Đang tải... (xem toàn văn)
TỔNG HỢP LẠI TẤT CẢ LÍ THUYẾT HÌNH HỌC LỚP 9 TẤT CẢ CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ THI VÀO 10 CHÚC CÁC BẠN THI TỐT VÀO KÌ TUYÊN SINH THI 10 NHÉ :))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
VN 7: HèNH HC A KIN THC CN NH I H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG -*** Phn I: Lý thuyt cn nh: I Mt s h thc v cnh v ng cao tam giỏc vuụng Trong mt tam giỏc vuụng: A a AH = BH CH Bỡnh phng ng cao ng vi cnh huyn bng tớch hai hỡnh chiu ca cnh gúc vuụng trờn cnh huyn b AH BC = AB AC B H C Tớch hai cnh gúc vuụng bng tớch cnh huyn vi ng cao tng ng c AB = BC.BH , AC = BC.HC Bỡnh phng mi cnh gúc vuụng bng tớch ca cnh huyn vi hỡnh chiu tng ng ca cnh gúc vuụng ú trờn cnh huyn d 1 = + 2 AH AB AC A Nghch o bỡnh phng ng cao bng tng Cnh k nghch o bỡnh phng hai cnh gúc vuụng II Cỏc t s lng giỏc ca gúc nhn tam giỏc vuụng Cỏc t s lng giỏc AC AB , Cos = BC BC AC AB tan = , Cot = AB AC Sin = Mo nh: Sin i Hc, Cos Khụng H, tan on Kt, Cot Kt on Mt s tớnh cht v ng thc lng giỏc cn nh: < sin , cos < 0o < < 90o a Vi gúc nhn ( ) thỡ Cnh i B Cnh huyn tan = b sin cos , cot = cos sin tan = c 1 , cot = tan cot = cot g tg sin + cos = sin = cos2 , cos = sin d giỏ tr dng vỡ tuõn theo tớnh cht a mc ny) sin = sin = e Vi gúc nhn v + tan = f 1 ,1 + cot = cos sin (Cỏc bn nh ch c ly (Cụng thc ny thy ó chng minh cho cỏc bn) Mi quan h lng giỏc ca cỏc gúc ph + = 90o Nu thỡ cỏc giỏ tr lng giỏc ca v chộo nhau, tc l: sin = cos , cos = sin , tan = cot , cot = tan H thc liờn h gia cnh v gúc tam giỏc vuụng A b = a.sin B c = a.sin C b = c tan B c = b tan C = a.cos C = a.cos B = c.cot C = b.cot B c B b a C Vy: Trong mt tam giỏc vuụng: a di mt cnh gúc vuụng bng tớch ca cnh huyn vi sin gúc i hoc cos gúc k b di mt cnh gúc vuụng bng tớch ca cnh gúc vuụng cũn li vi tan gúc i hoc cot gúc k Note: Gii tam giỏc l khỏi nim ca vic i tớnh s o ca cỏc gúc nhn, di cỏc cnh ca mt tam giỏc vuụng II GểC V NG TRềN ng trũn: 1,nh ngha: Tp hp cỏc im cỏch im cho trc mt khong cỏch R > khụng i gi l ng trũn tõm bỏn kớnh R Kớ hiu : ( ; R) 2, V trớ tng i: * Ca mt im vi mt ng trũn : xột (0 ; R ) v im M bt kỡ V trớ tng i H thc M nm ngoi ( O ; R ) OM > R M nm trờn( O ; R ) hay M thuc( O ; R) M nm ( O ; R ) OM = R OM < R * V trớ ca mt ng thng vi mt ng trũn : xột ( O; R) v ng thng a bt kỡ (vi d l khong cỏch t tõm O n ng thng a) v trớ tng i S im chung H thc a ct ( O ; R ) dR * Ca hai ng trũn : xột ( O;R) v (O; R) ( vi d = O O ) v trớ tng i S im chung H thc Hai ng trũn ct R r < d < R- r Hai ng trũn tip xỳc : + tip xỳc ngoi : d=R+r + tip xỳc : d=Rr Haing trũn giao : khụng +hai ng trũn ngoi : d>R+r +ng trũn ln ng ng trũn nh : d < R -r Tip tuyn ca ng trũn : a nh ngha : ng thng d c gi l tip tuyn ca mt ng trũn nu nú ch cú mt im chung vi ng ú b, Tớnh cht : + Tớnh cht : Nu mt ng thng l mt tip tuyn ca mt ng trũn thỡ nú vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua tip im + Tớnh cht : Nu hai tip tuyn ca mt ng trũn ct ti mt im thỡ giao im ny cỏch u hai tip im v tia k t giao im ú qua tõm ng trũn l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai tip tuyn c, Cỏch chng minh : Cỏch : chng minh ng thng ú cú mt im chung vi ng trũn ú Cỏch : chng minh ng thng ú vuụng gúc vi bỏn kớnh ca ng trũn ú ti mt im v im ú thuc ng trũn Quan h gia ng kớnh v dõy cung : * nh lớ : ng kớnh vuụng gúc vi mt dõy cung thỡ chia dõy cung y thnh hai phn bng * nh lớ : ng kớnh I qua trung im ca mt dõy cung khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dõy cung y Quan h gia dõy cung v khong cỏch n tõm : * nh lớ : Trong mt ng trũn