SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN THI GIẢI TOÁN QUA THƯ TRONG BÁO TOÁN TUỔI THƠ Biên soạn : Đồng Thái Lâm Phòng Đào tạo Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 1(1) : Cho số a1, a2, a3, , a2003 Biết : a k = 3k + 3k + (k + k) với k = 1, 2, 3, , 2003 Tính tổng a1 + a2 + a3 + + a2003 Bài 2(1) : Cho A = - + 13 - 19 + 25 - 31 + a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n Bài 3(1) : Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 40o , đường cao AH Các điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho ∠EBA = ∠FBC = 30o Chứng minh : AE = AF Bài 4(1) : Cho số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 1) Nếu tính tổng hai số tổng? 2) Biết tất tổng khác Chứng minh a6 ≥ 2012 Bài 5(1) : Bạn khôi phục lại chữ số bị xóa (để lại vết tích chữ số dấu (*) để phép toán Bài 1(2) : Tìm tất số phương có dạng abcba Bài 2(2) : Tìm hai số hữu tỉ a b, biết : a - b = 2.(a + b) = 3.a/b Bài 3(2) : Cho tam giác ABC Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho diện tích tam giác AMN nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C) Chứng minh : trọng tâm tam giác ABC nằm tam giác AMN Bài 4(2) : Giải phương trình x2 + 2x + = (x2 + x + 1)(x4 + x2 + 4) Bài 5(2) : Tìm x, y để biểu thức A = x + 2y − 6x + 4y + 11 + x + 3y + 2x + 6y + đạt giá trị nhỏ Bài 1(3) : Tìm tất cặp số nguyên không âm (x, y) cho : x - y = x2 + xy + y2 Bài 2(3) : Cho x, y, z > Chứng minh : 4(xy + yz + zx) ≤ (x + y)(y + z)(z + x) x + y + y + z + z + x ( ) Bài (3) : Trên bàn cờ hình vuông gồm ô vuông nhỏ có mã trắng đứng hai góc bên mã đen đứng hai góc bên (xem hình dưới) Hỏi đổi chỗ mã đen lên vị trí mã trắng cách tương ứng : Con mã đen góc trái lên vị trí góc trái mã đen góc phải lên vị trí góc phải, mã trắng xuống vị trí tương ứng bên hay không ? Biết dẫn mã theo luật quy định bàn cờ mà Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 4(3) : Cho tam giác ABC Một đường tròn qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC điểm T thuộc đoạn BC cắt đoạn AB, AC theo thứ tự E, F Chứng minh : EF/BC = (TE.TF) / (TB.TC) Bài 5(3) : Giải hệ phương trình : 6(x - 1/y) = 3(y - 1/z) = 2(z - 1/x) = xyz - 1/(xyz) Bài 1(4) : Cho số : A = 111 111*333 333 gồm 2003 chữ số bên trái dấu * 2003 chữ số bên phải dấu * Hãy thay dấu * chữ số để số chia hết cho Bài 2(4) : Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện : 2002 2002 2002 =1 ⎪⎧a + b + c ⎨ 2003 2003 2003 ⎪⎩a + b + c = Tính tổng : a2001 + b2002 + c2003 Bài 3(4) : Cho x, y, z số thực không âm bất kì, chứng minh : x (x - z)2 + y (y - z)2 ≥ (x - z)(y - z)(x + y - z) Bài 4(4) : Cho ∆ABC nhọn, ba đường cao AD, BE CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vuông góc với trung tuyến AM ∆ABC Bài 5(4) : Cho tam giác ABC vuông A M điểm Chứng minh : MB2/AB2 + MC2/AC2 ≥ Khi xảy đẳng thức Bài 1(5) : Biết : |a + b + c| ≤ ; |c| ≤ ; |a/4 + b/2 + c| ≤ Chứng minh : |a| + |b| + |c| ≤ 17 Bài 2(5) : Phân số Ai Cập Biểu diễn phân số 1/2 dạng tổng phân số dương có tử số Có cách ? Bài 3(5) : So sánh A B biết : A = (20032002 + 20022002)2003 B = (20032003 + 20022003)2002 Bài 4(5) : Tam giác ABC có E trung điểm cạnh BC cho ∠ EAB = 15o , ∠ EAC = 30o Tính ∠ C Bài 5(5) : Cho hai tam giác ABC, A1B1C1 chồng lên cho phần giao chúng lục giác mà ta kí hiệu MNPQRS Chứng minh : MN + PQ + RS = NP + QR + SM Bài 1(6) : Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 số nguyên tố, p - chia hết cho Giả sử số nguyên x, y thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Bài 2(6) : Cho hình lập phương Người ta gắn cho đỉnh đỉnh A, theo chiều mũi tên, số tự nhiên liên tiếp thực : lần cộng vào đỉnh mặt với số nguyên Hỏi sau lần ta số đỉnh ? ⎧a + b + c = ⎪ Bài 3(6) : Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ ⎨ Chứng minh 2 + + ≤ a b c ⎪⎩ 1+ ≤ a, b,c ≤ Bài 4(6) : Cho tam giác BMA có góc ∠BMA = 135o ; BM = ; MA = Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Lấy điểm C phía điểm M, bờ AB cho tam giác CAB vuông cân A Tính diện tích tam giác ABC Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm BC, CA Tia MN cắt (O) I Chứng minh : BC/IA CA/IB = AB/IC Bài 1(7) : Chứng minh : + + 12 + 20 + 30 + 42 < 24 Bài 2(7) : Cho a, b, c thỏa mãn : a b c = = 2002 2003 2004 Chứng minh : 4(a - b)(b - c) = (c - a)2 Bài 3(7) : Cho số dương a1, a2, …, a10 thỏa mãn : a1 = ; a10 = ; ai2 ≤ - 1ai + với i = 2, 3, …, Chứng minh với i = 1, 2, …, 10 : a i ≤ 2i −1 Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC Về phía tứ giác này, ta dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh : trung điểm đoạn AB, CD, EF thuộc đường thẳng Bài 5(7) : Tính tổng A = a1 + a2 + … + a2003, biết : an = ( n ∈ N* ) n (n + 1) + n n + Bài 1(8) : Tìm tất số nguyên dương x, y, z cho : xyz = + x + y + z Bài 2(8) : Cho dãy số tự nhiên liên tiếp : 150 O 149 O 148 O 147 O O 51 O 50 Chứng minh điền vào hình tròn dấu “+” dấu “-” kết 2003 ⎧ax = by3 = cz ⎪ Bài 3(8) : Cho : ⎨ 1 Chứng minh : ax + by + cz = a + b + c + + = ⎪x y z ⎩ Bài 4(8) : Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ) : Biết AB = 30 cm, BC = 20 cm, AM = 10 cm, BP = cm, AQ = 15 cm Tính diện tích tam giác MRS ? Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông Các đường cao BB’, CC’ cắt H K trung điểm AH ; I giao điểm AH B’C’ Chứng minh : I trực tâm tam giác KBC Bài 1(9) : Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh AB D cắt cạnh AC E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD Tìm tập hợp điểm M nằm (không nằm cạnh) hình vuông cho : ∠ MAB + ∠ MBC + ∠ MCD + ∠ MDA = 180o Bài 3(9) : Trong giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn lượt Thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Đội Măng Non hòa trận, thua trận tất 16 điểm Chứng minh vào lúc tìm hai đội đấu số trận Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 4(9) : Cho số không âm x1, x2, x3, …, xn có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức : x1x2 + x2x3 + x3x4 + … + xn - 1xn Bài 5(9) : Tìm cặp số hữu tỉ (x, y) thỏa mãn : x + y 1/x + 1/ y đồng thời hai số nguyên dương Bài 1(10) : Tìm số tự nhiên x ; 2x ; 6x biết viết ba số liền theo thứ tự tạo thành số có 10 chữ số chữ số khác Bài 2(10) : Giải phương trình : (x2 + 6x + 10)2 + (x + 3)(3x2 + 20x + 36) = Bài 3(10) : Có hay không số tự nhiên m n thỏa mãn đẳng thức sau : 1/4.(m - n).(m + n).