A M U Lý chn ti Toỏn hc cú liờn h mt thit vi thc tin v cú ng dng rng rói nhiu lnh vc khỏc ca khoa hc, cụng ngh cng nh sn xut v i sng Toỏn hc tr nờn thit yu i vi mi ngnh khoa hc, gúp phn lm cho i sng xó hi ngy cng hin i v minh hn Bi vy, vic tng cng dng cỏc bi toỏn cú ni dung thc tin vo dy hc mụn Toỏn l iu cn thit i vi s phỏt trin ca xó hi v phự hp vi mc tiờu ca Toỏn hc Vic dy hc Toỏn hc trng ph thụng phi gn bú mt thit vi thc tin nhm rốn luyn cho hc sinh k nng v giỏo dc h cú ý thc ng dng Toỏn hc mt cỏch cú hiu qu cỏc lnh vc ca cuc sng nh: khoa hc k thut, kinh t, sn xut Tuy nhiờn, vic ng dng ca Toỏn hc vo thc tin chng trỡnh SGK, cng nh vic dy hc mụn Toỏn cha c quan tõm ỳng mc Hn na nhng bi toỏn cú ni dung liờn h trc tip vi i sng lao ng v sn xut cũn c trỡnh by mt cỏch hn ch chng trỡnh toỏn ph thụng Mt khỏc, thc t ging dy mụn toỏn ph thụng cỏc giỏo viờn cha thng xuyờn rốn luyn cho hc sinh thc hin nhng ng dng ca Toỏn hc vo thc tin.[3] Trong nhng nm gn õy, bi toỏn cú liờn quan thc t ó cú mt cỏc thi THPT Quc gia c bit, nm hc 2016- 2017, ln u tiờn B giỏo dc o to chuyn hỡnh thc thi t t lun sang trc nghim i vi mụn Toỏn, v s lng bi toỏn thc t ó xut hin nhiu hn qua cỏc minh v th nghim ca B iu ú khụng ch gõy lỳng tỳng, khú khn cho hc sinh m cũn gõy trn tr cho giỏo viờn vic ging dy cỏc dng toỏn thc t ny Bi vy, tụi mnh dn la chn ti: Mt s kinh nghim hng dn hc sinh Lp 12 gii quyt cỏc bi toỏn trc nghim thc t Mc ớch nghiờn cu Xõy dng mt s bi trc nghim cú ni dung thc tin, xut mt phng ỏn khai thỏc dy hc, nhm gúp phn tng cng thc tin ca mụn Toỏn trng THPT, gúp phn gõy hng thỳ hc tp, thy c ng dng thc t ca Toỏn hc, qua ú giỳp hc sinh hiu rừ c mi quan h cht ch gia Toỏn hc vi cỏc mụn hc khỏc v thc tin i tng nghiờn cu Khai thỏc cỏc bi toỏn cú liờn quan thc tin i sng vo ging dy cho hc sinh Lp 12 Phng phỏp nghiờn cu 4.1 Nghiờn cu lý lun: Nghiờn cu cỏc sỏch, bỏo, t liu, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu cỏc cú liờn quan n ti 4.2.Phng phỏp iu tra thc t: + iu tra GV v HS THPT v tỡnh hỡnh thc tin cú liờn quan Trong trang ny: Mc cú tham kho TLTK[3] + Tham kho ý kin ca giỏo viờn Toỏn v kinh nghim xõy dng v khai thỏc cỏc bi toỏn cú ni dung thc tin 4.3 Phng phỏp thc nghim s phm: S dng phng phỏp th nghim s phm kim tra tớnh kh thi v hiu qu ca gii phỏp B NI DUNG C s lớ lun + Bi toỏn thc t: L bi toỏn m gi thit hay kt lun cú cha nhng ni dung liờn quan n thc t mt tỡnh thc t tr thnh mt bi toỏn thc t, phi xỏc nh c yờu cu cn phi gii quyt t tỡnh v xỏc nh c cỏc d kin ca khỏch th lm gi thit ca bi toỏn Thc dy hc toỏn ph thụng, thng cỏc tỡnh thc t c phỏt biu di mt bi toỏn thc t, tc l hc sinh thng c yờu cu gii cỏc bi toỏn thc t m rt ớt phi toỏn hc húa tỡnh cú bi toỏn Thc trng Trong thc t dy hc trng ph thụng, giỏo viờn thng ch quan tõm, chỳ trng vic hon thnh nhng kin thc lý thuyt quy nh chng trỡnh v sỏch giỏo khoa, nhóng vic thc hnh, c bit l nhng bi toỏn cú ni dung thc tin nờn hc sinh thng lỳng tỳng thm cũn khụng hon chnh c nhng bi toỏn cú ni dung thc tin Ging dy Toỏn cũn thiờn v sỏch v, hng vic dy Toỏn v vic gii nhiu loi bi hu ht khụng cú ni dung thc tin Vic dy hc Toỏn trng ph thụng hin ang ri vo tỡnh trng b coi nh thc hnh v ng dng toỏn hc vo i sng Mi liờn h gia Toỏn hc v thc t cũn yu Cỏc gii phỏp Qua tng hp v phõn tớch, tụi thy cỏc bi toỏn lp 12 cú liờn quan n thc t thng l