Thầy Hồng Hải-0966405831 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831 CHUYÊN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Lý thuyết Hệ số góc tiếp tuyến k  tan     : y  kx  b tiếp tuyến (C) Khi k hệ số góc tiếp tuyến k định ng với  góc tạo chiều dương trục Ox phần đường thẳng    nằm phía Ox Lưu ý: * VABO cân k  1 *    qua A, B  k AB  y A  yB  xA  xB  xA  xB Ý nghĩa hình học đạo hàm M   C  , tiếp tuyến M có hệ số góc k  f '( xM )  Tiếp tuyến M có dạng:    : y  k  x  xM   yM Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831 Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị  C  : y  f ( x)  C ' : y  g  x   f  x  g  x  C  tiếp xúc  C '     f ' x  g ' x có nghiệm x Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm; Hệ  Đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x    f  x   kx  m có nghiệm x  f ' x  k      Ox : y  tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x    f  x  có nghiệm x    f ' x  II Các dạng toán Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  f  x  Tại điểm M  x0 ; y0  đồ thị B1: TXĐ B2: Tính y '  ?  k  y '  x0  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0 B3: Kết luận Bài mẫu : Cho hàm số y  x  3x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết điểm A ( -1; 7) B1: TXĐ: B2: Tính y '  3x2   y '(1)  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) A  1;7  là: y  y '  1 x  1   y  B3: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  Tại điểm có hồnh độ x0 đồ thị Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 B1: TXĐ B2: Tính y0  f  x0  B3: Tính y '  y '  x0  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0 B4: Kết luận x2  x  Bài mẫu: Cho hàm số y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M 3x  có hồnh độ B1: TXĐ: 12   1  1 B2: Tính y 1    M 1;  3.1   4  x  1  3x  1  x  x  x  1 3x2  x  B3: Tính y '    y '(1)     2 2 16 3x  1 3x  1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M là: 1 1 y  y '  1 x  1   y    x  1   y   x  8 B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  8 Tại điểm có tung độ y0 đồ thị B1: TXĐ B2: Giải phương trình f  x   y0  x0 B3: Tính y '  y '  x0  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0 B4: Kết luận Bài mẫu: Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  x3  3x điểm có tung độ - B1: TXĐ: x  B2: Cho y  2  x3  3x  2  x3  3x     x  Có điểm có tung độ -2 thuộc đồ thị (C) M1 1; 2  M  2; 2  B3: Tính y '  3x  x Tại M1 1; 2  ta có: y ' 1  3.12  6.1  3  tiếp tuyến (C) M là:  d1  : y  y ' 1 x  1   y  3  x  1   y  3x  Tại M  2; 2  ta có: y '    3.22  6.2  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831  tiếp tuyến (C) M là:  d2  : y  y '  2 x     y  2 B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  d1  : y  3x   d2  : y  2 Tại giao điểm đồ thị với trục tung Oy B1: TXĐ B2: Thay x  vào hàm số  y0  y   B3: Tính y '  y '   Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M  0; y0  là: y  y '  0 x  0  y0  y  y '   x  y0 B4: Kết luận Bài mẫu: Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  x 1 giao điểm  C  với trục x 1 tung B1: TXĐ: \ 1 B2: Cho x   y    B3: Tính y '  11  x  1  1  1  giao điểm (C) với Oy A  0; 1 1  x  1  y '  0  Tiếp tuyến (C) A  0; 1  d  : y  y '  0 x  0   y  x  B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  d  : y  x  Tại giao điểm đồ thị với trục hoành Ox B1: TXĐ B2: Giải phương trình y  f  x    x0 B3: Tính y '  y '  x0  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M  