[ + (- 1)m + n] = 2003 Bài 4(10) : Cho tam giác ABC Điểm M nằm tam giác AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Biết : M tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ Chứng minh : M trực tâm tam giác ABC Bài 5(10) : Cho tam giác ABC Chứng minh : a + b + c < (R + r) Trong a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn cho số T = 427 + 41016 + 4a số phương Bài 3(11) : Bạn Hải làm toán nhân cách chữ số rời Hà, em Hải, đổi chỗ số chữ số bên Hãy lại vị trí chữ số ban đầu mà Hải làm x 11 91 191 59 2571 Bài 4(11) : Tính góc A tam giác ABC biết ∠ O1OO2 = 90o với O1, O, O2 tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp bàng tiếp (trong góc A) tam giác ABC Bài 5(11) : Về phía tam giác ABC ta dựng tam giác vuông đồng dạng ABE, ACF (∠ ABE = ∠ ACF = 90o) Chứng minh : BF, CE đường cao AH tam giác đồng quy Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004 3 Viết N thành tổng k số tự nhiên n1, n2, , nk S = n1 + n + + n k Tìm số dư phép chia S cho Bài 2(12) : Cho 20 số nguyên khác : a1, a2, a3, , a20, có tính chất sau : a1 số dương Tổng ba số viết liền số dương Tổng 20 số số âm Chứng minh : a1.a14 + a14.a12 a1.a12 Bài 3(12) : Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác tam giác cân Hãy so sánh giá trị tuyệt đối biểu thức P, Q sau : Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) 1 + + a −b b−c c−a a −b c+ b−c a + c−a b Q= 2(a − b)(b − c)(c − a) P= Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc AD AD = 4cm, AB = BC = cm Hãy tìm đường từ đỉnh A tới điểm M cạnh DC, tới điểm N cạnh AB, quay lại điểm P cạnh DC trở A ngắn Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh : AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA Bài 1(13) : Chứng minh 1 1 + + + + < 17 Bài 2(13) : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P(x) = 2002x + 2003 − x + 2004 1− x2 ; ( x < 1) Bài 3(13) : Cho 25 số nguyên phân biệt, biết tổng số chúng dương a) Chứng minh : Trong 25 số có 22 số dương b) Tổng 25 số lớn 316 Bài 4(13) : Cho số thực dương a, b, x, y thỏa mãn điều kiện a + b + x + y ≤ 2, a + b2 = x + y2, a2 + b = x2 + y Chứng minh : ⎧a = x ⎧a = y hoac ⎨ ⎨ ⎩b = y ⎩b = x Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song nửa CD H trung điểm CD Điểm M nằm hình thang cho MH vuông góc phần tư CD Bên hình thang ta dựng tam giác ADE, BCF vuông cân E, F Chứng minh tam giác MEF vuông cân M Bài 1(14) : Cho x ; y thỏa mãn : (x + 2003 + x )(y + 2003 + y ) = 2003 Hãy tính giá trị biểu thức : T = x2003 + y2003 Bài 2(14) : Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên x, y : 36x2 + 144y2 - 276x - 120y + 25 = Bài 3(14) : Cho a, b hai số thỏa mãn : a + b ≥ Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm : x2 + 2a2bx + b5 = x2 + 2ab2x + a5 = Bài 4(14) : Cho ∆ABC Trên tia đối tia CB, AC, BA lấy điểm A1, B1, C1 cho AB1 = BC1 = CA1 Chứng minh ∆A1B1C1 ∆:ABC Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC Một đường tròn (O) qua A, B Các tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt S T tiếp điểm SC (O) SB cắt (O) E (E ≠ B) Chứng minh : ET // AB Bài 1(15) Cho a, b, c ≥ a + b + c = Hãy tìm giá trị lớn tổng : S = ab + 2bc + 3ca Bài 2(15) Giải phương trình : − x = 2x + Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 3(15) Cho tam giác ABC vuông cân, ∠ a = 900 AB = AC = a Trên tia đối tia CA lấy điểm E, F, I cho : AE = 2a ; AF = 5a ; AI = 8a Tính tổng : ∠ BEA + ∠ BFA + ∠ BIA Bài 4(15) : Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm N, M tương ứng, cho AN = AM Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh : OB > OC Bài 5(15) : Tính : S2004 = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 3 2003 20042 Bài 1(16) : Giải phương trình : y − 2003 − x − 2002 − z − 2004 − + + = x − 2002 y − 2003 z − 2004 Bài 2(16) : Cho a ; b ; c số dương tùy ý Chứng minh : ab bc ca a b c + + ≥ + + c(c + a) a(a + b) b(b + c) c + a a + b b + c Bài 3(16) : Hãy xác định chữ số tận số : M = ( + 2) 2004 + ( − 2) 2004 Bài 4(16) : Cho tam giác vuông ABC (vuông đỉnh A) Gọi M trung điểm cạnh BC, H chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Trên tia đối tia AM ta lấy điểm P (P không trùng với A) Các đường thẳng qua H vuông góc với AB AC cắt đường thẳng PB PC Q R tương ứng Chứng minh A trực tâm tam giác PQR Bài 5(16) : Cho đường tròn (O) đường thẳng d tiếp xúc với (O) T S điểm đối xứng với T qua O A, B hai điểm (O) (A, B S, T) Các tiếp tuyến với (O) A, B cắt C Các đường thẳng SA, SB, SC theo thứ tự cắt d A’, B’, C’ Chứng minh : A’C’ = B’C’ Bài 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng thức p3 + q3 = Chứng minh < p + q ≤ Bài 2(17) : Đặt : 1 1 1 ; S2 = + + ; S3 = + + + ; 5 5 5 1 Sn = + + + + n 5 1 1 35 Chøng minh r»ng + 2 + + + n < 5S1 S2 S3 Sn 36 S1 = + Bài 3(17) : Cho số dương x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức : 2xyz + xy + yz + zx ≤ Tìm giá trị lớn xyz Bài 4(17) : Tính góc tứ giác ABCD, biết : n = 250 ; CAD n = 650 ; BDC n = 500 ; BCA n = 400 ; BAD n + BCD n > 1800 ABD Bài 5(17) : Cho tam giác ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) M trung điểm BC AM cắt (O) N (N ≠ A) Chứng minh MN ≤ MH Khi xảy đẳng thức ? Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 1(18) : Có số tự nhiên chia hết cho ; viết chữ số 0, 1, không lớn 2004 ? Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương phương trình : (x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy Bài 3(18) : Giải phương trình : 1− x + 1+ x + 1− x2 = Bài 4(18) : Cho tam giác ABC vuông cân A Trong ∠ BAC , lấy điểm M cho MA = MC ∠ AMB = 75o Tính ∠ AMC Bài 5(18) : Cho hình thang ABCD (AB // CD) O giao điểm AC BD M trung điểm CD Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOD, BOC cắt K khác O Chứng minh : ∠ KOC = ∠ MOD Bài 1(19) Cho A = −1 3− −3 25 + 24 , chứng minh A < 0,4 + + + + 49 Bài 2(19) Cho số x1 , x , x , x11 thoả mãn: ≤ x1 ≤ x ≤ ≤ x11 ≤ 1000 Chứng minh tồn i ∈{1, 2, 3, 10} cho x i +1 − x i − < 3 x i x i +1 Bài 3(19) Giải phương trình − x + 3x + − x = Bài 4(19) Cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm AD Qua E vẽ đường thẳng vuông EF góc với BE, cắt CD F Tính tỉ số EB Bài 5(19): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R D điểm di động cạnh BC AD cắt (O) E (khác A) Gọi R1 , R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD, ECD Xác định vị trí điểm D để R1 , R2 đạt giá trị lớn Bài 1(20) : Giải hệ phương