cỏc bi toỏn kinh t; tỡm phng ỏn ti u( tỡm giỏ tr ln nht, nh nht); xỏc nh thi gian, s tin, s dõn; hoc tc quóng ng, tớnh din tớch, th tớch ca hỡnh , thụng qua vic s dng o hm hoc ỏp dng cỏc cụng thc tớnh toỏn( cú suy lun t duy) Nh vy ta cú th mụ t quy trỡnh mụ hỡnh húa di õy Ta cú th c th húa bc ca quỏ trỡnh mụ hỡnh húa nh sau: Bc 1: Da trờn cỏc gi thit v yu t ca bi, ta xõy dng mụ hỡnh Toỏn hc cho ang xột, tc l din t di dng ngụn ng Toỏn hc cho mụ hỡnh mụ phng thc tin Lu ý l ng vi c xem xột cú th cú nhiu mụ hỡnh toỏn hc khỏc nhau, tựy theo cỏc yu t no ca h thng v mi liờn h gia chỳng c xem l quan trng ta i n vic biu din chỳng di dng cỏc bin s, tỡm cỏc iu kin tn ti ca chỳng cng nh s rng Trong trang ny: Mc cú tham kho TLTK[3], mc mụ hỡnh cú tham kho TLTK[6] buc, liờn h vi cỏc gi thit ca bi Bc 2: Da vo cỏc kin thc liờn quan n thc t nh kinh t, i sng, khoa hc k thut nh Vt lý, Húa hc, Sinh hc, Ta thit lp hon chnh hm s ph thuc theo mt bin hoc nhiu bin ( õy ni dung ang xột ta ch xột vi tớnh bin) hoc thit lp phng trỡnh, tớch phõn Bc 3: S dng cụng c o hm kho sỏt hm s hoc ỏp dng cụng thc, gii phng trỡnh, tớnh tớch phõnv gii quyt bi toỏn hỡnh thnh bc Lu ý cỏc iu kin rng buc ca bin s v kt qu thu c cú phự hp vi bi toỏn thc t ó cho cha 3.1 Mt s kin thc c s: 3.1.1 Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s Phng phỏp GTLN GTNN ca y = f ( x) bng o hm trờn on D = a; b Bc 1: Tớnh o hm f '( x) Bc 2: Tỡm cỏc im ti hn (nu cú) xi ( a; b) ,i = 1,n cho f '( x) = (hoc khụng cú o hm) f '( xi ) = ? Bc 3: Tớnh f ( a) = ? f ( b) = ? { { } } max f ( x) = max f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b) D Bc 4: So sỏnh v kt lun f ( x) = f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b) [4] D Lu ý: Trng hp D = ( a; b) (hoc D = ( a; b ; D = ( a;b ) thỡ ta lm tng t nh bc v bc n bc thỡ ta lp bng bin thiờn t ú a kt lun Ngoi cỏch s dng o hm nh ó trỡnh by trờn, ụi gii quyt nhanh bi toỏn ta cú th s dng thờm cỏc kin thc v cc tr ca hm s bc hai hay cỏc bt ng thc ó hc nh Cauchy hay bt ng thc tam giỏc 3.1.2 Bi toỏn v lói sut, s dõn: * Cụng thc tớnh lói kộp Vn gc ban u P0 vi mong mun t c lói sut r mi kỡ theo hỡnh thc lói kộp thi gian n kỡ Vo cui mi kỡ ta rỳt tin lói v ch li Tớnh Pn tng giỏ tr t c (vn v lói) sau n kỡ Sau n kỡ, tng giỏ tr t c l Pn = P0 ( 1+ r ) n Trong trang ny: Mc 3.1 cú tham kho TLTK[4] Trong ú Pn l tng giỏ tr t c (vn v lói) sau n kỡ P0 l gc r l lói sut mi kỡ Ta cng tớnh c s tin lói thu c sau n kỡ l : Pn P0 *Bi toỏn v dõn s Gi: P0 l dõn s ca nm ly lm mc tớnh Pn l dõn s sau n nm r l t l tng (gim) dõn s hng nm Khi ú s tng dõn s c c tớnh bng cụng thc sau Cụng thc 1: Pn = P0enr dựng cụng thc tng trng(suy gim ) m Cụng thc 2: Pn = P0 ( + r ) n dựng cụng thc tớnh lói kộp 3.1.3 Th tớch mt s hỡnh khụng gian thng gp a Khi chúp: Th tớch V = B.h Din tớch xung quanh ca mt chúp bng tng din tớch cỏc mt bờn Din tớch ton phn ca mt chúp bng tng ca din tớch xung quanh v din tớch ỏy b Khi lng tr: Th tớch V = B.h Din tớch xung quanh ca mt lng tr bng tng din tớch cỏc mt bờn Din tớch ton phn ca mt lng tr bngtng ca din tớch xung quanh v din tớch hai ỏy c Khi hp ch nht: Th tớch V = a.b.c vi a,b,c l kớch thc hỡnh hp Khi lp phng: Th tớch V = a3 d Khi nún: Cho hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy r , ng cao h , ng sinh l 1 V = B.h = r 2.h 3 ca hỡnh nún: