần - Tuổi em phần - Tuổi anh (2 + 1) = phần - Tuổi em : 36 : x = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi Cách : (Giải phương pháp giả thiết tạm): Giả sử tuổi em trước tuổi tuổi anh tuổi (vì lúc tuổi anh gấp đôi tuổi em) Do đó, anh em tuổi Theo đề : Tuổi em tuổi anh trước nên tuổi em tuổi tuổi anh tuổi (vì + = 3) Nhưng tuổi anh 36 tuổi nên số tuổi người phải tăng lên số lần : 36 : = 12 (lần) Vậy tuổi em : x 12 = 24 (tuổi) Đáp số : 24 tuổi * Sau làm xong toán ví dụ học sinh nắm tương đối vững cách giải quy trình giải dạng toán, tiến hành tổ chức cho học sinh độc lập suy nghĩ vận dụng làm số tập dạng nâng dần mức độ khó Cụ thể : Ví dụ : Năm tuổi em 1/3 tuổi anh Sau 21 năm tuổi em 2/3 tuổi anh Hỏi tuổi người ? * Đối với toán này, tiến hành sau : - Cho học sinh đọc kĩ đề bài, phân tích tìm mối quan hệ kiện toán - Học sinh trao đổi, thảo luận nêu cách giải toán : + Vẽ sơ đồ biểu thị tuổi anh em thời điểm khác (Giải thích cách vẽ sơ đồ) + Học sinh dựa vào sơ đồ giải toán Giải: Ta có sơ đồ: Tuổi em nay: 21 tuổi 12 21 tuổi Tuổi anh : Tuổi em 21 năm sau : Tuổi anh 21 năm sau: Tuổi em là: 21 : = (tuổi) Tuổi anh là: x = 21 (tuổi) Đáp số: Anh: 21 tuổi; Em: tuổi - Hướng dẫn học sinh chữa nêu quy trình giải toán V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Hiện tuổi mẹ gấp lần tuổi con, năm trước tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ Năm bà 72 tuổi Trước đây, tuổi bà tuổi mẹ tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ Hỏi năm mẹ tuổi? Hiện tỉ số tuổi tuổi bố 2/9 Đến tuổi tuổi bố tổng số tuổi hai bố 125 tuổi Đố bạn biết năm bao nhiêu? *Dạng 6: Cho tỉ số tuổi hai người thời điểm khác Cách giải : Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diền quan hệ tuổi hai người thời điểm, sau ta sử dụng phương pháp giải nêu Ví dụ : Tuổi người em gấp lần tuổi em lúc anh tuổi em Đến tuổi em tuổi anh tuổi em tuổi anh cộng lại 102 Hãy tính tuổi người * Đây dạng toán tương đối phức tạp, tiến hành hướng dẫn học sinh thực theo bước sau : - Hướng dẫn học sinh phân tích đề - Hướng dẫn học sinh tóm tắt toán câu hỏi gợi mở - Yêu cầu học sinh tự tóm tắt toán giải toán Giải : Ta có sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số tuổi hai anh em thời điểm sau: Tuổi em trước đây: Tuổi em : Tuổi anh trước đây: Tuổi anh : Tuổi em sau : 102 Tuổi anh sau : tuæi Nhìn vào sơ đồ ta có : Tuổi em : 102 : (7 + 10) x = 24 (tuổi) Tuổi anh : 102 : (7 + 10) x = 42 (tuổi) Đáp số : Anh : 42 tuổi ; Em : 24 tuổi 13 * Sau học sinh giải xong yêu cầu em nêu cách giải dạng toán : Ta phải dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn quan hệ tuổi hai người thời điểm, sau dựa vào sơ đồ để giải toán V BÀI TẬP ỨNG DỤNG : Tuổi cháu gấp lần tuổi cháu cô tuổi cháu Khi tuổi cháu tuổi cô tổng số tuổi hai cô cháu 108 Tính tuổi cô cháu Trên chuyến tàu hỏa hai bạn Đào Lý quen Đào hỏi Lý: “Năm bạn tuổi?” Lý đáp: “Năm mà anh trai tuổi tuổi lúc 1/5 tuổi anh lúc Còn đến tuổi anh tổng số tuổi hai anh em lúc 44” Đào