SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT- BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung I Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) là: (3,0đ) 2x    x  m  x  (m  3)x  m   1 , với x  1 x 1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m2  2m  13  (đúng m )  0.m    x1  x  m  Gọi x1 , x nghiệm phương trình (1), ta có:  x1x  m  Giả sử A  x1 ;  x1  m  , B x ;  x  m   x1  x  Khi ta có: AB  PA   x1  2   x  2  2 , 2 Phương trình cho tương đương với  x     f '  t   3t   0, t Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến 0,5 0,5 0,5 x    2x     x  1 x   x   2x   2x  (1) 0,5  m 1 Vậy giá trị cần tìm m  1, m  5  m2  4m     m  5 II  x  1 1, ĐKXĐ:  (3,0đ)  x  13 Xét hàm số f  t   t  t ; 0,5 0,5 PB   x  2   x  m  5   x     x1   Suy PAB cân P 2 Do PAB  PA  AB 2 2   x1     x     x1  x    x1  x    x1  x   6x1x   0,5  x1  2   x1  m  5 Điểm 0,5 0,5 Khi đó: Pt(1)  f    x 1  f  2x   x   2x  1  x   x   x    x        x    1 x   x  13   2x  12 x3  x  x        x    0,5 0,5 Đối chiếu ĐKXĐ nghiệm phương trình cho là: 1 x  II x  2, ĐKXĐ:  (3,0đ) y  0,5 x 2  1  1  x     y    x  y Ta có hệ phương trình cho tương đương với:   2  x  1  y  1  2xy 2  1  1   x     y    u  x   x  y x  , đặt  *   1  1 v  y    x  y    y    x   y   u  v    u  v    Hệ phương trình  *  trở thành   uv  uv  u  v  u  v  3 (I)  (II)  uv  uv    Ta có: u  u   v  v  u  1 u  2   II    v  2  v  1 0,5 0,5 I    Vì u  x   u  nên có x u  u  2  thỏa mãn  v  v     0,5  x   x   u  x  ta có     (thỏa mãn ĐKXĐ) v  y   y     y   x   2  x  1  u  2 x  ta có    1  (thỏa mãn ĐKXĐ) y  v  1  y   1   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x;y  là: 0,5 0,5        1    1   1;  , 1;  ,  1;  ,  1;  2 2       III a2 1, Diện tích đáy SABC  (3,0đ) A' Gọi G trọng tâm tam giác ABC 0,5 B' C' D 0,5 B E A G C BC  AE  BC   AA'E  BC  A'G  Gọi D hình chiếu vuông góc E lên đường thẳng AA' Do BC  DE, AA'  DE Suy DE khoảng cách hai đường thẳng AA' BC DE   DAE  300 Tam giác ADE vuông D suy sin DAE  AE a Xét tam giác A'AG vuông G ta có A'G  AG.tan30  3 a Vậy VABC.A 'B'C'  A'G.SABC  12 Gọi E trung điểm BC Ta có  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 III Gọi B', C', D' giao điểm mp    với 2, (3,0đ) cạnh AB, AC, AD Ta có VAGBC  VAGCD  VAGDB  A D' VABCD (*) B' I B C' D 0,5 G C Vì VAB'C' D '  VAIB'C'  VAIC' D '  VAID ' B' (*) nên VAB'C'D' VAIB'C' V V   AIC'D'  AID'B' VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB 0,5 AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB'    AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB AB AC AD AG BB' CC' DD'     6   3 AB' AC' AD' AI AB' AC' AD' BB' h B CC' h C DD' h D  ,  ,  Mặt khác ta có AB' h A AC' h A AD' h A h h h Suy B  C  D   h B  h C  h D  3h A (**) hA hA hA  0,5 0,5 0,5  h B  h C  h D   3 h B2  h C2  h D2  2   h B  h C    h C  h D    h D  h B   ( ) 2 2 Kết hợp với (**) ta  3h A    h B  h C  h D  Ta có: h 2B  h C2  h D2  h 2A Hay IV Đường tròn  T  có tâm K  3;2  bán kính R  (2,5đ) Ta có AI :x  y  , đường thẳng AI cắt đường tròn  T  A' ( A' khác A ) có tọa độ A nghiệm hệ I  x  3   y    25  x  1  (loại)   y  1  x  y  0,5 0,5 K B C A' x   y  Vậy A'  6;6  Ta có: A 'B  A 'C (*) (Do BA'  CA' ) A'BC  BAI (1) (Vì IAC ) Mặt khác ta có ABI  IBC (2) Từ (1) (2) ta có: BIA'  ABI  BAI  IBC  A'BC  IBA' Suy tam giác BA'I cân A' A 'B  A 'I (**) Từ * , ** ta có A 'B  A 'C  A 'I Do B, I,C thuộc đường tròn tâm A' bán kính A'I có phương trình  x  6   y  6 2  50 2  x   y   25      Suy tọa độ B, C nghiệm hệ  2    x     y    50 Nên tọa độ điểm B,C : (7; 1),( 1;5) Khi I nằm tam giác ABC (TM) Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x  4y  17  V Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (2,5đ) a  4b a  4b  16c   a  b  c 3 Đẳng thức xảy a  4b  16c 3  Suy P  2a  b  c abc 3 Đặt t  a  b  c, t  Khi ta có: P   2t t 3 3 Xét hàm số f  t   với t  ta có f '  t     2t 2t t 2t t 3 f ' t       t 1 2t t 2t a  ab  abc  a  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bảng biến thiên t f ' t   f t   + 0,5   Do ta có f  t    t 0 3 t   16 a  21  a  b  c   Vậy ta có P   , đẳng thức xảy   b  21 a  4b  16c   c  21  16  Vậy giá trị nhỏ P   a,b,c    , ,   21 21 21  - - Hết - Chú ý: - Học sinh giải cách khác cho điểm phần tương ứng - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm 0,5 ... thẳng AA' Do BC  DE, AA'  DE Suy DE khoảng cách hai đường thẳng AA' BC DE   DAE  300 Tam giác ADE vuông D suy sin DAE  AE a Xét tam giác A'AG vuông G ta có A'G  AG.tan30  3 a Vậy VABC.A... DAE  AE a Xét tam giác A'AG vuông G ta có A'G  AG.tan30  3 a Vậy VABC.A 'B'C'  A'G.SABC  12 Gọi E trung điểm BC Ta có  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 III Gọi B', C', D' giao điểm mp    với 2,... 2t t 3 f ' t       t 1 2t t 2t a  ab  abc  a  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bảng biến thi n t f ' t   f t   + 0,5   Do ta có f  t    t 0 3 t   16 a  21  a  b