trình : ⎧ xy + 2x + y = ⎪ ⎨ yz + 2z + 3y = ⎪zx + 3x + z = ⎩ Bài 2(20) : Tìm tất số nguyên dương a, b cho ab = 3(b - a) Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : S = (2 - x)(2 - y) Bài 4(20) : Cho tam giác cân ABC (AC = BC) với ∠ ACB = 80o Trong tam giác ABC có điểm M cho ∠ MAB = 10o ∠ MBA = 30o Tính ∠ BMC Bài 5(20) : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AC cắt BD I (O1), (O2) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, CDI Một đường thẳng qua I cắt (O) X ; Y cắt (O1) ; (O2) theo thứ tự Z ; T (Z T khác I) Chứng minh XZ = YT Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 1(21) : Cho ba số phương A, B, C Chứng tỏ : (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12 Bài 2(21) : Chứng minh : 32 34 − + 9 Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ c, b ≠ -c Chứng minh : b − c2 c2 − a a − b2 b−c c−a a −b + + = + + (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) b + c c + a a + b 3 −1 = Bài 4(21) : Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c a + b + c = ; x, y, z độ dài phân giác góc A, B, C Chứng minh : 1 + + >1 x y z Bài 5(21) : Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh : HB.HC HC.HA HA.HB + + =1 AB.AC BC.BA CA.CB Bài 1(22) : Giả sử (a1 ; a2 ; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) số nguyên Chứng minh tồn số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; ; ; 37} để số a = 1/3(ak + al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; đồng thời số nguyên Bài 2(22) : Tìm a để phương trình (ẩn x) sau có nghiệm : x = (a − x) x − Bài 3(22) :Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm nguyên : m2|x + m| + m3 + |m2x + 1| = Bài 4(22) :Cho tam giác ABC H điểm cạnh BC AD đường phân giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh : BH.CH/(BL.CL) = HD2/LD2 Bài 5(22) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC M N Kí hiệu SAMN diện tích tam giác AMN Chứng minh : 3 ≤ SAMN ≤ Bài 1(23) : Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh phương trình x2 + y2 + z2 = 4p2 + có nghiệm dương (x0, y0, z0) Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a Bài 3(23) : Giải phương trình : 3x − 7x + − x − = 3x − 5x − − x − 3x + Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com 10 Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) P điểm nằm tam giác cho ∠ PBA = ∠ PCA Gọi H K chân đường vuông góc hạ từ P xuống AB AC ; I trung điểm BC Chứng minh : ∠ HIB < ∠ KIC Bài 5(23) : Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh BC, CA, AB Gọi M giao điểm đường thẳng AO, DE ; N giao điểm đường thẳng BO, EF ; P giao điểm đường thẳng CO, DF Chứng minh tam giác NAB, MAC, PBC có diện tích Bài 1(24) : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > Bài 2(24) : Tồn hay không số nguyên n thỏa mãn n3 + 2003n = 20052005 + ? Bài 3(24) : Đặt 1 1 + + + + 1x2 3x4 2003x2004 2005x2006 1 B= + + + 1004x2006 1005x2005 2006x1004 A= Chứng minh A/B số nguyên Bài 4(24) : Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E F hình chiếu vuông góc M AB AC ; O trung điểm EF ; Q hình chiếu vuông góc A đường thẳng OM Chứng minh M chuyển động BC Q thuộc đường thẳng cố định Bài 