MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình 2.3.2 Phương pháp tọa độ véc tơ 2.3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 2.3.4 Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Cách thức tổ chức thực nghiệm 2.4.2 Kết thực nghiệm Kết luận, kiến nghị Tran g 2 2 3 3 3 15 17 17 18 1 Mở đầu Trong giới bao la toán học phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò không nhỏ làm nên phong phú Nhân loại dừng lại phương trình bậc ngần đủ thúc không ngừng sáng tạo để giải làm toán bậc nhỏ Trong chương trình phổ thông học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với nhiều dạng khác Nhưng thực chưa sâu chưa biết phương trình, hệ phương trình lại sở tảng để có toán Và cần có công cụ đắc lực Ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ đơn giản đề tài xin giới thiệu số cách đặc ẩn phụ khác sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào giải toán, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình phức tạp Trong trình hoàn thành đề tài không tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp 1.1 Lí chọn đề tài Như biết, chương trình phổ thông phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò lớn làm nên phong phú môn học đồng thời chuyên đề lớn chương trình ôn luyện thi vào lớp 10, chuyên nghiệp, HSG (học sinh giỏi) chương trình phổ thông Chúng ta học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với nhiều dạng khác thực chưa sâu chưa biết phương trình, hệ phương trình lại sở tảng để có toán Và cần có công cụ đắc lực việc sử dụng phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ đơn giản Với học sinh thi vào trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp, ôn thi HSG chuyên đề Phương trình, Bất phương trình hệ chứa thức chuyên đề khó, học sinh lúng túng trình giải không tìm phương pháp tổng quát hoá toán Hiện có nhiều sách tham khảo trình bày phương pháp giải toán PT, BPT hệ chứa thức các phương pháp nghiên cứu sơ lược, học sinh sau học khó định hướng để tìm phương pháp giải hữu hiệu với dạng toán Trong phạm vi đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC” Tôi xin giới thiệu tổng quát hoá số phương pháp giải toán đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào toán giải phương trình, bất phương trình hệ chứa thức giúp học sinh phát tìm phương pháp giải thích hợp cho dạng toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài hệ thống hoá số phương pháp giải toán phương trình, bất phương trình hệ chứa thức phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ tọa độ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiakopxki 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng tập giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa thức chương trình Toán lớp 10 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực nghiên cứu đề tài, tiến hành sử dụng đồng phương pháp sau: - Nghiên cứu lý luận phương pháp dạy học phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ - Quan sát việc học trò truyện với học sinh - Thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng kinh nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Phương trình, bất phương trình Hệ chứa thức chuyên đề trọng tâm lớp cuối cấp THPT kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Để giải loại toán trước tiên học sinh phải nắm phương pháp bản: - Phương