hai dõy cung bng v ch chỳng cỏch u tõm * nh lớ : Trong hai dõy cung khụng bng ca mt ng trũn, dõy cung ln hn v ch nú gn tõm hn Gúc ng trũn: 1, Cỏc loi gúc ng trũn: - Gúc tõm - Gúc ni tip - Gúc cú nh bờn hay bờn ngoi ng trũn - Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung 2, Mi quan h gia cung v dõy cung: * nh lớ 1: i vi hai cung nh mt ng trũn: a, Hai cung bng cng hai dõy bng b, o li, hai dõy bng trng hai cung bng * nh lớ 2: i vi hai cung nh mt ng trũn: a, Cung ln hn cng dõy ln hn b, Dõy ln hn trng cung ln hn 3, T giỏc ni tip: a, nh ngha: T giỏc ni tip mt ng trũn l t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn ng trũn ú c gi l ng trũn ngoi tip t giỏc b, Cỏch chng minh : * Cỏch 1: chng minh bn nh ca t giỏc cựng thuc mt ng trũn * Cỏch 2: chng minh t giỏc cú tng hai gúc i din bng 1800 * Cỏch 3: chng minh t giỏc cú hai nh k nhỡn cnh i din di cựng mt gúc HèNH HC KHễNG GIAN Cỏc v trớ tng i: a.V trớ tng i ca hai ng thng: * a // b a , b (P), a v b khụng cú im chung * a ct b a , b (P), a v b cú mt im chung * a v b chộo a v b khụng cựng thuc mt mt phng b V trớ tng i ca ng thng a v mt phng (P): * a // (P) a v (P) khụng cú im chung * a ct (P) a v (P) cú mt im chung * a (P) a v (P) cú vụ s im chung c V trớ tng i ca hai mt phng (P) v (Q): * (P) // (Q) khụng cú im chung * (P) (Q) = a cú mt ng thng a chung ( a gi l giao tuyn ca hai mt phng) * (P) (Q) Mt s cỏch chng minh: a Chng minh hai ng thng song song: C1: a v b cựng thuc mt mt phng a v b khụng cú im chung C2: a // c v b // c ( P) ( R) = a a // b (Q ) ( R ) = b ( P) //( Q ) C3 : b.Chng minh ng thng song song vi mt phng: c.Chng minh hai mt phng song song: a, b (Q), aXb ( P ) //( Q) a //( P ), b //( P ) d.Chng minh hai ng thng vuụng gúc: e.Chng minh ng a // b a //(P) b ( P) thng a ( P) a b b ( P) vuụng gúc vi mt phng: a b, a c a ( P) bXc , b ( P ), c ( P ) a (P) ( P ) (Q ) a (Q) g.Chng minh hai mt phng vuụng gúc: Mt s hỡnh khụng gian: Hỡnh lng tr: Sxq = P h vi P: chu vi ỏy V=Bh B: din tớch ỏy Hỡnh tr: h : chiu cao Sxq = P.h = 2R.h vi R: bỏn kớnh ỏy V = B.h = R2.h Hỡnh chúp: S xq = V = P.d B.h h: chiu cao Hỡnh nún: P.d = R.l 1 V = B.h = R h 3 S xq = vi d: ng cao mt bờn d: ng sinh; h: chiu cao Hỡnh chúp ct: S xq = V = ( P + P').d ( Hỡnh nún ct: ( P + P').d = ( R + r ) d h V = B + B '+ B.B' h = R + r + R.r 3 Sxq = ) B + B'+ B.B ' h Hỡnh cu: S = R , V = R3 ( ) ( ) B MT S BI TP Cể LI GII Bi Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O) Cỏc ng cao AD, BE, CF ct ti H v ct ng trũn (O) ln lt ti M,N,P Chng minh rng: T giỏc CEHD, ni tip Bn im B,C,E,F cựng nm trờn mt ng trũn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H v M i xng qua BC Xỏc nh tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF HD GII: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 , CDH = 900 ( Vì BE, AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn Xột hai tam giỏc AEH v ADC ta cú: AEH = ADC = 900 ; l gúc chung AE AH = AD AC => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD * Xột hai tam giỏc BEC v ADC ta cú: BEC = ADC = 900 ; C l gúc chung BE BC = AD AC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC Ta cú C1 = A1 ( vỡ cựng ph vi gúc ABC) C2 = A1 ( vỡ l hai gúc ni tip cựng chn cung BM) => C1 = C2 => CB l tia phõn giỏc ca gúc HCM; li cú CB HM => CHM cõn ti C => CB cng l ng trung trc ca HM vy H v M i xng qua BC Theo chng minh trờn bn im B,C,E,F cựng nm trờn mt ng trũn => C1 = E1 ( vỡ l hai gúc ni tip cựng chn cung BF) Cng theo chng minh trờn CEHD l t giỏc ni tip C1 = E2 ( vỡ l hai gúc ni tip cựng chn cung HD) E1 = E2 => EB l tia phõn