Sxq = r.l Th tớch V ca nún: Din tớch xung quanh Din tớch ton phn ca mt hỡnh nún bng tng ca din tớch xung quanh v din tớch ỏy: Stp = Sxq + B = r.l + r e Khi tr Th tớch V ca tr: V = B.h = r 2.h Din tớch xung quanh ca hỡnh tr: Sxq = C.h = r.h vi C l chu vi hỡnh trũn ỏy Din tớch ton phn: Stp = Sxq + B = r.h + r f Khi cu: Cho mt cu cú bỏn kớnh r V = r 3 S = r Th tớch V ca cu: Din tớch ca mt cu: 3.1.4 ng dng tớch phõn tớnh din tớch phng * Din tớch hỡnh phng (H) gii hn bi mt cong (C) v trc honh hỡnh ng y = f (x) ( C ) ( H ) : y = x = a, x = b (a < b) Din tớch c tớnh theo cụng thc b S = f (x) dx a Th tớch trũn xoay c sinh hỡnh (H) xoay quanh trc Ox b V = f ( x) dx a 3.2 Sau õy tụi xin trỡnh by mt s vớ d minh T vớ d n vớ d 7, l cỏc bi toỏn thc t cú s dng o hm vo cỏc bi toỏn kinh t, hỡnh hc T vớ d n vớ d 11, l cỏc bi toỏn thc t s dng cụng thc m v logarit Vớ d 12, l bi toỏn thc t s dng cụng thc tớch phõn Vớ d 1: Cụng ty du lch Tõy Nguyờn d nh t chc tua du lch Thm li chin trng xa l trỡnh Thanh Húa- Ngh An- H Tnh- Qung Bỡnh- Qung Tr Cụng ty d tớnh nu giỏ tua l triu ng thỡ s cú khong 150 ngi tham gia Li nhun cng ln cng nhiu ngi tham gia Do ú thu hỳt mi ngi tham gia, cụng ty quyt nh gim giỏ v c mi ln gim giỏ tua 100 ngn ng thỡ s cú thờm 20 ngi tham gia Hi cụng ty phi nh giỏ tua l bao nhiờu doanh thu t tua du lch l ln nht ? A 1.800.000 (ng) B 1.375.000 (ng) C 1.600.000 (ng) D 1.475.000 (ng) Phõn tớch: õy l mt chin lc kinh doanh, gim giỏ hỳt khỏch, nhng gim n mc no m em li li nhun cao nht Nh vy ta s gi giỏ tua l x, biu din doanh thu theo x, coi õy l hm s v ta phi i tỡm giỏ tr ln nht ca nú Li gii: Gi x (triu ng) l giỏ tua ( < x < ) Giỏ ó gim so vi ban u l x S ngi tham gia tng thờm nu giỏ bỏn x l ( x) 20 = 400 200x 0,1 x S ngi s tham gia nu bỏn giỏ l 150 + 400 200x = 450 200x Trong trang ny: Vớ d l ca tỏc gi Tng doanh thu l f ( x) = x( 550 200x) = 200x + 550x Bi toỏn tr thnh tỡm giỏ tr ln nht ca hm s f ( x) vi < x < f' ( x) = 400x + 550, f' ( x) = x = 11 Lp bng bin thiờn ta cú: x f ' ( x) f ( x) + 11 3025 11 f ( x) = f ữ = 378,125 Da vo bng bin thiờn, ta thy xmax ( 0;2) Vy cụng ty cn t giỏ tua l 1.375.000 (ng) thỡ tng doanh thu s cao nht l 378.125.000 (ng) ỏp ỏn B Nhn xột: tỡm giỏ tr ln nht ca f ( x) , ta cng cú th lm theo cỏch lp 10( hm s bc hai), nhiờn nhiu trng hp honh nh ca th hm s bc khụng thừa iu kin, s gõy lỳng tỳng cho cỏc em Vớ d 2: Tỡm chiu di nht( ly gn ỳng sau du , ch s) ca cỏi thang nú cú th ta vo tng v mt t, ngang qua giỏ cao m, song song v cỏch tng 0,5m k t gc ca ct ( hỡnh v di) A 5,4902 m B 5,6020 m C 5,5902 m C 6,5902 m Phõn tớch: Trc tiờn, ta cú th minh mụ hỡnh trờn bng hỡnh v sau xỏc nh c di ngn nht ca AC thỡ ta th suy ngh xem nờn phõn tớch di AC theo hng no ? t ú nh hng cỏch t n thớch hp i vi hỡnh v trờn v cỏc quan h v cnh , ta nhn thy cú hng phõn tớch tt l: hng th nht l phõn tớch AC = AB2 + AC v hng th hai l AC = AM + MC Trong trang ny: Vớ d c trớch dn TLTK[5] Nu phõn tớch theo hng th nht, ta cú th th t HC = x > , n õy ch cn tớnh c AB theo x l ó cú th lp c hm s f ( x) biu din di MH = AC Nhng bng cỏch no õy ? Ta s dng n quan h t l nh lý Thales thun ( MH / /AB ) nờn ta cú: HC MH x = = Bi toỏn tr BC AB x + 0,5 thnh tỡm f ( x) = ? Nu phõn tớch theo hng th hai, nu ta t HC = x > thỡ ú ta s biu din di AC = P ( x) + Q ( x) (vic kho sỏt hm ny khụng