SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC: 2016 - 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC PHẦN THI CÁ NHÂN Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu Có hình chữ nhật hình vẽ bên Câu Tìm số hạng thứ dãy số sau 1; 1; 2; 5; 29; Câu Có đôi giày màu xanh 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung hộp Hỏi phải lấy giày (mà không nhìn vào hộp) để chắn có đôi màu Câu Có nhóm bạn rủ câu cá, bạn câu câu tổng số cá câu được, bạn câu nhiều câu tổng số cá câu Biết số cá câu bạn khác Hỏi nhóm bạn có người Câu Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức Câu Giải phương trình x  y  2  x2  x4    2 x  x  y   y Câu Giải hệ phương trình  2  x  xy  y  ( x  y )( y  x) Câu Cho số x, y  thỏa mãn x   Tìm giá trị lớn P  x2  y y Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh AC đường thẳng AD, BM, CE đồng quy điểm K nằm tam giác ( D  BC , E  AB) Biết AKE BKE có diện tích 10m 20m Tính diện tích ABC Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A Biết đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD AB đồng quy Tính AC II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) ab Câu 11 Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn a  b  ab Câu 12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có cạnh đối không song song Gọi F giao điểm AB CD, E giao điểm AD BC; H, G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC BD Đường phân giác góc BED cắt GH điểm I a) Chứng minh IH.BD  IG.AC S b) Cho độ dài CD = 2AB Tìm tỉ số diện tích IAB S ICD Câu 13 Cho hình tròn (C) có bán kính Tìm giá trị nhỏ số nguyên dương k cho với cách vẽ k điểm phân biệt thuộc hình tròn (C) tồn hai điểm k điểm thỏa mãn khoảng cách chúng nhỏ - HẾT Lưu ý: - Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh cần ghi kết quả, không trình bày lời giải - Mọi cách giải khác đáp án, ngắn gọn cho điểm tương ứng Câu Câu Câu Đáp án Đáp số: Số hình chữ nhật (1+2+3+4+5).(1+2+3+4) =150 Cách tính: Xét hình chữ nhật kích thước m.n Đáp số: 750797 Quy luật an   an21  an2 với n  1, n  Điểm 1.0 1.0 Suy a7  a62  a52   a52  a42   a52  750797 Câu Câu Câu Câu Câu Đáp số: 16 Đáp số: Giả sử có n bạn số cá bạn a1  a2   an Ta có 9an  a1  a2   an  7a1  9an  nan ; 7a1  na1  n  Đáp số: x  6, y  Đáp số: x  2; x  Cách giải: Đặt ẩn phụ Đáp số  x; y   1; 1 ;  3;7  594 257 1.0 1.0 1.0 x x x  y  xy 4   ; P  2 2 x y y y y 16 x y  y x 5.16 594 x y x y 255 y 255 257  P  2         257 257 y x y 256 x 256 x 16 16 16 1 x  Đáp số: S ABC  75m Câu 1.0 Đặt t  x  y  Ta có phương trình t  2t    t  Đáp số: Pmax  Câu 1.0 1.0 Ta có 1.0 SAKE AE   , suy SBCE  2SACE SBKE BE M trung điểm AC nên SABM  SCBM , SAKM  SCKM  SBCK  30  SACE  25 Vậy SABC  75m Câu 10 Câu 11 AB 1  AC Sử dụng định lý Ceva hệ thức lượng tam giác vuông ab Do số hữu tỉ a  b số nguyên dương nên từ ab ab ab   a  b số phương ab Do a  b  18  a  b  1; 4;9;16 Đáp số: 1.0 1.0 0.75 Thử lại trường hợp ta có a  2; b  suy số cần tìm 27 E a) Ta có EBD EAC đồng dạng nên đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng Suy ra: EG BD DG DE    EH AC CH EC Câu 12a A B I F C Ta có EDG  ECH (cùng nhìn cung AB)  EDG ECH đồng dạng 0,75 Kéo theo DEG  CEH , suy EI phân giác góc GEH 0,5 BD EG GI    IH BD  IG AC (đpcm) AC EH HI 0,75 Ta có FBD FCA đồng dạng  FGD FHA đồng dạng  GFD  HFA FG GD BD IG     FI phân giác góc GFH FH HA AC IH Suy FI phân giác góc AFD Gọi M, N chân đường vuông góc hạ từ I lên đường thẳng AB, CD Khi IM = IN IM AB SIAB   Ta có SICD IN CD 2 Xét k =7, vẽ điểm gồm điểm tâm điểm đường tròn tạo thành lục giác Lúc khoảng cách điểm Suy k  Câu 13 1.0 H G D Do Câu 12b 0.75 0,75 5.0 0.75 A O B Với k =8, tồn điểm không trùng tâm đường tròn Ta kẻ bán kính qua điểm Khả 1: Nếu có điểm thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ (vì điểm trùng tâm) Khả 2: Không có điểm thuộc bán kính, lúc có bán kính, suy có hai bán kính tạo với góc nhỏ 600 Giả sử hai bán kính chứa A B Vì góc AOB không góc lớn tam giác OAB nên AB  max OA, OB  Vậy trường hợp k = thỏa mãn Suy giá trị nhỏ k - HẾT - 1.0 0.5 1.0 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh... a2   an Ta có 9an  a1  a2   an  7a1  9an  nan ; 7a1  na1  n  Đáp số: x  6, y  Đáp số: x  2; x  Cách giải: Đặt ẩn phụ Đáp số  x; y   1; 1 ;  3;7  594 257 1.0 1.0 1.0... điểm thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ (vì điểm trùng tâm) Khả 2: Không có điểm thuộc bán kính, lúc có bán kính, suy có hai bán kính tạo với góc nhỏ 600 Giả sử hai bán kính chứa A B Vì góc