giỏc ca gúc FED Chng minh tng t ta cng cú FC l tia phõn giỏc ca gúc DFE m BE v CF ct ti H ú H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF Bi Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), cỏc ng cao AD, BE, ct ti H Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AHE Chng minh t giỏc CEHD ni tip Bn im A, E, D, B cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh ED = BC Chng minh DE l tip tuyn ca ng trũn (O) Tớnh di DE bit DH = Cm, AH = Cm HD GII: Xột t giỏc CEHD ta cú: CEH = 900 ( Vỡ BE l ng cao) CDH = 900 ( Vỡ AD l ng cao) => CEH + CDH = 1800 M CEH v CDH l hai gúc i ca t giỏc CEHD , Do ú CEHD l t giỏc ni tip Theo gi thit: BE l ng cao => BE AC => BEA = 900 AD l ng cao => AD BC => BDA = 900 Nh vy E v D cựng nhỡn AB di mt gúc 90 => E v D cựng nm trờn ng trũn ng kớnh AB Vy bn im A, E, D, B cựng nm trờn mt ng trũn Theo gi thit tam giỏc ABC cõn ti A cú AD l ng cao nờn cng l ng trung tuyn => D l trung im ca BC Theo trờn ta cú BEC = 900 Vy tam giỏc BEC vuụng ti E cú ED l trung tuyn => DE = BC Vỡ O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AHE nờn O l trung im ca AH => OA = OE => tam giỏc AOE cõn ti O => E1 = A1 (1) Theo trờn DE = BC => tam giỏc DBE cõn ti D => E3 = B1 (2) M B1 = A1 ( vỡ cựng ph vi gúc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 M E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE ti E Vy DE l tip tuyn ca ng trũn (O) ti E Theo gi thit AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm ỏp dng nh lớ Pitago cho tam giỏc OED vuụng ti E ta cú ED = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cm Bi Cho na ng trũn ng kớnh AB = 2R T A v B k hai tip tuyn Ax, By Qua im M thuc na ng trũn k tip tuyn th ba ct cỏc tip tuyn Ax , By ln lt C v D Cỏc ng thng AD v BC ct ti N Chng minh AC + BD = CD Chng minh COD = 900 AB Chng minh AC BD = Chng minh OC // BM Chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh CD Chng minh MN AB Xỏc nh v trớ ca M chu vi t giỏc ACDB t giỏ tr nh nht HD GII: Theo tớnh cht hai tip tuyn ct ta cú: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM M CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tớnh cht hai tip tuyn ct ta cú: OC l tia phõn giỏc ca gúc AOM; OD l tia phõn giỏc ca gúc BOM, m AOM v BOM l hai gúc k bự => COD = 900 Theo trờn COD = 900 nờn tam giỏc COD vuụng ti O cú OM CD ( OM l tip tuyn ) ỏp dng h thc gia cnh v ng cao tam giỏc vuụng ta cú OM = CM DM, AB M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = Theo trờn COD = 90 nờn OC OD (1) Theo tớnh cht hai tip tuyn ct ta cú: DB = DM; li cú OM = OB =R => OD l trung trc ca BM => BM OD (2) T (1) V (2) => OC // BM ( Vỡ cựng vuụng gúc vi OD) Gi I l trung im ca CD ta cú I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc COD ng kớnh CD cú IO l bỏn kớnh Theo tớnh cht tip tuyn ta cú AC AB; BD AB => AC // BD => t giỏc ACDB l hỡnh thang Li cú I l trung im ca CD; O l trung im ca AB => IO l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ACDB => IO // AC , m AC AB => IO AB ti O => AB l tip tuyn ti O ca ng trũn ng kớnh CD Theo trờn AC // BD => CN AC = BN BD , m CA = CM; DB = DM nờn suy CN CM = BN DM => MN // BD m BD AB => MN AB ( HD): Ta cú chu vi t giỏc ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nờn suy chu vi t giỏc ACDB = AB + 2CD m AB khụng i nờn chu vi t giỏc ACDB nh nht CD nh nht , m CD nh nht CD l khong cỏch gi Ax v By tc l CD vuụng gúc vi Ax v By Khi ú CD // AB => M phi l trung im ca cung AB Bi Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A , O l trung im ca IK Chng minh B, C, I, K cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn (O) Tớnh bỏn kớnh ng trũn (O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm HD GII: Vỡ I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A nờn BI v BK l hai tia phõn giỏc ca hai gúc k bự nh B Do ú BI BK hayIBK = 900 Tng t ta cng cú ICK = 900 nh vy B v C cựng nm trờn ng trũn ng kớnh IK ú B, C, I, K cựng nm trờn mt ng trũn Ta cú C1 = C2 (1) ( vỡ CI l phõn giỏc ca gúc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( vỡ IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( vỡ tam giỏc OIC cõn ti O) T (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vy AC l tip tuyn ca ng trũn (O) T gi thit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm 2 202 12 2 AH = AC HC => AH = CH2 = AH.OH => OH = CH 12 = AH 16 O H + H C = + 12 2 = 16 ( cm) 2 = (cm) = 225 OC = = 15 (cm) Bi Cho ng trũn (O; R), t mt im A trờn (O) k tip tuyn d vi (O) Trờn ng thng d ly im M bt kỡ ( M khỏc A) k cỏt tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn MB (B l tip im) K AC MB, BD MA, gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB Chng minh t giỏc AMBO ni tip Chng minh nm im O, K, A, M, B cựng nm trờn mt ng trũn Chng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chng minh OAHB l hỡnh thoi Chng minh ba im O, H, M thng hng Tỡm qu tớch ca im H M di chuyn trờn ng thng d HD GII: (HS t lm) Vỡ K l trung im NP nờn OK NP ( quan h ng kớnh V dõy cung) => OKM = 900 Theo tớnh cht tip tuyn ta cú OAM = 900; OBM = 900 nh vy K, A, B cựng nhỡn OM di mt gúc 90 nờn cựng nm trờn ng trũn ng kớnh OM Vy nm im O, K, A, M, B cựng nm trờn mt ng trũn Ta cú MA = MB ( t/c hai tip tuyn ct nhau); OA = OB = R => OM l trung trc ca AB => OM AB ti I Theo tớnh cht tip tuyn ta cú OAM = 900 nờn tam giỏc OAM vuụng ti A cú AI l ng cao ỏp dng h thc gia cnh v ng cao => OI.OM = OA hay OI.OM = R2; v OI IM = IA2 Ta cú OB MB (tớnh cht tip tuyn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tớnh cht tip tuyn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => T giỏc OAHB l hỡnh bỡnh hnh; li cú OA = OB (=R) => OAHB l hỡnh thoi Theo trờn OAHB l hỡnh thoi => OH AB; cng theo trờn OM AB => O, H, M thng hng( Vỡ qua O ch cú mt ng thng vuụng gúc vi AB) (HD) Theo trờn OAHB l hỡnh thoi => AH = AO = R Vy M di ng trờn d thỡ H cng di ng nhng luụn cỏch A c nh mt khong bng R Do ú qu tớch ca im H M di chuyn trờn ng thng d l na ng trũn tõm A bỏn kớnh AH = R Bi Cho tam giỏc ABC vuụng A, ng cao AH V ng trũn tõm A bỏn kớnh AH Gi HD l ng kớnh ca ng trũn (A; AH) Tip tuyn ca ng trũn ti D ct CA E Chng minh tam giỏc BEC cõn Gi I l hỡnh chiu ca A trờn BE, Chng minh rng AI = AH 3 Chng minh rng BE l tip tuyn ca ng trũn (A; AH) Chng minh BE = BH + DE HD GII: AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2) Vỡ AB CE (gt), ú AB va l ng cao va l ng trung tuyn ca BEC => BEC l tam giỏc cõn => B1 = B2 Hai tam giỏc vuụng ABI v ABH cú cnh huyn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH v BE AI ti I => BE l tip tuyn ca (A; AH) ti I DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bi Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB K tip tuyn Ax v ly trờn tip tuyn ú mt im P cho AP > R, t P k tip tuyn tip xỳc vi (O) ti M Chng minh rng t giỏc APMO ni tip c mt ng trũn Chng minh BM // OP ng thng vuụng gúc vi AB O ct tia BM ti N Chng minh t giỏc OBNP l hỡnh bỡnh hnh Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM kộo di ct ti J Chng minh I, J, K thng hng HD GII: (HS t lm) Ta cú ộ ABM ni tip chn cung AM; ộ AOM l gúc tõm chn cung AM => ộ ABM = AOM AOM (1) OP l tia phõn giỏc ộ AOM ( t/c hai tip tuyn ct ) => ộ AOP = (2) M