Đang tải... (xem toàn văn)
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC CỘNG ĐỒNG HỌC TẬP BOX THCS Lưu ý : Tài liệu không phục vụ mục đích thương mại, ghi rõ nguồn khi chia sẻ CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN Tổng hợp: Hoàng Quốc Khánh Học sinh THCS Đồng Lạng Đức Thọ Hà Tĩnh LATEX : HoangKhanh2002 Tháng 5, 2017 Diễn đàn toán học VMF Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Đây là tài liệu miễn phí. Bất cứ ai cũng có thể tải về và chia sẻ đến những người khác, nhưng khi chia sẻ, vui lòng ghi rõ nguồn tài liệu. Mọi hành động sử dụng tài liệu này vào mục đích thương mại đều phải được sự cho phép bằng văn bản của các thành viên diendantoanhoc.net cũng như tác giả, nếu không sẽ bị coi là vi phạm bản quyền. LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 2 Diễn đàn toán học VMF Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên LỜI NÓI ĐẦU Các bạn học sinh thân mến Kì thi tuyển sinh vào bậc THPT luôn là một kì thi cam go, quyết liệt đối với các bạn học sinh, nhất là các bạn học sinh muốn thi vào các trường chuyên. Trước nhu cầu bức thiết về tài liệu ôn thi, các thành viên box THCS của trang web diendantoanhoc.net đã lập ra một topic: Ôn thi vào THPT chuyên toán 20172018. Để dễ dàng trong việc học tập, tôi (HoangKhanh2002 người lập ra topic này) xin tổng hợp lại các bài toán trên topic để các bạn dễ dàng sử dụng. Trong quá trình tổng hợp, tôi gặp nhiều khó khăn vì chưa rành nhiều về LATEX. Đặc biệt có trên topic có lệnh frac mà khi đem vào tôi phải chỉnh lại dfrac rất mất thời gian. Vì thời gian có hạn, trong quá trình tổng hợp không thể tránh khỏi những sai sót, xin bạn đọc đóng góp về địa chỉ email: hoangquockhanh1509gmail.com, hoặc nhắn tin cho tôi tại địa chỉ: https:diendantoanhoc.netuser155843hoangkhanh2002 Ngoài ra các bạn cũng có thể xem thêm tại: https:diendantoanhoc.net Tổng hợp: Hoàng Quốc KhánhHọc sinh THCS Đồng Lạng Đức Thọ Hà Tĩnh
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC CỘNG ĐỒNG HỌC TẬP BOX THCS Lưu ý : Tài liệu không phục vụ mục đích thương mại, ghi rõ nguồn chia sẻ CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN Tổng hợp: Hoàng Quốc Khánh - Học sinh THCS Đồng Lạng - Đức Thọ - Hà Tĩnh LATEX : HoangKhanh2002 Tháng 5, 2017 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Đây tài liệu miễn phí Bất tải chia sẻ đến người khác, chia sẻ, vui lòng ghi rõ nguồn tài liệu Mọi hành động sử dụng tài liệu vào mục đích thương mại phải cho phép văn thành viên diendantoanhoc.net tác giả, không bị coi vi phạm quyền LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên LỜI NÓI ĐẦU Các bạn học sinh thân mến! Kì thi tuyển sinh vào bậc THPT kì thi cam go, liệt bạn học sinh, bạn học sinh muốn thi vào trường chuyên Trước nhu cầu thiết tài liệu ôn thi, thành viên box THCS trang web diendantoanhoc.net lập topic: Ôn thi vào THPT chuyên toán 2017-2018 Để dễ dàng việc học