vốn giỏi toán nên tính tuổi Lý Đố em tuổi Lý bao nhiêu? Khi tuổi anh tuổi em tài tuổi anh lớn lần tuổi em tuổi Đến anh 33 tuổi tuổi em tuổi anh Tính tuổi hai anh em *Dạng : Các toán tính tuổi với số thập phân * Dạng toán tương đối lạ em, em thường cho tuổi tất phải số tự nhiên Vì để em giải toán này, giáo viên phải hướng dẫn để học sinh tìm cách giải : - Trước hết phải dẫn dắt để đưa toán dạng tính tuổi với số tự nhiên - Sau vận dụng phương pháp giải khác (như trình bày trên) để tìm kết cho toán Ví dụ : Năm tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu 10 năm sau tuổi ông gấp 4,4 lần tuổi cháu Tính tuổi ông Giải : Coi tuổi cháu phần tuổi ông 11,2 phần Năm ông cháu : 11,2 - = 10,2 (lần tuổi cháu nay) Coi tuổi cháu 10 năm sau phần tuổi ông 4,4 phần 10 năm sau ông cháu : 4,4 - = 3,4 (lần tuổi cháu 10 năm sau) Hiệu số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian nên 10,2 lần tuổi cháu bẳng 3,4 lần tuổi cháu sau Vậy tuổi cháu sau gấp : 10,2 : 3,4 = (lần tuổi cháu nay) Ta có sơ đồ : Tuổi cháu nay: 10 tuổi Tuổi cháu 10 năm nữa: Tuổi cháu : 10 : = (tuổi) Tuổi ông : x 11,2 = 56 (tuổi) Đáp số : Ông : 56 tuổi 14 * Sau học sinh nắm cách giải dạng toán thông qua ví dụ 1, tiến hành cho em thực hành làm tập khác dạng với nhiều cách giải khác như: Ví dụ : Cháu hỏi ông : « Ông ơi, Năm ông tuổi ? » Ông trả lời : « Năm tuổi ông gấp 4,4 lần tuổi cháu, 10 năm trước tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu Ông ước sống đến 100 tuổi để nhìn thấy cháu ông thành đạt » Bạn tính tuổi hai ông cháu Bài cách giải ví dụ 1, cho học sinh tìm tòi, suy nghĩ để tìm cách giải (Nếu học sinh không tìm được, giáo viên hướng dẫn) phương pháp thử chọn sau : Giải : - Tuổi ông năm gấp 4,4 lần tuổi cháu Để tuổi ông số tự nhiên tuổi cháu phải có số tận - 10 năm trước tuổi ông gấp 11,2 lần tuổi cháu nên tuổi cháu phải lớn 10 - Ông ước sống đến 100 tuổi, năm tuổi ông nhỏ 100 (tức 4,4 lần tuổi cháu nhỏ 100) Vậy tuổi cháu năm nhỏ 25 Từ nhận xét trên, ta suy tuổi cháu 15 20 + Nếu cháu 15 tuổi ông 15 x 4,4 = (tuổi) 10 năm trước cháu tuổi, ông 56 tuổi : 56 : = 11,2 (lần) (thoả mãn đề bài) + Nếu cháu 20 tuổi ông : 20 x 4,4 = 88 (tuổi) 10 năm trước cháu 10 tuổi, ông 78 tuổi : 78 : 10 = 7,8 (lần) (loại) Vậy năm ông 66 tuổi cháu 15 tuổi Đáp số : Ông : 66 tuổi ; Cháu : 15 tuổi V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tuổi dì Nga năm gấp 2,4 lần tuổi lần tuổi , 15 năm trước tuổi dì Nga gấp 6,6 lần tuổi Lan Tính tuổi dì Nga Lan Tuổi bố gấp 9,4 lần tuổi con, 25 năm sau tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi Tính tuổi bố Tuổi mẹ gấp 3,4 lần tuổi Mười năm trước tuổi mẹ gấp 8,2 lần tuổi Hỏi tuổi mẹ gấp lần tuổi con? *Dạng : Một số toán khác *Với dạng toán áp dụng cách thức tiến hành tương tự dạng toán Ví dụ : Năm mẹ 38 tuổi, trai 12 tuổi, gái tuổi Hỏi năm sau tuổi mẹ tổng số tuổi hai ? Giải : Tổng số tuổi hai : 12 + = 19 (tuổi) Tuổi mẹ tuổi hai : 38 - 19 = 19 (tuổi) Mỗi năm người tăng thêm tuổi nên năm mẹ tăng thêm tuổi hai tăng thêm tuổi Do đó, năm tuổi hai tăng so với tuổi mẹ : - = (tuổi) 15 Muốn tuổi mẹ tổng số tuổi hai cần số năm : 19 : = 19 ( năm) Tuổi mẹ lúc : 38 + 19 = 57 (tuổi) Đáp số : 19 năm ; Mẹ : 57 tuổi Chú ý : Đây dạng toán « Tìm hai số biết hai hiệu số » Ví dụ : Anh em tuổi Tuổi anh gấp rưỡi tuổi em lúc tuổi anh tuổi em Tính tuổi anh tuổi em Giải : Coi tuổi em trước phần : - Tuổi anh trước : phần + tuổi - Tuổi em : phần + tuổi - Tuổi anh : phần + + = phần + tuỏi - Vì (1phần + tuổi) 1,5 phần nên 0,5 phần tuổi Suy phần : : 0,5 = 12 (tuổi) Vậy tuổi em : 12 + = 15 (tuổi) Tuổi anh : 15 + = 18 (tuổi) Đáp số : Anh : 18 tuổi ; Em : 15 tuổi Chú ý : Cách giải cách giải đơn vị quy ước V BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Năm ông 76 tuổi, mẹ 38 tuổi, anh 12 tuổi 10 tuổi Đố bạn tuổi ông tổng số tuổi ba mẹ tôi? Lúc mẹ tuổi? Nam hỏi chú: “Chú ơi! Năm tuổi?” Chú trả lời: “Năm 1995tuổi tổng chữ số năm sinh chú.” Hãy tính xem năm (2008) tuổi? Tính tuổi hai anh em, biết 62,5% tuổi anh 75% tuổi em tuổi 50% tuổi anh 37,5% tuổi em tuổi Biện pháp : Rèn kỹ phân tích đề phân loại toán tuổi Việc rèn kỹ phân tích đề phân loại toán việc làm quan trọng giải toán nói chung giải toán tính tuổi nói riêng Không hiểu đề, không nắm dạng toán không học sinh giải toán Vì loại toán hướng dẫn học sinh giải trọng rèn kỹ phân tích đề phân loại toán Làm việc học sinh có kĩ thuận tiện nhiều giải toán Ví dụ : Tuổi trung bình cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh lớp 5C 12 Nếu không tính tuổi cô giáo chủ nhiệm tuổi trung bình 30 học sinh 11 Hỏi cô giáo chủ nhiệm tuổi ? *Phân tích đề : - Học sinh đọc thầm đề nhiều lần - Yêu cầu học sinh tìm hiểu đề Cụ thể : + Dữ kiện biết : Tuổi trung bình cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh 12 Tuổi trung bình 30 học sinh 11 16 + Dữ kiện cần phải tìm : Tuổi cô giáo chủ nhiệm - Học sinh tìm mối quan hệ kiện toán : + Nếu không tính tuổi cô giáo chủ nhiệm tuổi trung bình 30 học sinh 11 nên tuổi trung bình cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh tuổi trung bình 30 học sinh + Vì tuổi cô giáo chủ nhiệm tổng tuổi trung bình 30 học sinh với 31 tuổi - Học sinh nêu cách giải khác toán Cách : Áp dụng phương pháp « Sơ đồ đoạn thẳng « ta có lời giải sau : Tuổi trung bình 30 học sinh : 1tuổi Tuổi trung bình cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh Số tuổi 30 học sinh 30 phần Số tuổi cô giáo chủ nhiệm và1tuổi 30 học sinh: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 31 phần Vì tuổi cô giáo chủ nhiệm gồm : Tuổi trung bình 30 học sinh 31 tuổi Suy : Tuổi cô giáo chủ nhiệm : 11 + 31 = 42 (tuổi) Đáp số : 42 tuổi Cách : Tổng số tuổi cô giáo chủ nhiệm 30 học sinh : (30 + 1) x 12 = 372 (tuổi) Tổng số tuổi 30 học sinh : 30 x 11 = 330 (tuổi) Tuổi cô giáo chủ nhiệm : 372 - 330 = 42 (tuổi) Đáp số : 42 tuổi *Nhận dạng toán : - Việc nhận dạng toán khâu quan trọng, có nhận dạng toán em tìm cách giải Vì thường cho học sinh nhận dạng toán sau