x0 ;0  là: y  y '  x0  x  x0    y  y '  x0  x  x0  B4: Kết luận Bài mẫu: Cho y  x3  x2  5x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục hoành B1: TXĐ:  x  2 B2: Cho y   x3  x  x      x  1 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 Suy  C  có hai giao điểm với trục hoành M1  2;0  M  1;0  B3: Tính y '  3x2  8x   y '  2   , y '  1  Do phương trình tiếp tuyến với  C  điểm M , M là: d1 : y   x     d1 : y  x  , d2 : y   x  1   d2 : y  B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm d1 : y  x  d2 : y  Tại điểm đặc biệt Bài mẫu 1: Cho hàm số y  x  mx  m  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cố định B1: TXĐ: B2: Gọi (x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số ta có: y0  x03  mx02  m  m  ( x02  1)m  x03   y0  m   x0    x02    y0     A 1;0  , B  1; 2  hai điểm cố định (C)   x  1  x0   y0  0    y0  2 B3: Tính: y’ = 3x + 2mx Ta có y '(1)   2m Do phương trình tiếp tuyến (C) A(1; 0) là: y  (2m  3)( x  1)  hay y  (2m  3) x  (2m  3) Tương tự , y '(1)   2m  phương trình tiếp tuyến (C) B(-1 ; -2 ) là: y  (3  2m)  x  1  hay y  (3  2m)  x  1  2m  B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y  (2m  3) x  (2m  3) y  (3  2m)  x  1  2m  Bài mẫu 2: Cho hàm số  C  : y  x3  3x2  Viết phương trình tiếp tuyến (  ) với đồ thị  C  điểm uốn đồ thị CMR (  ) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ B1: TXĐ: B2: Tính y '  x  x, y ''  12 x  y ''   12 x    x   y   2    U  ;   điểm uốn đồ thị Ta viết phương trình tiếp tuyến  C  U 2 2 1 1 1 3 B3: Tính y '        phương trình tiếp tuyến  C  U  ;   2 2 2 2 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831    : y  y '   1 3 1 3  x     y    x     y   x  2 2 2 2   B4: Bảng biến thiên y’ 1 Từ bảng biến thiên ta thấy y '  y '      tiếp tuyến U có hệ số góc nhỏ 2 3 B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm    : y   x  Bài mẫu 3: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d (C) CMR: số tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn a > có hệ số góc nhỏ B1: TXĐ: B2: Tính y '  3ax2  2bx  c, y ''  6ax  2b  a   y ''   6ax  2b   x   b 3a  b  b2  U   ;   c  điểm uốn đồ thị  3a 3a  Vì a  nên ta có bảng biến thiên y’ sau: Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 b2  b   b  Từ bảng biến thiên ta thấy y '  y '       c  y '  y '    ¡ 3a  3a   3a  B3:  Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn nhỏ   Bài mẫu 4: Cho  Cm  : y  mx   3m   x  Gọi A B điểm có 24   hoành độ 1  Cm  Tìm m để tiếp tuyến  Cm  A B vng góc với B1: TXĐ: 1 1  B2: Tính y '  x   4mx3   6m   x  y '  1  10m  y '    44m  12 12   hệ số góc tiếp tuyến A B  Cm  B3: Các tiếp tuyến  Cm  A B vng góc với  1   y '  1  y '    1   10m   44m    1 12  6   m  16 71 24  440m2  m  0   72  m   71  1320 B4: Vậy m   71 m  thỏa mãn đề 1320 24 1  Bài mẫu 5: Cho hàm số y  (2m  1) x   m   x  m  Tìm m để tiếp tuyến đồ thị 4  hàm số điểm có hồnh độ x  1 vng góc với đường thẳng  d  : y  x  B1: TXĐ: 1 1   B2: Tính y '  4(2m  1) x3   m   x  y '(1)  4(2m  1)   m    6m  4 4   y  1   Phương trình tiếp tuyến  1;0  là:    : y   6m   9 9  9   ( x  1)     : y   6m   x   6m   2 2  2  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 9  B3: Theo đề  d        6m    1  6m   m  2  B4: Vậy m  thỏa mãn đề Bài mẫu 6: Cho hàm số  Cm  : y   3m  1 x  m2  m Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm xm số giao điểm với trục Ox song song với đường thẳng  d  : y  x  B1: TXĐ: \ m B2: Cho y    3m  1 x  m2  m   