BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Trung Dũng TẬP BÀI GIẢNG LÍ THUYẾT XÁC SUẤT (Lưu hành nội bộ) HÀ NỘI-NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN TRUNG DŨNG TẬP BÀI GIẢNG LÍ THUYẾT XÁC SUẤT (Tài liệu dùng cho hệ đào tạo quy SP CN Toán học) HÀ NỘI-NĂM 2017 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Chương KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.1 Phép thử ngẫu nhiên biến cố 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên 1.1.2 Biến cố 10 1.2 Xác suất biến cố 12 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất 12 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất 14 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 15 1.2.4 Xác suất hình học 16 1.2.5 Các tính chất xác suất 17 1.3 Xác suất có điều kiện 20 1.3.1 Định nghĩa ví dụ 20 1.3.2 Quy tắc nhân xác suất 22 1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ 23 1.3.4 Công thức Bayes 24 1.4 Sự độc lập công thức Bernoulli 26 1.4.1 Sự độc lập 26 1.4.2 Công thức Bernoulli 28 1.4.3 Số có khả 30 Tài liệu lưu hành nội Bài tập chương 33 Chương BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 39 2.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 40 2.1.1 Một số khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên 40 2.1.2 Phối xác suất biến ngẫu nhiên 44 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 47 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 47 2.2.2 Một số biến ngẫu nhiên rời rạc thường gặp 50 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 53 2.3.1 Định nghĩa ví dụ 53 2.3.2 Một số biến ngẫu nhiên liên tục thường gặp 55 2.4 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 61 2.4.1 Kỳ vọng 61 2.4.2 Phương sai 64 2.4.3 Một số đặc trưng khác biến ngẫu nhiên 67 Bài tập chương 70 Chương VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI 76 3.1 Véc tơ ngẫu nhiên phân phối xác suất đồng thời 77 3.1.1 Một số khái niệm véc tơ ngẫu nhiên 77 3.1.2 Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc 78 3.1.3 Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 82 3.2 Các đặc trưng véc tơ ngẫu nhiên 86 3.3 Phân phối xác suất có điều kiện 92 3.4 Phân phối hàm biến ngẫu nhiên 97 3.4.1 Trường hợp phân phối rời rạc 97 3.4.2 Trường hợp phân phối liên tục 98 Tài liệu lưu hành nội 3.4.3 Phân phối hàm hai biến ngẫu nhiên 101 Bài tập chương 105 Chương LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN 110 4.1 Luật số lớn 111 4.1.1 Hội tụ theo xác suất 111 4.1.2 Một số bất đẳng thức 112 4.1.3 Luật yếu số lớn 115 4.1.4 Ứng dụng luật số lớn thống kê 118 4.2 Định lí giới hạn trung tâm 120 4.2.1 Hội tụ theo phân phối xác suất 120 4.2.2 Hàm đặc trưng 121 4.2.3 Định lí giới hạn trung tâm 124 4.3 Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson 126 4.4 Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn 128 Bài tập chương 132 Chương GIỚI THIỆU VỀ XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 137 5.1 Tính Markov 138 5.1.1 Quá trình ngẫu nhiên gì? 138 5.1.2 Tính Markov 138 5.2 Xích Markov rời rạc 140 5.2.1 Ma trận xác suất chuyển 140 5.2.