trờng thcs chu mạnh Trinh Đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2016 - 2017 Môn: Toán Ngày thi: 19 tháng 05 năm 2017 Thời gian làm bài: 120 phút Cõu (2.0 im) a) Tớnh giỏ tr biu thc: A = 33 + 42 13 + 23 + 32 0, 64 (5) 316.78 275.(49)4 (81.49) (21)9 37 b Tìm cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = Cõu (1.5 im) a Tìm điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = x , biết 5y + x = b Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện : (x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) , với x R Chứng minh đa thức f(x) có nghiệm số nguyên tố Cõu (2.0 im) a) Tỡm s a, b, c bit: 3a 2b 2c 5a 5b 3c = = a + b + c = 50 b) Chng minh rng: Nu x y z = = a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c thỡ a b c = = x + y + z 2x + y z 4x y + z Cõu (1.0 im) lm xong mt cụng vic thỡ 21 cụng nhõn cn lm 15 ngy Do ci tin k thut nờn nng sut ca mi ngi tng thờm 25% Hi 18 cụng nhõn phi lm bao lõu mi xong cụng vic ú? Cõu (2.5 im) Cho tam giác ABC cân A có BAC = 20o Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM = BC Vẽ tam giác ACN (N C thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ đờng thẳng AB) a) Tính BCN b) Chứng minh AMB = CBN c) Tính số đo ABM Cõu (1.0 im) Cho ba s a, b, c tha món: a b + c + v a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca c - Ht * Ghi chỳ: Hc sinh khụng c s dng mỏy tớnh cm tay Hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2016 - 2017 Môn: Toán trờng thcs chu mạnh Trinh ỏp ỏn Cõu A= 3 +4 - +2 +3 0,64 - ( -5 ) 16 - im - 27 ( -49 ) ( 81.49 ) - ( -21) 37 316.78 - 315.78 = - 16 16 5.0,8 - 25 + 15 - ( - 1) = - 316.78 (1+ ) 25 - 36 a = b -1 11 = 1= -1 3.8 12 12 x - y + 2xy = => 2x - 2y + 4xy = => (2x + 4xy) - 2y = => 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = => (2x - 1).(2y + 1) = Vì x, y nguyên => 2x - 2y + nguyên => 2x - 2y + ớc Ta có bảng giá trị nh sau : 2x - 1 -1 -5 2y + -5 -1 x -2 y -3 -1 Thử lại chọn chọn chọn chọn Vì điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = - x => y0 = - x0 Mà 5y + x = => a - Nếu x0 ta có : mãn x0 ) - Nếu x0 < ta có : -10 -5 x + x = => x + x = 3 -5 x + x = => x0 = -6 (không thỏa -5 x - x = => x0 = - (thỏa mãn x0 < 0) => y0 = Vậy điểm M ( - ; 1) thỏa mãn đề b (x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) (*) , với x R Thay x = vào (*) ta có : (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(1 + 8) => f(9) = Thay x = vào (*) ta có : (9 - 1) f(9) = (9 + 4) f(9 + 8) => f(17) = => x = 17 nghiệm f(x) Mà 17 số nguyên tố => f(x) có nghiệm số nguyên tố 3a 2b 2c 5a 5b 3c = = 15a 10b 6c 15a 10b 6c = = 25 a) p dng tớnh cht dóy t s bng ta cú: 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b + 6c 15a + 10b 6c = = = = 25 38 a a b = 15a 10b = 3a = 2b a c 6c 15a = 2c = 5a = 10b 6c = 5b = 3c c b = Vy a b c = = a = 10 b = 15 p dng tớnh cht dóy t s bng c = 25 x y z = = a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c = = x y z a + 2b + c 2(2a + b c) 4a 4b + c 9a = = = (1) x 2y z x + 2y + z 2(a + 2b + c) (2a + b c) 4a 4b + c 9b = = = (2) 2x 2x + y + z y z 4(a + 2b + c) 4(2a + b c) 4a 4b + c 9c = = = (3) 4x 4y 4x y + z z a b c T (1) ;(2) v (3) suy : = = x + y + z 2x + y z 4x y + z T b - Gi x l s ngy 18 cụng nhõn lm xong cụng vic ú vi nng sut khụng thay i Ta cú : Vi mt cụng vic nht nh, nng sut khụng i thỡ s cụng nhõn tie l nghch vi thi gian hon thnh cụng vic nờn 21 x = x = 17,5 ( ngy) 18 15 - Gi y l s ngy 18 cụng nhõn lm xong cụng vic ú vi nng sut tng lờn 25% Vi mt cụng vic nht nh, s ngi lm kkhoong i thỡ nng sut t l nghch vi s ngi lm nờn 100% y = y = 14 ( 125% 17,5 ngy) Vy 18 cụng nhõn phi lm 14 ngy mi xong cụng vic ú V hỡnh v lm ỳng cõu a A M N a 1,0 B C - Tính đợc ABC = ACB = 80O - Tính đợc BCN = 20O chứng minh đợc AB = CN b - AMB CBN có : AM = CB (gt) MAB = BCN ( = 20O ) AB = CN (chứng minh trên) => AMB = CBN (c.g.c) Ta có AMB = CBN (chứng minh trên) => ABM = CNB (2 góc tơng ứng) Chứng minh đợc tam giác ABN cân A c BAN = 40O ANB = 70O CNB = 10O Từ (1) (2) => ABM = 10O 0,75 (1) 0,75 Tính đợc (2) Vỡ: a b + c + nờn a + b + + c + c + + c + + c + 3c + (vỡ a + b + c = 1) Hay 3c c Vy giỏ tr nh nht ca c l: - ú a + b = 3 - Ht - ...Hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2016 - 20 17 Môn: Toán trờng thcs chu mạnh Trinh ỏp ỏn Cõu A= 3 +4 - +2 +3 0,64 - ( -5 ) 16 - im - 27 ( -49 ) (... - +2 +3 0,64 - ( -5 ) 16 - im - 27 ( -49 ) ( 81.49 ) - ( -21) 37 316 .78 - 315 .78 = - 16 16 5.0,8 - 25 + 15 - ( - 1) = - 316 .78 (1+ ) 25 - 36 a = b -1 11 = 1= -1 3.8 12 12 x - y + 2xy = => 2x... CNB (2 góc tơng ứng) Chứng minh đợc tam giác ABN cân A c BAN = 40O ANB = 70 O CNB = 10O Từ (1) (2) => ABM = 10O 0 ,75 (1) 0 ,75 Tính đợc (2) Vỡ: a b + c + nờn a + b + + c + c + + c + + c +