n gin chỳt no) Do ú ta chuyn hng sang tỡm quan h gia gúc v cnh tam giỏc v nhn thy = R MCH = R AMK n õy ta thy hng phõn tớch tip l hon ton thun li vỡ ú MC = MH sin v AM = MK cos Khi ú bi toỏn tr thnh tỡm ming( ) = ? Hng dn gii t HC = x > BC = x + 0,5 Theo nh lý Thales ta cú Do ú ta cú AB = 4( x + 0,5) x Do ABC vuụng ti B AC = AB2 + BC = ( x + 0,5) + ( x + 0,5) ( x Hay AC = HC MH x = = BC AB x + 0,5 ) t + 16 x2 f ( x) = x4 + x3 + Bi toỏn tr thnh tỡm f ( x) = ? vi x > 16( x + 0,5) x2 65 x + 16x + 4 x > 0) ( x 65 65 2 x + 16ữx2 2x x4 + x3 + x + 16x + 4ữ 4x + 3x + Ta cú f ' ( x) = x 2x + x 16x f ' ( x) = x3 x = > Cho f' ( x) = ( x 2) ( 2x + 1) x + 2x + = x = < 0( loai ) ( ) Lp bng bin thiờn ta cú: x f ' ( x) f ( x) + f ( 2) f ( x) = f ( 2) = Da vo bng bin thiờn ta cú x> Do ú ta cú minAC = + 125 125 5 = 5, 5902 ỏp ỏn C Nhn xột: Trong quỏ trỡnh gii ta gp khú khn gii phng trỡnh f' ( x) = , nhng ta cú th s dng MTBT tỡm nghim Vi cỏch thi trc nghim ta cú th th phng ỏn t ỏp ỏn tỡm nghim (bng chc nng CALC ca mỏy tớnh cm tay) sau ú kim tra qua f' ( x) = - Cú th s dng bt ng thc Cauchy tỡm giỏ tr nh nht Vớ d 3: Ngi ta cn xõy mt h cha nc vi dng hp ch nht khụng 500 m ỏy h l hỡnh ch nht cú chiu di gp ụi chiu rng n giỏ xõy l 500.000 ng/m2 Hóy tớnh chi phớ thp nht xõy h np cú th tớch bng A 74 triu ng B 75 triu ng C 76 triu ng D 77 triu ng Phõn tớch: Vi th tớch V cho trc v quan h gia chiu rng ca ỏy v chiu cao ca hỡnh hp ta hon ton cú th biu din c di chiu di theo bin Nh vy ta cn hiu yờu cu bi toỏn tit kim nguyờn vt liu nht l gỡ ? ú chớnh l lm cho phn bao ph bờn ngoi hỡnh hp cú din tớch nh nht Li gii: Gi x l chiu rng ca ỏy hỡnh ch nht v y l chiu cao ca hp ch nht. tn ớt nguyờn vt liu nht, ta cn thit k cho din tớch ton phn ca hp l nh nht 2 Ta cú Sxq = 2x + 2xy + 2( 2xy) = 2x + 6xy V 2x2 V 3V S ( x) = 2x2 + 6x = 2x2 + x 2x Do V = 2x2 y y = Trong trang ny: vớ d l ca tỏc gi Do S,x phi luụn dng nờn ta tỡm giỏ tr nh nht ca S trờn ( 0;+ ) Ta cú : S' ( x) = 4x 3V 3V ,S' ( x) = x = x 3V Li cú S'' ( x) = + > 0,x ( 0; + ) Do ú minS = S x V ú chiu cao l y= V = 2x2 V 23 9V 16 = 23 9V ữ= ữ 16V Vy, yờu cu bi toỏn tng ng vi chiu rng ỏy hỡnh hp l 5m, chiu di l 10 m, chiu cao hỡnh hp l 40 m v ú din tớch ton phn nh nht s l 150 m2 Do ú chi phớ thp nht s l 150.( 500000) = 75.000.000 (ng) ỏp ỏn B Nhn xột: Ta cú th tỡm giỏ tr nh nht bng bt ng thc Cauchy: 3V 3V 3V 9V 2 9V 3 S ( x) = 2x + = 2x + + 2x =3 x 2x 2x 4x2 Vớ d 4: Huyn X mun lm ng i t a im A n a im B hai bờn b mt sụng, cỏc s liu c th hin trờn hỡnh v, ng c lm theo ng gp khỳc AMNB Bit rng chi phớ xõy dng km ng bờn b cú im B gp 1,3 ln chi phớ xõy dng km ng bờn b cú im A, chi phớ lm cu MN ti a im no cng nh Hi phi xõy cu ti im M cỏch im H bao nhiờu km chi phớ lm ng l nh nht ? A 2,63km B 1,28km C 3,14 km D 2,56 km Phõn tớch: Ta thy rng õy khụng phi bi toỏn tỡm v trớ im M tng khoỏch cỏch gia thnh ph l nh nht.M nú cũn liờn quan n chi phớ xõy dng, liờn quan n di ca AM v NB, cho chi phớ l thp nht Nh vy ta cng phi tớnh chiu di AM v NB, ri biu th chi phớ trờn tng quóng ng, t ú tỡm giỏ tr nh nht Li gii AM = x2 + 1,44 t x = HM ( x 4,1) BN = ( 4,1 x) + 2,25 Trong trang ny: Vớ d c tham kho TLTK[6] Gi a l s tin lm km ng bờn b cú im A Khi ú chi phớ lm hai on AM v BN l: f ( x) = a x2 + 1,44 + 1,3a ( 4,1 x) + 2, 25 10 f ( x) = ? Bi toỏn tr thnh tỡm