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 142 5.2.3 Phân phối ban đầu 143 5.3 Một số mô hình xích Markov 145 5.3.1 Mô hình kiểm kê 145 5.3.2 Mô hình phục vụ đám đông 146 5.3.3 Mô hình xích Markov toán điều khiển 147 Tài liệu lưu hành nội 5.4 Xích Markov hữu hạn 150 5.4.1 Xích có hai trạng thái 150 5.4.2 Định lí ergodic 152 Bài tập chương 155 TÀI LIỆU THAM KHẢO 161 LỜI NÓI ĐẦU Lí thuyết xác suất Thống kê toán môn học bắt buộc sinh viên nhiều ngành học ứng dụng chúng bắt gặp nhiều lĩnh vực sống kinh tế, tài chính, sinh học, vật lí, Đặc biệt, chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, cấu trúc chương trình môn Toán trung học phổ thông dựa phối hợp cấu trúc tuyến tính với cấu trúc đồng tâm xoáy ốc, xoay quanh tích hợp ba mạch kiến thức: Số Đại số; Hình học Đo lường; Thống kê Xác suất Do đó, Lí thuyết xác suất Thống kê toán đặc biệt quan trọng giáo viên toán tương lai Tập giảng kết mười năm tác giả tham khảo, tìm hiểu, nghiên cứu giảng dạy học phần Lí thuyết xác suất cho sinh viên từ K30 Cử nhân Toán Nội dung tập giảng dựa khung chương trình học phần Lí thuyết xác suất tín dành cho sinh viên ngành Sư phạm Cử nhân Toán học Nội dung tập giảng trang bị cho sinh viên kiến thức xác suất, biến ngẫu nhiên phân phối xác suất, đặc trưng biến ngẫu nhiên, luật số lớn định lí giới hạn Bên cạnh đó, tập giảng giới thiệu mô hình song tương đối đại có nhiều ứng dụng thực tế Lí thuyết xác suất mô hình xích Markov Từ giúp cho sinh viên thấy phần ứng dụng lí thuyết toán học thực tế, đồng thời tăng cường niềm say mê toán học Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, TS Trần Văn Bằng, TS Trần Minh Tước, ThS Phạm Thị Hương, ThS Phạm Văn Duẩn đọc cho nhiều nhận xét quý báu nội dung tập giảng Mặc dù cố Tài liệu lưu hành nội gắng song tập giảng chắn thiếu sót, tác giả mong nhận nhận xét góp ý để tập giảng hoàn thiện Hà Nội, năm 2017 Tác giả Nguyễn Trung Dũng DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU R Tập số thực Z+ Tập hợp số nguyên không âm N Tập số tự nhiên 0, 1, 2, N∗ Tập hợp số tự nhiên khác không Rn Không gian Euclide n chiều S+ n Tập hợp ma trận đối xứng xác định dương cỡ n Ω Không gian mẫu phép thử |A| Số phần tử tập A A, Ac Biến cố đối biến cố A P(A) Xác suất biến cố A BR σ-đại số Borel R BRn σ-đại số Borel Rn (Ω, F, P) P Xn − →X d − X Xn → Không gian xác suất Dãy (Xn ) hội tụ theo xác suất đến X Dãy (Xn ) hội tụ theo phân phối đến X Chương KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Mục tiêu Sau học xong chương sinh viên sẽ: Hiểu khái niệm Lí thuyết xác suất: phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, xác suất biến cố, tính chất xác suất, xác suất có điều kiện độc lập biến cố Có khả nhận biết phép thử ngẫu nhiên, mô tả không gian mẫu biến cố sơ cấp phép thử ngẫu nhiên Có khả tính xác suất cổ điển biến cố, tính xác suất biến cố dựa vào tính chất xác suất Có khả xây dựng không gian xác suất tương ứng với phép thử ngẫu nhiên cho Trong