ộ ABM v ộ AOP l hai gúc ng v nờn suy BM // OP (4) Xột hai tam giỏc AOP v OBN ta cú : ộPAO=90 (vỡ PA l tip tuyn ); ộNOB = 900 (gt NOAB) => ộPAO = ộNOB = 900; OA = OB = R; ộAOP = ộOBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) T (4) v (5) => OBNP l hỡnh bỡnh hnh ( vỡ cú hai cnh i song song v bng nhau) T giỏc OBNP l hỡnh bỡnh hnh => PN // OB hay PJ // AB, m ON AB => ON PJ Ta cng cú PM OJ ( PM l tip tuyn ), m ON v PM ct ti I nờn I l trc tõm tam giỏc POJ (6) D thy t giỏc AONP l hỡnh ch nht vỡ cú ộPAO = ộAON = ộONP = 90 => K l trung im ca PO ( t/c ng chộo hỡnh ch nht) (6) AONP l hỡnh ch nht => ộAPO = ộ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tip tuyn ct Ta cú PO l tia phõn giỏc ộAPM => ộAPO = ộMPO (8) T (7) v (8) => IPO cõn ti I cú IK l trung tuyn ụng thi l ng cao => IK PO (9) T (6) v (9) => I, J, K thng hng Bi Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn ( M khỏc A,B) Trờn na mt phng b AB cha na ng trũn k tip tuyn Ax Tia BM ct Ax ti I; tia phõn giỏc ca gúc IAM ct na ng trũn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K 1) Chng minh rng: EFMK l t giỏc ni tip 2) Chng minh rng: AI2 = IM IB 3) Chng minh BAF l tam giỏc cõn 4) Chng minh rng : T giỏc AKFH l hỡnh thoi 5) Xỏc nh v trớ M t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn HD GII: Ta cú : ộAMB = 90 ( ni tip chn na ng trũn ) => ộKMF = 900 (vỡ l hai gúc k bự) ộAEB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => ộKEF = 900 (vỡ l hai gúc k bự) => ộKMF + ộKEF = 1800 M ộKMF v ộKEF l hai gúc i ca t giỏc EFMK ú EFMK l t giỏc ni tip Ta cú ộIAB = 900 ( vỡ AI l tip tuyn ) => AIB vuụng ti A cú AM IB ( theo trờn) ỏp dng h thc gia cnh v ng cao => AI2 = IM IB Theo gi thit AE l tia phõn giỏc gúc IAM => ộIAE = ộMAE => AE = ME => ộABE =ộMBE ( hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) => BE l tia phõn giỏc gúc ABF (1) Theo trờn ta cú ộAEB = 900 => BE AF hay BE l ng cao ca tam giỏc ABF (2) T (1) v (2) => BAF l tam giỏc cõn ti B BAF l tam giỏc cõn ti B cú BE l ng cao nờn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca AF (3) T BE AF => AF HK (4), theo trờn AE l tia phõn giỏc gúc IAM hay AE l tia phõn giỏc ộHAK (5) T (4) v (5) => HAK l tam giỏc cõn ti A cú AE l ng cao nờn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca HK (6) T (3) , (4) v (6) => AKFH l hỡnh thoi ( vỡ cú hai ng chộo vuụng gúc vi ti trung im ca mi ng) (HD) Theo trờn AKFH l hỡnh thoi => HA // FH hay IA // FK => t giỏc AKFI l hỡnh thang t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn thỡ AKFI phi l hỡnh thang cõn AKFI l hỡnh thang cõn M l trung im ca cung AB Tht vy: M l trung im ca cung AB => ộABM = ộMAI = 45 (t/c gúc ni tip ) (7) Tam giỏc ABI vuụng ti A cú ộABI = 450 => ộAIB = 450 (8) T (7) v (8) => ộIAK = ộAIF = 45 => AKFI l hỡnh thang cõn (hỡnh thang cú hai gúc ỏy bng nhau) Vy M l trung im ca cung AB thỡ t giỏc AKFI ni tip c mt ng trũn Bi Cho na ng trũn (O; R) ng Chng minh AC AE khụng i kớnh AB K tip tuyn Bx v ly hai im Chng minh ABD = DFB C v D thuc na ng trũn Cỏc tia AC Chng minh rng CEFD l t giỏc ni v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v tip E) HD GII: C thuc na ng trũn nờn ACB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx l tip tuyn ) => tam giỏc ABE vuụng ti B cú BC l ng cao => AC AE = AB2 (h thc gia cnh v ng cao ), m AB l ng kớnh nờn AB = 2R khụng i ú AC AE khụng i 2 ADB cú ADB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => ABD + BAD = 900 (vỡ tng ba gúc ca mt tam giỏc bng 1800)(1) ABF cú ABF = 900 ( BF l tip tuyn ) => AFB + BAF = 900 (vỡ tng ba gúc ca mt tam giỏc bng 