Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác sin² α + cos² α = 1 + tan² α = (α ≠ π/2 + kπ, k số nguyên) cos α 1 + cot² α = (α ≠ kπ, k số nguyên) sin α tan α cot α = (α ≠ kπ/2, k số nguyên) Cung đối cos (–α) = cos α sin (–α) = –sin α tan (–α) = –tan α cot (–α) = –cot α Cung bù sin (π – α) = sin α cos (π – α) = –cos α tan (π – α) = –tan α cot (π – α) = –cot α Cung π sin (π + α) = –sin α cos (π + α) = –cos α tan (π + α) = tan α cot (π + α) = cot α Cung phụ sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α tan (π/2 – α) = cot α cot (π/2 – α) = tan α Công thức cộng cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa tan a  tan b tan a  tan b tan (a – b) = tan (a + b) =  tan a tan b  tan a tan b Công thức nhân hai nhân ba sin 2a = 2sina cosa cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – = – 2sin² a tan a tan 2a =  tan a sin 3a = 3sin a – 4sin³ a cos 3a = 4cos³ a – 3cos a Công thức hạ bậc  cos 2a  cos 2a sin 2a cos² a = sin² a = sina cosa = 2 Công thức biến tích thành tổng cosa cosb = [cos (a – b) + cos (a + b)] sina sinb = [cos (a – b) – cos (a + b)] sina cosb = [sin (a – b) + sin (a + b)] 10 Công thức biến đổi tổng thành tích uv uv uv uv cos sin cosu + cosv = cos cosu – cosv = –2 sin 2 2 uv uv uv uv cos sin sinu + sinv = sin sinu – sinv = cos 2 2 11 Hàm số sin: Hàm số y = sin x có tập xác định R –1 ≤ sin x ≤ 1, với số thực x Hàm số y = sin x hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì 2π sin x = x = kπ, với k số nguyên sin x = x = π/2 + k2π, với k số nguyên sin x = –1 x = –π/2 + k2π, với k số nguyên 12 Hàm số côsin: Hàm số y = cos x có tập xác định R –1 ≤ cos x ≤ 1, với số thực x Hàm số y = cos x hàm số chẵn tuần hoàn với chu kì 2π cos x = x = π/2 + kπ, với k số nguyên cos x = x = k2π, với k số nguyên cos x = –1 x = (2k + 1)π, với k số nguyên Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 13 Hàm số tan: Hàm số y = tan x = sin x có tập xác định D = R \ {π/2 + kπ | k  Z } hàm số lẻ tuần cos x hoàn với chu kì π 14 Hàm số cot: Hàm số y = cot x = cos x có tập xác định D = R \ {kπ | k  Z } hàm số lẻ tuần hoàn sin x với chu kì π 15 Xét tính chẵn, lẻ hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D f(x) hàm số chẵn với x thuộc D –x thuộc D f(–x) = f(x) f(x) hàm số lẻ với x thuộc D –x thuộc D f(–x) = –f(x) Bài Tìm tập xác định hàm số  cos x tan x cot x a y = b y = c y = sin x  cos x sin x  cos x  d y = cot (x + π/3) e y = f y = tan (π/3 – 3x) sin x  tan x  g y = h y =  cos x i y = sin 3x cos x  cos 3x  cos x j y = tan x + cot x k y =  cos x Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a y = + 2sin x – cos 2x b y = + cos 2x + cos x c y = – 3cos x + 2sin² x d y = e y = – 2sin x + cos² x g  2sin x  sin x h y = 3sin (x – π/4) + i y = 3(sin x + cos x) + 2sin 2x Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số a y = sin 2x b y = –2 + 3cos x c y = cos x – sin x d y = tan x sin x e y = cos x – sin |x| f y = cot x |sin x| Bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a (1) Nếu |a| > phương trình (1) vô nghiệm Nếu |a| ≤ 1, gọi α cung thỏa mãn sin α = a, sin x = a sin x = sin α x = α + k2π x = π – α + k2π (k thuộc