Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I Vector không gian Định nghĩa phép toán Định nghĩa, tính chất, phép toán vector không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C ta có AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có AB  AD  AA'  AC ' + Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho M trung điểm đoạn AB, C điểm tùy ý Ta có: MA  MB  CA  CB  2CM + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, D điểm tùy ý Ta có: GA  GB  GC  DA  DB  DC  3DG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, E điểm tùy ý Ta có: GA  GB  GC  GD  EA  EB  EC  ED  4EG + Điều kiện phương hai vector: Hai vector a b khác vector không phương !k  R : b  ka Sự đồng phẳng ba vector Ba vector hai vector phương gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện đồng phẳng ba vector a, b, c hai vector phương !m, n  R : c  ma  nb Nếu ba vector a, b, c không đồng phẳng, vector d tùy ý biểu diễn qua ba vector Nói cách khác, tồn ba số (m; n; p) cho d  ma  nb  pc Đây sở thiết lập hệ tọa độ vector không gian ba chiều Tích vô hƣớng hai vector Góc hai vector không gian: Cho hai vector a, b tùy ý khác không; lấy điểm A, B, C cho ˆ AB  a, AC  b (a, b)  BAC Tích vô hƣớng hai vector không gian: a.b  a b cos(a, b) Khi đó, a  b  a.b  II Hệ tọa độ không gian Hệ tọa độ vuông góc Oxyz – tọa độ vector Nếu chọn i, j, k ba vector đơn vị hướng theo chiều dương ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz ba số (x, y, z) thỏa mãn vector a biểu diễn dạng a  xi  yj  zk tọa độ vector a Khi ta viết a = (x; y; z) Phép toán vector không gian Cho a = (a1; a2; a3) b = (b1; b2; b3) (i) a  b  (a1  b1;a  b ;a  b3 );a  b  (a1  b1;a  b ;a  b ) (ii) k a = (ka1; ka2; ka3) a1  b1  (iii) a  b  a  b a  b  a1  kb1  (iv) a, b phương !k  R : a  kb  a  kb a  kb  a a a Nếu b1b2b3 ≠ điều kiện trở thành   b1 b2 b3 (v) a, b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a  b a1b1 + a2b2 + a3b3 = Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn (vi) a  a12  a 22  a 32 ; (vii) cos(a, b)  a  a12  a 22  a 32 a1b1  a b2  a 3b3 a12  a 22  a 32 b12  b22  b32 Tọa độ điểm không gian Định nghĩa: M(x; y; z) OM = (x; y; z) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB, yB, zB) (i) AB  (x B  x A , y B  y A , z B  z A ) AB = (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A ) x A  x B yA  yB zA  z B ; ; ) 2 x  x B  x C yA  yB  yC z A  z B  z C ; ; ) (iii) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC: G( A 3 Tích có hƣớng hai vector: Tích có hướng hai vector a, b vector c vuông góc với hai vector cho ba vector (ii) Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M( đặt chung gốc tạo thành tam diện thuận c  a b sin(a, b) Kí hiệu: c  [a, b]  a  b Cho a = (a1; a2; a3) b = (b1; b2; b3) a a a a1 a1 a ; ; ) = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) Khi đó: [a, b]  ( b b3 b3 b1 b1 b Tính chất ứng dụng: (i) [i, j]  k; [ j, k]  i; [k, i]  j (ii) [a, b]  ↔ a, b phương (iii) Điều kiện đồng phẳng ba vector a, b, c [a, b].c  (iv) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = | [AB, AD] | (v) Diện tích tam giác ABC: SABCD  [AB, AD] (vi) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: V = | [AB, AD].AA' | (vii) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  [AB, AC].AD Phƣơng trình mặt cầu Phương trình tắc mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² Phương trình tổng quát: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = với a² + b² + c² – d > Bán kính R = a  b2  c2  d Bài Viết tọa độ vector sau a  2i  j b  i 2j c  3i  j  k Bài Cho a = (2; –3; 3), b = (0; 2; –1), c = (1; 3; 2) Tìm tọa độ vector u với a u  2a  3b  4c b