1800) (2) T (1) v (2) => ABD = DFB ( cựng ph vi BAD) T giỏc ACDB ni tip (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vỡ l hai gúc k bự) => ECD = ABD ( cựng bự vi ACD) Theo trờn ABD = DFB => ECD = DFB M EFD + DFB = 1800 ( Vỡ l hai gúc k bự) nờn suy ECD + EFD = 1800, mt khỏc ECD v EFD l hai gúc i ca t giỏc CDFE ú t giỏc CEFD l t giỏc ni tip Bi 10 Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB v im M bt kỡ trờn na ng trũn cho AM < MB Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA Gi P l chõn ng vuụng gúc t S n AB Chng minh bn im A, M, S, P cựng nm trờn mt ng trũn Gi S l giao im ca MA v SP Chng minh rng tam giỏc PSM cõn Chng minh PM l tip tuyn ca ng trũn HD GII: Ta cú SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( ni tip chn na ng trũn ) => AMS = 900 Nh vy P v M cựng nhỡn AS di mt gúc bng 90 nờn cựng nm trờn ng trũn ng kớnh AS Vy bn im A, M, S, P cựng nm trờn mt ng trũn Vỡ Mi xng M qua AB m M nm trờn ng trũn nờn M cng nm trờn ng trũn => hai cung AM v AM cú s o bng => AMM = AMM ( Hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) (1) Cng vỡ Mi xng M qua AB nờn MM AB ti H =>MM// SS(cựng vuụng gúc vi AB) => AMM = ASS; AMM = ASS (vỡ so le trong) (2) => T (1) v (2) => ASS = ASS Theo trờn bn im A, M, S, P cựng nm trờn mt ng trũn => ASP=AMP (ni tip cựng chn AP ) => ASP = AMP => tam giỏc PMS cõn ti P Tam giỏc SPB vuụng ti P; tam giỏc SMS vuụng ti M => B1 = S1 (cựng ph vi S) (3) Tam giỏc PMS cõn ti P => S1 = M1 (4) Tam giỏc OBM cõn ti O ( vỡ cú OM = OB =R) => B1 = M3 (5) T (3), (4) v (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 m M3 + M2 = AMB = 900 nờn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trũn ti M Bi 11 Cho tam giỏc ABC (AB = AC) Cnh AB, BC, CA tip xỳc vi ng trũn (O) ti cỏc im D, E, F BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M Chng minh : Tam giỏc DEF cú ba gúc nhn DF // BC T giỏc BDFC ni tip BD BM = CB CF HD GII: (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct ta cú AD = AF => tam giỏc ADF cõn ti A => ADF = AFD < 900 => s cung DF < 1800 => DEF < 900 ( vỡ gúc DEF ni tip chn cung DE) Chng minh tng t ta cú DFE < 900; EDF < 900 Nh vy tam giỏc DEF cú ba gúc nhn AD AF = AB AC Ta cú AB = AC (gt); AD = AF (theo trờn) => => DF // BC DF // BC => BDFC l hỡnh thang li cú B = C (vỡ tam giỏc ABC cõn) => BDFC l hỡnh thang cõn ú BDFC ni tip c mt ng trũn Xột tam giỏc BDM v CBF Ta cú DBM = BCF ( hai gúc ỏy ca tam giỏc cõn) BDM = BFD (ni tip cựng chn cung DI); CBF = BFD (vỡ so le) => BDM = CBF BD BM = CB CF BDM CBF => Bi 12 Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R cú hai ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi Trờn on thng AB ly im M (M khỏc O) CM ct (O) ti N ng thng vuụng gúc vi AB ti M ct tip tuyn ti N ca ng trũn P Chng minh : T giỏc OMNP ni tip T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh CM CN khụng ph thuc vo v trớ ca im M Khi M di chuyn trờn on thng AB thỡ P chy trờn on thng c nh no HD GII: Ta cú OMP = 900 ( vỡ PM AB ); ONP = 900 (vỡ NP l tip tuyn ) Nh vy M v N cựng nhỡn OP di mt gúc bng 90 => M v N cựng nm trờn ng trũn ng kớnh OP => T giỏc OMNP ni tip T giỏc OMNP ni tip => OPM = ONM (ni tip chn cung OM) Tam giỏc ONC cõn ti O vỡ cú ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM Xột hai tam giỏc OMC v MOP ta cú MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM li cú MO l cnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi thit Ta cú CD AB; PM AB => CO//PM (2) T (1) v (2) => T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh Xột hai tam giỏc OMC v NDC ta cú MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (ni tip chn na ng trũn ) => MOC =DNC = 900 li cú C l gúc chung => OMC NDC CM CO = CD CN => => CM CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nờn CO.CD = 2R khụng i => CM.CN =2R2 khụng i hay tớch CM CN khụng ph thuc vo v trớ ca im M ( HD) D thy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chy trờn ng thng c nh vuụng gúc vi CD ti D Vỡ M ch chy trờn on thng AB nờn P ch chy trờn don thng A B song song v bng AB Bi 13 Cho tam giỏc ABC vuụng A (AB > AC), ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha in A , V na ng trũn ng Chng minh AFHE l hỡnh ch nht BEFC l t giỏc ni tip kớnh BH ct AB ti E, Na ng trũn AE AB = AF AC ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn HD GII: Ta cú : ộBEH = 90 ( ni tip chn nc ng trũn ) => ộAEH = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) ộCFH = 900 ( ni tip chn nc ng trũn ) => ộAFH = 900 (vỡ l hai gúc k bự).(2) ộEAF = 900 ( Vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A) (3) T (1), (2), (3) => t giỏc AFHE l hỡnh ch nht ( vỡ cú ba gúc vuụng) T giỏc AFHE l hỡnh ch nht nờn ni tip c mt ng trũn =>ộF 1=ộH1 (ni tip chn cung AE) Theo gi thit AH BC nờn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (O1) v (O2) => ộB1 = ộH1 (hai gúc ni tip cựng chn cung HE) => ộB1= ộF1 => ộEBC+ộEFC = ộAFE + ộEFC m ộAFE + ộEFC = 180 (vỡ l hai gúc k bự) => ộEBC+ộEFC = 1800 mt khỏc ộEBC v ộEFC l hai gúc i ca t giỏc BEFC ú BEFC l t giỏc ni tip Xột hai tam giỏc AEF v ACB ta cú ộA = 90 l gúc chung; ộAFE = ộABC ( AE AF = AC AB theo Chng minh trờn) => AEF ACB => => AE AB = AF AC * HD cỏch 2: Tam giỏc AHB vuụng ti H cú HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giỏc AHC vuụng ti H cú HF AC => AH2 = AF.AC (**) T (*) v (**) => AE AB = AF AC T giỏc AFHE l hỡnh ch nht => IE = EH => IEH cõn ti I => ộE1 = ộH1 O1EH cõn ti O1 (vỡ cú O1E vO1H cựng l bỏn kớnh) => ộE2 = ộH2 => ộE1 + ộE2 = ộH1 + ộH2 m ộH1 + ộH2 = ộAHB = 900 => ộE1 + ộE2 = ộO1EF = 900 => O1E EF Chng minh tng t ta cng cú O 2F EF Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi 14 Cho im C thuc on thng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v mt phớa ca AB cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo th t l AB, AC, CB v cú tõm theo th t l O, I, K ng vuụng gúc vi AB ti C ct na ng trũn (O) ti E Gi M N theo th t l giao im ca EA, EB vi cỏc na ng trũn (I), (K) Chng minh EC = MN Chng minh MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) Tớnh MN Tớnh din tớch hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn HD GII: Ta cú: ộBNC= 900( ni tip chn na ng trũn tõm K) => ộENC = 900 (vỡ l hai gúc k bự) (1) ộAMC = 90 ( ni tip chn nc ng trũn tõm I) => ộEMC = 90 (vỡ l hai gúc k bự).(2) ộAEB = 900 (ni tip chn na ng trũn tõm O) hay ộMEN = 900 (3) T (1), (2), (3) => t giỏc CMEN l hỡnh ch nht => EC = MN (tớnh cht ng chộo hỡnh ch nht ) Theo gi thit EC AB ti C nờn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trũn (I) v (K) => ộB1 = ộC1 (hai gúc ni tip cựng chn cung CN) T giỏc CMEN l hỡnh ch nht nờn => ộC1= ộN3 => ộB1 = ộN3.