x  m2  m  1  ĐK : m    3m   3  m2  m  ;0  Suy  C   Ox  M   3m   B3: Tính y '   3m  1 m  m2  m  4m2 2  x  m  x  m 4m2  3m  1  m2  m   3m  1 4m  y '    2 4m  3m    m  m  1 4m      3m    Phương trình tiếp tuyến M     3m  1 :y 4m 2  m2  m  x    3m      m  1   3m  12  1  m   m  B4:    / /  d     m   2   3m  1   m  m       4m m  1, m   , m   3m     B5: Vậy m   thỏa mãn đề 2x Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M x 1 cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB Viết phương trình tiếp tuyến M Bài mẫu 7: Cho (C): y  B1: TXĐ: \ 1 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 B2: Tính y '   x  1 Giả sử M  x0 ; y0   y0   tiếp tuyến (C) M là:  d  : y  x0 ; y '( x0 )  x0  ( x0  1)2 x0 x  x0    x  ( x0  1)2 y  x0   ( x0  1) x0   A( x0 ;0)  xA   x0 2  x  ( x  1)  x  d  Ox  A    A  0 B3:    x0    x0  2 d  Oy  B y  B 0; 2.0  ( x  1) y  x     B ( x  1)   ( x  1)  B      1 Nhận xét VABO vuông  SVABO  OA.OB   x0   y0   x0  x0   x0 2  x0   x0  ( x0  1)      x0    y0  2 ( x0  1)  x0  x0      Vậy M1   ; 2  M 1;1 thỏa mãn đề      1  1 B4: M1   ; 2  , y '       1  : y   x    tiếp tuyến M1 2    2  1 1     : y   x  1      : y  x  tiếp tuyến M 2 2 1    B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm  1  : y   x    M1   ; 2  2    1  2  : y  x  M 1;1 2 M 1;1 , y ' 1  Bài mẫu 8: Cho hàm số  C  : y  x3   m  1 x   m  1 x  Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt A(1;0) ,B,C cho tiếp tuyến B,C song song với B1: TXĐ: Tính y '  3x   m  1 x   m  1 B2: x3   m  1 x2   m  1 x     x  1  x2  mx  1   A 1;0  , B  x1;0  , C  x2 ;0  với x1 , x2 nghiệm phương trình x2  mx      0m  Áp dụng định lý Vi-ét ta có x1  x2  m B3: Xét B: y '  x1    x1    m  1 x1   m  1  Phương trình tiếp tuyến B là:  1  : y  y '( x1 )  x  x1  Xét C: y '  x2    x2    m  1 x2   m  1  Phương trình tiếp tuyến C là:  2  : y  y '( x2 )  x  x2  B4:  1  / /    2  3x1   m  1 x1   m  1  3x2   m  1 x2   m  1    x1  x2  1    Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831   y '  1  24     : y  24  x  1      : y  24 x  15 x  1    y  1  9 B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm    : y  15 21    : y  24 x  15 x 4 Bài mẫu 2: Cho hàm số  C  : y  3x  x3 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(1; 3) B1: TXĐ: B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A 1;3 có hệ số góc k    : y  k ( x  1)  3  3x  x  k ( x  1)  B3:    tiếp xúc (C)    3  12 x  k 1 có nghiệm  2 Thay (2) vào (1) ta có 3x  x3  (3  12 x )( x  1)   3x  x3  3x   12 x  12 x  x   x  12 x    x    k  y '        : y   x        : y  3x x0     y  0     3 k  y '    24 3       : y  24  x        : y  24 x  27 x   2   y    9      B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm    : y  3x    : y  24 x  27 x2  x  Bài mẫu 3: Cho hàm số: (C ) : y  CMR: Có hai tiếp tuyến (C) qua A(1; 0) x 1 vng góc với B1: TXĐ: B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A 1;0  có hệ số góc k    : y  k ( x  1) Ta có: y  x2  x  1  x 1 x 1 x 1 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831 B3:      x   x   k ( x  1) (1) tiếp xúc (C)   có nghiệm 1   k (2)  ( x  1) Thay (2) vào (1) ta có x 1  1  x 1 x 1  1  ( x  1)  x    x 1   20  x   ( x  1)  x 1 ( x  1) x  ( x  1)  3  x  x   x   2( x  x  1)    2x2  x     ( x  1)  3  x   2  x1   x2        1  1  3  1 1  k1        2 62 3  3        3  1  k2    1   2 6 3  3    1    B4: Ta có k1.k2    1  5  1  5 1   1 2  Hai tiếp tuyến A vng góc với Bài mẫu 4: Cho  C  : y  x3  3x  