u  a  2b  c Bài Tìm tọa độ vector u , biết a a  u  với a = (–1; 2; 1) b a  2u  b với a = (3; 2; –1) b = (1; 4; 1) Bài Cho a = (2; –1; 2), b = (2; 0; 1) a Tìm y, z cho c = (–2; y; z) phương với a b Tìm x, y cho u = (x; y; 3) phương với b c Tìm vector c vuông góc với a b , đồng thời có độ lớn Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn d Tính cos( a, b ) Bài Cho a = (1; –1; 1), b = (3; 0; –1), c = (2; 2; –1) Tìm u  (a.b).c Bài Tính góc hai vector sau a a = (2; 1; 2) b = (–1; 2; 0) b a  (1; 3;2 3) b = (0; 4; 3) c a = (–2; –1; 2) b = (0; 1; –1) Bài Cho a = (3; 3; 2), b = (4; 3; –5), b = (1; 1; –1) Tìm vector u thỏa mãn điều kiện sau: a a.u  2;b.u  0;c.u  1 b u  a, u  b, u.c  5 Bài Cho hai vector a = (3; –2; 1) b = (2; 1; –1) Tìm m để ma  3b 3a  2mb phương Bài Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 6; 4), c = (m; n; 1) Tìm m, n cho c  [a, b] Bài 10 Cho a = (1; –3; 2), b = (m + 1, m – 2, – m), c = (0; m – 2; 2) Tìm m để ba vector đồng phẳng Bài 11 Cho a = (1; 0; 1), b = (0; –1; 1), c = (1; 1; 0), u = (8; 9; –1) a Chứng minh a, b, c không đồng phẳng b Biểu diễn u theo ba vector a, b, c Bài 12 Cho M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx Bài 13 Cho M(3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz qua trục Oy Bài 14 Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b Tìm tọa độ trọng tâm G ΔABC c Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành d Tìm tọa độ trực tâm ΔABC e Tính chu vi diện tích ΔABC f Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A ΔABC Bài 15 Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: a A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0), C(3; 1; –1) b A(1; 0; 2), B(–2; 1; 1), C(1; –3; –2) Bài 16 Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) a Chứng minh A, B, C, D lập thành tứ diện b Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện c Tính thể tích khối tứ diện ABCD d Tính diện tích ΔBCD suy đường cao tứ diện ABCD hạ từ A Bài 17 Cho điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a Chứng minh SA vuông góc với (SBC), SB vuông góc với SC b Chứng minh S.ABC hình chóp c Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H S mặt phẳng (ABC) Từ tính chiều cao SH Bài 18 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a Chứng minh SA, SB, SC đôi vuông góc b Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện c Vẽ SH vuông góc với (ABC) H Gọi H’ điểm đối xứng H qua S Chứng minh H’ABC tứ diện Cách lập phương trình mặt cầu: Cách 1: Tìm tâm bán kính viết theo phương trình tắc: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² Cách 2: Viết phương trình dạng tổng quát mặt cầu: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = sử dụng điều kiện hay điểm cho trước tìm a, b, c, d Bài 19 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a x² + y² + z² – 8x + 2y + = b x² + y² + z² + 4x + 8y – 2z – = c x² + y² + z² – 6x + 2y – 2z + 10 = d 2x² + 2y² + 2z² + 12x – 6y + 30z – = Bài 20 Viết phương trình mặt cầu có a Tâm I(1; –3; 5) bán kính R = b Tâm I(0; 3; –2) qua điểm A(2; 1; –3) c Đường kính AB với A(3; –2; 1) B(1; 2; –3) Bài 21 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) b A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Bài 22 Viết phương trình mặt cầu có a Tâm thuộc mặt phẳng Oxz qua điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1) b Có tâm I(–5; 1; 1) tiếp xúc với mặt cầu (T): x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z + = Bài 23 Xét vị trí tương đối hai mặt cầu sau a (S1): x² + y² + z² – 8x + 4y – 2z – = (S2): x² + y² + z² + 4x – 2y – 4z + = b (S1): x² + y² + z² – 2x + 4y – 10z + = (S2): x² + y² + z² – 4x – 6y + 2z – = c (S1): x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z – = (S2): x² + y² + z² – 6x + 4y – 2z – = Bài 24 Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu: a (S1): x² + y² + z² – 4x – 2y + 6z – 50 = (S2): x² + y² + z² – 8x + 4y – 6z – m² – 4m + 25 = b (S1): (x + 2)² + (y – 2)² + (z – 1)² = 25 (S2): (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = (m – 1)² Bài 25 Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –1) Tìm tập hợp điểm M cho a MA² + MB² = b MA = 2MB Bài 26 Tìm tập hợp tâm mặt cầu sau a (S): x² + y² + z² + 2x – 2y + 2(m + 1)z + m² + m + = b (S): x² + y² + z² + 2(m – 1)x + 4(m – 2)y – 2mz + 17 = III Phƣơng trình mặt phẳng Vector pháp tuyến – vector phương Vector khác không vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) giá n vuông góc với mặt phẳng (α) Vectơ khác không vectơ phương mặt phẳng (α) giá u song song với mặt phẳng (α) Nếu cặp vectơ phương (α) a, b vectơ pháp tuyến (α) n  [a,b] Phương trình mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = với A² + B² + C² > Khi đó: n = (A, B, C) vectơ pháp tuyến mặt phẳng Mặt phẳng (P) qua điểm M(xo; yo; zo) nhận n = (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình (P): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = Nếu mặt phẳng (α) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) x y z cho abc ≠ phương trình mặt phẳng    Đây phương trình theo đoạn chắn a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α): A1x + B1y + C1z + D1 = (β): A2x + B2y + C2z + D2 = (α), (β) cắt [n1 , n ]  (α), (β) song song [n1 , n ]  D1n  D2 n1 (α), (β) trùng [n1 , n ]  D1n  D2 n1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = Ax o  Byo  Cz o  D d(M, α) = A  B2  C Góc tạo hai mặt phẳng Góc tạo hai mặt phẳng góc nhọn bù với góc tạo hai pháp tuyến Cho hai mặt phẳng (α): A1x + B1y + C1z + D1 = (β): A2x + B2y + C2z + D2 = Góc tạo (α), (β) góc φ thỏa mãn A1A  B1B2  C1C2 cos φ  A12  B12  C12 A 22  B22  C22 Vị trí tương đối điểm mặt phẳng Một điểm nằm mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng Hai điểm A(x1; y1; z1) B(x2; y2; z2) nằm hai phía mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Ax1 + By1 + Cz1 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) < Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² có tâm I(a; b; c) bán kính R Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn d(I, α) < R Khi bán kính đường tròn giao tuyến r = R  d (I, α) mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) d(I, α) = R mặt phẳng (α) (S) không giao d(I, α) > R Phương trình tiếp diện mặt cầu Mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² điểm M(xo; yo; zo) nhận IM = (xo – a; yo – b; zo – c) làm vectơ pháp tuyến (α): (xo – a)(x – xo) + (yo – b)(y – yo) + (zo – c)(z – zo) = R² hay (α): (xo – a)(x – a) + (yo – b)(y – b) + (zo – c)(z – c) = Bài 27 Viết phương trình mặt phẳng (P) a (P) qua điểm M(3; 1; 1) có vectơ pháp tuyến n = (1; –1; 2) b (P) mặt phẳng trung trực AB với A(2; 1; 1) B(2; –1; 3) c (P) qua điểm M(1; 2; –3) có cặp vectơ phương a = (2; 1; 2), b = (3; 2; –1) d (P) qua M(–1; 1; 0) song song với mặt phẳng (β): x – 2y + z – 10 = e (P) qua hai điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + 3z – = f (P) qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3) g (P) qua điểm A(2; –4; 0) vuông góc với đoạn thẳng BC, có B(5; 1; 7) C(3; 1; 5) h (P) qua M(1; 0; –2) vuông góc với hai mặt phẳng (α): 2x + y – z – = 0, (β): x – y – z – = i (P) qua điểm M(1; 2; –3), chứa giao tuyến hai mặt phẳng (α): 2x – 3y + z – = 0, (β): x – 2y + z – = Bài 28 Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến hai mặt phẳng (P): y + 2z – = 0, (Q): x + y – z – = vuông góc với mặt phẳng (R): x + y + z – = Bài 29 Định m, n để hai mặt phẳng sau song song a (P): x + my – 2z + = (Q): 2x + 4y + 4nz – = b (P): 2x + y + 3z – = (Q): 4mx – 3y – 3nz – = Bài 30 Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc a (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – = (Q): mx + (m – 1)y + 4z – = b (P): x + my – z + = (Q): mx + 2y – mz – 12 = Bài 31 Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – = điểm M(–2; –4; 5) a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M (P) c Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P) Bài 32 Cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z + = (Q): 2x – 4y + 6z + = a Chứng minh (P), (Q) song song b Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P), (Q) Bài 33 Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = đoạn d = Bài 34 Cho hai mặt phẳng (P): 3x + 6y – 3z + = (Q): x + 2y – z + = a Chứng minh (P)//(Q) b Tìm tập hợp điểm cách (P) (Q) c Tìm tập hợp điểm M cho d[M, (P)] = 2d[M, (Q)] Bài 35 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + = cách điểm A(2; –1; 4) đoạn Bài 36 Tính góc hai mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = (Q): y – z = Bài 37 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) biết a I(1; 5; 2) (P): 2x + y + 3z + = b I(1; 1; 2) (P): x + 2y + 2z + = Bài 38 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm M biết a (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = M(4; –3; 1) b (S): x² + y² + z² – 6x – 2y + 4z + = M(1; 2; –4) Bài 39 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (Q) biết a (S): x² + y² + z² – 6x + 4y + 2z – 11 = (Q): 4x + 3z – 17 = b (S): x² + y² + z² – 2x – 4y + 4z = (Q): x + 2y + 2z + = Bài 40 Cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a Viết phương trình mặt tứ diện ABCD b Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD c Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng (BCD) d Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh AB e Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD f Tính bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 41 Cho điểm A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) D(1; 3; 3) a Chứng minh ABCD tứ diện b Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) c Tính góc cặp mặt phẳng (ABC) (ABD), (BCD) (ACD) IV Phƣơng trình đƣờng thẳng Phƣơng trình tham số tắc đƣờng thẳng: Phương trình tham số đường thẳng qua M(xo; yo; zo) có vectơ phương u = (a, b, c) có dạng  x  x o  at  (d):  y  y o  bt (t  R) z  z  ct o  x  x o y  yo z  z o   Nếu abc ≠ phương trình tắc đường thẳng (d): a b c Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình  x  x1  a t  x  x  a 2s   d1:  y  y1  b1t (t  R) d2:  y  y  b 2s (s  R) z  z  c t z  z  c s 1 2   Ta có u1 = (a1; b1; c1), u = (a2; b2; c2) vectơ phương (d1), (d2) Trên (d1) lấy điểm M1(x1; y1; z1), (d2) lấy điểm M2(x2; y2; z2) d1 // d2 [u1 , u ]  [M1M , u1 ]  [u1 , u ]  d1 cắt d2  [u1 , u ].M1M  [u1 , u ]  d1 trùng d2  [M1M , u1 ]  d1 d2 chéo [u1 , u ].M1M  Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng  x  x o  at  Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = đường thẳng (d):  y  y o  bt (t  R) z  z  ct o  Giả sử (d) ∩ (α) = M M thuộc (d) nên M(xo + at; yo + bt; zo + ct) Mặt khác M thuộc (α) nên ta có phương trình A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = (theo ẩn t) (*) (d) // (α) phương trình (*) vô nghiệm (d) cắt (α) phương trình (*) có nghiệm (d) thuộc (α) phương trình (*) có nghiệm với t Vị trí tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu Xét đường thẳng (Δ) mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R (Δ) (S) điểm chung d(I, Δ) > R (Δ) (S) tiếp xúc d(I, Δ) = R (Δ) (S) cắt hai điểm phân biệt d(I, Δ) < R Để tìm giao điểm (Δ) (S) lập phương trình tham số Δ sau thay (x; y; z) theo t vào phương trình mặt cầu giải giá trị t Sau suy tọa độ giao điểm Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng Cho đường thẳng (Δ) qua Mo có vectơ phương a điểm M đường thẳng Δ | [MM o , a] | d(M, Δ) = |a| Góc hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có vectơ phương a1 , a Góc d1, d2 góc nhọn bù với góc hai vectơ phương a a cos(a1 , a )  a1 a Cách lập phương trình đường thẳng: cần tìm điểm mà đường thẳng qua xác định vectơ phương Vectơ phương tạo thành từ hai điểm đường thẳng qua từ tích có hướng hai vectơ pháp tuyến, tìm từ quan hệ vuông góc song song Bài 42 Viết phương trình đường thẳng d biết a (d) qua M(1; 2; –3) có vectơ phương a = (1; –3; 2) b (d) qua hai điểm A(2; 1; 0) B(0; 1; 2) c (d) qua điểm A(3; 2; –4) song song với Ox x  y5 z 2   d (d) qua điểm A(4; –2; 2) song song với đường thẳng Δ: e (d) qua điểm A(3; 2; 1) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 5y + = f (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P): 2x + y – z + = (Q): x + y + z – = x 1 y  z 1 x 1 y  z      g (d) qua điểm A(1; 0; 5), vuông góc với (d1): (d2): 2 1 3 x y 1 z  h (d) qua điểm A(1; 2; –2), vuông góc cắt đường thẳng Δ:  1 x 1 y  z  x y z     i (d) qua điểm A(2; 1; –1) cắt đường thẳng Δ1: , Δ2: 1 Bài 43 Viết phương trình đường thẳng d biết x   t x 1 y z    d2:  y   2t a (d) nằm mặt phẳng (P): x + 2z = 0; cắt đường thẳng d1: 1 z   x y 1 z 1 x 1 y z 1 x  y 1 z 1       , cắt đường thẳng d1: d2: 1 2 1 1 x  y 1 z  x 1 y  z 1     c (d) đường thẳng vuông góc chung d1: d2: 1 1 x  y  z 1   d (d) hình chiếu vuông góc đường thẳng Δ: lên mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + =  x  1 x 1 y  z    cắt d2:  y  t e (d) qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với d1: 1 z   t  Bài 44 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1) a Viết phương trình đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (ABD) b Viết phương trình đường thẳng qua A qua trọng tâm tam giác BCD Bài 45 Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2; 5); phương trình hai đường trung tuyến d1: x 3 y 6 z 3 x4 y2 z2     d2: 2 1 4 a Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh ABC b Viết phương trình đường phân giác góc BAC Bài 46 Cho tam giác ABC có A(3; –1; –1), B(1; 2; –7), C(–5; 14; –3) b (d) song song với Δ: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a Viết phương trình đường trung tuyến AM b Viết phương trình đường cao BH c Viết phương trình đường phân giác góc ABC d Viết phương trình đường trung trực cạnh BC ΔABC Bài 47 Cho bốn điểm S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5) a Chứng minh S.ABC tứ diện b Viết phương trình hình chiếu vuông góc SA, SB lên mặt phẳng (ABC) Bài 48 Cho điểm S(1; 2; –1), A(3; 4; –1), B(1; 4; 1), C(3; 2; 1) a Chứng minh SABC tứ diện b Viết phương trình đường vuông góc chung SA, BC c Viết phương trình đường cao hạ từ S tứ diện SABC Bài 49 Cho điểm A(1; 0; 1) đường thẳng d: x/2 = y/1 = z/1 a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A d b Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d x  y  z 1   Bài 50 Cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – = a Tìm tọa độ giao điểm d (P) b Viết phương trình d’ hình chiếu vuông góc d lên mặt phẳng (P) x  y 1 z 1   Bài 51 Cho đường thẳng d: điểm I(4; 2; –1) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I 2 tiếp xúc với (d) Bài 52 Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến (d) (S) biết (d) qua A(0; 0; 5) thuộc (S) (d) song song với mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + = Bài 53 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với cạnh tứ diện ABCD x  y 1 z   Tính khoảng cách từ A đến (d) Bài 54 Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng (d): x  y 1 z x y 1 z 1   d2:   Bài 55 Cho hai đường thẳng d1: 2 2 a Chứng tỏ hai đường thẳng chéo b Tính khoảng cách hai đường thẳng d1 d2 Bài 56 Cho đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + = (Q): 4x – 3y + 4z + = Chứng minh (d) song song với mặt phẳng (α): 2x – y – 2z – = Tính khoảng cách (d) (P) Bài 57 Tính góc hai đường thẳng sau x 1 y  z  x  y3 z     a d1: d2: 1 2 x 1 y 1 x    Bài 58 Cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 10 = Tính góc tạo 2 đường thẳng (d) mặt phẳng (P) Bài 59 Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1) a Tính góc AD mặt phẳng (ABC) b Tính góc AB trung tuyến AM tam giác ACD c Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 60 Cho tứ diện SABC có đỉnh S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5) a Tính góc tạo SC mặt phẳng (ABC) b Tính góc tạo SC AB c Tính khoảng cách từ C đến (SAB) d Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB khoảng cách SA, BC x  y 1 z 1   Bài 61 Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A(1; 4; –3) đường thẳng d: 1 3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 62 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng song song d1: x  y 1 z    x 1 y  z    d2: x y 1 z  x 1 y z      d2: 2 1 1 x  y 1 z x y 1 z 1   d2:   Bài 64 Cho hai đường thẳng d1: Viết phương trình mặt phẳng 2 2 chứa d1 song song với d2 x 1 y  z 1   Bài 65 Cho điểm M(2; 3; 1) đường thẳng d: 2 a Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc M lên (d) b Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d) Bài 66 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H M mặt phẳng (P) điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (P) biết a (P): 2x – y + 2z – = 0, M(2; –3; 5) b (P): x – y + z – = 0, M(2; 1; –1) x 1 y  z    Bài 67 Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) đường thẳng d: 2 a Chứng minh đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b Tìm điểm I thuộc (d) cho IA + IB nhỏ Bài 68 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3) a Chứng minh ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện b Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, B vuông góc với mặt phẳng 2x + 3y – z = c Viết phương trình mặt phẳng qua A chắn nửa trục dương Ox, Oy, Oz K, M, N cho thể tích OKMN nhỏ d Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD e Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (α1): 2x – 3y – z + = cho EA + EB nhỏ f Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng AB lên mặt phẳng (α2): x + 3y – z = g Tính góc tạo đường thẳng AB mặt phẳng (BCD) h Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy qua ba điểm A, B, C i Viết phương trình mặt phẳng qua C, song song với Oy vuông góc với mặt phẳng (α3): x + 2y – 3z = Bài 63 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1: ... (d):  y  y o  bt (t  R) z  z  ct o  Giả sử (d) ∩ (α) = M M thuộc (d) nên M(xo + at; yo + bt; zo + ct) Mặt khác M thuộc (α) nên ta có phương trình A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct)... đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b Tìm điểm I thuộc (d) cho IA + IB nhỏ Bài 68 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3) a Chứng minh ABCD...  a  a12  a 22  a 32 a1b1  a b2  a 3b3 a12  a 22  a 32 b12  b22  b32 Tọa độ điểm không gian Định nghĩa: M(x; y; z) OM = (x; y; z) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB, yB, zB) (i) AB