Đang tải... (xem toàn văn)
1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học, là môn công cụ cho các ngành khoa họckỹ thuật. Toán học được ứng dụng rộng rãi trong thực tế và trong các ngành khoa học khác nhau. Tích phân là một mảng rất quan trọng của giải tích toán học hiện đại. Việc tiếp cận tích phân xác định, tích phân bội đã giúp tôi biết được những ứng dụng của toán học đối với thực tế và các môn khoa học khác . Khi đi sâu vào tìm hiểu những khái niệm, các phương pháp tính, cách đổi biến số để tính phân trong tọa độ cực, đồng thời tìm hiểu một số ứng dụng của nó, tôi nhận thấy phần kiến thức này trừu tượng nhưng thú vị bởi đòi hỏi tính kiên trì, cẩn thận của người nghiên cứu tìm hiểu nó, đồng thời nó cũng phát triển mạnh mẽ tư duy của người học. Với mong muốn trau dồi kiến thức cho bản thân, rèn luyện tư duy logic trong giải toán, rèn luyện năng lực nghiên cứu khoa học, đặc biệt với sự tò mò mảng phương pháp giải bài toán tính tích phân hai lớp, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một số phương pháp tính phân hai lớp” 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài đưa ra được các phương pháp tính tích phân hai lớp và một số ứng dụng của tích phân hai lớp trong thực tế. Thông qua tổng hợp lý thuyết có liên quan của tích phân hai lớp, trình bày được các phương pháp áp dụng lý thuyết để giải bài tập tích phân hai lớp, ứng dụng tích phân hai lớp từ đó sinh viên có hứng thú với học toán hơn.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HAI LỚP Sinh viên thực : Đinh Duy Ngọc Lớp : K20 Sư phạm Toán-Tin Kon Tum, tháng 12 năm 2016 TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM KON TUM KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HAI LỚP Giảng viên hướng dẫn : ThS Phan Văn Linh Sinh viên thực : Đinh Duy Ngọc Lớp : K20 Sư phạm Toán-Tin Kon Tum, tháng 12 năm 2016 LỜI CẢM ƠN Với hướng dẫn có trách nhiệm giảng viên hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giảng viên môn Toán, cán viên chức quản lý Khoa Tự Nhiên hợp tác bạn đồng môn lớp K20 SP Toán-Tin với nỗ lực thân, em hoàn thành đề tài: “Một số phương pháp tính tích phân hai lớp” Qua đây, em xin chân thành cảm ơn tới Thầy Phan Văn Linh, Khoa Tự Nhiên, Thư Viện trường CĐSP Kon Tum toàn thể bạn Sinh viên K20 SP Toán-Tin giúp đỡ em hoàn thành đề tài Do làm quen việc nghiên cứu khoa học, khó tránh khỏi sai sót định, em mong đóng góp ý kiến thầy cô, toàn thể bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Kon Tum, tháng12 năm 2016 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học, môn công cụ cho ngành khoa học-kỹ thuật Toán học ứng dụng rộng rãi thực tế ngành khoa học khác Tích phân mảng quan trọng giải tích toán học đại Việc tiếp cận tích phân xác định, tích phân bội giúp biết ứng dụng toán học thực tế môn khoa học khác Khi sâu vào tìm hiểu khái niệm, phương pháp tính, cách đổi biến số để tính phân tọa độ cực, đồng thời tìm hiểu số ứng dụng nó, nhận thấy phần kiến thức trừu tượng thú vị đòi hỏi tính kiên trì, cẩn thận người nghiên cứu tìm hiểu nó, đồng thời phát triển mạnh mẽ tư người học Với mong muốn trau dồi kiến thức cho thân, rèn luyện tư lôgic giải toán, rèn luyện lực nghiên cứu khoa học, đặc biệt với tò mò mảng phương pháp giải toán tính tích phân hai lớp, mạnh dạn chọn đề tài “Một số phương pháp tính phân hai lớp” Mục đích nghiên cứu đề tài Đề tài đưa phương pháp tính tích phân hai lớp số ứng dụng tích phân hai lớp thực tế Thông