tập, (HoangKhanh2002- người lập topic này) xin tổng hợp lại toán topic để bạn dễ dàng sử dụng Trong trình tổng hợp, gặp nhiều khó khăn chưa rành nhiều LATEX Đặc biệt có topic có lệnh frac mà đem vào phải chỉnh lại dfrac thời gian Vì thời gian có hạn, trình tổng hợp tránh khỏi sai sót, xin bạn đọc đóng góp địa email:hoangquockhanh1509@gmail.com, nhắn tin cho địa chỉ: https://diendantoanhoc.net/user/155843-hoangkhanh2002/ Ngoài bạn xem thêm tại: https://diendantoanhoc.net Tổng hợp: Hoàng Quốc Khánh-Học sinh THCS Đồng Lạng - Đức Thọ - Hà Tĩnh LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên PHẦN I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bài 1: 5x3 + 3y = + 2xy 3x3 + 2y = − 3xy Lời giải x3 = 13xy − 12 (1) y = −21xy + 22 (2) Đặt t = xy ⇒ t3 = (13t − 12)(−21t + 22) ⇔ t3 + 273t2 − 538t + 24 = ⇔ (t − 1)(t2 + 274t − 264) = Tới tìm giá trị t xy từ thay vào (1) (2) tìm x, y Bài 2: Từ HP T suy ra: x3 + y + x2 (y + z) = xyz + 14 y + z + y (z + x) = xyz − 21 z + x3 + z (x + y) = xyz + Lời giải Cộng pt ta có: 2(x3 + y + z ) + x2 (y + z) + y (z + x) + z (x + y) = 3xyz ⇔ (x3 + y + z − 3xyz) + [x3 + x2 (y + z)] + [y + y (z + x)] + [z + z (x + y)] = ⇔ (x + y + z)(x2 + y + z − xy − yz − zx) + x2 (x + y + z) + y (x + y + z) + z (x + y + z) = ⇔ (x + y + z)(2x2 + 2y + 2z − xy − yz − zx) = ⇒ x + y + z = (do 2x2 + 2y + 2z − xy − yz − zx > 0∀x, y, z) Tới rút gọn hệ dạng sau: y = xyz + 14 z = xyz − 21 x3 = xyz + Nhân pt (2) ta có: (xyz)3 = (xyz + 14)(xyz − 21)(xyz + 7) ⇔ (xyz)3 = (xyz)3 + (14 − 21 + 7)(xyz)2 + (14.7 − 14.21 − 7.21)xyz − 7.14.21 ⇔ 73 xyz = −73 ⇔ xyz = −6 Thay vào (2) ta nhận hệ pt: y = −6 + 14 y3 = y=2 3 z = −3 z = −6 − 21 ⇔ z = −27 ⇔ 3 x =1 x = −6 + x =1 Bài 3: (x + 3)3 = − 2y z + 4y = 8y (2z − x)(x + 3) = 5x + 16 z≥0 Lời giải (x + 3)3 = − 2y(1) z + 4y = 8y(2) (2z − x)(x + 3) = 5x + 16(3) z ≥ 0(4) Từ (3) ⇒ 2xz + 6z − x2 − 3x = 5x + 16 ⇔ x2 + 8x − 2xz + 16 − 6z = ⇔ x2 − x(2z − 8) + 16 − 6z = LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Phương trình (3) có nghiệm ⇔ ∆ = (2z − 8)2 − 4(16 − 6z) = 4z − 40z ≥ ⇔ z ≤ ∨ z ≥ 10(∗) Từ (2) suy z = 8y − 4y = − 4(y − 1)2 ≤ ⇒ −2 ≤ z ≤ 2(∗∗) Kết hợp (4), (*) (**) ta suy z = Do đó: x = −4; y = Vậy (x; y; z) = (−4; 2; 0) Bài 4: x + 3y x + =3 x + y2 y − 3x y − =0 x2 + y Lời giải ĐKXĐ: x,y không đồng thời xy + 3y xy + = 3y 3y − x + y2 HP T ⇒ ⇒ 2xy + = 2y ⇒ x = xy − 3x 2y =0 xy − 2 x +y Thay vào (2) ta được: 9y − (3y − 3)2 + y3 − y + = ⇒ 4y + 5y − = ⇒ y = ⇔ x2 y + y − y + 3x = ⇔ 4y 2y y = 1, x = y = −1, x = Vậy (x, y) ∈ {(0; 1); (3; −1)} Bài 5: x4 − 2y = y − 2z = z − 2x = Lời giải −1 Dễ thấy x, y, z > Trừ phương trình thứ phương trình thứ hai, phương trình thứ hai phương trình thứ ba ta hệ mới: (x − y)(x + y)(x2 + y ) + 2(z − y) = (1) (y − z)(y + z)(y + z ) + 2(x − z) = (2) Giả sử x ≥ y > 0, từ (1) suy y ≥ z suy z ≥ x (do (2) ) Do x ≥ y ≥ z ≥ x > ⇔ x = y = z Thay vào 2x4 − 4x + = √ 4 2 2 2x − x + = ⇔ 2x + 