em tìm hiểu, phân tích đề Nhưng có sau học sinh giải (trường hợp em làm tương đối thục dạng toán đó) Biện pháp : Tổ chức thực nghiệm sư phạm rút kinh nghiệm : Với cách phân loại toán trình bày, tổ chức thực nghiệm sư phạm trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi đơn vị trường Tiểu học Nga An Với dạng toán thường tổ chức thực nghiệm sau : - Thứ : Củng cố, cung cấp hướng dẫn để học sinh nhận nhớ lại kiến thức có liên quan đến dạng 17 - Thứ hai : Tổ chức hướng dẫn cho học sinh giải số toán có tính chất điển hình cho loại - Thứ ba : Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết làm, khai thác, khái quát hoá toán, dạng toán - Thứ tư : Tổ chức cho học sinh làm kiểm tra nhiều hình thức : trình bày miệng, trắc nghiệm kiểm tra 15 phút, 90 phút em tham gia học bồi dưỡng buổi Trên sở làm học sinh, giáo viên rút kinh nghiệm cho dạy Ví dụ : Khi dạy cho học sinh dạng toán trung bình cộng tiến hành sau : *Thứ : - Yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc tìm số trung bình cộng, công thức có liên quan : Tìm số trung bình cộng n số biết n số ; biết số trung bình cộng n số tìm tổng n số - Hướng dẫn để học sinh nhận thấy : + Số tuổi hai người không thay đổi theo thời gian + Một số cho trung bình cộng số lại số số trung bình cộng tất số cho + Cho số a, b, c số chưa biết x Nếu cho biết x lớn trung bình cộng số a, b, c, x n đơn vị số trung bình cộng số tìm sau : Số trung bình cộng số a, b, c, x = (a + b + c + n) : Nếu cho biết x bé trung bình cộng số a, b, c, x n đơn vị số trung bình cộng số tìm sau : Số trung bình cộng số a, b, c, x = (a + b + c - n) :3 *Thứ hai : Tổ chức cho học sinh giải toán điển hình loại (cách xếp tập phải theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao) Ví dụ : Tuổi trung bình cộng hai anh em nhiều tuổi em tuổi Hỏi anh em tuổi ? Ví dụ : Một lớp ghép trường Dân tộc nội trú có bạn chơi thân với Trong : Nga tuổi, Mai 10 tuổi, Hùng 12 tuổi tuổi Đức tuổi trung bình bốn bạn tuổi Hỏi Đức tuổi ? Ví dụ : Tuổi trung bình cộng cầu thủ đội bóng đá lớn tuổi so với tuổi trung bình 10 cầu thủ (không tính tuổi đội trưởng) Hỏi tuổi đội trưởng nhiều tuổi trung bình toàn đội ? *Với tập nêu thường hướng dẫn em tìm cách giải ví dụ Sau em tự rút cách giải dạng toán vận dụng làm tập Tiếp giáo viên tổ chức cho em chữa để củng cố cách giải dạng toán Thứ ba : Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết làm, khai thác, khái quát hoá toán, dạng toán 18 Ví dụ : Sau học sinh giải xong tập ví dụ 2, giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra xem kết làm thoả mãn yêu cầu toán chưa, tìm thêm cách giải khác (nếu có) hướng dẫn học sinh khai thác toán sau : Em đề toán tương tự áp dụng trung bình cộng số Biết số 8, 10 , 12 Đề : Xóm em có ba bạn chơi thân với Hồng, Hoa Mai Năm Hồng tuổi, Hoa 10 tuổi Mai có số tuổi nhiều trung bình cộng số tuổi bạn tuổi Hỏi Mai tuổi ? Thứ tư : Kiểm tra, đánh giá việc hiểu học sinh : Giáo viên toán tương tự học sinh vừa làm lớp khác số để