qua tổng hợp lý thuyết có liên quan tích phân hai lớp, trình bày phương pháp áp dụng lý thuyết để giải tập tích phân hai lớp, ứng dụng tích phân hai lớp từ sinh viên có hứng thú với học toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết tích phân xác định, tích phân bội, cách tính tích phân hai lớp ứng dụng tích phân hai lớp; - Thực hành giải toán Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết; - Tham khảo tài liệu có liên quan đến phương pháp tính tích phân hai lớp, từ lựa chọn, sưu tầm, giải số toán tích phân hai lớp số ứng dụng - Xêmina với bạn đồng môn giảng viên hướng dẫn Giả thuyết khoa học Nếu phương pháp tính tích phân hai lớp trình bày hoàn chỉnh sinh viên hiểu rõ mối quan hệ lý thuyết- tập- ứng dụng tri thức toán học vào thực tế sống Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tập tích phân hai lớp, bao gồm: Khái niệm tích phân hai lớp, tính chất, cách tính tích phân hai lớp ứng dụng tích phân hai lớp Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức, tập phạm vi chương trình học phần Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số thuộc ngành đào tạo Sư phạm Toán học Cấu trúc phần nội dung Bao gồm chương: Chương 1: “Tóm tắt lý thuyết”, trình bày số kết quả, số khái niệm, tính chất tích phân xác định tích phân hai lớp Chương 2: “ Cách tính tích phân hai lớp ứng dụng ”, gồm nội dung : Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp; Đổi biến số tích phân hai lớp; Một số ứng dụng tích phân hai lớp Chương 3: “Bài tập”, trình bày theo hệ thống dạng tập, bao gồm câu hỏi - tập lời giải chi tiết hướng dẫn B PHẦN NỘI DUNG Chương I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tích phân xác định 1.1.Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định [a,b] Chia tuỳ ý đoạn [a,b] thành n phần điểm chia: a = xi < x1< < xn-1< xn =b Kí hiệu = : độ dài đoạn [, ], i= Trên ta lấy tuỳ ý, ta lập tổng: Giới hạn I tổng (nếu có, không phụ thuộc phép chia đoạn [a;b] cách lấy ) gọi tích phân xác định, hay tích phân Riemann f(x) đoạn [a,b] Kí hiệu: 1.2.Cách tính tích phân xác định 1.2.1.Dùng định nghĩa Dùng để tính tích phân xác định số hàm liên tục [a,b] 1.2.2.Tính tích phân xác định nhờ công thức Newton-Leibnitz Định lý: Nếu f(x) liên tục [a,b] F (x) nguyên hàm thì: 1.2.3.Phương pháp đổi biến số Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục [ f(x) hàm số liên tục tập hợp giá trị hàm số Khi đó: 1.2.4.Phương pháp tích phân phần Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a,b] thì: Tích phân hai lớp 2.1 Định nghĩa tích phân hai lớp (Tích phân kép ) Xét mặt phẳng Oxy, miền kính D giới hạn đường L (đóng bị chặn; miền D kín giới hạn đường cong kín,và điểm biên L coi thuộc D) Ta xét hình trụ, có mặt đáy miền D mặt mặt cong z f(x,y)( f(x,y)) xác định liên tục miền D Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng miền có đường kính ( đường kính miền khoảng cách lớn hai điểm thuộc miền Hay ta ký hiệu: = {d(x,y); }) Lấy miền điểm (,) miền hình trụ xấp xỉ với hình trụ có đáy chiều cao f(,).Do đó, thể tích hình trụ có mặt đáy D mặt f(x,y) tính xấp xỉ bời: Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi phân hoạch) miền D cách chọn điểm Pi Do vậy, chia miền D nhiều thể tích hình trụ chình xác Nghĩa là, đường kính d i miền nhỏ (càng tiến ) ta có xác diện tích miền D Vậy, cho n cho max(, đó, tổng V n tiến đến giá trị hữu hạn V không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm P i giới hạn V gọi