4x + − 4x − 4x − = ⇔ 2(x + 1) = (2x + 1) ⇔ 2(x + 1) = √ 2x + 1√∨ 2(x + 1) = −2x − √ √ +) 2(x2 + 1) = −2x − ⇔ 2x2 + 2x + + (vô nghiệm) √ √ √ √ √ 2±2 2−1 √ +) 2(x + 1) = 2x + ⇔ 2x − 2x − + ⇒ ∆ = − ⇒ x = = 2 √ 1± 2−1 √ =y=z Bài 6: =7 4xy + 4(x2 + y ) + (x + y)2 2x + =3 x+y Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Ta có: 3[(x + y) + ] + (x − y)2 = 13 = x + y (x + y) ⇔ HP T ⇔ [(x + y) + =3 (x + y) + (x − y) + x+y ] + (x − y) = x+y a = 2, b = 1 3a2 + b2 = 13 Đặt x + y + = a; x − y = b ⇒ ⇔ a+b=3 a = − ,b = x+y 2 Từ tìm (x, y) = (1; 0) Bài 7: 3(x + y)2 + (x − y)2 + x4 + 5y = x2 y + 5x = Lời giải Trừ vế với vế phương trình được: x=y (x − y)(x3 + x2 y − 5) = ⇔ x3 + x2 y = x=y=1 •x = y ⇒ x = y = −2 − x4 6x2 − x6 •x3 + x2 y = : Từ (1) suy y = ⇒ x3 + = ⇔ 5x3 + 6x2 − x6 = 25 ⇔ 5 2x6 − 10x3 − 12x2 + 50 = ⇔ (x3 − 5)2 + [(x6 + + 8) − 12x2 ] + = 0, phương trình vô nghiệm Vậy (x, y) ∈ {(1; 1); (−2; −2)} Bài 8: −5 x2 (y − z) = y (z − x) = z (x − y) = Lời giải −5 x (y − z) = (1) y (z − x) = 3(2) z (x − y) = (3) Ta có "vòng đặc biệt" này: (x2 y − z x2 ) + (y z − x2 y ) + (z x2 − y z ) = Từ đó, ta lấy: (1).(y + z) + (2).(z + x) + (3).(x + y) = 0, ta được: y − z = x √ Thế vào phương trình đầu ta được: x = − , y = − 18, z = − √ 3 12 Bài 9: y + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 121 y2 + = x Lời giải Xét x = thỏa mãn hệ Xét trường hợp: x ≥ ta có: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ 120 Suy ra: y ≤ LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Từ pt (2) suy ra: x ≤ Do đó: x = Tương tự trường hợp x ≤ Từ y = ±1 Bài 10: x4 + 2x3 y − 2x2 y − 12xy + 8y + = 2x3 y + y = Lời giải Thay 2x3 y + y = 1vào PT đầu : Ta có x4 + 4x3 y − 2x2 y − 12xy + 9y = ⇔ (x + 3y)2 (x − y)2 = Đến dễ ta cần thay : x = y hoăc x = −3y vào phương trình Bài 11: y − x3 = x3 − y + x = −2 Lời giải Từ pt (1) ta có: (y − 2)(y + 2y + 2) = (x − 1)(x2 + x + 1) (∗) Thế x3 = y − vào pt (2), ta được: y − y − = − x ⇔ (y − 2)(y + y + 2) = − x (∗∗) Nếu x ≥ từ (∗) ⇒ y ≥ 2, (∗∗) ⇒ x ≤ Nên x = 1, y = Tương tự trường hợp lại Bài 11: 121x − 122y x4 − y = 4xy 122x + 121y 2 x + 14x y + y = x2 + y Lời giải Điều kiện: x = 0; y = 0; x = ±y (1) ⇔ 4xy(x4 − y ) = 121x − 122y (3) (2) ⇔ (x4 + 14x2 y + y )(x2 + y ) = 122x + 121y (4) Lần lượt nhân (3) (4) cho (x + y), (x − y), ta được: 4xy(x4 − y )(x + y) = (121x − 122y)(x + y) (5) (x4 + 14x2 y + y )(x2 + y )(x − y) = (122x + 121y)(x − y) (6) Chú ý rằng: (122x + 121y)(x − y) − (121x − 122y)(x + y) = x2 + y Do lấy (6) − (5), ta được: ⇔ (x − y)5 = ⇔ x − y = Đặt t = x + y Khi đó: x2 − y = t t2 + x2 + y = t−1 4xy = t2 − y = LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! 