5(24) : Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF có AB = AF ; DC = DE Chứng minh : AD > 1/2(BC + EF) Bài 1(25) : Cho Sn = + Sn −1 với n số tự nhiên không nhỏ − 3.Sn −1 Biết S1 = 1, tính S = S1 + S2 + S3 + + S2004 + S2005 Bài 2(25) : Giải hệ phương trình : y ⎧ x ⎪⎪ y + x = xy ⎨ 2005 ⎪ 2008 2008 +y = 8(xy) ⎪⎩ x Bài 3(25) : Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp : A, B, C, D 48 Biết : số bi đỏ số bi xanh hộp A ; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B ; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C ; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D ; bốn hộp có hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com 11 Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 4(25) : Chứng minh bất đẳng thức : a 2004 + b 2004 + c2004 ≥ (b + c)a 2003 (c + a)b 2003 (a + b)c2003 + + 2 (với a, b, c số dương) Bài 5(25) : Giả sử M, N điểm nằm tam giác ABC cho ∠ MAB = ∠ NAC ∠ MBA = ∠ NBC Chứng minh : AM.AN BM.BN CM.CN + + =1 AB.AC BA.BC CA.CB Bài 1(26) : Cho k số tự nhiên khác Số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh A - B số phương Bài 2(26) : Tìm số tự nhiên a b khác cho : + 4−b = 4+4 b +b + 4−4 b +b a Bài 3(26) : Cho ≤ a ≤ ≤ b ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : P= (a + b) a + b3 Bài 4(26) : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi giao điểm đường phân giác tam giác HAB, HAC I, K Đường thẳng IK cắt AB, AC D, E Chứng minh : DE ≤ BC Bài 5(26) : Cho hình vuông ABCD Điểm E nằm hình vuông cho ABE tam giác Gọi F giao điểm AE BD ; K giao điểm DE FC Chứng minh : KC = KF Bài 1(27): Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói cách mà tích số có giá trị nhỏ Bài 2(27): Cho số khong âm a, b, x, y thoả mãn điều kiện a 2005 + b2005 ≤ ; x 2005 + y2005 ≤ Chứng minh : a1975 x 30 + b1975 y30 ≤ Bài 3(27) Giải phương trình 10 + 24 + 40 + 60 = 2005(2x − 1) + + + n2 + n +1 Bài 4(27) Với số nguyên dương n, ký hiệu a n = (−1) n! n Tính tổng a1 + a2 + + a2005 Bài 5(27) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia n = BCy n = 300 Gọi H hình chiếu A Cx, K hình chiếu Cx Cy cho ACx B Cy M trung điểm BC chứng minh : MH = MK Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com 12 Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 1(28): Biết A = 654x 999 9997   + 1965 Chứng minh A chia hết cho 100 ch÷ sè Bài 2(28) Cho số thực dương tổng tất tich cặp hai số chúng Chứng minh tồng bốn năm số có tổng nhỏ Bài 3(28) Tồn hay không số nguyên a, b, c thoả mãn: a(b – c)(b + c – a) + c(a – b)(a + b – c)2 = Bài 4(28) Giải phương trình x4 + 16x + = Bài 5(28): Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng d Bài 1(29) Chứng minh số 20052 + 22005 nguyên tố với số 2005 Bài 2(29) Cho ba số dương a,b,c chứng minh : a b3 c3 + + ≥ a ac + b ba + c cb b c a Bài 3(29) Giải phương trình : 2(x4 + x3 + x2 + x ) + = Bài 4(29) Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD, BE, CF đường cao tam giác Đường thẳng EF cắt (O) P Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2 = 2.AD.OM Bài 5(29) Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị lớn Bài 1(30) Giải phương trình |x3 - x - 1| = x3 + x + Bài 2(30) Tìm giá trị lớn biểu