Dùng đạo hàm để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài tập: Chứng minh rằng: 2010 C2011 + 32.C2011 + 34.C2011 + + 32010.C2011 = 22010 (22011 1) Từ tổng quát lên cách thay 2011 số tự nhiên n Cho n số tự nhiên Chứng minh đẳng thức sau: 2009 2010 C2010 + 3C2010 + 5C2010 + + 2009C2010 = 2C2010 + 4C2010 + 6C2010 + + 2010C2010 Cho n số tự nhiên lớn Rút gọn biểu thức sau: n nk k =1 k Cnk = 2n Cn1 + 2.2n Cn2 + 3.2n Cn3 + + nCnn Tìm số tự nhiên n biết rằng: C21n +1 2.2.C22n +1 + 3.22.C23n +1 + (1) k 1.2 k 1.C2kn +1 + + (2n + 1).2 n.C22nn++11 = 2011 Chứng minh rằng: 99 100 101 199 1 100 100C ữ 101C100 ữ + 102C100 ữ + + 200C100 ữ 2 2 100 cách xét khai triển ( x + x) 100 =0 Chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên n lớn 2: 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n.(n 1).Cnn = n( n 1).2 n Bằng cách xét khai triển ( x 1) n , chứng minh đẳng thức sau với n: n 2Cn0 (n 1) Cn1 + (n 2) Cn2 + (1) n Cnn1 = Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức Lời giải Chứng minh đẳng thức lợng giác tam giác: a Ta cần chứng minh: sin A + sin B + sin C 4cos A B C cos cos = 2 Do A, B, C góc tam giác nên: A + B + C = C = ( A + B ) Cố định B, ta xét hàm số biến A nh sau: A B [ ( A + B)] = cos cos 2 A B A+ B = sin A + sin B + sin( A + B) 4cos cos sin 2 f ( A, B ) = sin A + sin B + sin [ ( A + B ) ] 4cos Ta chứng minh đạo hàm hàm số với A Thật vậy: B A A+ B A A+ B ì ìsin ìsin + ìcos ìcos ữ 2 2 2 B 2A + B Suy = cos A + cos( A + B) 2cos ìcos = 2 A + ( A + B) A ( A + B) = cos A + cos( A + B) 2cos ìcos =0 2 với B cố định f ( A, B ) hàm với A Cho A = , ta có: f ( A, B) = cos A + cos( A + B) 4cos B B B B f (0, B) = sin + sin B + sin B 4cos cos sin = 2sin B 4sin cos = 2 2 Vậy f ( A, B ) = 0, A, B (0, ) Ta có đpcm b Xét hàm số: f ( A, B ) = cos A + cos B cos( A + B ) 4sin A B A+ B sin cos 2 Tơng tự câu a., ta chứng minh f ( A, B) = f (0, B) = c Xét hàm số: f ( A, B ) = tan A B B A+ B A+ B A tan + tan cot + cot tan 2 2 2 Tơng tự câu a., ta chứng minh f ( A, B) = f (0, B) = Chứng minh đẳng thức: (a) arcsin x + arccos x = x [1, 1]; , Với x = 1, arcsin1 + arccos1 = +0 = 2 Với x = 1, arcsin( 1) + arccos( 1) = + = 2 Suy đẳng thức trờng hợp x = Xét hàm số: f ( x) = arcsin x + arccos x (arccos) = f ( x) = Cho x = x2 1 x + , (arcsin) = 1 x 1 x2 , x ( 1,1) Ta có: Suy ra: = Suy ra, hàm với x (1,1) 2 , ta có: f ( ) = arcsin ữ+ arccos ữ = 2 Do đó: f ( x) = 0, x (1,1) Từ suy ra: arcsin x + arccos x = 0, x [ 1,1] Ta có đpcm (b) arctan x + arccot x = , x Ă Cũng tơng tự câu (a), ta xét hàm số: f ( x) = arctan x + arccot x Chú ý (arctan) = Suy ra: f ( x) = , xĂ 1 , (arc cot) = 1+ x + x2 1 + = , tức hàm với x Ă + x + x2 Hơn f (1) = arctan + arccot1 = + = 4 Do đó: f ( x) = 0, x Ă Ta có đpcm 10 Xét khai triển: ( x 1) n = Cnn Cnn ìx + Cnn ìx + (1) n ìCn1 ìx n + (1) n ìCn0 ìx n Đạo hàm hai vế theo biến x, ta có: n ì( x 1) n = Cnn + ìCnn ìx + (1) n1 ì( n 1) ìCn1 ìx n + (1) n ìn ìCn0 ìx n1 Nhân hai vế biếu thức cho x, ta đợc: n ìx ì( x 1) n1 = = Cnn1 ìx + ìCnn ìx + (1) n1 ì( n 1) ìCn1 ìx n1 + (1) n ìn ìCn0 ìx n Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta có: n ì(n 1).x ì( x 1) n2 + n.