243 − t Thay vào (3) ta t = x+y =3 Từ ta giải hệ: x − y = ⇔ Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên 121x − 122y = x=2 y = HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Bài 1: 1 √ + − = y x 1 √ + − = y x Lời giải 1 = a; = b x y√ √ a + √ − b = 2(1) Hệ → √ b + − a = 2(2) ĐK < a; b ≤ Xét a = b = thay vào (1) → loại Trừ hệ ta√có √ vế√ √ theo a− b+ 2−b− 2−a=0 a−b 2−b−2+a √ +√ √ ⇔√ =0 2−b+ 2−a a+ b 1 √ +√ √ )=0 ⇔ (a − b)( √ 2−b+ 2−a a+ b →a=b Thay a√= b vào (1) ta có √ √ √ a+ 2−a= ⇔ − a = + a − a → 2( a − 1)2 = → a = 1 =1 →a=b=1→ x =1 y →x=y=1 Bài 2: Đặt + y = x2 − 2y √xy + x √ x 2y − y x − = 2x − 2y Lời giải Phương trình (1) ta biến đổi thành (x + y)(x − 2y − 1) = Mặt khác x + y > nên x = 2y + Thay x = 2y + vào phương trình để phương trình ẩn y ta y = 2, x = Vậy x = 5, y = nghiệm phương trình Bài 3: x + y − x2 = 12 − y x y − x2 = 12 Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Ta có (12 − y)2 = (x + y − x2 )2 = y + 2x hpt (x, y) = {(3, 5), (4, 5)} Bài 4: y − x2 = y + 24 ⇒ y = ⇒ x = 3, x = Vậy nghiệm (x2 + xy + y ) x2 + y = 185) (x2 − xy + y ) x2 + y = 65 Lời giải Cộng hai vế hai phương trình lại với ta 2(x2 + y ) x2 + y = 250 ⇒ x2 + y = 25 ⇒ xy = 12 Do (x + y)2 = 49, (x − y)2 = ⇒ (x, y) = {(3, 4)(4, 3)(−3, −4)(−4, −3)} Bài 5: √ √ x+ y+ x− y =2 √ √ y+ x+ y− x=1 Lời giải √ √ √ √ 2x + (x + y)(x − y) = x + (x + y)(x − y) = √ √ √ √ ⇔ 2y + (y + x)(y − x) = 2y + (y + x)(y − x) = x2 − y = − x x2 − y = − 2x + x2 ⇔ ⇔ 4y − 4x = − 4y + 4y 2 y − x = − 2y x = 17 2x − y = −y = − 2x ⇔ −4x = − 4y ⇔ 4y − 4x = ⇔ y = 92 Bài 6: ⇔ √ 2b = b + 42a √ 3+ a=2 b + 42a Lời giải 3− Hệ tương đương với : 6= √ +√ a 2b 10 =√ −√ b + 42a a 2b 60 = − ⇒ (b − 3a)(b + 28a) = b + 42a a b Do ta vào hệ tìm a b Bài 7: x + x2 − y 9x = 2 x− x −y + 3x x = y 30 − 6y Lời giải Nhân vế với vế ta Từ PT (2) có : x(30 − 6y) = y(5 + 3x) ⇔ 9xy = 5(6x − y) ⇔ 6x − y x= (y = 0) y LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Khi pt (1) : x+ x2 − y Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên = x − x2 − y 3x2 − 3x x2 − y ⇔ x(3x − +) Với x = ⇔ Không có y 6x − y 2x 6x ⇔ = ⇒ 2xy = 6x2 − 6x 2 y y x− x −y 2 x − y − y) = x2 − y ⇒ xy = 6x − y 15y 9y + Với 3x − y = x2 − y ta có 5y = 3x ⇔ d x = ⇔ = ⇔ y = ⇒ x = ĐS: y y x = 5, y = LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 10 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỌC Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 − 2x = 27y Lời giải (x − 1)2 = (3y + 1)(9y − 3y + 1) Gọi (3y + 1; 9y − 3y + 1) = d ⇒ (3y + 1) d (9y − 3y + 1) d (3y + 1) d (9y + 3) d ⇒ ⇒ ⇒d=1 (3y + 1)2 − 9y d 9y d Do 3y + = giải tiếp dành cho bạn đọc Nhận xét: Đây toán Đề kì THTT sô 472 Tháng 10/2016 Bài 2: Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: (x + y)3 = (x − y − 6)2 Lời giải √ Từ giả thiết ⇒ |x − y − 6| = (x + y) x + y > x + y (do x, y ≥ 1) Xét trường hợp: - Nếu x ≥ y + ⇒ |x − y − 6| = x − y − > x + y ⇔ −2y − > Mà y > ⇒ vô lí - Nếu x < y + ⇒ |x − y − 6| = y + − x > x + y ⇔ − 2x > ⇔ x < Mà x nguyên dương ⇒ x ∈ {1; 2} - Với x = thay vào phương trình cho ⇒ y = - Với x = thay vào phương trình cho ⇒ y ∈ / N∗ Vậy x = 1; y = Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x + 3y = z Lời giải Trường hợp VP chia hết cho Nhờ ta suy x = giải nghiệm (3; 0; 3) Vì z số phương nên chia cho dư Do z − 3y = 2x chia cho dư - Xét x lẻ suy 2x chia cho dư (loại) - Xét x chẵn Đặt x = 2k Khi ta có z − 22k = 3y ⇒ z − 2k z + 2k = 3a 3b Trong a, b số tự nhiên thỏa mãn a + b = y a ≥ b z + 2k = 3a Do ⇒ 2.2k = 3a − 3b ⇒ 2k+1 = 3b 3a−b − ⇒ 2k+1 3b , vô lí k b z−2 =3 Vậy b = Khi ta có 2k+1 + = 3y - Xét y ≤ không thỏa mãn - Xét y = suy rak = Ta có (x; y; z) = (0; 1; 2) thỏa mãn - Xét y ≥ Nếu k + ≥ 2k+1 + = 64.2n + không chia hết cho 9, mà 3y chia hết cho Vậy ≤ k +1 ≤ Lần lượt thay k + = 0, 1, 2, 3, 4, ta có k = thỏa mãn Suy (x; y; z) = (4; 2; 5) thỏa mãn Bài 4: LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 11 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn: P (2012) = P (2013) = P (2014) = 2013 Chứng minh đa thức P (x) − 2014 nghiệm nguyên Lời giải Giả sử đa thứcP (x) − 2014 có nghiệm nguyên a Ta nhận thấy P (x) = (x − 2012)(x − 2013)(x − 2014).Q(x) + 2013 Do P (a) − 2014 = nên (a − 2012)(a − 2013)(a − 2014).Q(a) + 2013 − 2014 = hay (a − 2012)(a − 2013)(a − 2014).Q(x) = Mặt khác; VT số chẵn ,VP số lẻ nên vô lí Vậy đa thức P (x) − 2014 nghiệm nguyên (đpcm) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x2 + 6y + 2z + 3y z − 18x = Lời giải Ta có 3(x − 3)2 + 6y + 2z + 3y z = 33 từ ta có 3(x − 3)2 ≤ 33 tức (x − 3)2 ≤ 11 Vì (x − 3)2 số phương nên ta có (x − 3)2 ∈ {0; 1; 4; 9} -Với (x − 3)2 = (3y + 2)(z + 2) = 37 Suy 3y + = z + = 37 3y + = 37 Hoặc z2 + = (Trường hợp vô nghiệm Lý luận tương tự với trường hợp lại ta có Các nghiệm phương trình (x; y; z) = (6; 1; 0) : (6; −1; 0); (0; 1; 0) (0; −1; 0) Bài 6: Tìm số nguyên dương x, y cho A = x2 + y + x2 y số phương (x + y)2 Lời giải 2 xy xy = x+y− x+y x+y xy Để A số phương cần phải có ∈ N x+y xy Đặt = k (k ∈ N) suy (x − k)(y − k) = k (1) x+y Đặt (x − k; y − k) = d ⇒ x, y, k d ⇒ x = dx1 ; y = dy1 ; k = dk1 Suy (x1 − k1 )(y1 − k1 ) = k12 mà (x1 − k1 ; y1 − k1 ) = nên x1 − k1 = a2 y1 − k1 = b2 , k1 = ab Vậy x = dab + da2 y = dab + db2 với d, a, b ∈ N Thử lại ta thấy Bài 7: Ta có: A = (x + y)2 − 2xy + 5x2 + 2y + z = xy + yz + zx = Lời giải Giải hệ phương trình: Ta thấy vấn đề khử số hạng tự tìm quan hệ biến Lấy PT (1) trừ lần PT (2), ta được: 5x2 + 2y + z − 2xy − 2yz − 2zx = ⇔ (2x − y)2 + (x + y − z)2 = LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 12 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên 2x = y x+y =z Từ ta được: y = 2x z = 3x Bài 8: ⇔ Tìm cặp số (x, y) số nguyên dương thỏa mãn: x3 + x số nguyên dương xy − Lời giải x3 + x ∈ Z + ⇒ (x3 + x) (xy − 1) ⇒ (x3 + x)y (xy − 1) ⇔ x2 (xy − 1) + x(x + y) (xy − 1) ⇒ xy − x(x + y) (xy − 1) xy d Gọi d = (x; xy − 1) ⇒ ⇒ d = xy − 1.d Vì vậy: (x + y).