UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4.0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 16 − 31 − 16 + 31 + b) Tính giá trị biểu thức: B = sin220+sin230+…+sin2880 Bài 2: (6.0 điểm) 1)Chứng minh với số nguyên a b ta có: a3 + 5aM6 2) Giải phương trình: a) x − + x + = b) x + = 2 x − Bài 3: (4.0 điểm) a) Cho x > 0; y > x + y ≥ Tìm GTNN biểu thức: 12 16 P = 5x + y + x + y b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x − y = y + 44 c) Cho ba số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 2013 Chứng minh: a b c + + ≤ a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC kẻ hai tia Bx Cy vuông góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt Bx Cy P Q Chứng minh : a) AP = BP AQ = CQ b) PC qua trung điểm I AH · c) Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho BAC = 900 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích tam giác ABH đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn Lưu ý: Đối với thí sinh bảng B làm câu 3c -Hết HD CHẤM TOÁN Câu A 2,0 Nội dung cần đạt Ý ( ) ( + 48 − 10 + = + 5 − Bảng Bảng A B 0, ) = + 25 − = Ta biết: Với < α< 900 Ta có sinα=cos(900-α), sin2α + cos2α =1 C = sin220+sin230+…+sin2880 B C = (sin220+sin2880)+ +(sin2440+sin2460)+sin2450 2,0 C = (cos2880+sin2880)+ +(cos2460+sin2460)+sin450 2 C = 1+1+ +1+ = 43 + = 87 Ta có a + 5a = a − a + 6a = a (a − 1)( a + 1) + 6a Ta có tích số nguyên liên tiếp chia hết cho nên: 2,0 a (a − 1)(a + 1) M6 Mà 6a M6 Vậy a + 5a M a) ĐKXĐ: x ≥ Ta có x −1 + x + = ⇔ x − = ( x − 1)( x + 2) x ≥ ⇔ ⇔ x = 2(tm)  x − x + 16 = x + x − 2 Vậy: Phương trình có nghiệm x =2 4,0 b)Phương trình: x + = 2 x − ĐK: x ≥ x + = 2x − ⇔ x + x + − (2 x − 1) − 2 x − − = ⇔ ( x + 1) − ( x − + 1) = ⇔ ( x + − x − − 1)( x + + x − + 1) = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − + 2) =  x − x − = ⇔ ⇒ x = 1(tm)  x + x − + = 0(vônghiêm) Phương trình có nghiệm: x = C 2,0 0,25 -2- 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a ( a − 4) + 4 = = 4(a + 1) + a −1 a −1 a −1 = 4(a − 1) + +8 a −1 ≥ 4.2 (a − 1) + = 16 a −1 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ của: M = 16 a =2 0,25 0,75 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 với a,b,c >1 Ta có: A 1,5 x − y = y + 44 ⇔ x − ( y + y + 9) = 35 ⇔ ( x + y + 3)( x − y − 3) = 35 Vì x, y, z nguyên dương nên x+y+3 ≥ , x + y + > x − y − nên từ (*) ta có trường hợp sau:  x + y + = 35 x + y + = (1) (2)   x - y - = x - y - = Thiếu trường hợp trừ 0,5 điểm B 1,5 C 1,0 2 Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c) Theo BĐT cô si cho hai số dương ta có : a2 + bc ≥ 2a bc Từ a2 + bc + a(b + c) ≥ 2a bc +a(b + c) = a(b + c + bc ) = a( b + c )2 Vậy: a ≤ a + 2013a + bc a a+ a ( b+ c ) = a ( a a+ b+ c ) = 0,25 0,25 a a+ b+ c (1) Chứng minh tương tự ta b b ≤ (2) b + 2013b + ca a+ b+ c 0,25 c c ≤ (3) c + 2013c + ba a+ b+ c 0,25 Cộng vế (1); (2); (3) ta -3- a = bc  b = ca ⇔ a = b = c = 671 Dấu “=” xảy ⇔  c = ab  a + b + c = 2013  0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,75 0,75 0,75 0,75 Do Tam giác ABC vuông A nên: MA = MB = MC Từ cặp tam giác vuông sau nhau: ∆ PBM = ∆ PAM ∆ QAM = ∆ QCM ( canh huyền-cạnh góc a 2,5 vuông) ⇒ PA = PB, QA = QC -4- b 2,0 Ta có: ∆ BPH ~ ∆ CQH( ∠ B= ∠ C=900 ∠ BPH = ∠ CHQ) Từ đó: BP.CH = BH.QC (*) Gọi giao điểm PC AH I Có: AH // BP//CQ(cùng vuông BC) ⇒ HI CH AI PI BH = = = PB CB CQ PC BC ⇒ HI = PB.CH CQ.BH AI = (**) CB BC Từ (*) (**) : HI = AI hay PC qua trung điểm AH 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có : SAHB = AH MH AH MH Lại có ∆AMB vuông M có MH đường cao ⇒ MH = AH HB ( Hệ thức tam giác vuông) 27 1 ⇒ S AMH = AH HB = ( AH AH AH HB) 4 3 Áp dụng BĐT cô si cho số dương: Ta có ⇒ S ABC = c 1,0 1 AH + AH + AH + HB 1 AH + HB 3 ( AH ).( AH ).( AH ).HB ≤ ( )4 = ( ) 3 4 AB 4 =( ) = ( )4 = 4 27 ⇒ S AMB ≤ cm 4 ⇒ Giá trị nhỏ S AMB = cm AH = HB hay AH = 3cm Suy ra: S AMH ≤ Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa -5- 0,25 0,25 0,25 ...HD CHẤM TOÁN Câu A 2,0 Nội dung cần đạt Ý ( ) ( + 48 − 10 + = + 5 − Bảng Bảng A B 0, ) = + 25 − = Ta biết: Với < α< 90 0 Ta có sinα=cos (90 0-α), sin2α + cos2α =1 C = sin220+sin230+…+sin2880... + 9) = 35 ⇔ ( x + y + 3)( x − y − 3) = 35 Vì x, y, z nguyên dương nên x+y+3 ≥ , x + y + > x − y − nên từ (*) ta có trường hợp sau:  x + y + = 35 x + y + = (1) (2)   x - y - = x - y - = Thi u... ( canh huyền-cạnh góc a 2,5 vuông) ⇒ PA = PB, QA = QC -4- b 2,0 Ta có: ∆ BPH ~ ∆ CQH( ∠ B= ∠ C =90 0 ∠ BPH = ∠ CHQ) Từ đó: BP.CH = BH.QC (*) Gọi giao điểm PC AH I Có: AH // BP//CQ(cùng vuông BC)