Z) Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 ≤ α ≤ π/2 sin α = a ta viết α = arcsin a Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian Phương trình cos x = a (2) Nếu |a| > phương trình (2) vô nghiệm Nếu |a| ≤ 1, gọi α góc thỏa cos α = a, cos x = a cos x = cos α x = ±α + k2π, k số nguyên Nếu α thỏa mãn điều kiện ≤ α ≤ π cos α = a ta viết α = arccos a Phương trình tan x = a (3) Điều kiện x ≠ π/2 + mπ, m số nguyên Gọi α cung thỏa mãn tan α = a Khi tan x = a tan x = tan α x = α + kπ, với k số nguyên Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 < α < π/2 tan α = a ta viết α = arctan a Phương trình cot x = a (4) Điều kiện x ≠ ℓπ (ℓ số nguyên) Gọi α cung thỏa mãn cot α = a cot x = a cot x = cot α x = α + kπ, với k số nguyên Nếu α thỏa mãn điều kiện < α < π cot α = a ta viết α = arccot a Bài Giải phương trình sau: a 2cos (3x – π/6) = – b cos(x – 2) = 2/5 c cos (2x + 50°) = cos 20° Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn d (1 + sin x)(3 – cos x) = e tan 2x = tan f tan (3x – 30°) = –1 g cot (4x – π/6) = h sin (3x – 45°) = cos 30° i sin (2x + π/6) = sin x k cos 2x cot x = ℓ cot 2x = tan x m sin 4x – π = q tan (x/2 – π/4) = tan (π/4) r cos 3x = sin 2x s sin 4x sin 2x = Bài Giải phương trình sau: a sin (2x – 1) = sin(x + 3) b sin (3x + 30°) = cos 2x c sin (4x) + cos (5x – π/2) = d 2sin x + sin 2x = e sin² 2x + cos² 3x = f tan 3x = tan (5x + π/4) g sin (2x + 50°) = –cos (x + 120°) h tan (x – π/5) + cot x = Bài MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc hàm số lượng giác Phương trình dạng at + b = (a ≠ 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hàm số lượng giác Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương trình dạng at² + bt + c = (a ≠ 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương trình bậc sin x cos x Phương trình có dạng asin x + bcos x = c (1) Cách giải a b Chia hai vế phương trình (1) cho a  b đặt cos α  ;sin α  2 a b a  b2 c Phương trình (1) trở thành sin(x + α) = (2) a  b2 Giải nghiệm từ phương trình (2) Chú ý: phương trình có nghiệm a² + b² ≥ c² Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d a b c Cách 1: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d (1  cos 2x)  sin 2x  (1  cos 2x) = d 2 b sin 2x + (c – a)cos 2x = 2d – a – c (*) Giải phương trình (*) theo dạng phương trình bậc sin 2x cos 2x Cách 2: Nếu cos x = không nghiệm chia hai vế phương trình cho cos² x ta a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x) (a – d) tan² x + b tan x + c – d = (*) Giải phương trình (*) theo dạng bậc hai hàm lượng giác Nếu cos x = nghiệm phương trình ta có a = d phương trình tương đương với b sin x cos x + c cos² x = a(1 – sin² x) b sin x cos x + c cos² x = a cos² x cos x [b sin x + (c – a)] = (*) Giải nghiệm từ phương trình (*) BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: a 4sin x – = b 3tan x + = c 2cos 3x + = d sin (3x + 1) = sin (π/4) e cos (x + 2π/5) = sin f tan² x – = g sin 2x cos 3x (tan 4x + 1) = h 8sin x cos x cos 2x = i sin 2x = 2cos x j 3tan² x + tan x = k 4sin 2x – sin² 2x = ℓ – 2sin 3x = m cot x + tan x = n cos² 2x = 3/4 o 8cos³ x – = Bài 2: Giải phương trình sau: sin 2x 0 a tan 3x tan x = b cot 2x cot (x + π/4) + = c  cos 2x Bài 3: Giải phương trình sau a 3cos² x – 5cos x + = b 4sin² x – 4sinx – = c cot² x – 4cot x + = d tan² x + (1  3) tan x  = e 5cos² x + 7sinx – = f tan x – 4tan² x + = g sin³ x + 3sin² x + 2sin x = Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn h cos 2x + 9cos x + = i sin² 2x – 2cos² x = –3/4 Bài 4: Giải phương trình sau: a sin x + cos x  b sin x – cos x = d sin 5x + cos 5x = –1 e 3sin x – 4cos x – = j 4cos4 2x + = 7cos² 2x c 2cos x – sin x = f 2sin² x + sin 2x = g sin 5x + cos 5x = cos 13x h sin x – sin 3x – cos x = Bài 5: Giải phương trình sau: a 2sin² x – sin x cos x – cos² x = b 4sin² x – 4sin x cos x + 3cos² x – = c 2cos² x – 3sin 2x + sin² x = d 2sin² x + sin x cos x – cos² x – = e 4sin² x + 3 sin 2x – 2cos² x – = f sin³ x + 2sin² x cos x = 3cos³ x g sin x cos x – sin² x = –1 i 3cos² x + 2sin² x = 5sin x cos x Bài 6: Giải phương trình sau: a cos 3x – cos 4x + cos 5x = b sin 7x – sin 3x = cos 5x c cos 5x cos x = cos 4x d sin x + 2sin 3x = –sin 5x e 2tan x – 3cot x – = f sin² x – cos² x = cos 4x g 2tan x + 3cot x = h cos x tan 3x = sin 5x i 2sin² x + sin 2x – = Bài Giải phương trình sau cos³ x + cos² x + 2sin x – = tan x sin² x – 2sin² x = 3(cos 2x + sin x cos x) sin 2x  cos 2x  cos x  2sin 3x – (1/sin x) = 2cos 3x + (1/cos x)  2sin x 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) sin x + cos x = 4sin³ x sin (3x – π/4) = sin 2x sin (x + π/4) sin³ x.cos 3x + cos³ x.sin 3x = sin³ 4x Gợi ý: sin³ x = (3sin x – sin 3x)/4, cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4 1 7π   4sin(  x) 10 sin x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x sin x sin(x  3π / 2) 11 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – = 12 sin 2x + cos 2x = + sin x – 3cos x 13 2sin x + cot x = 2sin 2x + 14 + sin x + cos x + sin 2x + 2cos 2x = sin x  cos x 1 2(cos x  sin x)  (tan x  cot x) 15 16  sin 2x tan x  cot 2x cot x  17 2sin² (x – π/4) = 2sin² x – tan x 18 sin 2x(cos x  3)  cos3 x  3 cos 2x  8( cos x  sin x)  3  19 cos x = 8sin³ (x + π/6) 20 cos 2x + = 2(2 – cos x)(sin x – cos x) 21 2cos 3x + sin x + cos x = 22 8(cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x) = + 23 sin 2πx + sin πx = 24 sin (2x + 5π/2) – 3cos (x – 7π/2) = + 2sin x sin x  sin 2x  sin 3x  25 sin³ x + cos³ x = 2(sin5 x + cos5 x) 26 cos x  cos 2x  cos 3x 27 (1 – sin x)tan² x = + cos x 28 tan 2x – tan 3x – tan 5x = tan 2x tan 3x tan 5x 4x π 1  29 cos = cos² x 30 2 sin(x  )  sin x cos x 31 2tan x + cot 2x =  32 cos x cot 3x = cos 5x cot x sin 2x 33 sin² x + sin² 2x + sin² 3x = ... cos 3x)/4 1 7π   4sin(  x) 10 sin x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x sin x sin(x  3π / 2) 11 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – = 12 sin 2x + cos 2x = + sin x – 3cos x 13 2sin x... = 2sin 2x + 14 + sin x + cos x + sin 2x + 2cos 2x = sin x  cos x 1 2(cos x  sin x)  (tan x  cot x) 15 16  sin 2x tan x  cot 2x cot x  17 2sin² (x – π/4) = 2sin² x – tan x 18 sin 2x(cos... Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d a b c Cách 1: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d (1  cos 2x)  sin 2x  (1  cos 2x) = d 2 b sin 2x + (c – a)cos 2x = 2d – a – c