(xy − 1) ⇒ x + y ≥ xy − ⇔ xy − x − y − ≤ ⇔ (x − 1)(y − 1) ≤ Xét trường hợp, xin dành cho bạn đọc Bài 9: Ta có: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y = 3z Lời giải Từ giả thiết suy ra: x2 + y Do số nguyên tố dạng 4k+3 nên: x y Đặt x = 3x1 y = 3y1 Thay vào phương trình đầu giản ước hai vế cho 3, ta có: 3x21 + 3y12 = z Suy ra:z → z = 3z1 Từ đó, ta có: x21 + y12 = 3z12 Dùng nguyên lí cực hạn , phương trình có nghiệm (0, 0, 0) LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 13 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: √ Giải phương trình: 5x2 + 8x − 14 = (x2 + 7x − 10) x + Lời giải ĐK: x ≥ −2 √ √ Phương trình cho tương đương với: (−5 x + + x + 7)(x x + + 2) = √ x+ √7 = x + ⇔ x x + = −2 √ x2 − 11x − = 11±5 ⇒ ⇒ x = x + 2x2 + = Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = Tìm GTLN của: P = 4a2 + 4b2 + 4c2 + + + a3 + b +1 c +1 Lời giải a 4a2 + ≤ + a +1 4 ⇔ 16a2 + ≤ (a3 + 1)(a + 9) ⇔ (a2 + 11a + 5)(a − 1)2 ≥ (Đúng a ≥ 0) 4b2 + b 4c2 + c Tương tự ta có: ≤ + 4, ≤ + b +1 c +1 4 a b c 15 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: P ≤ ( + + ) + = 4 4 Dấu xảy a = b = c = Bài 3: √ Giải phương trình: − x2 = 4x3 − 3x Lời giải √ −x2 = 4x3 −3x ⇒ 1−x2 = 16x6 −24x4 +9x2 ⇔ 16x6 −24x4 +10x2 −1 = ⇔ (8x4 −8x2 +1)(2x2 −1) = √ √ 2+ 2 + x = x = ± 4√ √ ⇔ x2 = − ⇔ x = ± − √ 2 x = x=± 2 √ √ √ − 2+ 2− Thử lại ta có: x ∈ ; ;− 2 Bài 4: Trước hết ta chứng minh Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a2 + 2b2 + 3c2 = 3abc Tìm GTNN biểu thức: P = 3a + 2b + c + + + a b c Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 14 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Áp dụng BĐT AM - GM ta có: √ 3abc√ = a2 + 2b2 + 3c2 = a2 +√b2 + b2 + c2 + c2 + c2 ≥ a2 b4 c6 √ 6 ⇒ a6 b c ≥ a2 b c ⇒ a4 b ≥ √ a+a+b 2a + b ⇒ ≤ a2 b ≤ = ⇒ 2a + b ≥ 3 8 1 Ta có: P = 3a + 2b + c + + + = 2a + + b + + c + + (2a + b) ≥ 2.4 + 2.3 + 2.2 + = 21 a b c a b c 2 Dấu "=" xảy khi: a = b = c = Bài 5: Cho x, y hai số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2015(x + y)2 2016(x + y)2 + x2 + y xy Lời giải 2015(x + y)2 2015(x + y)2 2015(x + y)2 (x + y)2 + + + x2 + y 2xy 2xy xy 2015.4(x + y)2 2015.4xy 4xy ≥ + + = 2015.4 + 2015.2 + = 12094 (x + y)2 2xy xy Dấu xảy x = y Bài 6: Ta có A = Giải phương trình: x = x− x + 1− x Lời giải ĐK: x > Phương trình cho tương đương với 1 x− 1− = x− x x ⇔ (x − − ) = ( x − )2 x x 2 ⇔ (x − 1) + x = √ − 1) − 2√ x(x 2 ⇔√ ( x − − x) = √ ⇔ x2 − √1 − x = ⇔ x = 1+2 Bài 7: √ √ Giải phương trình: (x + 2) x2 − 2x + = (x − 1) x2 + 4x + Lời giải √ √ Đặt a = x − 1, b = x + ⇒ a b2 + = b a2 + ⇒ a2 = b2 ⇒ a = −b ⇒ x = −1 Thử thấy không thỏa mãn nên vô nghiệm ! Bài 8: Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x.y.z = Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P = 3 + 3 + 3 3 x (y + z ) + y (z + x ) + z (x + y ) + Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 15 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Áp dụng bổ đề sau: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ (a − b)2 ≥ (a, b > 0) 1 + + Ta có: P ≤ x yz(y + z) + y xz(x + z) + z yx(y + x) + 1 1 = + + x(xy + xz) + xyz y(xy + yz) + xyz z(yz + xz) + xyz 1 1 ( + + ) = xy + yz + zx x y z = (xy + yz + zx) = xy + yz + zx ⇒ M axP = x = y = z = Bài 9: 1−x 2x + x2 = x + x2 Lời giải Giải phương trình: 2x − 1 − 2x 2x − 1−x √ −1= ⇔ = 2 x 1+x x +1 x+ x−x Từ dễ suy x= Bài 10: Ta có ⇔ 1 + + = Chứng minh a b c (a + b − c − 1)(b + c − a − 1)(a + c − b − 1) ≤ Lời giải Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn Đặt a + b − c − = 2x3 , b + c − a − = 2y , c + a − b − = 2z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương xyz ≤ 1 1 + + =1 Từ cách đặt ta có: 3 x + y + z + y + x + z3 + Giả sử xyz > ⇒ xyz(x + y) + z > x + y + z (1) Mặt khác xy(x+y)+1 ≤ x3 +y +1 ⇒ z[xy(x+y)+1] ≤ z(x3 +y +1) ⇒ xyz(x+y)+z ≤ z(x3 +y +1) (2) z Từ (1), (2) suy x + y + z < z(x3 + y + 1) ⇒ > x+y+z x + y3 + 1 x Tương tự ta có: > x+y+z z + y3 + y > x+y+z x + z3 + 1 1 Cộng bất đẳng thức ta có: = + + < (Vô lí) 3 x + y + z + y + x + z3 + Vậy điều giả sử sai ⇒ xyz ≤ ⇒ ĐPCM Bài 11: a2 b2 c Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2 (a + b) (b + c) 4a Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 16 Diễn đàn toán học VMF! Ta có: P = b c +1 a b + a2 b2 c = + + 2 (a + b) (b + c) 4a Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên 1+ b a + 1+ c b + b c ≥ a b 1 b c + = b c a b 1+ a b 1 − ≥1− = b c 4 1+ a b 1 (chứng minh biến đổi tương đương) + ≥ Vì có BĐT: 2 (1 + a) (1 + b) + ab Bài 12: √ √ √ √ Cho số thực dương a, b, c thỏa b2 + c2 + c2 + a2 + a2 + b2 = 2015 a2 b2 c2 Tìm Min P = + + b+c a+c a+b Lời giải √ √ √ Đặt a2 + b2 = x, b2 + c2 , c2 + a2 √ √ (a + b) a + b a2 + b √ = √ ⇒ ≥ a + b (1) Suy x2 + y − z = 2b2 a2 + b2 ≥ 2 x2 + y − z x2 + z − y z + y − x2 + + P 2(b + c) 2(c + a) 2(a + b) 2 x +y −z x2 + z − y z + y − x2 √ √ √ Từ (1) suy P ≥ + + 2z 2y 2x x2 z y2 z2 x2 y = √ ( + −y+ + −x+ + − z) y x x z z 2 y x2 z2 y2 z2 x2 y2 = √ ( +y+ + y − 3y + +x+ + x − 3x + +z+ + z − 3z) y x x z z 2 y z2 x2 + y ≥ 2x, + y ≥ 2z, tương tự Mặt khác áp dụng bđt AM − GM ta có: y y x2 z2 y2 z2 x2 y2 √ Suy ( + y + + y − 3y + + x + + x − 3x + + z + + z − 3z) ≥ √ (x + y + z) = y x x z z 2 y 2 √ √ 2015 2 Đẳng thức xảy x = y = z Bài 13: √ Giải phương trình sau: 16x4 + = 4x3 + x Lời giải ĐKXĐ: x > Ta có 16x4 + = 16x4 + + ≥ 8x2 + = 4x2 + (4x2 + 1) + ≥ 4x2 + 4x + = (4x2 + 1) + 4x + ≥ √ 3 8x(4x2 + 1) = 4x3 + x ⇒ x = (TM) Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 1 S = (3 + + )(3 + + )(3 + + ) a b b c c a Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 17 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có √ 1 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ ⇒ ≥ 8(1) abc Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM 1 1 1 1 + + = + + + + + ≥ 8 a b a b 2 2 ab 1 Tương tự + + ≥ 8 c b bc 1 + +3≥88 a c ac Từ ta có S ≥ 83 218 2 abc Kết hợp với (1) suy minS = 64 Dấu xảy ⇔ a = b = c = Bài 15: Cho a, b, c cạnh tam giác, chứng minh a b c ab + bc + ca + + + ≤ 2 b+c a+c