pháp biến đổi tương đương - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp hàm số - Phương pháp đánh giá Từ học sinh tư duy, tổng hợp kết hợp với dạng toán khác như: Lượng giác, Tam thức bậc hai, bất đẳng thức 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.2 Thuận lợi Nội dung phương trình, bất phương trình học sinh làm quên chương trình THCS với số dạng toán đơn giản nên học sinh nắm bắt số thao tác cách giải Các toán gải phương trình, bất phương trình thường xuyên xuất đề thi HSG đề thi tuyển sinh ĐH nên học sinh quan tâm trọng việc rèn luyện tập 2.2.3 Khó khăn Phần lớn học sinh thường sợ gặp dạng phương trình bất phương trình chứa thức chúng liên quan đến điều kiện tồn thức Nên em ngại tìm tòi cách giải tâm lý chung ngại Các em chưa nắm rõ kiến thức biến đổi thức, cách đặt điều kiện cho phương trình bất phương trình dẫn đến việc tổng hợp nghiệm khó khăn 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình Đối với nhiều toán giải phương trình, hệ phương trình việc biến đổi tương ứng làm phức tạp hoá toán cần chí ẩn phụ đưa toán đơn giản cách giải nhẹ nhàng 1- Dạng phương trình: * Dạng 1: p ax + b + q cx + d = m (1) * Phương pháp: Đặt: ax + b = u, cx + d = v (u ≥ 0, v ≥ 0)  pu + qv = m Phương trình (1) ⇔  2 cu − av = bc − ad *Dạng 2: n a − f ( x) + m f ( x ) + b = c (2) a − f ( x) = u , u + v = c Phương trình (2) ⇔  2 u − v = a + b * Phương pháp: Đặt: n m f ( x) + b = v (đ.kiện kèm theo (nếu có)) Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x + = (1) [1] Giải: u = x + 5(u ≥ 0) u = x + ⇒ Đặt:  v = x + v = x + 8( v ≥ 0)   u =  v = − u u + v = v = − u v =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (1)  2   2  u = −17 (loai ) 2u − v = 2u − (7 − u ) = u +14u − 51 =   v = 10 Với u = ⇔ x + = ⇔ x = nghiệm Ngoài ta sử dụng phương pháp hàm số để giải toán Ví dụ 2: Giải phương trình: + x = − 1− x (1) Giải: Điều kiện: x ≥ Đặt : + x = u, 1− x = v (2) u + v = u + v = u + v = ⇔ ⇔ (1) ⇔  3  2 2 u + v = (u + v)(u + uv + v ) = u + uv + v = (3) (3) viết lại: (u + v) − 3uv =1 kết hợp (2) ⇒ uv = u + v = ⇔ u = v = 1hay : 1+ x =1⇔ x = Vậy  uv = Ví dụ 3: Giải phương trình: − x = 1− x −1 (1) Giải: Quan sát thấy hai biểu thức triệt tiêu x cho Đặt: − x = u , x −1 = v (v ≥ 0) u + v =1 ( 2) v =1− u ⇔ u + v =1 u + (1 − u ) = (3) Giải (3) u + u − 2u = ⇔ u (u + u − 2) = (1) ⇔  Ta u = 0, u =1, u = - 3 − x =  + u = => v = thoả mãn ⇔   x − = + u = => v = thoả mãn ⇔ x = + u = -2 => v = thoả mãn ⇔ x = 10 ⇔x=2 Ví dụ 4: Cho phương trình x + + − x − ( x + 1)(3 − x) =m a) Giải phương trình m = b) Xác định m để phương trình có nghiệm [1] Giải: Với toán có hai cách đặt ẩn phụ u = x + (u ≥ 0) + Nếu đặt  v = − x (v ≥ 0) u + v = Phương trình có dạng  u + v − uv = m +) Đặt t = x + + − x ta có t = + ( x + 1)(3 − x ) ≥ ⇒ t ≥ Mặt khác t = ( x + + − x) ) ≤ (12 + 12 )( x + + − x) = ⇒ t ≤ 2 Vậy t ∈  2;2  Phương trình có dạng: t2 −4 t− = m ⇔ t − 2t + 2m − = a) Với m = phương trình ⇔ t − 2t = ⇔ t − 2t = ⇔ t = 0, t = t = ( loại); t = ( thoả mãn) ta được: x + + − x = ⇔ ( x + 1)(3 − x) = ⇒ x = −1; x = nghiệm b) Để phương trình có nghiệm phương trình f ( x) = t − 2t + 2m − = có nghiệm t ∈ 2;2  Đến xét khả năng: + f (t ) có nghiệm t = 2 ⇔ f (2) f (2 2) = ( + f(t) có nghiệm ∈ 2;2 ) nghiệm nằm ⇔ f (2) f (2 2) < ∆ ≥ af (2) >  + f(t) có nghiệm < t1 ≤ t2 < 2 ⇔ af (2 2) >  2 < s < 2  Ví