UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang )  3y2 y  x2  − − Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức A =  ÷  y + ÷ x + x y + xy   x+ y  x − xy x − xy a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm cặp số nguyên dương ( x ; y ) để A + y có giá trị số nguyên Câu 2(4,0 điểm): Giải phương trình sau: a) x − x3 + x + x − = ; x + x −1 + x − x −1 = b) Câu 3(4,0 điểm): a) Giải bất phương trình 29 x −11 < 2; 3x + 1 1 = Tính giá trị biểu b) Cho x, y, z thỏa mãn  + + ÷: x y z x + y + z   ( )( )( ) 29 29 y11 + z11 z 2013 + x 2013 thức B = x + y Câu 4( 6,0 điểm): Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, · tia By lấy điểm D cho COD = 900 Kẻ OH vuông góc với CD H a) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB; b) Chứng minh AC.BD = AB ; c) Nêu cách xác định vị trí điểm C tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB Câu 5(2,0 điểm): Cho số a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng P = 2a + a2 + b + b2 + c + c2 ≤ Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh số báo danh PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán ( Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với đáp án)  y2 y − − x + x y + xy  x − xy x − xy Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức A =   x2  y + ÷ ÷ x+ y  a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm cặp số nguyên dương ( x ; y ) để A + y có giá trị số nguyên Nội dung cần đạt x ≠ (*) Với điều kiện ( *) ta có: x ≠ ± y a) ĐKXĐ:     xy + y + x  3y2 y − − ÷ 3 2 ÷ x+ y  x( x − y ) x( x − y ) x( x + xy + y )    A=  x + xy + y − y − y ( x − y )   xy + y + x  = ÷  ÷ x( x3 − y ) x+ y    x − y xy + y + x = = x( x − y ) x+ y x y + 2x b) Giả sử A + y = xy = m số nguyên Vì x, y nguyên dương nên m nguyên dương Suy ra: x + y = mxy ⇔ (my − 2)(mx − 1) = hay my − 2; mx − ước Điểm 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 Xét trường hợp:  y=   my − =  m ⇔ * Vì x, y nguyên dương x ≠ ± y nên m ∈ { 1; 2}  mx − = x =  m 0,25 suy ra: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Thử lại ta kết thỏa mãn  y=  my − =   m ⇔ * ( Loại, x ≠ y ) mx − =  x =  m 0,25  y=   my − = −1  m ⇔ * (loại, x y trái dấu)  mx − = −2  x = −1  m  my − = −2 y = ⇔ * ( Loại)  mx − = −1 x = 0,25 0,25 Tóm lại: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Câu 2(4 điểm): Giải phương trình: 0,25 a) x − x3 + x + x − = ; b) x + x −1 + x − x −1 = a) x − x3 + x + x − = ⇔ x4 - 2x2 -2x3 + 4x2 - = ⇔ x2(x2 -2) - (2x3 - 4x) + 4x2 - = ⇔ x2(x2 -2) - 2x(x2 - 2) + 4(x2 - 2) = ⇔ (x2 - 2)(x2 - 2x+4) =0 ⇔ x2 - = ⇔ x = ± (Vì x2 - 2x + = (x- 1)2 + > ∀x ) b) (ĐK: x ≥ ) 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 PT ⇔ x + 2 x − + x − 2 x − = 0,25 ⇔ 2x −1+ 2x −1 +1 + 2x −1− 2x −1 +1 = 0,25 ⇔ ( x − + 1) + ( x − − 1) = ⇔ 2x −1 +1 + 2x −1 −1 = +) Nếu x − − ≥ ⇔ x ≥ 1, ta có: 2x −1 +1 + 2x −1 −1 = ⇔ +) Nếu x − − < ⇔ 0,25 x − = ⇔ x = ( thỏa mãn điều kiện) ≤ x < 1, ta có: 2x −1 +1 - 2x −1 +1 = ⇔ x = => Phương trình có nghiệm với x thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm ≤ x ≤ Câu 3(4,0 điểm): a) Giải bất phương trình 0,25 29 x −11 < 3x + 0,25 0,25 ≤ x góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) Lại có: OM trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) (2) suy góc ACO = góc MCO 0,5 0.5 0,5 => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AC = CH; BD = DH CH.DH = OH2 => AC.BD = c) SCOD = S AHB => AB 0,75 OH = ( HK ⊥ AB; K thuộc AB ) HK ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) => OH = HK => K trùng O => H điểm giữa nửa đường tròn AB AB vậy điểm C thuộc tia Ax cho AC = SCOD = S AHB 2 Câu 5(2 điểm): Cho số a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = O => AC = Chứng minh rằng: P = 2a + a2 + 0,5 0,75 b + b2 + c + c2 ≤ 1,00 0,5 0,5 Nội dung cần đạt Điểm Ta có: P= 2a 2b 2c + + (a + b)(a + c) 4(b + c)(b + a) 4(c + b)(c + a ) 0,50 Suy ra: P ≤ a( 1 1 1 + ) + b( + ) + c( + ) a+b a+c 4(b + c) a + b 4(c + b) c + a 0,50 = 2+ = 4 Dấu đẳng thức xảy b = c = 0,50 , a = 7b = , b = 15 15 -Hết - 0,50 ...Họ tên thí sinh số báo danh PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán ( Học sinh làm theo cách khác tổ... 0,25 29 x −11 < 3x + 0,25 0,25 ≤ x