PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VŨ QUANG ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian: 120 phút Ngày thi: 18/04/2017 x + 5x + Bài 1: Cho biểu thức A = ( x + 3) ( x + x − ) a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A ( x + ) nhận giá trị số nguyên x −1 x2 − x x2 − x + − =1 x2 − x +1 x2 − x − 2 b) Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a − b3 − c3 = 3abc a = ( b + c ) Bài 3: a) Cho số nguyên dương a – ước 3a − 2a + 10 Tính tổng tất giá trị a b) Tìm số có hai chữ số mà bình phương lập phương tổng chữ số Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d qua B cắt cạnh AD P CD kéo dài Q, cắt đường chéo AC E Chứng minh a) ∆AEP ∼ ∆CEB ∆CEQ ∼ ∆AEB b) BE = EP.EQ c) Tích AP.CQ không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d x y + Bài 5: Cho x, y ≥ thỏa mãn x + y = Tìm GTLN biểu thức Q = y +1 x +1 Bài 2: a) Giải phương trình BÀI GIẢI Nguyễn Ngọc Hùng – GV: THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh 2 Bài 1: a) Ta có x + x − = x − x + 2x − = x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x + ) 2 x + 5x + = x + 2x + 3x + = x ( x + ) + ( x + ) = ( x + ) ( x + )  x ≠ −3  x ≠ −3 x + ≠  ⇔ ⇔ x ≠ ĐKXĐ:  x − x + ≠ x + x − ≠ ( ) ( )     x ≠ −2  ( x + ) ( x + 3) = Ta có A = ( x + 3) ( x − 1) ( x + ) x − 3 −2 ⇒ > ⇔ − >0⇔ > ⇒ x −1 < ⇔ x < b) Ta có A > x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 Đối chiếu ĐKXĐ x < 1; x ≠ -2; x ≠ -3 thỏa mãn toán x + x −1 + 3 = = 1+ c) Ta có A ( x + ) = Để A ∈ Z x – ∈ Ư(3) = {±1; ±3} x −1 x −1 x −1 ⇒ x ∈ {-2; 0; 2; 4} đối chiếu ĐKXĐ x ∈ {0; 2; 4} thỏa mãn 1 2  Bài 2: a) Ta có x − x + =  x − ÷ + > x − x − = x + x − 2x − = ( x + 1) ( x − ) 2  ĐKXĐ: x − x − ≠ ⇔ ( x + 1) ( x − ) ≠ ⇒ x ≠ -1; x ≠ Ta có phương trình tương đương x2 − x x2 − x + − + − =0 x2 − x +1 3 x2 − x − ⇔ 3x − 3x − 4x + 4x − x − x − − 3x + 3x − − x + x − −2x + 2x − + = ⇔ + =0 x2 − x +1 x2 − x − ( x − x + 1) 3( x2 − x − 2)  x − x − + 2x − 2x +    =0 ⇔ ( −x + x − 4)  + ÷= ⇔ ( x − x + 4)  2  x − x +1 x − x −   ( x − x + 1) ( x − x − )  2  x =  15  ⇒  x − ÷ +  ( 3x − 3x ) = ⇔ 3x ( x − 1) = ⇔  (TMĐK) 2   x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {0; 1} 3 a > b a > b ⇔ ⇔ 2a > b + c ⇔ 4a > ( b + c ) b) Ta có a − b − c = 3abc > ⇒  3 a > c a > c 3 ⇒ ( b + c ) > ( b + c ) ⇔ b + c < ⇔ ≤ ( b + c ) < 16 2(b + c) số phương Nên suy b + c = ⇒ b = c = ⇒ a = Vậy (a; b; c) = (2; 1; 1) thỏa mãn toán 2 Bài 3: a) Ta có 3a − 2a + 10 = 3a − 6a + 4a − + 18 = 3a ( a − ) + ( a − ) + 18 Suy a – ước dương 18 ⇒ a – ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18} ⇒ a ∈ {3; 4; 5; 8; 11; 20} Do tổng giá trị a + + + + 11 + 20 = 51 b) Gọi số cần tìm ab suy 1≤ a ≤ 9, ≤ b ≤ a, b ∈ N ( ) Theo ab = ( a + b ) ⇒ ab số lập phương ⇒ ab ∈ { 27;64} ( ) Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 ⇒ ab ( ) = 1000 , vô lí Vậy ab = 27 ⇒ a + b = ⇒ ab = 729 = 27 thỏa mãn toán Bài 4: a) Áp dụng hệ định lí TaLet ta có AE AP EP B = = AP // BC (gt) nên (1) CE CB EB ⇒ ∆AEP ∼ ∆CEB (c – c – c) E CE CQ EQ = = AB // CQ (gt) nên (2) AE AB EB A P ⇒ ∆CEQ ∼ ∆AEB (c – c – c) EP EB = b) Từ (1) (2) suy Q EB EQ ⇒ EB2 = EP.EQ AP AB = c) Từ (1) (2) ta có ⇒AP CQ = AB CB không đổi CB CQ C D d x ( x + 1) + y ( y + 1) x + y + x + y ( x + y ) − 2xy + − 2xy −3xy = = = = 1+ ≤1 Bài 5: Ta có Q = xy + x + y + xy + xy + xy + ( x + 1) ( y + 1)  xy = x = x = ⇒ (Vì x, y ≥ 0) Vậy GTLN Q Đạt   x + y =  y = y = LỜI BÌNH - Năm Vũ Quang mùa HSG tỉnh lớp nên đề Toán dễ Nếu khó chọn nguồn HSG cho năm tới - So với Toán 6, Toán đề Toán dễ, tức học lên lùi Bài hình dễ SGK hình Toán khó (Nếu cho HS lớp thi chưa làm được) - Đối với chương trình Toán kiến thức nhiều rộng nên dễ Toán Bài 3a nên dành cho lớp - Nếu không điều chỉnh biểu điểm chắn điểm HS xấp xỉ nhau, phân loại HS ... Bài 3: a) Ta có 3a − 2a + 10 = 3a − 6a + 4a − + 18 = 3a ( a − ) + ( a − ) + 18 Suy a – ước dương 18 ⇒ a – ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18} ⇒ a ∈ {3; 4; 5; 8; 11; 20} Do tổng giá trị a + + + + 11 + 20 = 51... BÌNH - Năm Vũ Quang mùa HSG tỉnh lớp nên đề Toán dễ Nếu khó chọn nguồn HSG cho năm tới - So với Toán 6, Toán đề Toán dễ, tức học lên lùi Bài hình dễ SGK hình Toán khó (Nếu cho HS lớp thi chưa làm