xmin ( 0;4,1) x Ta cú f' ( x) = a x + 1, 44 Cho ữ ữ ( 4,1 x) + 2,25 ữ 1,3( 4,1 x) ( ) 2 f ' ( x) = x2 ( 4,1 x) + 2, 25 = 1, 32 ( 4,1 x) x2 + 1, 44 (Dựng chc nng ca MTCT gii c xo 2,6303) f ( x) = f ( xo ) = 6,222a Chn ỏp ỏn A Lp bng bin thiờn ta suy xmin ( 0;4,1) Nhn xột: Nu chi phớ lm ng bờn b l nh nhau, thỡ ta cú th dựng cỏch hỡnh hc tỡm v trớ xõy cu( giao im ca AB v dũng sụng, coi dũng sụng nh ng thng) Trờn thc t, nhiu cung ng lm khụng nh tớnh toỏn lý thuyt, vỡ nú cũn ph thuc a hỡnh, chi phớ gii phúng mt bng Vớ d 5: Mn hỡnh Ti vi t thng ng ti mt sõn ng cao 2,4m; cnh thp nht nm phớa trờn tm mt khỏn gi A ngi di nú l 8,5m Mt khỏn gi B cú gúc quan sỏt Ti vi l thun li nht gúc i din vi mn hỡnh Ti vi l ln nht, ú khong cỏch gia khỏn gi A v B l bao nhiờu( ly gn ỳng sau du , mt ch s) ? A 10m B 8,5m C 10,9m D 9,6m Phõn tớch: Do bi yờu cu gúc quan sỏt thun li nht (tc ln nht) nờn ta tỡm cỏch biu th khong cỏch x theo gúc Mt nhn xột quan trng l max max( tan ) , li cú = nờn ta th tớnh tan( ) tan tan1 = = 1+ tan tan1 2, + 8,5 8,5 2,4 2,4 x x x = = ( 2,4 + 8,5) 8,5 1+ 1853 x + 1853 1+ 20x2 14 220 x x 43x ( x) = ? n õy, bi toỏn tr thnh tỡm ming x> g( x) Trong trang ny: Vớ d c tham kho TLTK[6] Li gii Gi x l khong cỏch t khỏn gi B n khỏn giỏ A Ta thy rng yờu cu bi toỏn chớnh l xỏc nh max t ú suy khong cỏch x = ? 11 Ta cú tan = tan( ) 2, + 8, 8, 2, 2, x x x = = = = 1+ tan tan1 ( 2,4 + 8,5) 8,5 1+ 1853 x + 1853 1+ 20x2 14 220 x x 43x tan tan1 g( x) Ta thy rng max max( tan ) ming( x) 1853 g( x) = ? Bi toỏn tr thnh tỡm xmin 0;+ ) ( 20x 1853 1853 ,g' ( x) = xo = 9,63 Ta cú: g' ( x) = 20 20x t g( x) = x + Lp bng bin thiờn x xo g'( x) g( x) + + 1853 ữ tha yờu cu bi toỏn Chn ỏp ỏn D ữ 20 g( x) = g ta suy xmin ( 0;+ ) Nhn xột: Trong cỏc t s lng giỏc thỡ max max sin maxtan vi < < 100 Ta cú th s dng bt ng thc Cauchy nhm tỡm nhanh giỏ tr maxg(x) nh sau: 1853 Cauchy 1853 1853 g( x) = x + x =2 20x 20x 20 Du = xy x = 1853 1853 x= 20x 20 Vớ d 6: Cụng ty m phm chun b cho mt mu sn phm dng da mi mang tờn Ngc Trai vi thit k l mt cu nh viờn ngc trai khng l, bờn l mt tr nm na cu ng kem dng da nh hỡnh v (hỡnh nh ch mang tớnh cht minh ha) Theo d kin, nh sn xut cú d nh cu cú bỏn kớnh l R = 3 cm Tỡm th tớch ln nht ca tr ng kem th tớch thc ghi trờn bỡa hp l ln nht (vi mc ớch thu hỳt khỏch hng) A 54 cm3 B 18 cm3 C 108 cm3 D 45 cm3 Phõn tớch: Ta to lỏt ct dc xung na qu cu nh hỡnh v bờn Gi h, r ln lt l chiu cao v bỏn kớnh ca hỡnh tr Ta thy rng th tớch ca tr s l: 12 Vtru = r 2h (ph thuc theo bin r v h) Ta li cú mi liờn h gia chỳng l h2 + r = R2 = const thun tin ta s tớnh r theo h Li gii: Ta cú Vtru = r 2h Li cú r = R2 h2 2 2 Suy Vtru = r h = h( R h ) Xột f' ( h) = h( R h ) ,0 < h < R f ( h) = ? Bi toỏn tr thnh tỡm hmax ( 0;R ) 2 Khi ú f' ( h) = R 3h , f ' ( h) = h = R < R Lp bng bin thiờn ta cú: h R f ' ( h) + R R f ữ f ( h) R ữ R R2 R3 R= 3 2 = r h= h R h = Vtru = 54 R ữ= 3 3 f ( h) = f Da vo bng bin thiờn, ta cú: hmax ( 0;R) Khi ú: Vtru ( ) Chn ỏp ỏn D Vớ d 7: Cụng ty chuyờn sn xut bao bỡ ng sn phm sa nhn n t hng sn xut hp ng sa cú th tớch 1dm3 Cỏc nhõn viờn thit k phõn võn gia lm hp ng dng hỡnh tr hay hỡnh hp ch nht ỏy hỡnh vuụng Hi cụng ty s lm hp hỡnh gỡ chi phớ nguyờn liu nh nht A.Hỡnh tr B.Hỡnh hp ch nht ỏy hỡnh vuụng C.C hai nh D.Hỡnh lp phng Phõn tớch: chi phớ nh nht thỡ din tớch