PHONG GD&ĐT SẦM SƠN Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán (Đề 1) TRƯỜNG THCS BẮC SƠN I) Mục tiêu: Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh Phân loại đối tượng học sinh Phát học sinh có kiến thức, lực để chọn đội tuyển chuẩn bị cho kỳ thi cấp tỉnh II) MA TRẬN Chủ đề Cấp độ nhận thức điểm Nhận Thông Vận dụng biết hiểu cấp độ cấp độ cao thấp I )Biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ Số câu Điểm II)Chứng minh chia hết Số câu Điểm III)Đa thức chia hết Số câu Điểm IV)Số lũy thừa Số câu Điểm V)Phương trinh bất phương trình Số câu Điểm VI)Cực trị đại số Số câu Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử,bằng phương pháp đăt ẩn phụ ; tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc biến K ỹ vận dụng tính chất chia hết; phương pháp chứng minh chia hết 1,5 Kỹ vận dụng tính chất chia hết đa thức; kỹ phân tích thành nhân tử Ước số nguyên tố; kỹ phân tích thành nhân tử Kỹ giải phương trình đưa phương trình bậc ẩn; giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Kỹ vân dụng bất đẳng thức phụ đặt ẩn phụ toán cực trị 1,5 2 Điểm chứng minh tính chất hình Số câu Điểm t 1,5 Kỹ vận dụng định lý Ta let; tính chất đường phân giác; tam giác đồng dạng; kỹ biến đổi tỉ lệ thức 1.5 11 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ 1) Thời gian: 150 phút Câu 1: (4đ) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - b, Cho x ∈ Z chứng minh x200 + x100 +1 x4 + x2 + Câu 2: (2đ) 1 + + = x y z 1 Tính giá trị biểu thức P = + + x y z Cho x,y,z ≠ thoả mãn x+ y +z = xyz Câu 3: (3đ) Tìm x biết a, 3x + < 5x -4 b, x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 + + = 57 54 51 48 Câu 4: (3đ) a, Chứng minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với n ∈ N* b, Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y+z z+x x+ y Bài 5: (6đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Bài 6: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số PHONG GD&ĐT SẦM SƠN TRƯỜNG THCS BẮC HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8ĐỀ Câu1(4đ) a,đặt a = x2 -2x x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + (x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + ⇒ A chia hết cho x4 + x2 + Cau : (2đ 1 ( )2 = p + Câu 3: (3đ) 1 1 z+ y+x vậyP+2=3 xyz 1đ 1đ 0.75đ 0,75đ suy P = 0.5đ giải 4-5x < 3x +2< 5x - làm x> b, Cộng vào phân thức đặt nhân tử chung 1đ 0.5đ 1đ (x+100)( Câu 4: 3đ Có ( x + y + z ) = + + + 2( xy + xz + yz ) x y z 1đ 1đ 1 1 + − − )=0 57 54 51 48 ⇒ S = { − 100} 0.5đ a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3 =n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho ( tích số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho ⇒ A =3B chia hết cho b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = −a+b+c a−b+c a+b−c ;y= ; z= 2 −a+b+c a−b+c a+b−c + + P= = 2a 2b 2c 0.5đ 0,5đ 0,5đ a+b+c ⇒ x= 0.5đ b c a c a b ( −1 + + − + + − + + ) = a a b b c c b a c a b c (−3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥ a b a c c b Min P = ( Khi a=b=c ⇔ x=y=z Câu 5: (2đ) 1đ + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung 0,25 đ CD CA 0,25 đ = (Hai tam CE CB giác vuông CDE CAB đồng dạng) b) 2đ Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên ∠AEB = 45 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m 0,25 đ 0,5 đ BM BE AD = × = × (do ∆BEC ~ ∆ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH = × = × = = nên (do ABH BC AC AC AB BE 0,5đ Ta có: dạng CBA) Do BHM đồng dạng C) 2đ Đồng 1đ BEC (c.g.c) 0,5đ suy ra: ∠BHM = ∠BEC = 135 ⇒ ∠AHM = 45 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC Suyra: GB AB = , GC AC ∆ABC ~ ∆DEC nên Do đó: Câu 0,25 đ 0,5 đ AB ED AH HD = = = AC DC HC HC (DE//AH) GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 1đ 1đ Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) 1đ Vì p số nguyên tố nên: Hoặc : a-1=2 suy p=13 ( thoả mãn) 0,5đ Hoặc: a +a+1 =2 điều không xảy a >1 Vởy số tự nhiên có dang 2p+1 (p số nguyên tố) có số lập phương số tự nhiên khác Lưuý: Học sinh làm cách khác vân cho điểm tối đa Người đáp án: Nguyễn Văn Bằng 0,5đ ... +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho ( tích số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho ⇒ A =3B chia hết cho b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z... THCS BẮC HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8 Ề Câu1(4đ) a,đặt a = x2 -2x x2 -2x -1 = a-1 ⇒ A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1) =x2(x1 98- 1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1)... + z ) = + + + 2( xy + xz + yz ) x y z 1đ 1đ 1 1 + − − )=0 57 54 51 48 ⇒ S = { − 100} 0.5đ a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n +8) =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n