học sinh luyện tập thêm nhà ; đề kiểm tra 15 phút với yêu cầu tái lại vừa học, kiểm tra tiết với kiến thức tổng hợp C KẾT LUẬN I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : Sau áp dụng cách dạy vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi năm học qua, thu số kết sau : Điểm Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - Dưới SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 10 10 20 30 30 TSHS 10 Qua trình thực đề tài, thân rút số học kinh nghiệm sau : Về cách chọn học sinh để bồi dưỡng : - Thông qua học lớp hoạt động chữa tập, kiểm tra có yêu cầu nâng cao, giáo viên phát học sinh có khiếu học toán Biểu tiếp thu nhanh, hăng hái phát biểu ý kiến, diễn đạt dễ hiểu theo ý mình, có cách giải hợp lí, nhanh biết kiểm tra kết qua việc thử lại làm - Bên cạnh giáo viên cần bồi dưỡng, rèn luyện thêm cho em tính cẩn thận, chịu khó, chăm Có em có khả tiếp cận vươn xa Lựa chọn nội dung phương pháp : - Lựa chọn nội dung bồi dưỡng phải đảm bảo yêu cầu nâng cao phải vừa sức học sinh tuỳ vào đối tượng học sinh mà vận dụng để lựa chọn nội dung cho phù hợp phải đảm bảo phát huy tối đa khả tư duy, óc sáng tạo học sinh - Vận dụng triệt để đổi phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động học sinh Tạo điều kiện cho học sinh tự học, tự tìm tòi, tự rút cách giải 19 giúp em nhớ lâu kiến thức sở sau em học tập nghiên cứu kiến thức cao - Hạn chế tối đa việc giảng giải giáo viên Cách tổ chức : - Phát bồi dưỡng học sinh giỏi từ lớp với việc thêm nhiệm vụ cho em Tiến hành bồi dưỡng lúc, nơi với nhiều hình thức hoạt động nội khoá, hoạt động ngoại khoá - Khuyến khích động viên khen thưởng kịp thời học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi - Quan tâm giáo dục em niềm say mê học toán, yêu thích toán Đó yêu cầu thiết yếu dịnh thành công công tác bồi dưỡng II KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT : Do điều kiện thời gian lực có hạn nên chắn không tránh khỏi hạn chế định Vì mong nhận góp ý đồng nghiệp, đồng chí giáo viên giàu kinh nghiệm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đồng chí cán quản lí để đề tài hoàn chỉnh Bên cạnh đề nghị Nhà trường - Phòng giáo dục cần tăng cường việc tổ chức chuyên đề đổi phương pháp dạy học, đặc biệt chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi xin chân thành cảm ơn ! Nga An ngày 18 tháng năm 2011 Người thực Mai Thị Nguyệt 20 ... Phân dạng toán tính tuổi Trong nội dung phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, với chuyên đề tìm tòi, nghiên cứu phân dạng để dạy cho học sinh Vì nghĩ dạy theo dạng học sinh nắm vững... sau: Tuổi trung bình 10 cầu thủ: Tuổi trung bình 11 cầu thủ: Số tuổi 10 cầu thủ Số tuổi 11 cầu thủ: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi Vì tuổi đội trưởng gồm: Tuổi. .. giáo chủ nhiệm và 1tuổi 30 học sinh: 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 1tuổi 31 phần Vì tuổi cô giáo chủ nhiệm gồm : Tuổi trung bình 30 học sinh 31 tuổi Suy : Tuổi cô giáo chủ nhiệm