sn phm phi nh nht TH1: Nu lm hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy l x(dm) v chiu cao l h(dm) AM GM 2 S = xh + x = + x 3 5,5 (dm ) x x TH2: Nu lm hỡnh hp ch nht cú ỏy hỡnh vuụng cnh x(dm) v cao h(dm) AM GM V = x h = h = Stp = xh + x = + x x x Ta cú V = x h = h = TH3: Nu lm hỡnh lp phng thỡ cnh bng 1(dm) thỡ din tớch ton phn bng 6( dm ) Nh vy ta thy lm theo hỡnh tr cú din tớch ớt nht Chn ỏp ỏn A Nhn xột: Thc t cỏc loi thc phm, nc ung cú loi dựng hỡnh tr (cỏc loi nc gii khỏt nh coca, pepsi) cú loi hỡnh hp (nh sa) Nu tớnh toỏn chi tit ta thy cựng n v th tớch, nu lm hỡnh hp thỡ ú s l hỡnh 13 lp phng, nhng a s chỳng ta thy cỏc hp ng sa l dng hỡnh hp thng (l c tớnh riờng v chi tit qung cỏo trờn sn phm,do cỏch bo qun sa t lnh v ụi tớnh tin dng cm nm) vỡ th cỏc bi toỏn v chi phớ sn xut vt liu cn phi i sõu sỏt hn vo i sng, tỡm hiu k nhu cu tiờu dựng, s hi lũng khỏch hng Do ú nhiu cn phi tn tin cho vt liu Vớ d 8: Lói sut ca mt ngõn hng l 6% / nm v 1,4% / quý ễng A gi 100 triu vi lói sut tớnh theo nm, ụng B gi 100 triu vi lói sut tớnh theo quý Hi sau nm, s tin nhn c ca ụng A v ụng B chờnh lch gn vi s no nht sau õy bit rng khong thi gian ú, lói sut khụng thay i, ngi gi khụng rỳt lói tin lói sau mi k c nhp vo ban u? A 596 ngn ng B 595 ngn ng C 600 ngn ng D 590 ngn ng Phõn tớch: bi yờu cu tỡm tng s tin ụng A rỳt c t ngõn hng sau nm, lỳc ny ta s dng trc tip cụng thc Pn = P0 ( + r ) n Ta phi xỏc nh rừ: P0 = ,r = ,n = ? , t ú thay vo cụng thc (2) tỡm c Pn Li gii: nm = quý Sau nm, s tin ụng A nhn c l 100 ì1,062 triu ng Sau nm, s tin ụng B nhn c l 100 ì1,014 triu ng Vy, sau nm s tin ụng A nhn c hn ụng B l ( 100 ì1,062 100 ì1,0148 ) ì1000 595,562 nghỡn ng Vy, chn ỏp ỏn A Nhn xột: õy cng l mt bi toỏn rt thc t, gi theo nm tin lói cú th nhiu hn, xong nú cú iu bt tin l s mt giỏ ca ng tin v s xoay vũng ca tin lõu hn so vi gi theo quý Vớ d 9: Mt ngi vay ngõn hng 100 triu ng vi lói sut l 0,7%/thỏng theo tha thun c mi thỏng ngi ú s tr cho ngõn hng triu ng v c tr hng thỏng nh th cho n ht n (thỏng cui cựng cú th tr di triu) Hi sau bao nhiờu thỏng thỡ ngi ú tr c ht n ngõn hng A 21 B 22 C 23 D 24 Trong trang ny: Vớ d l ca tỏc gi; vớ d trớch dn TLTK[5] Phõn tớch: i vi bi ny ta cng s dng cụng thc lói kộp, nhng c tr dn sau tng thỏng, n no s d bng khụng, coi nh l tr xong Li gii: Gi N n l s tin ngi vay cũn n sau n thỏng, r l lói sut hng thỏng, a l s tin tr hng thỏng, A l s tin vay ban u N1 = A(1 + r ) a N = [ A(1 + r ) a](1 + r ) a = A(1 + r ) a[1 + (1 + r )] N = { A(1 + r ) a[1 + (1 + r )]}(1 + r ) a = A(1 + r )3 a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) ] (1 + r ) m r a a Ar N m = A(1 + r ) m a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) + + (1 + r ) m ] = A(1 + r ) m a Khi tr ht n ngha l N m = (1 + r ) m ( Ar a) + a = m = log1+ r 14 Thay s ta c: m 21,6 Do ú s thỏng tr ht n l 22 thỏng ỏp ỏn B Nhn xột: õy l mt bi toỏn rt thc t, nhiu giỏo viờn ó ỏp dng hỡnh thc vay ny v h xem nh l ly lng trc Vớ d 10: ễng Y n siờu th in mỏy mua mt cỏi laptop vi giỏ 15,5 triu ng theo hỡnh thc tr gúp vi lói sut 2,5% mt thỏng mua tr gúp ụng Y phi tr trc 30% s tin, s tin cũn li ụng s tr dn thi gian thỏng k t ngy mua, mi ln tr cỏch thỏng S tin mi thỏng ụng Y phi tr l nh v tin lói c tớnh theo n gc cũn li cui mi thỏng Hi, nu ụng Y mua theo hỡnh thc tr gúp nh