thức x − x + x + x với ≤ x ≤ ⎧ (x + y) ⎪ x + xy + y = Bài 3(30) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ x 2004 + y 2004 = 22005 ⎩ Bài 4(30) Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ từ B đường phân giác kẻ từ C đồng quy Gọi a, b, c độ dài ba cạnh BC, CA, AB Chứng minh (a + b)(a2 + b2 - c2) = 2a2b Bài 5(30) Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh A, E, F thẳng hàng AE AM.AN OM.ON = = AF AB.AC OB.OC Bài 1(31) Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay dấu (*) chữ số khác b chữ số 1, 2, cách tuỳ ý số chia hết cho 396 Bài 2(31) Giải hệ phương trình ⎧⎪ x − xy + y = ⎨ ⎪⎩z + yz + = Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com 13 Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) Bài 3(31) Tìm giá trị lớn biểu thức A= 2004x + 6006x + x − 2x + x − − 8003 Bài 4(31) Cho a, b, c ba cạnh ta giác Chứng minh a +b−c + b+c−a + c+a −b ≤ a + b + c Bài (31) Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC theo thứ tự P, Q Phân giác góc A cắt tia PQ E Chứng minh AE vuông góc với CE Bài 1(32) Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 Đặt trước số dấu “cộng” dấu “trừ” thực phép tính tổng A Tìm giá trị không âm nhỏ mà A nhận Bài 2(32) Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) < -10 ; f(-1) > ; f(1) 2005 số thực x thoả mãn : 2006n + 2005n = xn Hỏi x số nguyên không ? Bài 2(36) Biết x2 + y2 = x + y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ F = x - y 1⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎜ + ⎟⎜ + ⎟ ⎜ (2005 + ⎟ ⎠⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ Bài 3(36): Rút gọn : T = ⎝ 1⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎜ + ⎟⎜ + ⎟ ⎜ (2006 + ⎟ ⎠⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ l =C m ; A1B1 = A2B2 cạnh Bài 4(36) Giả sử hai tam giác A1B1C1 ; A2B2C2 có C lại thoả mãn điều kiện : B1C1 + C2A2 = B2C2 + C1A1 Chứng minh hai tam giác Bài 5(36) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng AB, BC, CD, DA 2a Bài 1(37) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 số nguyên tố Bài 2(37) Tìm tất số thực dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình ⎧x + y + z = ⎪ ⎨1 1 + + = − ⎪x y z xyz ⎩ ⎛ 2006 ⎞ ⎛ 2005 ⎞ ⎟ y > z Chứng minh A số nguyên dương Bài 3(38) Cho ba số dương a, b, c T(x) = x2004 - x2002 + Chứng minh : T(a).T(b).T(c) ≥ 9(ab + bc + ca) Bài 4(38) Cho tam giác ABC có BC = 7cm, AC - AB = 1cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác, H chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC Tính độ dài HB, HC Bài 5(38) Cho tam giác ABC vuông A, ngoại tiếp đường tròn (I, r) Kẻ đường cao AH, ; Gọi M trung điểm BC; Q giao điểm AH MI; E F hình chiếu A IB IC Chứng minh AQ = EF Bài 1(39) Cho a, b, c ba số khác 0, thoả mãn 2005a + 2006b = 2007c Chứng minh ba biểu thức a2 + 2bc ; 3b4 + 4ca ; 5c6 - 6ab có biểu thức có giá trị dương Bài 2(39) Tìm tất giá trị a cho với giá trị tồn số (x, y, z) thoả mãn đẳng thức x + y + z = x2 + 4y2 ; x + 2y + 3z = a a (b + c) + b (a + c) a, b, c Bài 3(39) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = abc độ dài ba cạnh tam giác vuông (c độ dài cạnh huyền) l = 1050 ;B l = 450 ; chu vi tam