SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 05 câu 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 3( 12 − 3) b) Tìm m để đường thẳng y = (m − 1)x + song song với đường thẳng y = 2x +  x + 2y = 5x − 2y = c) Giải hệ phương trình:  Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x + 2(m + 2)x + 4m − = (1) (x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh với giá trị tham số m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1), tìm m để x12 + x 22 = 30 Câu (1,5 điểm) Một ô tô dự định từ bến xe A đến bến xe B cách 90 km với vận tốc không đổi Tuy nhiên, ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định Để đến bến xe B ô tô tăng vận tốc lên km/h so với vận tốc dự định Tìm vận tốc dự định ô tô Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Từ điểm C nằm đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm, M nằm C N) Gọi H giao điểm CO AB a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp b) Chứng minh CH.CO = CM.CN c) Tiếp tuyến M đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự E F Đường vuông góc với CO O cắt CA, CB theo thứ tự P, Q Chứng minh · · POE = OFQ d) Chứng minh: PE + QF ≥ PQ Câu (0,5 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a - Hết - SƠ LƯỢC LỜI GIẢI http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Câu (2,5 điểm) a) A = 3( 12 − 3) = 3(2 − 3) = 3 = b) Đường thẳng y = (m − 1)x + song song với đường thẳng y = 2x + khi: m − = ⇒m =3  3 ≠  x + 2y = 6x = 12 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ c)  5x − 2y = 2y = − x 2y = y = Câu (2,0 điểm) Xét phương trình: x + 2(m + 2)x + 4m − = (1) (x ẩn số, m tham số) a) Với m = 2, ta có pt: x + 8x + = Do a – b + c = – + = nên pt có nghiệm: x1 = −1; x = −7 b) +) Do a = ≠ ∆ ' = (m + 2) − (4m − 1) = m + > ∀m ⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt +) x12 + x 22 = 30 ⇔ (x1 + x ) − 2x1x = 30 (*) Do x1, x2 hai nghiệm pt (1), theo Viet: x1 + x = −2(m + 2); x 1.x = 4m − 2 Từ (*) suy ra: 4(m + 2) − 2(4m − 1) = 30 ⇔ m + 2m − = ⇔ m ∈ { −3; 1} (tmđk) Câu (1,5 điểm) - Gọi vận tốc ô tô dự định từ A đến B x (km/h), đk: x > ⇒ vận tốc ô tô thực tế từ A đến B x + (km/h) Thời gian ô tô hết quãng đường AB với vận tốc dự định là: Thời gian ô tô hết quãng đường AB là: 90 (h) x +5 90 90 1 − = (*) (đổi 12 phút = h) x x +5 5  x1 = 45 (tm) - Từ (*), ta có: x + 5x − 2250 = ⇔   x = −50 (loai) Ta có phương trình: - Vậy: Vận tốc dự định ô tô 45 km/h Câu (3,5 điểm) a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp Có: · CAO = 900 · · ⇒ CAO + CBO = 1800 ⇒  · = 900 CBO AOBC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CH.CO = CM.CN +) CM: ∆CAO vuông A, AH ⊥ CO suy CA = CH.CO (2) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 90 (h) x · ·  CM CA CAM = CNA ⇒ ∆CAM : ∆CNA ⇒ = ⇒ CM.CN = CA (3) +) Có:  µ CA CN  C − Chung Từ (2) (3) suy : CH.CO = CM.CN · · c) Chứng minh POE = OFQ · · · · · · · +) OFQ = OCF + COF = OCP + COF = AOP + COF 1· · · · · · · +) POE = POA + AOE = AOP + AOM = AOP + (1800 − AEM) 2 · 1 · · · · · = AOP + 900 − (ECF + CFE) = AOP + 90 − (180 − AOB) − (180 − MFB) 2 1· · · · · · · · = AOP + AOB − (180 − 180 + MOB) = AOP + COB − BOF = AOP + COF 2 · · Vậy: POE = OFQ d) Chứng minh: PE + QF ≥ PQ +) Áp dụng BĐT Cô si: PE + QF ≥ PE.QF (4) · · · · +) CM: ∆CPQ cân C ⇒ OPE kết hợp POE suy ∆PEO : ∆QOF = FQO = OFQ PE PO PQ = ⇒ PE.QF = PO.QO = ( ) (5) QO QF Từ (4) (5) suy ra: PE + QF ≥ PQ Câu (0,5 điểm) ⇒ +) Ta có: T.tự: 3a + 2ab + 3b = (a − b) + 2(a + b) ≥ 2(a + b) = (a + b) 3b + 2bc + 3c ≥ (b + c) ; 3c + 2ca + 3a ≥ 2(c + a) Suy ra: P ≥ 2(a + b + c) +) Áp dụng BĐT Cô si: a + b + c = (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) − ≥ a + b + c − = 2.3 − = Vậy: P ≥ a = b;b = c;c = a  P = ⇔  a = 1; b = 1; c = ⇔ a = b = c =   a + b+ c =3 KL: Pmin = ⇔ a = b = c = • Có thể cm a + b + c ≥ cách sau: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với số: (1; a ), (1; b), (1; c) ta có: ( a + b + c Dấu “=” xảy ) ≤ 3(a + b + c) ⇒ 32 ≤ 3(a + b + c) ⇒ a + b + c ≥ a b c = = 1 Có sai sót mong thày cô giáo Phạm Văn Điện-Trường THCS Gia Lạc-Gia Viễn-Ninh Bình http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ... + b + c ≥ a b c = = 1 Có sai sót mong thày cô giáo Phạm Văn Điện-Trường THCS Gia Lạc-Gia Viễn -Ninh Bình http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77