trờn thỡ s tin phi tr nhiu hn so vi giỏ niờm yt l bao nhiờu? Bit rng lói sut khụng i thi gian ụng Y hon n v hng thỏng ụng B u tr tin ỳng hn (Kt qu lm trũn n ch s hng chc nghỡn) A 1628000 ng B 2325000 ng C 1384000 ng D 970000 ng Phõn tớch: Vỡ ụng Y ó tr trc c 30% ri nờn vic tớnh lói cho s tin cũn li, s dng cụng thc ta tớnh c s tin tr mi thỏng Li gii: ễng Y phi tr trc 30% s tin nờn s tin ụng Y cn phi vay l: 15,5 15,5ì 30% = 10,85 triu ng p dng cụng thc,ta tớnh c s tin hỏng thỏng ụng Y phi tr l: a( 1+ r ) r n x= ( 1+ r ) n 10,85( + 2, 5%) ì 2, 5% x= ( 1+ 2,5%) = 1, 969817186 ( triung) T ú ta tớnh c tng s tin ụng Y phi tr sau thỏng l: 1,969817186ì = 11,81890312 triu ng Vy ụng Y mua theo hỡnh thc tr gúp nh trờn thỡ s tin phi tr nhiu hn so vi giỏ niờm yt l: 11,81890312 10,85 = 0,9689031161triu ng 970000ng ỏp ỏn D Nhn xột: Thc cht ca vic mua tr gúp cng ging nh vay lói ngõn hng( thm cũn cao hn), v nu khụng c k cam kt ngi mua d vi phm hp ng dn n b pht 10 Trong trang ny: Vớ d 10 l ca tỏc gi Vớ d 11: Dõn s nc ta nm 2014 t 90,7 triu ngi (theo Thụng cỏo bỏo ca ASEANstats), t l tng dõn s l 1,06% D tớnh dõn s nc ta nm 2024 l bao nhiờu( ly kt qu gn nht)? A 100.000.000 ngi B 100.786.003 ngi C 110.000.000 ngi D 100.923.000 ngi Phõn tớch: õy cng l bi toỏn s dng cụng thc lói kộp Li gii: T gi thit ta cú cỏc d kin sau: P0 = 90700000,n = 2024 2014 = 10,r = 1,06% p dng cụng thc (2): Khi ú dõn s nc ta nm 2024 l: 10 P10 = 90700000ì ( 1+ 1,06%) 100.786.003 (ngi) ỏp ỏn B Nhn xột: Vỡ bi khụng a cụng thc tng trng dõn s: Pn = P0enr 15 Nờn ta dựng cụng thc lói kộp, cũn nu dựng cụng thc tng trng ta s cú 10ì1,06% 100.842.244 (ngi) (chờnh lch gia cụng ỏp s l: P10 = 90700000ì e thc l 56.241 ngi) Vớ d 12: Vũm ca ln ca mt trung tõm húa cú dng hỡnh Parabol Ngi ta d nh lp ca kớnh cho vũm ca ny Hóy tớnh din tớch mt kớnh cn lp vo bit rng vũm ca cao m v rng m A 16m B 64m C 80 m D 128 m Phõn tớch: Hỡnh phng cn tớnh din tớch c gii hn bi ng thng BC v ng cong Parabol, cho nờn ta khụng th dựng cỏc cụng thc tớnh din tớch ca nhng hỡnh n gin quen thuc nh: hỡnh ch nht, hỡnh trũn, tam giỏc, Ta cn dựng tớch phõn tớnh din tớch hỡnh phng ny Nh vy, vic u tiờn ta cn a ng cong Parabol ca cỏnh ca vo h trc Oxy v mụ hỡnh nú thnh hm s bc hai y = ax2 + bx + c Da vo cao 8m v chiu rng 8m ca cỏnh ca ta d dng xỏc nh cỏc h s a, b, c biu thc hm s 11 Trong trang ny: Vớ d 11 l ca tỏc gi; vớ d 12 c tham kho TLTK[6] ng dng ý ngha hỡnh hc ca tớch phõn ta cú cụng thc tớnh din tớch ca cỏnh ca l S= ( ax ) + bx + c Lu ý rng cỏnh ca rng 8m v ta cho ng cong Parabol i xng qua trc tung Oy nờn d suy cỏc cn x = v x = Li gii: Khụng mt tng quỏt, ta xột dng hỡnh parabol vũm ca ln nh hỡnh v sau Gi s parabol ( P ) : y = ax2 + bx + c 16 Ta cú: A ( 0; 8) ( P ) a = c = B ( 4; 0) ( P ) 16a + 4b + c = b = ( P ) : y = x + 16a 4b + c = c = C ; P ( ) ( ) 4 Do ú: x3 128 SH = x2 + 8ữdx = 16x = m ữ ữ 3 0 ( ) ỏp ỏn D Nhn xột: Khi phi tớnh din tớch ca mt hỡnh khụng cú cụng thc tớnh c bn, ta s dựng tớch phõn tớch, quan trng phi xỏc nh c dng ca hỡnh, sau ú s gn vo h trc ta v ỏp dng cụng thc Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim Sau tin hnh th nghim dy lp 12A3, Lp i chng l 12A2trng THPT Hong Húa 4; hai lp ny cú lc hc l tng ng; qua quỏ trỡnh thit k bi son, thc nghim ging dy v kim tra ỏnh giỏ kt qu, tụi thy rng: - Hc sinh lp 12A3 rt