12 x  Tìm điểm thuộc  C  mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ B1: TXĐ: B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua O  0;0  có hệ số góc k    : y  kx  2 x  3x  12 x   kx B3:    tiếp xúc (C)    6 x  x  12  k 1  2 có nghiệm Thay (2) vào (1) ta có x3  3x2  12 x    x  x  12  x  x3  3x    x  1 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831  k   1   1  12  12 B4: x  1       : y  12 x y (  1)      12    12         Suy M  1;12  tiếp điểm    với  C  B5: Vậy điểm cần tìm M  1;12  Bài mẫu 5: Cho  C  : y  1 x Chứng minh qua điểm I  1; 1 không tồn tiếp tuyến x 1  C  B1: TXĐ: \ 1 Tính y '  2  x  1 B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua I  1; 1 có hệ số góc k    : y  k ( x  1)  1  x  x   k ( x  1)   B3: Xét hệ điều kiện tiếp xúc    với (C)  2  k   x  1 1  2 Thay (2) vào (1) ta có 1 x 2 1 x 2 x   ( x  1)       x  2  x   4  (vô lý) x   x  1 x 1 x 1 x 1  Hệ phương trình vơ nghiệm  không tồn tiếp tuyến (C) qua I Bài mẫu 6: Cho hàm số: y  (2  x ) (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(0; 4) B1: TXĐ: B2: Phương trình đường thẳng qua A(0;4) có dạng: y  kx  (d ) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ   x  x   kx  1 có nghiệm Thay (2) vào (1) ta  x  x  k     x4  x2    x3  8x  x   x (3x  4)  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831  x   k    : y    16 16  x  k    : y  x4 9   2 16 16 x  k    : y  x4 9  16 16 x4, y  x  4, y  9 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước B3: Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm y  Bài mẫu 1: Cho  C  : y  x2  3mx  Tìm m để  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  B1: TXĐ: Tính y '  8x  3m   y '( x0 )  x0  3m B2: Giả sử M  x0 ; y0    C      y0  x0  3mx0   Phương trình tiếp tuyến với  C  M là:    : y  y '  x0  x  x0   y  x0      : y  8x0  3m  x  x0   x02  3mx0  B3:  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2   8x0  3m 1  x0   x02  3mx0   2 có nghiệm x0  8x02  8  3m  x0  3m  x02  3mx0   có nghiệm x0  x02  8x0  3m   có nghiệm x0   '  16  4(3m  8)   12m  48   m  4 Vậy  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  m  4 B4: Vậy m  4 thỏa mãn đề Bài mẫu 2: Tìm m cho  C  : y  B1: TXĐ: \ m  1 Tính y '  xm có tiếp tuyến qua điểm A  0; 2  x 1 m 1 m  m  x   m   x 1  m Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831   y '( x0 )   x0   m   B2: Giả sử M  x0 ; y0    C     y  x0  m  x0   m  x0  m  1  Phương trình tiếp tuyến với  C  M là:    : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y   x0   m   x  x0   x0  m x0   m B3:  C  có tiếp tuyến qua A  0; 2   x0   m    x0   x0  m  2 có nghiệm x0  m  x0   m  x0   x0  m  x0   m   2  x0   m  có nghiệm x0  m   3x02  2(2  3m) x0  3m2  5m   có nghiệm x0  m   '    3m 2   3m  5m      3  m  1  2(2  3m)  m  1  3m2  5m   4  12m  9m  9m  15m    2 3m  6m   4m   6m  6m  3m  5m    3m   m     m    m  B4: Vậy m  m  thỏa mãn đề 3 Tìm m để từ điểm kẻ n tiếp tuyến đến đồ thị Bài mẫu 1: Cho  C  : y  2x 1 Tìm đường thẳng x  điểm mà qua có tiếp x2 tuyến  C  B1: TXĐ: \ 2 Tính y '  5  x  2 Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831   y '( x0 )   x0    B2: Giả sử M  x0 ; y0    C     y  x0   x0   x0    Phương trình tiếp tuyến với  C  M là:  : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y  5  x0    x  x0   x0  x0  B3: Điểm A nằm đường thẳng x   tọa độ A có dạng A  3; a  Qua A có tiếp tuyến tới  C   5  x0     x0   x0   a có nghiệm x0  x0   15  5x0  x02  x0  x0   