Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Câu Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b) A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) + 15 Câu  6−x x 3+ x − 1 − ÷ a) Giải phương trình sau:   x− = 3− 2 b) Tìm x; y biết: x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dương Câu 3: Cho abc = A= Rỳt gọn biểu thức: a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Câu 4: a) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + b) Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hóy tớnh x2 + y2 Câu 5: Cho tam giác ABC cõn A Trờn BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ∆ ABC AEMF hình vuông https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Câu Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x5 + x +1 c) x4 + d) x x - 3x + x -2 với x > Câu Giải phương trình sau: x − 17 x − 21 x + + + =4 a) 1990 1986 1004 b) 4x – 12.2x + 32 = 1 1 c) = +b+ a+b− x a x (x ẩn số) Câu 3: a) Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 b) Tìm số nguyên a b để biểu thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho biểu thức B( x) = x − 3x + Câu 4: a)Cho a b c x y z x2 y2 z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 5: Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: (3 điểm)   x2  1  A = + +   :  Cho biểu thức 2 x +   x − 3x   27 − 3x a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 6y = + y − 10 y + y − 1 − y b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= ( x + 16)( x + 9) x Bài 3: (3 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe máy Bài 4: (4 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a − b + c) https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán b) Tìm số nguyên a b để biểu thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho biểu thức B( x) = x − 3x + Bài 5: (6điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H CMR: HA' HB' HC ' + + AA' BB ' CC ' số Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: (4đ) x2 y x y a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + − 3( + ) + (với x, y khác 0) y x y x b) Tỡm giỏ trị nguyờn x để A MB biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y − x −1 x y + 3 d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 4x2 − 2x + x2 Bài 2: (2đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 1 1 b) 8( x + x ) + 4( x2 + x ) − 4( x + x )( x + x ) = ( x + 4)2 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút    4a + 2b  a −1 − : − ÷ Bài Cho biểu thức: A =  ÷  2a + b a 2a − b + 2a − a b a b + ab    a Rút gọn A b Tính giá trị A biết 4a2 + b2 = 5ab a > b > Bài a) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) b) Tỡm x,y,z thỏa phương trỡnh sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = c) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= Bài a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) Tớnh NC biết BC = 18 cm b) Tớnh AC biết MC - MA = 3cm c) Chứng minh AP BN CM =1 PB NC MA Cõu ( 3,5 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD Qua A kẻ hai đường thẳng vuụng gúc với cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh ∆ AQR ∆ APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tõm ∆ SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Đề số Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = ( với x ;y) x−2 x − x2 − x − https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Bài (8đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giỏc EGKF hỡnh thoi b) ∆ AEF ~ ∆ CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài (3điểm): Tỡm dư phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 Bài 4( 3điểm) Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969 + 1971 ; b = 1970 NGUYễN LộC VĂN Hà Đề số đề thức đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: ( điểm ) https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán a, Chứng minh b, Cho 1 + + = x y z x + y + z = ( x + y ) − 3xy.( x + y ) + z 3 yz xz xy Tớnh A = x + y + z Bài : (8đ) Gọi H hình chiếu đỉnh B đường chéo AC hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự trung điểm AH CD a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC Chứng minh: MO = IC b) Tính số đo góc BMK? c) Gọi P Q điểm thuộc đoạn BM BC Hãy xác định vị trí P Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? Bài (3điểm): Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 2x + x2 + Bài 4( 3điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: NGUYễN LộC VĂN Hà Đề số đề thức yx2 +yx +y =1 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Bài 1: ( điểm ) a)Tỡm giỏ trị lớn nhỏ biểu thức A = 27 − 12 x x2 + 1 + + 2 2 b + c -a c + a - b a + b2 - c2 Rỳt gọn biểu thức B, biết a + b + c = b) Cho B = Bài : (6 điểm) Cho Tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC ) a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB chu vi tứ giỏc MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ M b Tỡm vị trí M để diện tích tứ giác MEAF lớn c Chứng tỏ đường thẳng qua M vuông góc với EF qua điểm cố định Bài (5 điểm): a) Cho a ≥ 4; ab ≥ 12 Chứng minh C = a + b ≥ b) Chứng minh số: a= 1 1 + + + + , n ∈ Z + số nguyên 1.2 2.3 3.4 n.