chương này, trình bày số khái niệm sở Lí thuyết xác suất Trước hết bắt đầu với câu hỏi " Xác suất ?" Tiếp theo trình bày phép thử ngẫu nhiên, phương pháp gán xác suất cho biến cố, khái niệm xác suất có điều kiện tính chất Cuối trình bày độc lập biến cố, công thức Bernoulli số có Tài liệu lưu hành nội loại sản phẩm Tốc độ yêu cầu sản phẩm số d > Mục tiêu hệ thống sản xuất sản phẩm đáp ứng tốc độ yêu cầu sản phẩm Tuy nhiên, có xảy hỏng hóc nên hệ thống rơi vào hai trạng thái: hoạt động hỏng hóc Vì máy hoạt động độc lập hỏng hóc xảy ngẫu nhiên nên giả thiết (rk , k ∈ N) xích Markov mô tả trạng thái hoạt động hệ thống với không gian trạng thái M = {0, 1} trạng thái hỏng hóc, trạng thái hoạt động Hơn nữa, giả thiết rằng, trạng thái hoạt động, hệ thống sản suất với tốc độ u với số lượng sản phẩm cực đại r > d Chúng ta kí hiệu x(k ) tổng lượng hàng kiểm kê thời điểm k, tức là, x(k ) tổng sản phẩm tính đến thời điểm k trừ tổng lượng hàng yêu cầu đến thời điểm k Khi đó, hệ thống mô tả MJLS sau   x(x) + u(k ) − d rk = x(k + 1) =  x(k ) − d rk = 0, k ∈ N (5.3.3) u(k ) biến điều khiển tốc độ sản xuất Bài toán Xét máy lượng mặt trời bao gồm: hệ thống gương phản chiếu ánh sáng mặt trời di chuyển được, tháp có chứa bình nước điều chỉnh lượng nước cáp chuyển lượng mặt trời vào bình nước Năng lượng truyền vào bình nước phụ thuộc vào điều kiện thời tiết Nếu trời nắng, lượng truyền vào bình nước nhiều hơn, ngược lại, trời nhiều mây lượng nhận Hệ thống mô tả Hình 5.3.1 sau 148 Tài liệu lưu hành nội Hình 5.3.1: Máy lượng mặt trời Dựa vào liệu thống kê, điều kiện thời tiết mô tả bời xích Markov với hai trạng thái: có nắng nhiều mây Nếu gọi x(k ) nhiệt lượng mặt trời thời điểm k mô hình điều khiển nhiệt lượng đơn giản có dạng sau   x(k + 1) = A(rk )x(k ) + B (rk )u(k )  z (k ) = C (rk )x(k ) + D(rk )u(k ) {rk : k ∈ Z+ } xích Markov với không gian trạng thái M = {1, 2} mô tả điều kiện thời tiết sau:   1 trời có nắng rk =  0 trời nhiều mây Tổng quát, không gian xác suất đủ (Ω, F, P), xét hệ MJLS rời rạc có dạng sau: x(k + 1) = A(rk )x(k ) + B (rk )u(k ), 149 k ∈ Z0 , (5.3.4) Tài liệu lưu hành nội x(k ) = (x1 (k ), x2 (k ), , xn (k ))T véc tơ trạng thái, u(k ) = (u1 (k ), u2 (k ), , um (k ))T véc tơ điều khiển đầu vào, A(rk ), B (rk ) ma trận hệ với số chiều phù hợp 5.4 Xích Markov hữu hạn 5.4.1 Xích có hai trạng thái Chúng ta xét trường hợp đơn giản xích Markov xích (Xn ) có không gian trạng thái M = {0, 1} Giả sử ma trận xác suất chuyển xích   1−α α  với < α, β < Π= β 1−β Có thể kiểm tra α = − β X1 , X2 , biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X: P(X = 0) = β, P(X = 1) = α Do đó, α ± − β (Xn ) dãy phụ thuộc có tính Markov Tính trực tiếp ta có  Π2 =   (1 − α) + αβ α(1 − α + − β )  β (1 − α + − β ) (1 − β ) + αβ Bằng quy nạp có     n β α α −α   + (1 − α − β )   Πn = α+β β α α+β −β β Vì vậy, |1 − α − β| <  β β lim Πn =  α + β  n→∞ α+β 150 α  α + β α  α+β Tài liệu lưu hành nội β Điều nói lên tương lai hệ rơi vào trạng thái với xác suất α+β α rơi vào trạng thái với