ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi Năm học 2009-2010 Môn thi : Toán ( Thời gian 150 phút) Bài1(1,5đ) a/ Tính 6−2 − 6+2 b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠0 Chứng tỏ 1 + + = a b2 c2 a b c | + + | c/ Hãy chứng tỏ x = + − − nghiệm phương trình x3 +3x – = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A= x − y  1  +  + ÷ xy xy  x y  x + y + xy ( x+ y )  1   + ÷  x ÷ y   ] Với x = − 3, y = + b/ Giải phương trình x+9 + x−7 = Bài3(2,5đ) a/ Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức B= x2 − x + x2 + x + b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF ( A ,E ∈ (O) , B , F ∈ (O’) ) a/ Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh ∆ AOM ∆ BMO’ đồng dạng b/ Chứng minh AE vuông góc với BF c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng ¼ Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD Tính cos MAN biết M ,N theo thứ tự trung điiểm BC, CD Đáp án thang điểm Bài 1: a/ − − + = − + − + + = = | − | - | + 1| = − − − = − b) CM 1 1 1 + + + + = a b c a2 b2 c2 ( ) −1 − ( ) +1 Ta có Vậy 2 1   1 1   1 1 a+b+c +  =  + +  − 2  + +  − 2 +  a b c  ab bc ac  a b c  abc  a+b+c  =0 Mà a +b +c = , a,b,c ≠0 => 2  abc  1 + + = a2 b2 c2  1 1  + +  a b c 1 + + = a2 b2 c2 = 1 + + a b c c) Hãy chứng tỏ x = + − − nghiệm phương trình x3 +3x – = Tacó : x3 =   +2 −3 = –  ( ) −  = + − 3 +  − + 3 + . −  −       + . − .3 + − −  = - 3.3 + − x     ( )( ) = – 3x * x3 = – 3x x3 + 3x + = Vậy x = + − − nghiệm PT x3 + 3x + = Bài2(2đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức x − y  1  +  + ÷ xy xy  x y  x + y + xy A= ( x+ y )  1   + ÷  x y÷   Với x = − 3, y = + Giải : ĐK : x > , y > A= x − y  1  :  + ÷ + xy xy  x y  x + y + xy x + y :  xy xy  xy x+ y   x− y x+ y = :  xy x + y xy xy  = x− y + + ( ) ( ( ) (  1  +  ÷  y÷ x+ y  x  ) ]  x + y      xy x+ y     xy x + y  ( ) )  x + xy + y   :   xy x + y  xy xy    x− y x+ y    = :  xy x + y  xy xy   = x− y ( = x− y xy ( ( ) ) ) Khi x = − 3, y = + A = 2− − 2+ (2 − )(2 + ) = 2− − 2+ => A2 = – = Do A < => A = - ] ( 5−2 ) b/ Giải phương trình x + + x − = (1) ĐK: x ≥ (1) => ( x + + x − 7) = 42 2x + + 2( ( x + 9)( x − ) ) = 16 2( ( x + 9)( x − ) ) = 16 – 2( x + 1) ( x + 9)( x − ) = – (x + 1) (2) Nếu – ( x+ 1) < x + > x > (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu – ( x+ 1) ≥ x + ≤ x ≤ Kết hợp với ĐK đầu => x = Thử x = vào pt(2) ta có = Vậy x = nghiệm pt (2) nghiệm PT (1) Bài3(2,5đ) Ta có B = x + 3x + − x − x − 2( x + 1) = 3− ≤3 x + x +1 x + x +1 GTLN B = x = -1 ( ) x − 3x + x2 + x +1 x − 2x + 1 2( x − 1) = + = + ≥ B= 2 2 3 x + x +1 3 x + 3x + 3 x + x + x + x +1 GTNN B = x = ( ) ( ) b) ( ) y A O C x Đường thẳng qua hai điểm A( ;4) C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4) ∈ đường thẳng y = ax + b ⇔ = a.0 + b ⇔ b = B(3;0) ∈ đường thẳng y = ax + b ⇔ = a.3 + b ⇔ 3a + = ⇔ a = − 4 Vậy đường thẳng qua hai điểm A C : y = − x + Đường thẳng y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ cắt cạnh BC hcn OABC M(3; y0) (y0 > 0) cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC = ⇔ 1 OC.CM = OA.OC (1) SOABC Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1 3.y0 = ⇔ y0 = 3 Vậy đường thẳng y =ax qua M(3; 8 ) ⇔ = a.3 ⇔ a = 3 Bài 4: E O N O' 12 F A a) Chứng minh M B ∆ AOM ∆ BMO’ đồng dạng · Ta có AB tiếp tuyến (O) => OAM = 1v · ' AB tiếp tuyến (O’) => O BM = 1v EF tiếp tuyến (O’) (O’) => OM phân giác ·AME , O’M phân · 'F giác BO · ' B + FMB · - Xét tứ giác BO’FM có FO = 1800 · · = 1800 EMA + FMB · ' B = EMA · => FO 1· ¶ Mà O '2 = FO ' B (OM phân giác ∠ AME ) ¶ = EMA · M ( O’M phân giác ∠ BO’F) => ∠ O2’ = ∠ M2 Mà ∠ OAM = O’BM = 1V => ∆ AOM đồng dạng ∆ BMO’ ( g-g) b/ Chứng minh AE vuông góc với BF Ta có OM đường trung trực AE => OM ⊥ AE O’M đường trung trực BF => O’M ⊥ BF ∠ Mà O1’ = ∠ O2’ , ∠ M1 = ∠ M2 , ∠ O2’ = ∠ M2 => ∠ O1’ = ∠ M1 Ta có ∠ FMO’ + ∠ O1’ = 900 => ∠ FMO’ + ∠ M1 = 900 => ∠ O’MO = 900 => O’M ⊥ MO Mà O’M ⊥ BF => BF // MO , OM ⊥ AE ( cmt) => BF ⊥ AE c/ Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh ba điểm O , N , O’ thẳng hàng Bài5(1đ) B a M C N 2a a D A Đặt ∠ BAM = ∠ DAN = β cạnh hình vuông 2a BM = DN = a Suy AM = AN = a ( theo định lý pitago tam giác vuông có cạnh a, 2a) DN 2a = 2cos 2β = Vậy cos β = AN = a 5 β Và sin MAN = cos ( hai góc phụ nhau)   - = 2  − =  5 Mà sin2MAN + cos2MAN = => cos2MAN = – sin2MAN = => cosMAN = 16 = 25 25 ... = - ] ( 5−2 ) b/ Giải phương trình x + + x − = (1) ĐK: x ≥ (1) => ( x + + x − 7) = 42 2x + + 2( ( x + 9) ( x − ) ) = 16 2( ( x + 9) ( x − ) ) = 16 – 2( x + 1) ( x + 9) ( x − ) = – (x... BF Ta có OM đường trung trực AE => OM ⊥ AE O’M đường trung trực BF => O’M ⊥ BF ∠ Mà O1’ = ∠ O2’ , ∠ M1 = ∠ M2 , ∠ O2’ = ∠ M2 => ∠ O1’ = ∠ M1 Ta có ∠ FMO’ + ∠ O1’ = 90 0 => ∠ FMO’ + ∠ M1 = 90 0 =>... = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1 3.y0 = ⇔ y0 = 3 Vậy đường thẳng y =ax qua M(3; 8 ) ⇔ = a.3 ⇔ a = 3 Bài 4: E O N O' 12 F A a) Chứng minh M B ∆ AOM ∆ BMO’ đồng dạng · Ta có AB tiếp tuyến (O) => OAM