PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MÔN TOÁN (VÒNG I) NĂM HỌC 2016-2017 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 30/9/2016 − − nghiệm đa thức P ( x ) = x − 2017x + m 1 + = b) Cho a, b, c > thỏa mãn 2b = a + c Chứng minh a+ b b+ c c+ a 2 x y Bài 2: a) Tìm tất số nguyên dương x, y cho số nguyên tố x + y2 Bài 1: a) Tìm m để b) Cho a, b số thực thỏa mãn a > b > a − a b + ab − 6b3 = a − 4b Tính giá trị biểu thức B = b − 4a Bài 3: Giải phương trình: =2 b) x + x + − ( x + 1) a) 5x x − + = x − + 10x Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC (M khác A, C) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA D Chứng minh · · b) DHA = DBC a) DA.DB = DH.DC c) Tổng BM BH + CM CA có giá trị không đổi Bài 5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ab + bc + ca ≤ 2 + + a +b b+c c+a BÀI GIẢI Bài 1: a) Ta có − 4−2 = 3− ( ) −1 = 3− ( ) −1 = Để nghiệm đa thức P(x) P ( 1) = ⇒ m = 2016 b) Từ giả thiết 2b = a + c ⇒ a − b = b − c 1 + = Xét a = b ⇒ b = c nên a+ a a+ a a+ a Xét a ≠ b b ≠ c 1 a− b b− c a− b b− c + = + = + a−b b−c a −b a−b a+ b b+ c ( ) a− c a− c a− c+ a− c a− c = = = = a−b b−c a −b+b−c a −c a+ c 2 x y = p , với p số nguyên tố Bài 2: a) Đặt x + y2 = 2 2 2 2 2 2 Khi x y = p ( x + y ) ⇔ x y − px − py + p = p ⇔ ( x − p ) ( y − p ) = p Vai trò x, y p số nguyên tố nên xảy trường hợp 2  x − p = ( x − 1) ( x + 1) = p ⇔ TH1:  Do p số nguyên tố nên x – = ⇒ x = p = 2  y = p + p  y − p = p Suy y = 12 vô lí  x − p = p  x = 2p ⇔ TH2:  Suy x M2 ⇒ x M2 ⇒ x M4 ⇒ pM2 , suy p =   y − p = p  y = 2p Do x = y = thỏa mãn Bài 3: Giải phương trình: a) ĐKXĐ: x ≥ Ta có phương trình tương đương x − ( 5x − ) − ( 5x − ) =  x = x − − ( 5x − ) = ⇔  Đối chiếu điều kiện x = nghiệm phương trình  x =  2 −1 + − =0 b) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ -1 Ta có − + x x +1 x + ( x + 1) ( ) 1 + x 1− x2 1− x 1− x 1  + − = ⇔ ( 1− x )  + − =0 2 x x + ( x + 1) x + ( x + 1)   x x = 1 + x x = x  3  ⇔ ( 1− x )  + = ⇔ ( 1− x ) ( 1+ x ) + x = ⇔  ⇔    x = − 1 + x = − x x ( x + 1)       Đối chiếu ĐKXĐ tập nghiệm phương trình S =  − ;1   Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC (M khác A, C) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA D Chứng minh a) DA.DB = DH.DC · · b) DHA = DBC c) Tổng BM BH + CM CA có giá trị không đổi µ Bài 4: a) Xét tam giác vuông BHD CAD có chung D B DB DH = nên ∆BHD ∼ ∆CAD ⇒ ⇒ DA DB = DH DC DC DA DB DH DB DC = ⇒ = b) Từ câu a ta có N DC DA DH DA µ Xét hai tam giác DBC DHA có chung D DB DC = nên ∆DBC ∼ ∆DHA (c – g – c) DH DA A · · Suy DHA = DBC M c) Kẻ MN ⊥ BC (N ∈ BC) Xét tam giác vuông · BNM BHC có chung MBN nên ∆BNM ∼ ∆BHC H BN BM ⇒ = ⇒ BM BH = BN BC (1) BH BC Tương tự ∆CNM ∼ ∆CAB ⇒ CM CA = CN BC (2) D Từ (1) (2) ⇒ BM BH + CM CA = BC(BN + CN) = BC2 không đổi Bài 5: Vì a, b, c > nên từ giả thiết ta có ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca  + + ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) =  ÷ a+b b+c c+a    2ab 2bc 2ca  = ( a + b + c) +  + + ÷ Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có a+b b+c c+a  2ab 2ab 2bc 2ca a + b ≥ ab ⇒ ≤ = ab , tương tự ≤ bc , ≤ ca a + b ab b+c c+a C  2ab 2bc 2ca  ⇒ ( a + b + c) +  + + ÷≤ ( a + b + c ) + a +b b+c c+a  Mặt khác ( a− b ) +( b− c ) +( c− a ) ( ab + bc + ca ) ≥ ⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c Do ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) ⇔ ab + bc + ca ≤ Dấu “=” xảy a = b = c = Bài giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn ...   Đ i chiếu ĐKXĐ tập nghiệm phương trình S =  − ;1   Cho tam giác ABC vuông A G i M i m di động cạnh AC (M khác A, C) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc v i tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA... Do x = y = thỏa mãn B i 3: Gi i phương trình: a) ĐKXĐ: x ≥ Ta có phương trình tương đương x − ( 5x − ) − ( 5x − ) =  x = x − − ( 5x − ) = ⇔  Đ i chiếu i u kiện x = nghiệm phương trình  x... v i tia BM, cắt tia BM H, cắt tia BA D Chứng minh a) DA.DB = DH.DC · · b) DHA = DBC c) Tổng BM BH + CM CA có giá trị không đ i µ B i 4: a) Xét tam giác vuông BHD CAD có chung D B DB DH = nên ∆BHD