tích phân hai lớp hàm f(x,y) miền D ký hiệu: Trong đó: Hàm số f(x,y) gọi hàm dấu tích phân, D gọi miền lấy tích phân; ds yếu tố diện tích 2.2.Tính chất tích phân hai lớp (Tích phân kép ) Giả sử f(x,y) g(x,y) hàm khả tích D, ta có: 3) Nếu D chia thành hai miền điểm chung thì: 4) Nếu f(x,y) với (x,y) thì: 5) Nếu m f(x,y) với (x,y) thì: 6) Nếu f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D có điểm ( cho 2.3 Cách tính phân hai lớp 2.3.1.Tích phân lặp Cho f(x,y) hàm hai biến xác định hình chữ nhật D={(x,y) Định nghĩa: gọi tích phân lặp hàm hai biến f(x,y) D Ta có công thức đổi thứ tự tích phân lặp Công thức tính: Trường hợp 1: Giả sử miền D xác định bởi: D= {(x,y); a; v(x) u(x), v(x) hàm số liên tục Trường hợp 2: Giả sử miền D giới hạn đường y=c, y=d, x=h(y), x=k(y) 2.4 Đổi biến số tọa độ cực 2.4.1 Hệ tọa độ cực mặt phẳng Trong mặt phẳng cho tia 0x, vecto đơn vị gọi trục cực.Toạ độ cựa điểm M mặt phẳng cặp số (r,)= OM, =( , ) Nếu toạ độ Đề-các vuông góc với O, trục Ox trùng với trục cực M(x,y) thì: 2.4.2 Đổi biến tọa độ cực Đặt Với D’ tạo ảnh D qua song ánh (r, ϕ) a (x, y) , ta có công thức đổi biến: 2.4.3 Đổi biến toa độ cực suy rộng Đổi gặp biểu thức , ta thường đặt là: J=r, r phải xác định theo góc cực I ( Đôi biểu thức:, ta thường đặt: =abr 10 3.1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đường tròn 3.2) Tính diện tích hình nỏ giới hạn đường: 3.3) Tính diện tích miền D giới hạn đường: -x 3.4) Tính diện tích miền D giới hạn đường: 3.5) Tính diện tích đứng: Tích diện tích mặt cong 3.6) Tính diện tích phần mặt trụ bị chặn mặt phẳng: z=mx, z=nx (m>n>0) 3.7) Tính diện tích phần mặt trụ: chặn mặt cầu: 3.8) Tính diện tích mặt parabôlôit tròn xoay ; chắn mặt trụ mặt phẳng x=a 3.9) Tính diện phần mặt z=xy chắn mặt trụ 3.10) Tính diện tích mặt với biểu diễn tham số: Tính thể tích vật thể 3.11) Tính thể tích mặt cầu mặt parabôlôit tròn xoay 3.12) Tính thể tích phần mặt trụ mặt nón mặt z=0 3.13) Tính thể tích mặt z=, y= 3.14) Tính thể tích mặt trụ 3.15) Tính thể tích mặt 3.16) Tính thể tích mặt: 25 B PHẦN LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN GIẢI Sử dụng định lý Fubini, tính tích phân hai lớp 1.1) Có hai cách biểu diễn D: D={(x,y): 1.2) Có cách biểu diễn D: D={(x,y): D={(x,y): 1.3) ĐS: 1.4) ĐS: 1.5) Đổi biến số u=x+y, v=x-y, Khi Gọi f: ánh xạ xác định Giacobian ánh xạ f điểm (u,v) Tạo ảnh hình vuông D qua ánh xạ f Tức d= f( Áp dụng công thức biến đổi số tích phân hai lớp, ta 1.6) ĐS: -8 1.7) ĐS: 26 1.8) Hoành độ giao điểm đường thẳng parabol ngiệm phương trình D={(x,y): -3 1.9) D= với , , có phần không giao 0) D={(x,y): 27 1) Bạn đọc tự vẽ hình D={(x,y): -1 2) Xét tích phân Ta có: Tích phân hội tụ, tích phân hội tụ Do , ta lấy đạo hàm tham số dấu tích phân: Trong tích phân ấy, đổi biến số Vậy Trong hai vế, cho , ta Do C= Vậy : 3) Xét tích phân phụ thuộc tham số 28 Đặt f(x, Tích phân hội tụ, tích phân hội tụ Do , ta lấy đạo hàm dấu tích phân: Vậy Trong hai vế, cho , ta được: Suy C=.Tóm lại 4) Xét tích phân phụ thuộc tham số y Đặt f(x,y)= Ta có Với (x,y) Tích phân hội tụ, tích phân hội tụ y.Do , ta lấy đạo hàm tham số dấu tích phân: Bằng cách lấy tích phân phân đoạn hai lần, ta Do Vì I(0)=0 5) Xét tích phân Đặt f(x,y)= Ta có Với (x,y) 29 Tích phân hội tụ, tích phân hội tụ y Do , ta lấy đạo hàm tham số dấu tích phân: Bằng cách lấy tích phân phần, ta Do Lấy nguyên hàm hai vế, ta Chia hai vế cho y, ta Do 6) 7) 8) 30 Sử dụng công thức đổi