xác suất α+β Ví dụ 5.4.1 Chúng ta xét ví dụ áp dụng kết sau: Giả sử cần nghiên cứu vấn đề xã hội (tội phạm, nghiện hút, mại dâm, ) khu vực dân cư phận người Chúng ta kí hiệu trạng thái không mắc vấn đề xã hội, trạng thái mắc vấn đề xã hội Ví dụ thống kê tình trạng nghiện hút 1200 sinh viên ta có số liệu ban đầu sau: 1000 sinh viên không nghiện, 200 sinh viên nghiện Vì vậy, ta có tỷ lệ ban đầu π0 = 1000 200 = 0, 833, π1 = = 0, 167 1200 1200 Sau ba tháng, bọn buôn bán ma túy hoạt động mạnh biện pháp xã hội (tuyên truyền giáo dục, cai nghiện, ) nên có sinh viên (trong số 1200 sinh viên) từ trạng thái chuyển sang trạng thái hay 0, từ trạng thái chuyển sang trạng thái hay + −→ có nghĩa trước không nghiện, không nghiện + −→ có nghĩa trước không nghiện, có nghiện + −→ có nghĩa trước có nghiện, không nghiện + −→ có nghĩa trước có nghiện, có nghiện Các số liệu có thu dựa kết điều tra, thống kê, ví dụ:   1 990 10 24 176   Chúng ta có 990 10 = 0, 99, p00 = = 0, 01 1000 1000 24 176 = = 0, 12, p11 = = 0, 88 200 200 p00 = p10 151 Tài liệu lưu hành nội Như vậy, thu mô hình xíc Markov (Xn , p, Π) sau: + Không gian trạng thái M = {0, 1} + Phân phối ban đầu π = (π0 , π1 ) = (0, 833, 0, 167) + Ma trận xác suất chuyển  Π= p00 p01 p10 p11   =  0, 99 0, 01  0, 12 0, 88 Áp dụng kết mô hình với α = 0, 01, β = 0, 12 ta có |1 − α − β| < 1, α β  β lim Πn =  α + β  n→∞ α+β    α + β  = 0, 923 0, 077 α  0, 923 0, 077 α+β Vì vậy, có kết luận sau: + Tỷ lệ người không mắc nghiện xấp xỉ 92% + Tỷ lệ người nghiện xấp xỉ 8% 5.4.2 Định lí ergodic Một vấn đề quan trọng nghiên cứu xích Markov ta tìm điều kiện để tồn giới hạn (n) πj = lim pij , không phụ thuộc vào i n→∞ cho πj > 0, ∀j ∈ M, πj = j∈M Đây tính ergodic xích Chúng ta thừa nhận kết sau Định lí 5.4.2 Giả sử Π = (pij ) ma trận xác suất chuyển xích Markov (Xn ) có không gian trạng thái hữu hạn M = {1, 2, , N } 152 Tài liệu lưu hành nội i) Nếu Π quy, tức tồn số n0 cho (n ) pij > (5.4.1) i,j tồn số π1 , π2 , , πN cho πj > 0, πj = (5.4.2) j∈M với j ∈ M (n) lim pij = πj (5.4.3) n→∞ ii) Ngược lại, tồn số π1 , π2 , , πN thỏa mãn điều kiện (5.4.2) (5.4.2) tồn n0 thỏa mãn (5.4.1) iii) Các số π1 , π2 , , πN nghiệm hệ phương trình xk pkj , j ∈ M xj = (5.4.4) k∈M nghiệm thỏa mãn điều kiện xj > 0, ∀j ∈ M, xj = j∈M (5.4.4) thực Định nghĩa 5.4.3 Xích Markov thỏa mãn (5.4.2), (5.4.2) gọi có tính ergodic (π1 , π2 , , πN ) gọi phân phối ergodic xích Định nghĩa 5.4.4 (Phân phối dừng) Nghiệm không âm (π1 , π2 , , πN ) πj = gọi phân phối dừng (hay bất hệ phương trình (5.4.4) cho j∈M biến ) xích Markov với ma trận xác suất chuyển Π = (pij ) Định nghĩa 5.4.5 (Phân phối giới hạn) Xích Markov gọi có phân phối giới hạn với j = 1, 2, , N tồn giới hạn ( n) πj = lim pij , n→∞ không phụ thuộc vào i thỏa mãn πj ≥ 0, πj = Chúng ta gọi (π1 , π2 , , πN ) j∈M phân phối giới hạn xích 153 Tài liệu lưu hành nội Ví dụ 5.4.6 Cho xích Markov có ma  0, 0,   Π =  0,  0, 0, trận xác suất chuyển  0,   0, 4  0, Khi phân phối dừng xích xác định nghiệm hệ    0, 5π1 + 0, 2π2 + 0, 