hng thỳ hc v tip thu khỏ nhanh kin thc a Cỏc em cú kh nng dng cỏc kin thc ú gii quyt v lm bi toỏn cú liờn quan n thc tin T ú t toỏn hc ca cỏc em c nõng lờn, cht lng mụn Toỏn c nõng lờn ỏng k Qua t kho sỏt cht lng Lp 12 ca S giỏo dc o to Thanh Húa, thi hay, phự hp v bỏm sỏt vi thi THPT Quc Gia, cú bi toỏn liờn quan n thc t, 80% hc sinh 12A3 lm ỳng bi thc t Kt qu thu c nh sau : im 4-4.8 5-5.8 6-6.8 7-7.8 8-8.8 9-9.8 10 Tng Lp s 12A 10 12A3 10 12 45 15 45 Qua õy, hc sinh cú hng thỳ hn hc nht l cỏc bi toỏn cú liờn quan n thc tin, cú th dng vo cuc sng hng ngy Cỏc em khụng cũn thy xa l vi cỏc bi toỏn trc nghim, nht l cú liờn quan n thc t Giỏo viờn s tớch cc ging dy, khai thỏc sõu hn cỏc ng dng ca toỏn hc vo i sng C KT LUN Kt lun ti ó lm sỏng t tm quan trng ca toỏn hc, vai trũ ca toỏn hc i vi i sng thc tin, i vi khoa hc k thut v vi khoa hc khỏc Nờu bt c ng dng v dng toỏn hc ging dy toỏn hoc trng THPT, c th l mụn Toỏn lp 12 ó gii quyt c mt s bi toỏn cuc sng thc t hng ngy i vi ngi dõn hoc cụng ty, nh sn xut bng kin thc ó c hc mụn toỏn 17 ti cú th l ti liu tham kho ging dy cho giỏo viờn Toỏn hoc s dng lm ti liu liờn mụn Vt lớ; Sinh hc; Húa hc; a lớ cng nh ti liu hc cho hc sinh lp 12 Cng l ti liu tham kho cho cỏc doanh nghip, cỏc c s sn xut Bi vit chc chn cũn nhiu thiu sút rt mong c s úng gúp ý kin, phờ bỡnh, phn hi ca cỏc ng nghip Kin ngh -T kt qu nghiờn cu ó t c trờn õy, tụi xin mnh dn xut mt s kin ngh nh sau: Mt l, i vi S giỏo dc v o to: Cn t chc hun cho giỏo viờn nhiu hn na v vic i mi phng phỏp dy hc, c bit l hun vic trc nghim Hai l, i vi nh trng: cn to iu kin thun li v c s vt cht, trang thit b h tr giỏo viờn Cú ch khen thng kp thi i vi giỏo viờn cú nhiu sỏng kin kinh nghim quỏ trỡnh ging dy Ba l, i vi giỏo viờn: Cn phi hp nhiu phng phỏp dy hc tớch cc quỏ trỡnh dy hc, i mi phng phỏp theo hng tớch cc húa ngi hc, tớch cc son giỏo ỏn liờn mụn tớch hp v ging dy XC NHN CA N V Hong Húa, ngy 26 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi vit Nguyn Vn Trng TI LIU THAM KHO Bựi Vn Ngh (2008), Vn dng lý lun vo thc tin dy hc mụn Toỏn trng ph thụng, NXB i hc s phm H Ni Nguyễn Nhứt Lang (2003), Tuyển tập toán thực tế hay khó, NXB Đà Nẵng Phạm Phu (1998), ứng dụng toán sơ cấp giải toán thực tế, NXB Giáo dục 18 Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Trn Phng Dung, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số Giải tích 12; Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Vn Nh Cng, Phm Khc Ban- sỏch Hỡnh Hc 12(nâng cao), NXB Giáo dục minh ha, th nghim mụn Toỏn THPT Quc Gia ca B giỏo dc; cỏc thi th ca cỏc S giỏo dc, cỏc trng THPT trờn ton quc Cỏc ti liu tham kho trờn Internet 19 20 ... NXB i hc s phm H Ni Nguyễn Nhứt Lang (2003), Tuyển tập toán thực tế hay khó, NXB Đà Nẵng Phạm Phu (1998), ứng dụng toán sơ cấp giải toán thực tế, NXB Giáo dục 18 Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn... thc t Kt qu thu c nh sau : im 4-4.8 5-5.8 6-6.8 7-7.8 8-8.8 9-9.8 10 Tng Lp s 12A 10 12A3 10 12 45 15 45 Qua õy, hc sinh cú hng thỳ hn hc nht l cỏc bi toỏn cú liờn quan n thc tin, cú th dng vo... Xuân Liêm, Trn Phng Dung, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số Giải tích 12; Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Vn Nh Cng, Phm Khc Ban- sỏch Hỡnh Hc 12( nâng cao), NXB Giáo dục minh ha, th nghim mụn Toỏn