PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM THƯ ( Đề gồm 01trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP Môn : Toán Năm học : 2015-2016 Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức: A = 1− ( x x −1 − − ): + x 4x −1 − x 4x + x +1 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên 2, Tính giá trị biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 + 2 + 3 − 2 Bài 2: (4đ) 1 a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn + + = Chứng minh rằng: x y z x + yz + y + zx + z + xy ≥ xyz + x + y + z b)Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + là số phương Bài : (4đ) a , Giải phương trình : 3x + x + 10 = 14 x − b, Tìm nghiệm phương trình: x2+ 2y2 + 2xy + 3y - =0 Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và điểm A ngoài đường tròn, từ điểm M di động đường thẳng d ⊥ OA A, vẽ tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA H và K a) Chứng minh OA.OK không đổi từ suy BC qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tính giá trị nhỏ Câu ( 1.0 đ):Tìm a,b là số nguyên dương cho: a + b2 chia hết cho a2b - Hết -( Cán coi thi không giải thích thêm) PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM THƯ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP9 Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút CÂU Ý 1a) (2đ) a/(2đ)Cho biểu thức  x  x −1 − − : ÷ ĐK: x ÷  1+ x 4x −1 − x  4x + x +1 ≥ 0; x ≠ ; x ≠   x ÷ x −1  − + : A= 1-  2 x + x + (2 x − 1) x − ÷ x +   A= 1-  ( Bài (5đ) ĐIỂM NỘI DUNG CẦN ĐẠT ) ( x − − x + x + (2 x + 1) A=1(2 x + 1)(2 x − 1) x −1 A=11b) (1đ) x −1 x +1 x +1 = 1− = x −1 x −1 x −1 − x ) 0,25 0,5 0,5 0,75 Ta có : b/(2đ) Tìm x ∈ Z để A nguyên ∈ Z ⇒ − x ∈ Ư(2) 1− x Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ∈ Z ⇒ x = A∈ Z ⇒ Vậy x=0 A có giá trị nguyên Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), 2.(2đ) Đặt a= 3 + 2 , b= 3 − 2 Ta có ⇒ x= a+b ⇒ x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b) => x3 = + 3x ⇒ x3- 3x = Suy B = 2006 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 a)(2đ) Bài (4đ) Bất đẳng thức cho tương đương với a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca , 1 với a = , b = , c = , a + b + c = x y z Tacó : a + bc = a (a + b + c) + bc 0,75 0,75 = a + a (b + c) + bc ≥ a + 2a bc + bc = a + bc Tương tự: b + ca ≥ b + ca ; c + ab ≥ c + ab Từ ta có đpcm Dấu xảy x = y = z = b)2đ A = n + n + là số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) 0,5 0,5 ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔   2k − n − = 0,5 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) Bài (4đ) a)(2đ) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  2k − n − = n = 0,5 Vậy với n = A là số phương 0,5 a) Giải pt sau: x + x + 10 = 14 x − ĐKXĐ:  x≥  14 x − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔   x ≤ −  2 26 Vì 3x + x + 10 = 3( x + ) + >0 3 0,25 ( 0,25 0,75 ) Ta có: (1) ⇔ x + x + 10 − x − = ⇔ ( x + x + ) + x − − 2 x − + = ⇔ ( x + 2) + ( x2 − − ) =0  x = −2 x+2=0   ⇔ ⇔   x = ⇔ x = −2 2 x − − =   x = −2   (TMĐK) Vậy PT có nghiệm là: x = -2 0,75 0,5 0,25 Bài (5đ) Vẽ hình (0,25) d M B H O K A 0,25 C a)(2đ) b)(1đ) a ∆ HOK ∞ ∆AOM → OA.OK = OH.OM ∆ vBOM có OB2 = OH OM R2 → → OK = (Không đổi) OA → K là điểm cố định 0,5 0,5 0,5 H nằm đường tròn đường kính OK cố định 1đ b c c) S OBMC = 2S OBM = OM BH = OM BC (1,75) Smin ↔ OM nhỏ nhất, BC nhỏ ↔ M ≡ A, BC ⊥ OK ↔ H ≡ K ↔ M ≡ A S = R 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài (1đ) Bài 5: (1đ) x − 2Mxy + ⇒ y ( x − 2)Mxy + ⇒ x( xy + 2) − 2( x + y ) Mxy + ⇒ 2( x + y )Mxy + Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k ∈ Z + k=1 0,25 ⇒ x + y = xy + ⇔ ( x − 2)( y − 2) = NêuTìm x=4 ; y=3 Nếu k ≥ ⇒ 2( x + y) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + ⇒ ( x − 1)( y − 1) + ≤ v« lÝ (lo¹i) VËy x=4 y=3 ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm ) 0,5 0,25 ...PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM THƯ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP9 Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút CÂU Ý 1a) (2đ) a/(2đ)Cho