a+b a +b +c Lời giải a b c ab + bc + ca (a + b + c)2 b+c−a ) + (1 − ) + (1 − )≥ + ⇔ ≥ b+c c+a a+b 2(a2 + b2 + c2 ) b+c 2(a2 + b2 + c2 ) Do a, b, c cạnh tam giác nên ta đảm bảo tử dương Nên ta có: (a + b + c)2 b+c−a [(b + c − a) + (c + a − b) + (a + b − a)]2 = ≥ ⇒ Q.E.D (b + c)(b + c − a) b+c 2(a2 + b2 + c2 ) Bài 16: (1 − Giải phương trình sau: (x + 3) (4 − x)(12 + x) = 28 − x Lời giải ĐKXĐ:−12 ≤ x ≤ Đặt u = x + v = (4 − x)(12 + x) Do phương trình ban đầu tương đương u2 + v x+3= uv = − ⇔ (u − v)2 = ⇔ x+3= Đến biến đổi bình phương vế Bài 17: (4 − x)(x + 12) + (4 − x)(x + 12) − Với a,b,c số nguyên dương, chứng minh (1 + a3 )(1 + b3 )(1 + c3 ) ≥ (1 + a2 b)(1 + b2 c)(1 + c2 a) Lời giải (1 + a3 )(1 + a3 )(1 + b3 ) ≥ (1 + a2 b)3 ⇒ ( (1 + a3 ))3 ≥ ( (1 + a2 b))3 ⇒ Q.E.D Bài 18: √ Giải phương trình x3 + 5x2 + 10x = (3x2 + 3x + 6) x + Lời giải LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 18 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên √ Đặt x + = a ⇒ x(x2 + 5a2 ) = 3(x2 + a2 )a ⇒ x = a ⇒ x2 − x − = ⇒ x = theo điều kiện x > Bài 18: Chứng minh a b c + + ≥ (a + b + c − 1), a, b, c số thực dương thỏa mãn điều b c a kiện abc = Đẳng thức xảy nào? Lời giải a a b Theo BĐT AM − GM cho số dương ; v , ta có: b b c a a b a a 3 + + ≥3 =3 = 3a b b c bc abc Chứng minh tương tự, cộng vế theo vế BĐT ta đpcm Bài 19: Cho x > 1, y > 0.Chứng minh 1 x−1 3 − 2x x ) + + ) + ( ≥ 3( (x − 1)3 y y3 x−1 y Lời giải Bài chủ yếu dùng AM − GM cho số +1+1≥ x−1 (x − 1) 3(x − 1) (x − 1)3 Ta có +1+1≥ y3 y +1+1≥ y3 y Cộng vế theo vế ,ta (x − 1)3 1 x−1 − 2x x + + ≥ 3( + + − 2) = 3( + ) (đpcm) (x − 1)3 y3 y3 x−1 y y x−1 y Dấu = xảy x = 2, y = Bài 20: Cho a, b, c số thực không âm, thỏa mãn a +√ b > 0, b + c > 0,c + a > a b c ab + bc + ac CMR: + + + b+c a+c a+b a+b+c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Holder a (a + b + c)3 (a + b + c)3 a+b+c √ ≥ ≥ = b+c a2 (b + c) (a + b + c)(ab + bc + ca) ab + bc + ca √ a+b+c ab + bc + ca Vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành √ + ≥6 a+b+c ab + bc + ca ( theo AM-GM ) √ 7±3 Dấu xẩy a = 0, b = c hoán vị LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 19 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên Thank you for reading Sẽ tiếp tục cập nhật ! LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 20 ... không bị coi vi phạm quyền LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên LỜI NÓI ĐẦU Các bạn học sinh thân mến! Kì thi tuyển sinh vào bậc THPT kì thi. .. cam go, liệt bạn học sinh, bạn học sinh muốn thi vào trường chuyên Trước nhu cầu thi t tài liệu ôn thi, thành viên box THCS trang web diendantoanhoc.net lập topic: Ôn thi vào THPT chuyên toán 2017-2018... y x = 5, y = LATEX bởi: Hoàng Quốc Khánh 10 Diễn đàn toán học VMF! Tổng hợp chuyên đề ôn thi vào 10 chuyên PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỌC Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 − 2x = 27y