ax02  4ax0  4a có nghiệm x0    a  2 x02  1  2a  x0   4a  17   (*) có nghiệm x0  TH1: a    a  Khi phương trình (*) trở thành 10 x0  21   x0  21 10 TH2: a    a  Khi * có nghiệm x0   2a  12   a   4a  17     a    1  2a    4a  17   4a  4a   4a  17 a  8a  34   4a    8a  4a  17  5a  35   a7 5    B4: Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán A  3; a  a  Bài mẫu 2: Cho hàm số:  C  : y   x3  3x  Tìm điểm thuộc (C) mà qua kẻ tiếp tuyến đến (C) B1: TXĐ: Tính y '  3x  x B2: Giả sử M  x0 ; y0    C   y0   x03  3x0  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831  Phương trình tiếp tuyến với  C  M có dạng:    : y  k  x  x0   x03  3x0  B3:  C  có tiếp tuyến qua A 1; 2  Đường thẳng    tiếp tuyến (C) M 3   x  3x   k ( x  x0 )  x0  3x0  1 có nghiệm   2  3x  x  k Thay (2) vào (1) ta  x3  3x    3x  x  ( x  x0 )  x03  3x02    3x  x  ( x  x0 )   x  x0   x  xx0  x0    x  x0  x  x0    x1  x0  ( x  x0 )(2 x    x0  x  x  3x0 )     x2   x0  B4: Điểm M thoả mãn yêu cầu khi:  x0 x1  x2  x0   x0  B5: Vậy, (C) tồn điểm M0( 1; 0) mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C) 2 x2 điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ hai x 1 tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía so với trục Ox Bài mẫu 3: Cho hàm số:  C  : y  B1: TXĐ: \ 1 Tính y '  3  x  1 B2: Phương trình đường thẳng qua A  0; a  có dạng:  d  : y  kx  a x2  x   kx  a 1 Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C)   có nghiệm  3  k  2  ( x  1) Thay (2) vào (1) ta x2 3   x  a  x  x   3x  ax  2ax  a x  ( x  1)2  (a  1) x2  2(a  2) x  a   (*) (x=1 không nghiệm) B3: Qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) (*) có hai nghiệm phân biệt  a  a  a      3(a  2)  a  2   '   a    (a  1)(a  2)  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831  x    x2   B4: Gọi  x1 ;  ,  x2 ;  tiếp điểm Vì x1 , x2 nghiệm (*) nên áp dụng x2    x1    2(a  2)   x1  x2  a   2t  a2 định lý Vi-ét ta có  t   a 1   x x  a   t  a  Hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh x  x2  x x  2( x1  x2 )   0 0 x1  x2  x1 x2  ( x1  x2 )    t  t  4t  5t   0 0 t   t  2t  1 t  a2 t 1 1   a 1   a  a 1 a 1 4 a2 4 9a  2 t    0  a  a 1 5(a  1) 2 B5: Vậy a   a  thoả mãn đề Bài mẫu 4: Cho hàm số y  x  x  x  (C) Từ điểm đường thẳng x  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Tính y '  3x2  12 x  B2: Gọi điểm B  2; b  điểm nằm đường thẳng x  B1: TXĐ: Phương trình đường thẳng qua B(2; b) có dạng:  d  : y  k ( x  2)  b Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C )   x  x  x   k ( x  2)  b 1 có nghiệm  x  12 x   k     Thay (2) vào (1) ta x3  x  x   (3x  12 x  9)( x  2)  b  x3  x  x   3x  x  12 x  24 x  x  18  b  b  x3  12 x  24 x  17 (*) Số tiếp tuyến cần tìm số nghiệm phương trình (*) B3: Xét hàm số y  x  12 x  24 x  17 TXĐ: Tính y '  x2  24 x  24  6( x  2)2  0, x  ¡  hàm số đồng biến ¡ Vì hàm số cho ln đồng biến nên đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số : y  x  12 x  24 x  17 điểm hay phương trình (*) có nghiệm B4: Vậy từ điểm nằm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 Bài mẫu 5:Cho hàm số y  x2  x 1 (C) Tìm điểm trục tung mà từ kẻ x 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) B1: TXĐ: \ 1 Viết lại y  x   1 Tính y '   x 1  x  1 B2: Gọi B(0; b)  Oy  Phương trình đường thẳng qua B có dạng:  d  : y  kx  b Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C)    x   x   kx  b  x   x   kx  b 1 có nghiệm   có nghiệm  1 x 1 1  k  kx  k     ( x  