biến số tính tích phân hai lớp 2.1) Đổi biến số: Thì D’ ={(r, 2.2) Miền D hình tròn tâm I(a,0) bán kính R=a Phương trình đường tròn cho toạ độ cực là: Miền D’={ 2.3) Vậy: 2.4) ĐS: 2.5) ĐS: 0,5 2.6) ĐS: 2.7) ĐS: 2.8) ĐS: (Dùng toạ độ cực) 2.9) HD : ; ĐS: 2.10) ĐS: (Dùng toạ độ cực) 31 2.11) HD: ; ĐS:2 2.12) D phần hình tròn góc phần tư thứ nằm hình tròn Chuyển sang toạ độ cực: Đặt x= rcoss, y= rsin =, ta Trong D={(,r):0 2.13) 32 D phần hình tròn Chuyển sang toạ độ cực: Đặt x= rcos, y= rsin =, ta Trong D={(,r): Bài tập ứng dụng tích phân hai lớp Tính diện tích hình mặt phẳng 3.1) Điểm A giao điểm r=1 Do tính đối xứng qua trục ox 33 3.2) Đưa toạ độ cực: Vòng nơ có trục đối xứng nên Số giao điểm hai đường; suy ra: x=0 x=3 3.3) 3.4) Giao điểm 3.5) Tính diện tích đứng: Tích diện tích mặt cong 3.6) Từ Ta xét phần tám thứ 34 Ta có: 3.7) ĐS: S=4 3.8) ĐS: S = 3.9) ĐS: S= 3.10) Ta có Phương trình vectơ mặt là: Trong D={ Diện tích mặt cho Chuyển sang toạ độ cực, đặt u=r, ta Tính thể tích vật thể 3.11) ĐS: 3.12) Ta có: Xét phần tử thứ miền lấy tích phần đối xứng qua trục hoành: 35 3.13) Hàm lấy tích phân z= Miền lấy tích phân là: y= Sử dụng toạ độ cực: Xét phần làm thứ nhất: 3.14) Chỉ xét góc phần tư thứ nhất: 3.15) Sử dụng toạ độ cực: Khi đó: Hàm lấy tích phân z= z= ; Do đối xứng nên ta xét góc phần tư thứ nhất: 3.16) ĐS: 36 C KẾT LUẬN Đề tài tóm tắt kết lý thuyết tích phân hai lớp, đưa phương pháp vận dụng lý thuyết tính tích phân hai lớp số ứng dụng tích phân hai lớp Thông qua phương pháp tính tích phân khai thác ứng dụng tích phân hai lớp em đưa hệ thống tập lời giải chi tiết để minh họa rõ phương pháp vận dụng lý thuyết vào giải tập ứng dụng tích phân hai lớp vào thực tế Về cách tính tích phân hai lớp, vận dụng định lý Fubini đổi biến số để tính tích phân (chương II), trình bày cụ thể theo bước để bạn đọc áp dụng giải toán dễ dàng Phần tập (chương III) bao gồm đề lời giải, xếp theo dạng áp dụng định lý Fubini, công thức đổi biến số tọa độ cực tính tích phân hai lớp, ứng dụng tính diện tích miền D, tính diện tích mặt cong, tính thể tích vật thể 37 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Quý _ Nguyễn Xuân Liêm(2005), Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến số _ phần lý thuyết _ NXB Đại học sư phạm Nguyễn Mạnh quý _ Nguyễn Xuân Liêm(2005), Bài tập vi phân tích phân hàm nhiều biến số_ phần tập_ NXB Đại học sư phạm Nguyễn Đình Trí _ Tạ Văn Đĩnh _ Nguyễn Hồ Quỳnh(2002), Toán học cao cấp _ tập _ phép tính giải tích nhiều biến _ NXB GD Nguyễn Xuân Liêm_Nguyễn Văn Đoàn_Vũ Tuấn (1993), Toán Cao Cấp A3_NXB GD Đõ Đình Thanh_Đõ Khắc Hướng_Nguyễn Phú Thuận(1990), Toán học cao cấp tập 3_ NXB GD Phan Văn Hạp_Lê Đình Thịnh_Lê Định Bình(2002), Tích phân hàm nhiều biến_NXB Khoa học kĩ thuật 38 MỤC LỤC 39 ... tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số thuộc ngành đào tạo Sư phạm Toán học Cấu trúc phần nội dung Bao gồm chương: Chương 1: “Tóm tắt lý thuyết”, trình bày số kết quả, số khái niệm, tính chất... tích phân xác định tích phân hai lớp Chương 2: “ Cách tính tích phân hai lớp ứng dụng ”, gồm nội dung : Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp; Đổi biến số tích phân hai lớp; Một số ứng dụng... trình bày theo hệ thống dạng tập, bao gồm câu hỏi - tập lời giải chi tiết hướng dẫn B PHẦN NỘI DUNG Chương I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tích phân xác định 1.1.Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định