3π3 = π1       0, 0π1 + 0, 6π2 + 0, 4π3 = π2    0, 2π1 + 0, 4π2 + 0, 4π3 = π3      π + π + π = 1 Từ có π1 = 5/13, π2 = 2/13, π3 = 6/13 154 BÀI TẬP CHƯƠNG 5.1 Cho xích Markov (Xn )n≥0 với không gian trạng thái M = {0, 1, 2} ma trận xác suất chuyển   0, 0, 0,     Π = 0, 0, 0, 0   0, 0, 0, Biết phân phối ban đầu p0 = P(X0 = 0) = 0, 3, p1 = P(X0 = 1) = 0, 4, p2 = P(X0 = 2) = 0, Tính P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2) 5.2 Xét toán truyền tín hiệu điện gồm tín hiệu 0, thông qua kênh có nhiều trạm trạm nhận sai tín hiệu với xác suất cố định α ∈ (0, 1) Giả sử X0 tín hiệu truyền Xn tín hiệu nhận trạm n Cho biết (Xn )n≥0 lập thành xích Markov với ma trận xác suất chuyển  Π= 1−α α α 1−α   a Tính P(X0 = 0, X1 = 0, X2 = 0) xác suất không nhận sai tín hiệu trạm n = b Tính P(X0 = 0, X1 = 0, X2 = 0) + P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 0) xác suất nhận tín hiệu trạm n = c P(X5 = 0|X0 = 0) xác suất nhận tín hiệu qua trạm 155 Tài liệu lưu hành nội 5.3 Cho xích Markov (Xn )n≥0 với không gian trạng thái M = {0, 1, 2} ma trận xác suất chuyển   0, 0, 0,     Π = 0, 0, 0, 6   0, 0, 0, Tính Π2 P(X3 = 1|X1 = 0), P(X3 = 1|X0 = 0) 5.4 Cho xích Markov (Xn )n≥0 với không gian trạng thái M = {0, 1, 2} ma trận xác suất chuyển   0, 0, 0,     Π = 0, 0, 0, 5   0, 0, 0, Tính P(Xn = 0|X0 = 0), với n = 0, 1, 2, 3, 5.5 Giả sử Xn chất lượng chi tiết thứ n dây chuyền sản xuất với   0 chi tiết tốt Xn =  1 chi tiết xấu Giả sử (Xn )n≥0 lập thành xích Markov với ma trận xác suất chuyển   0, 99 0, 01   0, 12 0, 88 Tính P(X4 = 1|X1 = 1) Giải thích ý nghĩa xác suất 5.6 Cho xích Markov (Xn )n≥0 với không gian trạng thái M = {0, 1, 2} ma trận xác suất chuyển   α 1−α 1−β β   , α, β ∈ [0, 1] Chứng minh (Zn )n≥0 lập thành xích Markov với bốn trạng thái (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) 156 Tài liệu lưu hành nội Zn = (Xn−1 , Xn ), n = 0, 1, 2, 5.7 Cho (Xn )n≥0 xích Markov có P(X0 = 0) = 1, không gian trạng thái M = {0, 1, 2} ma trận xác suất chuyển   3/7 3/7 1/7     Π = 1/11 2/11 8/11   1/11 4/11 6/11 Đặt Yn =   1 Xn =  2 Xn = Chứng tỏ (Yn )n≥0 xích Markov tìm ma trận xác suất chuyển 5.8 Cho (Xn )n≥0 xích Markov có P(X0 = 0) = 1, không gian trạng thái M = {1, 2, 3} ma trận xác suất chuyển   α 1−α     Π= α − α , α ∈ [0, 1]   1/3 1/3 1/3 Đặt Yn =   1 Xn <  2 Xn = Chứng tỏ (Yn )n≥0 xích Markov tìm ma trận xác suất chuyển 5.9 Cho (ξn )n≥0 dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập có phân phối với P(ξn = k ) = pk , pk ∈ [0, 1], k = 0, ±1, ±2, Đặt Xn = ξ0 + ξ1 + ξ2 + · · · + ξn Chứng minh (Xn )n≥0 xích Markov tìm ma trận xác suất chuyển 157 Tài liệu lưu hành nội 5.10 Xét mô hình kiểm kê phụ tùng thay với s = S = mức để nhập hàng ξn lượng khách hàng yêu cầu chu kỳ n Biết P(ξn = 0) = 0, 4, P(ξn = 1) = 0, 3, P(ξn = 2) = 0, Xác định ma trận xác suất chuyển xích Markov (Xn )n≥0 Xn số phụ tùng lại cuối chu kỳ n 5.11 Tìm phân phối giới hạn xích Markov có ma trận xác suất chuyển sau a   1/2 1/2     Π = 1/3 1/3 1/3   1/6 1/2 1/3 b  0,   