(n+1) Bài 4( 3điểm) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm NGUYễN LộC VĂN Hà Đề số đề thức đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài 1: ( điểm ) a) Cho a, b > a+b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (1+ ) + (1+ )2 a b b) Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : a2 + b2 + c2 ≥ Bài : (8đ) Cho hình chữ nhật ABCD Trờn đường chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P Gọi O giao điểm AC BD a) Tứ giác AMDB hỡnh gi? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD, AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD = d) Giả sử CP ⊥ BD CP = 2,4 cm, Tính cạnh hình chữ nhật ABCD PB 16 Bài (4điểm): Giải phương trình: 1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16 2) x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000 Bài 4( điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120 b Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24 10 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán NGUYễN LộC VĂN Hà Đề số 10 đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút đề thức Bài 1: ( điểm ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD cú cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chứng minh ∆ MAD cân 3.Tính diện tích ∆ MDC theo a Bài (5 điểm): a) Rút gọn biểu thức: 1 x2 + x − x − x − 18 x + yz xz xy b) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) Tính + + x y z Bài (5 điểm) a) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x2 + y2 b) Cho số dương a, b, c có tích Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 11 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Một số đáp án 4 Ta cú: C = a + b = ( a + b) + a ≥ Ta cú: 3ab ⋅ 12 + a≥2 + ⋅4 = 4 4 (ĐPCM) 19702 – < 19702 ⇔ 1969.1971 < 19702 ⇔ 1969.1971 < 2.1970 (*) (0.25đ) Cộng 2.1970 vào hai vế (*) ta cú: ⇔ ( 1969 + 1971) < (2 1970 ) (0.25đ) (0.25đ) ⇔ 1969 + 1971 < 1970 (0.25đ) 2.1970 + 1969.1971 < 4.1970 Vậy: 1969 + 1971 < 1970 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A= 27 − 12 x x2 + ( ) ( ) 2 x2 − 27 − 12 x x − 12 x + 36 − x + A= = = − ≥ −1 x +9 x2 + x +9 A đạt ( giá trị ) ( nhỏ -1 ⇔ ( x − 6) ) =0 hay x + 36 − x + 12 x + x + 3) ( 27 − 12 x = = 4− ≤ A đạt GTLN x2 + x2 + x +9 x = ( x + 3) A =0⇒ x =− = Do a, b, c số dương nên ta có; (a – 1)2 ≥ 0∀a > ⇒ a + ≥ 2a ⇒ a + 2a + = ( a + 1) ≥ 4a (1) …………0,25đ Tương tự (b + 1)2 ≥ 4b (2)………………0,25đ (c + 1)2 ≥ 4c (3) …………0,25đ Nhân vế (1), (2), (3) ta cú: (b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 ≥ 64abc (vỡ abc = 1) ((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 ≥ 64 (b + 1)(a + 1)(c + 1) ≥ 8… 0,25đ Bài IV: y x2 + y x + y = (1) 12 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Nếu phương trình có nghiệm x ,y > (1) y(x2 + x +1) = ⇒ ⇒ y = ,x= y= x2 + x +1 =1 Vậy nghiệm phương trình (x,y) = (0 ,1) (1đ) Bài 1:(2 điểm) Ta cú: a + b + c = ⇔ b + c = - a Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2 ⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 -(a+b+c) ⇒ A= = =0 (vỡ a + b + c = 0) 2bc 2ca 2ab 2abc Vậy A= 1) Đặt y = x + ta phương trình: (y – 1)4 + (y +1)4 = 16 ⇔ 2y4 + 12y2 + = 16 ⇔ y4 + 6y2 -7 = Đặt z = y2 ta phương trình: z2 + 6z – = có hai nghiệm z1 = z2 = -7  y2 = có nghiệm y1 = ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3  y2 = -7 nghiệm 2) x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 + + + =4 1006 1004 1002 1000 x − 1001 x − 1003 x − 1005 x − 1007 ⇔ −1+ −1+ −1+ −1 = 1006 1004 1002 1000 x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007 ⇔ + + + =0 1006 1004 1002 1000 1   ⇔ ( x − 2007)  + + + ÷ = ⇔ ( x − 2007) =  1006 1004 1002 1000   1 1  + + + Vỡ  ÷ ≠ ⇒ x = 2007  1006 1004 1002 1000  Bài 3:(1,5 điểm) Ta cú: 13 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán   1 1   1 1   1 1    a = 1 − ÷+  − ÷+  − ÷+ +  − ÷ 2 3 n n+1 = 1−  n = < 1; n+1 n+1 Mặt khác a > Do a không nguyên Bài 1: a A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120 Kết phân tích A = ( x –3) (x-5) (x-2) (x-4) b A = (x-3) (x-5) (x-2) (x-4) => A= (x-5) (x-4) (x-3) (x-2) A tích số nguyên liên tiếp nên A  24 Bài 4: Giải a chứng minh F C BA + CA BE = AB2 (0,5 điểm ) + Chứng minh chu vi tứ giác MEAF = AB ( không phụ vào vị trí M ) ( 0,5 điểm ) b Chứng tỏ M trung điểm BC Thỡ diện tớch tứ giỏc MEAF lớn (1 điểm ) c Chứng tỏ đường thẳng MH ⊥ EF qua điểm N cố định ( điểm ) a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẻ Ta cú: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 1 1 1 1 + + = ⇒ = − + ÷ x y z z x y 1 1  1 1 1 1  ⇒ = −  + ÷ ⇒ = −  + + + ÷ z z x y x y y  x y x ⇒ 1 1 1 1 1 1 + + = −3  + ÷⇒ + + = 3 x y z x y x y x y z xyz Do : xyz( xyz xyz xyz yz zx xy 1 ⇔ + + =3⇔ + + =3 + + )= y x y z x y z x z 14 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 Trung tâm gia sư Hà Nội – Gia sư Toán lớp – Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 15 https://sites.google.com/site/giasulop8tainhahanoi/ ĐT: (043).990.6260 – 0936.128.126 ... vế ta có : (b + c )2 = a2 ⇔ b2 + 2bc + c2 = a2 ⇔ b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 -(a+b+c) ⇒ A= = =0 (vỡ a + b + c = 0) 2bc 2ca 2ab 2abc Vậy A= 1) Đặt... (2 1970 ) (0 .25 đ) (0 .25 đ) ⇔ 1969 + 1971 < 1970 (0 .25 đ) 2. 1970 + 1969.1971 < 4.1970 Vậy: 1969 + 1971 < 1970 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A= 27 − 12 x x2 + ( ) ( ) 2 x2 − 27 − 12 x x − 12. .. (a – 1 )2 ≥ 0∀a > ⇒ a + ≥ 2a ⇒ a + 2a + = ( a + 1) ≥ 4a (1) …………0 ,25 đ Tương tự (b + 1 )2 ≥ 4b (2) ………………0 ,25 đ (c + 1 )2 ≥ 4c (3) …………0 ,25 đ Nhân vế (1), (2) , (3) ta cú: (b + 1 )2( a + 1 )2( c + 1 )2 ≥ 64abc