Bài 4(39) Tính cạnh tam giác ABC biết A giác 27 + 18 + 9cm Bài 5(39)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = a; DA = CB = b Hỏi tìm hay không đáy lớn CD điểm E cho hai tam giác tách khỏi hình thang cho hai nhát cắt thẳng theo AE BE đồng dạng với không ? Bài 1(40) Cho ba số nguyên dương (a, b, c) (bộ ba Pitago) thoả mãn a2 + b2 = c2 Chứng minh ⎛c c⎞ a) ⎜ + ⎟ > ⎝a b⎠ Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com 16 Các toán hay TTT2 Đồng Thái Lâm (st) b) Không tồn số nguyên dương n cho tìm ba Pitago (a, b, c) ⎛c c⎞ thoả mãn ⎜ + ⎟ = n ⎝a b⎠ Bài 2(40) Tìm GTNN biểu thức P = a3 + b3 + c3 a, b, c số thực thoả mãn a ≥ −1;b ≥ −1;c ≥ −1;a + b + c = −1 Bài 3(40) Chứng minh không tồn số nguyên dương phân biệt cho tổng bốn số tuỳ ý chúng chia hết cho tổng hai số lại Bài 4(40) Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I, r) đường tròn bàng tiếp (Ia) góc A Gọi D tiếp điểm cạnh BC với (Ia) Dựng đường tròn (J, p) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với DA, DB E, F Chứng minh E, I, F thẳng hàng bán kính p (J) r Bài 5(40) Cho tam giác ABC có điểm E thuộc trung tuyến AM F hình chiếu E BC Gọi X, Y hình chiếu E AB; Z, T hình chiếu E, F AC Chứng minh tam giác EXY tam giác EZT đồng dạng Bài 1(41) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + xy + xyz = Tìm giá trị nhỏ x + y + z Bài 2(41) Chứng minh 321 - 224 - 68 - chia hết cho 1930 Bài 3(41) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2005 x y 2004 + + + =2 x + y y + 2004 4009 x + 2005 Bài 4(41) Cho tam giác ABC vuông C, BC = a; AC = b ; AB = c Gọi hc độ dài đường cao tam giác kẻ từ C Chứng minh bất đẳng thức : a+b+c ≥ 2(1 + 2) hc l = 60 Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp Bài 5(41) Cho tam giác ABC có A xúc với cạnh AB, AC, Bc điểm D, E, F Đường thẳng DE cắt đường thẳng BO, CO N, M Tính diện tích tam giác MNF theo diện tích tam giác ABC Bài 1(42) Có số tự nhiên n có chữ số thoả mãn : ước n, ước n+ ; ước n + ước n + Bài 2(42) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh 1 + + ≥3 a(1 + b) b(1 + c) c(1 + a) abc(1 + abc) Bài 3(42) Chứng minh Nếu phương trình x2 + ax + b = có nghiệm nghiệm thoả mãn x < a + b +1 Bài 4(42) Cho tam giác ABC Các điểm M, N , P theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB Biết S(ANP) = S(BMP) = S(CMN) Chứng minh ∆ANP = ∆BPM = ∆CMN Bài 5(42) Chứng minh tứ giác lồi nội tiếp tam giác có cạnh 2006 bốn cạnh lớn 1003 Xin trao đổi qua Email: lamdt_ttgdtx@yahoo.com dongthailam@gmail.com ... 17 Bài 2( 5) : Phân số Ai Cập Biểu diễn phân số 1 /2 dạng tổng phân số dương có tử số Có cách ? Bài 3(5) : So sánh A B biết : A = (20 0 320 02 + 20 022 0 02) 2003 B = (20 0 320 03 + 20 022 003 )20 02 Bài 4(5)... minh : OB > OC Bài 5(15) : Tính : S2004 = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 3 20 03 20 0 42 Bài 1(16) : Giải phương trình : y − 20 03 − x − 20 02 − z − 20 04 − + + = x − 20 02 y − 20 03 z − 20 04 Bài 2( 16) : Cho... chữ số để số chia hết cho Bài 2( 4) : Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện : 20 02 20 02 20 02 =1 ⎪⎧a + b + c ⎨ 20 03 20 03 20 03 ⎪⎩a + b + c = Tính tổng : a2001 + b20 02 + c2003 Bài 3(4) : Cho x, y, z số