1) x 1 Trừ (1) cho (2) ta b 3 k 3  bk   x 1 x 1 b 3 k  (3)  x   Do hệ   1   k (4)  ( x  1) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm thỏa mãn (4) b   k 0  k  b     2 k  2(b  1)k  (b  3)   (*) 1  ( b   k )  k   B3: Yêu cầu toán thoả mãn phương trình (*) có hai nghiệm khác b + 2  b  1 4b    '  (b  1)  ((b  3)  4)       2  4b   b  2 (b  3)  2(b  1)(b  3)  (b  3)   B4: Vậy điểm trục tung có tung độ bé -1 khác -2 từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) x Bài mẫu 6: Cho hàm số  C  : y  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị x 1 hàm số CMR: khơng có tiếp tuyến qua I B1 : TXĐ : \ 1 B2 : lim y  lim x 1 x 1 x x  , lim y  lim    x  1 tiệm cận đứng x 1 x 1 x  x 1 x   y  tiệm cận ngang x 1  Giao điểm hai đường tiệm cận là: I(-1; 1) B3: Phương trình đường thẳng qua I(-1; 1) có dạng:    : y  k  x  1  lim y  lim x  x  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831  x  x   k ( x  1)  1 Đường thẳng    tiếp tuyến đồ thị (C )   có nghiệm  k  2  ( x  1) Thay (2) vào (1) ta x x  ( x  1)      x  x  (vô nghiệm) x  ( x  1) x 1 x 1 B4: Vậy không tồn tiếp tuyến (C) qua giao điểm đường tiệm cận Dạng tốn khác Tìm tất cặp điểm đồ thị hàm số x 1 (C) mà tiếp tuyến song song với Bài mẫu 1: Cho hàm số:  C  : y  x  B1: TXĐ: \ 1 Tính y '   ( x  1) B2: Gọi M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y )  (C ) x1  1, x2  1, x1  x2 Để tiếp tuyến (C) M1 , M song song với  x1     x2  1  x1  x2  2 1       x  x (l ) ( x1  1)2 ( x2  1)2   x1   x2  B3: Vậy M1, M2 đối xứng với qua giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm số tiếp tuyến song song với Loại 4: Điều kiện tiếp xúc y' ( x1 )  y' ( x2 )   Bài mẫu 1: Cho  C  B1: TXĐ: B2: 2m  1 x  m2  :y x 1 \ 1 Tính  C   C  tiếp xúc với  d  : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d 2m  1 x  m2  :y x 1 d hệ sau có nghiệm x  2m  1 x  m2  x  x  1   2m  1 x  m  x   y ( x)  x x 1  x  m        y '( x)   m     x   m   x   x    1 Do hệ có nghiệm Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831  m   m   m       2m  1 m  m  m  m  1 m nghiệm 1 m  ¡  m      2m 1  m   2  m       2m  1  m   m2    m 1  m   2  m nghiệm 1  m    B3: Vậy  C  tiếp xúc với d  m  Bài mẫu 2: Cho  C  : y  x3  x   C ' : y  x  x  Chứng minh  C   C ' tiếp xúc viết phương trình tiếp tuyến chung B1: TXĐ: 5 Ký hiệu f  x   x3  x   f '  x   3x  g  x   x2  x   g '  x   x  4   f  x  g  x B2: Xét hệ:  I     f ' x  g ' x  x    x  x   2 x x  0   x  x   x  x  1   I        x  x 2 3x   x  3x   x    x     4  x    Vậy  C   C ' tiếp xúc điểm có hồnh độ  1 g     1     B3:   phương trình tiếp tuyến chung là: y   x    hay y  x  2  g '      Bài mẫu 3: Chứng minh đường thẳng y  kx  m tiếp tuyến  P  : y  ax  bx  c ( a  ) phương trình ax2  bx  c  kx  m 1 có nghiệm kép B1: TXĐ: B2: 1  ax2   b  k  x  c  m  (    b  k   4a  c  m  ) Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 Do đó: 1 có nghiệm kép      b  k   4a  c  m   ax  bx  c  kx  m B3: Đường thẳng  P  cho tiếp xúc   có nghiệm x 2ax  b  k ax   b  k  x   c  m     k b x  2a  Hệ có nghiệm  x  1  2 có nghiệm x k b nghiệm 1 2a k b  k b   a  c  m     b  k   2a  2a  b  k  4a b  k   2a  c  m    b  k   4a  c  m    1 có nghiệm kép (đpcm) Bài mẫu 4: Cho  C  : y  B1: TXĐ:  2m  1 x  m2 x 1 d : y  x Tìm m để  C  tiếp xúc với d \ 1  f  x   x B2:  C  tiếp xúc với d   có nghiệm x  f '  x    2m  1 x  m2  x  x  1   2m  1 x  m  x  x 1  x  m  Ta có hệ      m     x   m   x   x    1 Do hệ có nghiệm  m   m     