0, Π=  0,  1,  , , 0,   0, 0, 0, 4   0, 0, 0, 4  , 0 , 0, 5.12 Chứng minh ma trận xác suất chuyển   1/2 1/2 0     1/2 1/2 0      Π = 1/3 1/3 1/3       0 1/2 1/2   1/2 1/2 0 thỏa mãn điều kiện quy Tìm phân phối giới hạn 5.13 Chứng minh xích Markov có hữu hạn trạng thái luôn tồn phân phối dừng 158 Tài liệu lưu hành nội 5.14 Chứng minh ma trận xác suất chuyển   1/4 1/4 0 1/2     1/3 1/3 1/3      Π = 1/2 0 1/2      0 1/2 1/2   0 không thỏa mãn điều kiện quy Phân phối dừng có tồn không? 5.15 Xác định phân phối dừng xích Markov có ma trận xác suất chuyển sau a   1/3 1/3 1/3     1/2 1/2 0   Π=   1/4 1/4 1/2   1/2 1/2 b   1/2 0 1/2      0 0      Π = 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5      1/2 0 1/2   1/2 1/2 0 5.16 Kiểm tra tính ergodic xích Markov với ma trận xác suất chuyển sau a  1/2 1/2   1/2 1/2 Π=   1/2  1/2 159 0    0    1/2  1/2 Tài liệu lưu hành nội b  0       0    Π=  1/2 1/2 0    1/4 1/4 1/4 1/4 Tìm phân phối ergodic có 5.17 Cho xích Markov ergodic với hai trạng thái có phân phối giới hạn (p, − p) Hãy tìm ma trận xác suất chuyển 5.18 Cho xích Markov (Xn )n≥0 với không gian trạng thái M = {1, 2, , N } ma trận xác suất chuyển  p   pN Π=    p2 o < pi < 1, N i=1 pi p2 p3 pN    p1 p2 pN −1      p3 p4 p1 = Chứng minh lim P(Xn = j ) = n→∞ 160 N , ∀j ∈ M TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu (1976), Bài tập lí thuyết xác suất thống kê toán, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục [5] Đặng Hùng Thắng (2002), Bài tập xác suất, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất ứng dụng phần I: Xích Markov ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [9] Trần Mạnh Tuấn (2004), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [10] Vũ Viết Yên (2005), Bài tập lí thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm 161 Tài liệu lưu hành nội Tiếng Anh [11] O.L.V Costa, M.D Fragoso, R.P Marques (2005), Discrete-Time Markov Jump Linear Systems, Springer [12] G Modica, L Poggiolini (2013), A First Course in Probability and Markov Chains, Wiley [13] N Privault (2013), Understanding Markov Chains, Springer [14] C.W Rinaman (1993), Foundations of Probability and Statistics, Saunder College Publishing [15] G.G Roussas (1997), A Course Mathematical Statistics, Academic Press [16] Y Suhov, M Kelbert (2008), Probability and Statistics by Example: II Markov Chains: a Primer in Random Processes and their Applications, Cambridge University Press 162 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN TRUNG DŨNG TẬP BÀI GIẢNG LÍ THUYẾT XÁC SUẤT (Tài liệu dùng cho hệ đào tạo quy SP CN Toán học) HÀ NỘI-NĂM 2017 Mục lục... Xác suất Do đó, Lí thuyết xác suất Thống kê toán đặc biệt quan trọng giáo viên toán tương lai Tập giảng kết mười năm tác giả tham khảo, tìm hiểu, nghiên cứu giảng dạy học phần Lí thuyết xác suất. .. suất cho sinh viên từ K30 Cử nhân Toán Nội dung tập giảng dựa khung chương trình học phần Lí thuyết xác suất tín dành cho sinh viên ngành Sư phạm Cử nhân Toán học Nội dung tập giảng trang bị cho