Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN Ở cấp THCS ta làm quen với định lí quen thuộc tam giác ABC cân có AM vừa trung tuyến vừa đường phân giác.Bài toán chứng minh không khó nhiên câu hỏi đặt có cách để chứng minh toán này.Chắc hẵn có nhiều cách chứng minh toán này.Khi học lớp 12 mày mò, lục lọi, để tìm 20 cách giải cho toán trên, tất nhiên cách giải khác có số cách dựa vào định lí kiến thức  PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ Cách 1: Vì AM phân giác nên 𝑀𝐵 𝐴𝐵 𝑀𝐶 𝐴𝐶 Mặt khác AM trung tuyến nên MB=MC Suy AB=AC,nghĩa tam giác ABC cân Cách 2: Kẻ ME⊥ AB MF⊥AC.Vì AM phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ̂⇒̂ ME=MF.Từ suy MEB= MFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)⇒ ̂ ̂ Vậy ∆ABC cân B Cách A N M C Lấy điểm N thoả mãn r ̂ Và ̂ nên AB=BN (2) ⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1) ̂ Từ (1) (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân ̂ ⇒ ̂ ̂ ⇒∆BAN cân B Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 4: A I B C M Kẻ MI AB, Áp dụng định lí Talet ta có Do MI AB⇒ ̂ ̂ ⇒AB=2MI AC=2AI.(1) ̂ (do AM phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2) Từ (1) (2) ⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách A J E I C B M Kẻ phân giác BE EJ BC Gọi I giao điểm AM BE Theo định lí Talet từ giả thiết: ⇒AB=AC Vì ∆ABC tam giác cân Cách 6: A Kẻ trung tuyến BN gọi G trọng tâm ∆ABC Thế AC=2AN GB=2GN N G Do AG phân giác nên ⇒AB=2AN Do AB=AC=2AN Vậy ∆ABC cân B M C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 7: A E B C M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân M Nên ̂ ̂ ̂ ̂ ̂⇒ ̂ ̂ ⇒Vô lí Vậy AB AC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB Do (1) xảy AB-AC=0 hay AB=AC.Nghĩa tam giác ABC cân Cách 15: Đặt ̂ ̂ Áp dụng định lí sin: Thế mà MB=MC nên từ đẳng thức suy sinB=sinC ⇒̂ ̂ ̂ ̂ Tuy nhiên ̂ ̂ ̂ nên (2) bị loại.Vậy nên (1) tức tam giác ABC cân Cách 16: Đặt ̂ ̂ A Do MB=MC nên diện tích(dt) ∆ABM=dt∆AMC (1) Mà dt∆ABM= Và dt∆ACM= (2) (3) Từ (1) (2) (3) suy AB=AC.Vậy ∆ABC cân B M C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 17: y Trong cách dùng phương pháp gắn B trục toạ độ Gắn A làm gốc toạ độ M A x AM làm trục hoành Trục tung Ay ⊥AM C Vì AM phân giác nên AB AC đối xứng qua AM ⇒Phương trình AB: y=kx ⇒Phương trình AC: y=-kx Gọi B(b,kb) C(c,-kc).Vì M trung điểm BC nên tung độ M y=(kb-kc)/2 Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 18: Gọi H trực tâm tam giác ABC ̂ Trên tia đối tia MA lấy D thoả mãn ̂ A Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có AM.MD=MB.MC= ⇒⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ H ⃗⃗⃗⃗⃗ B M Có điều M trung điểm BC D Nhân vế theo vế hai đẳng thức ta để ý H trực tâm tam giác ABC ta có được:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C Gia sư Thành Được = ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ (2) www.daythem.edu.vn Cộng hai vế (1) (2) suy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⇒M trung điểm DH suy A,H,M,D thẳng hàng ⇒AM đường cao tam giác ABC Nên ∆AMB=∆AMC(g.c.g)⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách 19: ̂ Lấy D tia đối tia MA thoả mãn ̂ A Theo công thức T ta có AM.MD=MB.MC (1) Xét tam giác AMB CMD có ̂ Nên suy ̂ ⇒ ̂ ̂ ̂ ̂ ⇒∆AMB ∆ACD(g.g.g) ⇒ AM.AD=AB.AC (2) Lấy (2)-(1) vế theo vế : AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD= Đặt AB=c,AC=b,BC=a ta có :bc - B M = D Nhưng mà theo công thức đường trung tuyến thì: Thế nên: bc⇒ ⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM phân giác AD.Thế toán ban đầu trường hợp riêng mà AM AD Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1) A Hoàn toàn tương tự cách 19 ta có : AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3) ⇒ Từ tính chất phân giác nên: Từ (1) (2) suy x= Thay vào (3) y= (2) (5) B =bc - D C M AM trung tuyến nên Xét hiệu = Như AM vừa trung tuyến vừa phân giác AM AD Để ý a,b,c cạnh tam giác nên hay b=c Vậy tam giác ABC cân .(4) đúng.Nghĩa (4) xảy  Ta làm ngắn gọn cách sau: Khi mà AM vừa trung tuyến vừa phân giác AM AD⇒DB=DC= ⇒x=y= (6) Từ (5) (6) giải ta ưa kết b=c.Tức Lời kết: hết !!!! 10 BC ân  ... cân B M C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 7: A E B C M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân M Nên... khác ∆AKB ∆AHC (g.g.g)⇒ ⇒ ⇒ Vậy tam giác ABC cân  Tiếp theo ta chứng minh công thức mà ta đặt cho công thức T: (công thức in đậm) ̂ Nếu lấy D tia đối tia MA thoả mãn ̂ = AM.MD= Thật ta có ̂... thì: Thế nên: bc⇒ ⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến