Hà Minh Chung - Tặng bạn lớp k43 Toán Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP I KIẾN THỨC CƠ SỞ: A mB , với A, B lớn A khác B Am B A± B = 3 A±3 B = A±4 B = A mB A2 m3 A.B + B , với A, B A mB , với A, B lớn A khác B ( A m B )( A + B ) 4 II NỘI DUNG: Phương pháp liên hợp trực tiếp: * Phương pháp chung: Ta phát phương trình có dấu hiệu liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x − 3x + + x + 3x + = x (1) * Phân tích: Ta để ý hiệu hai biểu thức 6x, ta nghĩ đến nhân liên hợp Lời giải: x − x + + x + 3x + = x ⇔ ⇔ x − 3x + − x − 3x − x − 3x + − x2 + 3x + 6x x − 3x + − x2 + 3x + = 3x = 3x ⇔ x − x + − x + 3x + = (2) Đến ta kết hợp phương trình (1) (2), ta được: x − 3x + = 3x + ⇔x=4 Ta thay x = vào phương trình thấy thỏa mãn * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x − − x = x − (1) * Phân tích: Ta để ý hiệu hai biểu thức x - 3, vế phải ta đặt ngoặc x – 3, ta nghĩ đến nhân liên hợp Lời giải: Điều kiện: x ≥ Hà Minh Chung - Tặng bạn lớp k43 Toán Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19 2x − − x = 2x − 2x − − x ⇔ = 2( x − 3) 2x − + x ⇔ ( x − 3)( − 2) 2x − + x x = ⇔  − = 0(*)  x − + x Đến ta có nghiệm x = 3, ta xử lý phương trình (*) Nhân thấy với x ≥ mẫu dương, ta cần chứng minh tử khác −2=0 2x − + x (*) ⇔ ⇔ =2 2x − + x ⇔ = 2( x − + x ) Rõ ràng ta nhận thấy phương trình cuối vô nghiệm, biểu thức (*) khác * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp nhân liên hợp không trực tiếp: Phương pháp chung ta phải tiến hành nhẩm nghiệm phương trình, từ tìm biểu thức liên hợp Phương pháp nhẩm nghiệm sử dụng máy tính cầm tay Casio fx-570ES PLUS: a) Dạng 1: Phương trình có môt nghiệm đẹp: Phương pháp: - Bước 1: Sử dung SHIFT + SOLVE để tìm nghiệm x = a - Bước 2: Kiểm tra nghiệm khác không cách sử dụng SHIFT + SOLVE f ( x) =0 x−a - Bước 3: Liên hợp - Bước 4: Chứng minh phần dấu ngoặc khác (vô nghiệm) Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x + − − x + 3x − 14 x − = Lời giải: (1) Hà Minh Chung - Tặng bạn lớp k43 Toán Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19 −1   TXĐ: x ∈  ;6 3  Nhẩm nghiệm (ở rơi vào trường hợp 1) ta x = Giờ ta tìm biểu thức liên hợp  x + =  (ta thay x = vào hai biểu thức chứa kết quả)  − x = Ta có: 3x + − − x + x − 14 x − = ⇔ ( x + − 4) − ( − x − 1) + (3 x − 14 x − 5) = x + − 16 − x −1 ⇔ − + ( x − 5)(3x + 1) = 3x + + − x +1 ⇔ ( x − 5)( + + x + 1) = 3x + + − x +1 x − = ⇔  + + x + 1) =  3x + + − x +1 x = ⇔  + + x + 1) = 0(*) − x +1  3x + + Ta có nghiệm x = 5, ta xử lý phương trình (*) Nhưng ta nhận thấy −1   với TXĐ x ∈  ;6 phương trình (*) dương, vô nghiệm 3  * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x + x − x + 10 = 2( x + x + 1) x − + (1) * Phân tích: Ta tiến hành nhẩm nghiệm phương trình (1) Để nhẩm nghiệm phương trình (1) ta sử dụng máy tính cẩm tay để nhẩm Lời giải: TXĐ: x ∈ [ 1; +∞ ) Nhẩm nghiệm (ở rơi vào trường hợp 2): Ở ta nghiệm x = Giờ ta tìm biểu thức liên hợp  x − x + 10 =   x − = (ta thay x = vào hai biểu thức chứa căn) Hà Minh Chung - Tặng bạn lớp k43 Toán Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19 x + x − x + 10 = 2( x + x + 1) x − + ⇔ ( x − x + 10 − 5) − 2( x + x + 1)( x − − 2) + ( x − x − x − 5) = ⇔ x − x + 10 − 25 x − x + 10 + ( x − 5)( x + 3) − 2( x + x + 1)(x − − 4) + ( x − 5)( x + x + 1) = x + x + 1)( x − + 2) 2( x + x + 1)(x − 5) ⇔ − + ( x − 5)( x + x + 1) = x − x + 10 + x + x + 1)( x − + 2) ( x + 3) 2( x + x + 1) ⇔ ( x − 5)( − + x + x + 1) = x − x + 10 + x + x + 1)( x − + 2) ( x + 3)  >0  x − x + 10 +  Với x ∈ [ 1; +∞ ) thì:  2( x + x + 1)  ≤ x2 + x +  x + x + 1)( x − + 2) Từ ta suy phương trình (1) có nghiệm x = * Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = b) Dạng 2: Phương trình có nghiệm đẹp: Phương pháp: - Bước 1: Sử dung SHIFT + SOLVE để tìm nghiệm x = a - Bước 2: Tìm x = b cách sử dụng SHIFT + SOLVE f ( x) =0 x−a - Bước 3: Kiểm tra phương trình có nghiệm cách SHIFT + f ( x) SOLVE ( x − a)( x − b) = CAN,T SOLVE - Bước 4: Tìm đại lượng liên hợp - Bước 5: Liên hợp - Bước 6: Chứng minh phần dấu ngoặc vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x x − + ( x + 1) x − = x − (1) Lời giải:   TXĐ: x ∈  ; +∞ ÷ 3  Nhẩm nghiệm ta nghiệm x = x = Giờ ta tìm biểu thức liên hợp (ta thay x = x = vào hai biểu thức chứa căn): a.1 + b = a = 3x − = a.x + b ⇒  ⇒ a.2 + b = b = Hà Minh Chung - Tặng bạn lớp k43 Toán Tin trường Đại học Tây Bắc – sđt: 0966 13 66 19 ⇒ Biểu thức liên hợp 3x − x  a.1 + b =  a = x − = a.x + b ⇒  ⇒  a.2 + b = b = ⇒ Biểu thức liên hợp 3x − x + Do đó, ta có: x x − + ( x + 1) x − = x − ⇔ x ( x − − x ) + ( x + 1)( x − − ( x + 1)) + (2 x − x + 4) = ⇔ x(3 x − − x ) ( x + 1)(5 x − − ( x + 1) ) + + 2(x − x + 2) = 3x − + x ( x + 1)( x − + x + 1) x(3 x − − x ) ( x + 1)(5 x − − ( x + 1) ) + + 2(x − x + 2) = 3x − + x ( x + 1)( x − + x + 1) x x +1 ⇔ (x − x + 2)( − − ) x − + x ( x + 1)( x − + x + 1) ⇔  x − 3x + = ⇔  x x +1 2− − =0  x − + x ( x + 1)( x − + x + 1) x x   3x − + x < x =  Ta có:  x +1 x +1  < =1  ( x + 1)( x − + x + 1) x +   ,(Vì x ∈  ; +∞ ÷) 3  Dấu “=” đồng thời xảy x = 1/5 x = 2/3 nên tổng: x x +1 +