( x 1) n1 = = Cnn1 + 2 ìCnn ìx + (1) n ì( n 1) ìCn1 ìx n + (1) n ìn ìCn0 ìx n1 Cho x = , ta đợc: = Cnn1 + 22 ìCnn + (1) n ì( n 1) ìCn1 + (1) n ìn ìCn0 hay (1) n ìn ìCn0 + (1) n ì( n 1) ìCn1 + + 2 ìCnn Cnn1 = Ta có đpcm 11 Xét khai triển: 2 2009 2010 (1 x) 2010 = C2010 C2010 ìx + C2010 ìx C2010 ìx + C2010 ìx 2009 + C2010 ìx 2010 Đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc: 2009 2010 2010 ì(1 x) 2009 = C2010 + ìC2010 ìx 2009 ìC2010 ìx 2008 + 2010 ìC2010 ìx 2009 Cho x = , ta có: 2009 2010 = C2010 + ìC2010 2009 ìC2010 + 2010 ìC2010 2009 2010 C2010 + 3C2010 + L + 2009C2010 = 2C2010 + 4C2010 + L + 2010C2010 Ta có đpcm 12 Xét khai triển: 100 99 98 ( x + x)100 = C100 ìx 200 + C100 ìx198 ìx + C100 ìx196 ìx + + C100 ìx ìx 99 + C100 ìx100 100 99 98 = C100 ìx 200 + C100 ìx199 + C100 ìx198 + + C100 ìx101 + C100 ìx100 Đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc: 100 ì(2 x + 1) ì( x + x)99 = 100 99 98 200 ìC100 ìx199 + 199 ìC100 ìx198 + 198 ìC100 ìx197 + + 101 ìC100 ìx100 + 100 ìC100 ìx 99 Cho x = , ta có: 199 = 200 ìC 100 100 198 100 99 1 99 ì ữ + 199 ìC100 ì ữ + 101 ìC100 ì ữ 100 ìC100 ì ữ 2 2 99 100 101 199 1 100 100C ữ 101C100 ữ + 102C100 ữ + L + 200C100 ữ 2 100 = Ta có đpcm 13 Tìm số tự nhiên n biết rằng: C21n +1 2ã2ãC22n+1 + 3ã22ãC23n +1 L + (1) k 1ã2k 1ãC2kn+1 + L + (2n + 1)ã22 n ãC22nn++11 = 2011 Trớc hết, ta rút gọn: S n = C21n +1 2ã2ãC22n +1 + 3ã22 ãC23n +1 L + (1) k 1ã2k 1ãC2kn +1 + L + (2n + 1)ã22 n ãC22nn++11 Xét khai triển: (1 + x) n+1 = C20n+1 + C21n +1 ìx + C22n +1 ìx + + C22nn+1 ìx n + C22nn++11 ìx n +1 Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta đợc: (2n + 1) ì(1 + x) n = C21n +1 + ìC22n +1 ìx + + 2n ìC22nn+1 ìx n + (2n + 1) ìC22nn++11 ìx n Cho x = , ta đợc: 2n + = C21n+1 ì2 ìC22n+1 + 2n ì2 n ìC22nn+1 + (2n + 1) ì2 n ìC22nn++11 Do đó, với số tự nhiên n thì: S n = 2n + Suy ra: S n = 2011 2n + = 2011 n = 1005 Vậy giá trị n cần tìm 1005 14 Ta cần tính: S n = n1 Cn1 + 2ã2n Cn2 + 3ã2 n3 Cn3 + L + nCnn n S 1 Ta thấy: nn1 = Cn1 + ìCn2 ì ữ+ ìCn3 ì ữ + L + n ìCnn ì ữ 2 2 Xét khai triển: ( x + 1) n = Cn0 + Cn1 ìx + Cn2 ìx + + Cnn ìx n + Cnn ìx n Đạo hàm hai vế theo biến x, ta có: n ì( x + 1)n = Cn1 + ìCn2 ìx + + (n 1) ìCnn1 ìx n1 + n ìCnn ìx n1 Cho x = n n ì ữ , ta có: n 1 = C + ìC ì ữ+ + (n 1) ìCnn ì ữ 2 n n n S Suy ra: nn1 = n ì ữ 2 S n = n ì3n Vậy tổng cần tính là: S n = n ì3n1 n 1 + n ìC ì ữ n n ...Sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức Lời giải Chứng minh đẳng thức lợng giác tam giác: a Ta cần chứng minh: sin A + sin B + sin C 4cos A B C cos cos = 2 Do... a., ta chứng minh f ( A, B) = f (0, B) = c Xét hàm số: f ( A, B ) = tan A B B A+ B A+ B A tan + tan cot + cot tan 2 2 2 Tơng tự câu a., ta chứng minh f ( A, B) = f (0, B) = Chứng minh đẳng thức:... B + sin( A + B) 4cos cos sin 2 f ( A, B ) = sin A + sin B + sin [ ( A + B ) ] 4cos Ta chứng minh đạo hàm hàm số với A Thật vậy: B A A+ B A A+ B ì ìsin ìsin + ìcos ìcos ữ 2 2 2 B 2A +