(4) Li cú KB = KN (cựng l bỏn kớnh) => tam giỏc KBN cõn ti K => ộB1 = ộN1 (5) T (4) v (5) => ộN1 = ộN3 m ộN1 + ộN2 = CNB = 900 => ộN3 + ộN2 = MNK = 900 hay MN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N Chng minh tng t ta cng cú MN l tip tuyn ca (I) ti M, Vy MN l tip tuyn chung ca cỏc na ng trũn (I), (K) Ta cú ộAEB = 900 (ni tip chn nc ng trũn tõm O) => AEB vuụng ti A cú EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trờn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cú: S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cú din tớch phn hỡnh c gii hn bi ba na ng trũn l S = S(k)) S= ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) ( S(o) - S(I) - Bi 15 Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn (O) ti D ng thng AD ct ng trũn (O) ti S Chng minh ABCD l t giỏc ni tip Chng minh CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Gi E l giao im ca BC vi ng trũn (O) Chng minh rng cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy Chng minh DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE Chng minh im M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE HD GII: Ta cú ộCAB = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); ộMDC = 90 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => CDB = 900 nh vy D v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn A v D cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => ABCD l t giỏc ni tip ABCD l t giỏc ni tip => D1= C3( ni tip cựng chn cung AB) ẳ = EM ẳ SM D1= C3 => => C2 = C3 (hai gúc ni tip ng trũn (O) chn hai cung bng nhau) => CA l tia phõn giỏc ca gúc SCB Xột CMB Ta cú BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam giỏc CMB nờn BA, EM, CD ng quy ẳ = EM ẳ SM Theo trờn Ta cú => D1= D2 => DM l tia phõn giỏc ca gúc ADE.(1) Ta cú MEC = 90 (ni tip chn na ng trũn (O)) => MEB = 900 T giỏc AMEB cú MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m õy l hai gúc i nờn t giỏc AMEB ni tip mt ng trũn => A2 = B2 T giỏc ABCD l t giỏc ni tip => A1= B2( ni tip cựng chn cung CD) => A1= A2 => AM l tia phõn giỏc ca gúc DAE (2) T (1) v (2) Ta cú M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE TH2 (Hỡnh b) Cõu : ABC = CME (cựng ph ACB); ABC = CDS (cựng bự ADC) => CME = CDS => l tia phõn giỏc ca gúc SCB ằ = CS ằ => SM ẳ = EM ẳ CE => SCM = ECM => CA Bi 16 Cho tam giỏc ABC vuụng A.v mt im D nm gia A v B ng trũn ng kớnh BD ct BC ti E Cỏc ng thng CD, AE ln lt ct ng trũn ti F, G.Chng minh : Tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc EBD T giỏc ADEC v AFBC ni tip AC // FG Cỏc ng thng AC, DE, FB ng quy HD GII: Xột hai tam giỏc ABC v EDB Ta cú BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DEB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => DEB = BAC = 900 ; li cú ABC l gúc chung => DEB CAB Theo trờn DEB = 900 => DEC = 900 (vỡ hai gúc k bự); BAC = 900 ( vỡ ABC vuụng ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 m õy l hai gúc i nờn ADEC l t giỏc ni tip * BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DFB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) hay BFC = 900 nh vy F v A cựng nhỡn BC di mt gúc bng 900 nờn A v F cựng nm trờn ng trũn ng kớnh BC => AFBC l t giỏc ni tip Theo trờn ADEC l t giỏc ni tip => E1 = C1 li cú E1 = F1 => F1 = C1 m õy l hai gúc so le nờn suy AC // FG (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam giỏc DBC nờn CA, DE, BF ng quy ti S - ... 90 0 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng ti A); DEB = 90 0 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) => DEB = BAC = 90 0 ; li cú ABC l gúc chung => DEB CAB Theo trờn DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vỡ hai gúc k bự); BAC = 90 0... GII: Ta cú: ộBNC= 90 0( ni tip chn na ng trũn tõm K) => ộENC = 90 0 (vỡ l hai gúc k bự) (1) ộAMC = 90 ( ni tip chn nc ng trũn tõm I) => ộEMC = 90 (vỡ l hai gúc k bự).(2) ộAEB = 90 0 (ni tip chn na... HD GII: Ta cú : ộBEH = 90 ( ni tip chn nc ng trũn ) => ộAEH = 90 0 (vỡ l hai gúc k bự) (1) ộCFH = 90 0 ( ni tip chn nc ng trũn ) => ộAFH = 90 0 (vỡ l hai gúc k bự).(2) ộEAF = 90 0 ( Vỡ tam giỏc ABC