Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên §1: Đại lượng ngẫu nhiên • Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên nhân số giá trị với xác suất tương ứng xác định • Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc số giá trị hữu hạn vô hạn đếm • Đại lượng ngẫu nhiên liên tục tập hợp tất giá trị có lấp đầy khoảng trục số §2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc) Định nghĩa 2.1: Ρ( Χ = x ) = p , i = 1,2,3, k i hạn ( ) Χ x x x ⇔ ∑p i Chú ý: =1 Ρx p1 p2 k pk (…) vô ( ) i • Ví dụ 2.1: người bắn viên đạn vào bia với xác suất trúng đích viên p, trúng phối xác suất ksố Χphân dừng Hãy lập bảng đạn bắn ⇔ xlại dừng Ρ p qp q p q k −1 p Ví dụ 2.2: đề giống điều kiện ngừng bắn trúng ngừng bắn hết 20 viên ngừng Χ Ρx p pq 19 pq pq18 20 q19 • Hàm phân phối xác suất(rời rạc liên tục): • Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên XFlà: X ( x) = F ( x ) = Ρ( X < x ) Tính chất: 1.F(x) hàm không giảm F ( − ∞ ) = 0, F ( + ∞ ) = t/c đặc trưng Ρ( a ≤ X < b ) = FX ( b ) − FX ( a ) Hệ 1: Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục FX ( x ) liên tục toàn trục số • Hệ 2: Nếu X liên tục Ρ( X = x0 ) = 0, ∀x0 • Hệ 3: Giả sử X rời rạc có bảng phân phối xác suất trên.Khi FX ( x ) = ∑ pi xi < x • Ví dụ 2.3: 0 0,1  ⇒ FX ( x ) =  0,6 1 Χ Ρ 0,1 0,5 0,4 x ≤ < x ≤ < x ≤ < x Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = bên trái miền giá trị X FX ( x ) = bên phải miền giá trị X • 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) • Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu / nhiên X liên tục là: f X ( x ) = f ( x ) =  FX ( x )  x x • Định lý 2.1: F x = f t dt X • Tính chất: ( ) ( 1) ∫ X ( ) −∞ f ( x) ≥   +∞  đặc trưng t/c f ( x ) dx = ( )∫  −∞  b (3) P (a < X < b) = ∫ f X ( x ).dx a Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục thay đổi điểm ý nghĩa Hàm mật độ f X ( x ) = 0bên miền giá trị X • Ví dụ 2.4: • ( 1) a = ? 1= +∞ ∫ −∞ a cos x, x ∈ [ 0, π / 2] X : f ( x) =  x ∉ [ 0, π / 2] 0, f ( x)dx = π /2 ∫ a a cos xdx = 2 π /2 ∫ ( + cos x ) dx a  s in2x  π /2 a π = x+ ÷ = ⇒a= 2 0 2 π Hãy tìm hàm phân phối FX ( x ) = x ∫ −∞ FX ( x ) xπ /2 ,nếu Hãy tính xác suất để X nhận giá trị khoảng: ( −π / 4, π / ) Ρ ( −π / < X < π / ) = F ( π / ) − F ( −π / ) = π /4 ∫π − /4 f ( x ) dx = π /4 ∫ (4 / π ) cos xdx • Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ ném bóng vào rổ chừng người ném lọt rổ Lập dãy phân phối số lần ném người xác suất lọt rổ p1, p2 người thứ nhất,hai • Giải: Gọi q1 , q2 xác suất ném trượt bóng người 1,2 • X số bóng người thứ • Y số bóng người thứ • Z tổng số bóng người X Ρ X k p1 + q1 p2 q1q2 ( p1 + q2 p1 ) q1k −1q2k −2 ( p1 + p2 q1 ) Y ΡY p1 q1 ( p2 + q2 p1 ) q1q2 q1 [ p2 + q2 p1 ]  q1k −1q2k −1 [ ] Z 2k − Ρ Z q1k −1q2k −1 p1 k 2k q1k q2k −1 p2 , k = 1, 2, §3: Véc tơ ngẫu nhiên I Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X , X , , X nlà đại lượng ngẫu nhiên xác định kết phép thử Khi X = ( X , X , , X n ) gọi vectơ ngẫu nhiên n chiều II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc chiều(X,Y) Bảng phân phối xác suất đồng thời: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h 10 5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) F ( x, y ) = = ∫∫ ∫ x −∞ ∫ y −∞ f ( u , v ) dudv 2e − u − v dudv Dxy I Ω ,nếu x