ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa : 1. Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại 0 x ∈ (a; b) ⇔ )x(flim 0 xx + → = )x(flim 0 xx − → = )x(flim 0 xx → = f( 0 x ) 2. Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b] ⇔ f(x) liên tục ∀ x ∈ (a,b) và      = = − + → → )b(f)x(flim )a(f)x(flim bx ax . 3. Định nghĩa 3: Nếu f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g; g f (nếu g ≠ 0) là các hàm liên tục trên D. II.Một vài định lý áp dụng : 1.Định lý 1: f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó. 2.Định lý 2: f(x) liên tục trên [a; b]; m = )x(fmin ]b;a[x ∈ ; M = )x(fmax ]b;a[x ∈ thì ∀ k ∈ [m; M], ∃ c ∈ [a; b] sao cho f(c) = k. 3.Hệ quả : f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì ∃ c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Ví dụ 1. Cho 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng: a 2 x + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ [0; 3 1 ]. Giải. Đặt f(x) = a 2 x + bx + c. f(0) = c. 18.f( 3 1 ) = 2a + 6b + 18c = – c (gt) ⇒ f(0).f( 3 1 ) = – 18 c 2 ≤ 0 theo hệ quả trên ⇒ f(x) = 0 có nghiệm x ∈ [0; 3 1 ]. Ví dụ 2. Chứng minh rằng ∀ a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx = 0 có nghiệm. Giải. Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx. f(0) = a + b + c. f( 2 π ) = – b +1. f( 2 3 π ) = – b – 1. f(π) = – a + b – c. f(0) + f( 2 π ) + f( 2 3 π ) + f(π) = 0. ⇒ trong các số f(0); f( 2 π ); f( 2 3 π ); f(π) có ít nhất 1 số ≤ 0, 1 số ≥ 0 ⇒ tích của chúng ≤ 0 ⇒ áp dụng hệ quả suy ra phương trình trên có nghiệm. Ví dụ 3. Cho f(x) liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(0) = f(1). Chứng minh rằng ∀ n ∈ N thì ∃ c ∈ [0; 1] sao cho f(c) = f(c + n 1 ). Giải. Đặt g(x) = f(x + n 1 ) – f(x) ⇒ g(x) liên tục trên [0; n 1n − ] g(0) = f( n 1 ) – f(0). g(1) = f( n 2 ) – f( n 1 ). . g( n 1n − ) = f(1) – f( n 1n − ). ⇒ g(0) + g( n 1 ) + . + g( n 1n − ) = f(1) – f(0) = 0. ⇒ ∃ i, j ∈ {0, 1, ., n–1} sao cho g( n i ) ≤ 0, g( n j ) ≥ 0 ⇒ g( n i ).g( n j ) ≤ 0. ⇒ ∃ c ∈ [min{ n i , n j }, max{ n i , n j }] sao cho g(c) = 0 ⇒ f(c + n 1 ) – f(c) = 0 ⇒ f(c) = f(c + n 1 ). Ví dụ 4. Cho f(x) liên tục trên [a; b] và 2 số α , β > 0. Chứng minh rằng ∃ c ∈ [a; b] sao cho: α .f(a) + β .f(b) = ( α + β ).f(c). Giải. Theo định lý 1 ⇒ tồn tại 1 x , 2 x ∈ [a; b] sao cho f( 1 x ) = )x(fmin ]b;a[x ∈ = m; f( 2 x ) = )x(fmax ]b;a[x ∈ = M. vì α > 0, β > 0 nên ( α + β ).m < α .f(a) + β .f(b) < ( α + β ).M. Xét hàm số g(x) = ( α + β ).f(x) – α .f(a) – β .f(b). Ta có f(x ) liên tục trên [a; b] ⇒ g(x) cũng liên tục trên [a; b]. Không mất tính tổng quát giả sử 1 x < 2 x ⇒ [ 1 x ; 2 x ] ⊂ [a; b]. Ta có g( 1 x ) = ( α + β ).f( 1 x ) – α .f(a) – β .f(b) = ( α + β ).m – α .f(a) – β .f(b) g( 2 x ) = ( α + β ).f( 2 x ) – α .f(a) – β .f(b) = ( α + β ).M – α .f(a) – β .f(b) ⇒ g( 1 x ).g( 2 x ) ≤ 0 ⇒ ∃ c ∈ [ 1 x ; 2 x ] sao cho g(c) = 0 ⇒ ( α + β ).f(c) – α .f(a) – β .f(b) = 0 ⇔ ( α + β ).f(c) = α .f(a) + β .f(b) (đpcm ). 4.Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f ’(c) = ba )b(f)a(f − − . Ví dụ. Cho m > 0 và 2m a + + 1m b + + m c = 0. Chứng minh rằng: a 2 x + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ (0; 1) . Giải. Xét hàm f(x) = 2m a + 2m x + + 1m b + 1m x + + m c m x . f ’(x) = a. 1m x + + b. m x + c. 1m x − . ta có f(1) = 2m a + + 1m b + + m c = 0. f(0) = 0. áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [0; 1]: ∃ 0 x ∈ (0; 1) sao cho: f ’( 0 x ) = 01 )0(f)1(f − − = 0 ⇔ a. 1m 0 x + + b. m 0 x + c. 1m 0 x − = 0 ⇔ 1m 0 x − (a 2 0 x + b. 0 x + c) = 0 ⇔ a 2 0 x + b. 0 x + c = 0 (vì 0 x ∈ (0; 1) ⇒ 1m 0 x − ≠ 0). ⇒ 0 x là nghiệm của phương trình a 2 x + bx + c = 0 và 0 x ∈ (0; 1). (đpcm) . DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa : 1. Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên. f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g; g f (nếu g ≠ 0) là các hàm liên tục trên D. II.Một vài định lý áp dụng : 1.Định lý 1: f(x) liên tục trên