m nghiệm 1  2m  1 m  m  m  m  1    2m 1  m         2  m laø nghiệm 1  2m  1  m   m    m 1  m     m     m  ¡  m   m     m  B3: Vậy  C  tiếp xúc với d  m  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831 Loại 5: Tiếp tuyến hàm bậc (Xem phần 2) Loại 6: Tiếp tuyến hàm bậc nhất/bậc (Xem phần 2) Loại 7: Tiếp tuyến hàm trùng phương(Xem phần 2) Loại 8: Casio tiếp tuyến(Xem phần 2) Bài tập tự luận Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết rằng: 1)  C  đồ thị hàm số y  x  x  hoành độ tiếp điểm ; 2)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  tung độ tiếp điểm ; x  3x  tiếp điểm giao điểm  C  với trục tung; x 1  19  4)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x2  tiếp tuyến qua A  ;  ;  12  3)  C  đồ thị hàm số y  5)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x  tiếp tuyến qua A  1;  ĐS: 1) y  24 x  43 ; y  , y  x  ; 3) y  x  ; 4) y  12 x  15 , y   21 645 , x 32 128 y  ; 5) y  , y   x  4 Bài Cho y  x  x  C  1) Tìm trục tung điểm mà qua kẻ tiếp tuyến tới  C  ; 2) Tìm điểm đường thẳng y  mà qua kẻ tiếp tuyến tới  C  ĐS: Những điểm cần tìm có dạng A  0; a  với a  ; 2) Những điểm cần tìm có dạng   A  a;3 với a  ;     3;  Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết 1)  C  đồ thị hàm số y  x3  3x2  5x  , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 2)  C  đồ thị hàm số y   x3  x  5x  , tiếp tuyến có hệ số góc lớn ĐS: 1) y  x  ; 2) y  x  Bài Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết 1) [ĐHB06]  C  đồ thị hàm số y  x2  x 1 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x2 d : y  x  ĐS: y   x  2  , y   x  2  Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hồng Hải-0966405831 2)  C  đồ thị hàm số y 1 2x tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x 1 d : x  y   ĐS: y  4 x  Bài Tìm tất điểm đồ thị  C  hàm số y  x3  x  mà tiếp tuyến 3  4 vng góc với đường thẳng d : y   x  ĐS:  2;0   2;  3  3 T Bài Cho y  mx3   m  1 x   3m   x   Cm  Tìm điều kiện m để  C m  có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  2012 ĐS: m  m   240 48 1  Bài Cho y  mx    2m  x   Cm  Tìm m để tiếp tuyến  Cm  điểm có 2  hoành độ tạo với góc có cơ-sin 13 ĐS: m  m   240 48 3 x Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cách x4 A  4; 1 khoảng 1 25 ĐS: y  7 x  15 , y  7 x  43 , y   x  , y   x  7 7 x 1 Bài Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết khoảng cách từ điểm 3x   1 I   ;  tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn ĐS: y  x  , y  x   3 x2 Bài 10 Cho y   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt 2x  trục tọa độ điểm A , B cho tam giác OAB cân O ĐS: y   x  Bài 11 Cho y  x3  x  1  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ điểm A , B cho trung trực đoạn thẳng AB qua gốc tọa độ O ĐS: y   x  , y   x  2 2x 1 Bài 12 Cho đồ thị hàm số y  ,viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp x 1 tuyến đồ thị hàm số cách điểm A(2;4) ,B(-4;-2) Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm lớp- Live.edu.vn Thầy Hoàng Hải-0966405831 ĐS: y=x+1, y=x+5 , y= x  4 Bài 13 Cho đồ thị hàm số (C ) : y  x3  3x  Tìm đồ thị hàm số (C ) hai điểm A B cho tiếp tuyến hai điểm song song với đồng thời đường thẳng qua điểm A B vuông góc với đường thẳng (d) có phương trỡnh d: x+y-5=0 ĐS: A(2;4) & B(-2;0) Bài 14 Cho hàm số y  x3  3x2  mx  a Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E b Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho D E vng góc với  65 ĐS: m