dụ 5: Xác định m để phương trình sau có nghiệm m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x ( khối B - 04) [1] Giải: Đặt + x − − x = t (t ≥ 0) Nhận xét: t = ( + x − 1− x )2 ≤ (12 + 12 )(1+ x + − x ) = ⇒ t ≤ t ∈ [ 0;2] Ta có: − x = − t Phương trình có dạng: t2 + (m -1)t + 2m - = (1) Để phương trình có nghiệm (1) có nghiệm t ∈ [ 0;2] Xét trường hợp tương tự ví dụ 4b 2.3.2 Phương pháp tọa độ véc tơ Các kiến thức thường dùng ur r r r a) a + b ≤ a + b r r Dấu xảy a, b phương, chiều tức có có số r r r r r r k>0 cho b = k a a = 0; b = r r a =  r r b = r r r r b) a − b ≤ a + b r r Dấu xảy a, b phương,ngược chiều tức có số r r r r r r k 0) Hay x−2 4− x = ⇔ x = nghiệm 1 Ví dụ 2:Giải hệ  x + y + z =  2  x + y + z = Giải: r r Xét hai véc tơ a( x ; y ; z ); b(1;1;2) r r Nhận xét: a = 1; b = r r urr r r rr r r rr a.b = x + y + z = mà a b = a.b > a b mà a.b ≤ a b => Hệ vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ  x2n + y 2n + z 2n = (1)  n+1 n +1 + z n+1 = (2) x + y  x n+ + y n+ + z n+ = (3)  Giải: Bài toán sử dụng bất đẳng thức Trêbusep Tuynhôm giải ngắn gọn sau đây: r n n n r n+1 n+1 n+1 a Xét hai vectơ: ( x ; y ; z ); b( x ; y ; z ) r r 2n 2n 2n n +1 + y n+2 + z n+2 = Ta có: a b = x + y + z x rr Và a.b = ( x n+1; y n +1; z n+1 ) = rr r r Vậy a.b = a b Dấu xảy x n = x n+1; y n = y n +1; z n = z n +1 Hay x = y = z = Ví dụ 4: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm: x + x + − x − x + = m [2] Giải: Phương trình ⇔ ( x + )2 + ( ) − ( x − ) + ( ) = m 2 2 1 Xét điểm: A( − ;0); B( ;0); C ( x; ) 2 uuur u u u r 3 AC ( x + ; ); BC ( x − ; ) 2 2 uuur ⇒ AC = x + x + = AC uuur ⇒ BC = x − x + = BC ⇒ AC − BC = m với điểm C ( x; ⇒ m < giá trị cần tìm ) ta có AC − BC < AB = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (1) x + y + z =   2 x + y + z = (2)  Giải: r r Xét véc tơ u ( x; y; z ) v(1;1;1) Khi đórtar có: u.v = x + y + z = ( 3) r r r r 2 v = ⇒ u v = (4) u = x +y +z = rr r r r r Từ(3) (4) => u.v = u v ⇒ u , v phương x y x = = ⇒x= y=z= 1 2.3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy xuất tổng tích hay hay nhiều số hạng hay số sử dụng không đổi Tư tưởng phương pháp sử Nên: dụng bất đẳng thức toán phương trình hay bất phương trình khó mà phương pháp khác không giải hay làm phức tạp hoá toán Bất đẳng thức Cauchy: Dạng: Sử dụng cho hai số a,b,c không âm a+b a + b ≥ ab ab ≤ a+b+c a + b + c ≥ 3 abc abc ≤ Dấu xảy a = b = c Ví dụ1: Giải phương trình ( ĐH huế 98) x +1 + = (1) [3] x +1 Giải: Điều kiện x ≠ − áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x +1 3 x +1 + ≥2 = = VP VT = x +1 x +1 x +1 = ⇔ x = 2, x = −4 nghiệm x +1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: Dấu xảy ra: x − x − + x + x − ≤ (1) Giải: Điều kiện: x ≥ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x − x2 −1 + x + x2 −1 ≥ x − x2 −1 + x + x2 −1 = Vậy bất phương trình có nghiệm : VT = hay x − x − = x + x − ⇔ x = nghiệm bất phương trình Ví dụ 3: Giải hệ: 6 x x3 − x + = ( x3 + 4).( x + x − 6) (1)   2 (2) x + ≥ + x x  Giải: x Do: x; dấu nên từ (2) => x + >0⇒ x >0 x Do x + > x + x − >  x < −1 − (loai ) x −1 > =>    x > − x + x − > áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x − x + = ( x + 1)( x + x − 5) ≤ ( x − 1) + ( x + x − 5) = x + x − = x + x − x3 x3 x3 x3 ≤ + + = x + 2 2 Vậy VT(1) ≤ VP (2) Dấu xảy x=2 thoả mãn Ví dụ 4: Giải Phương trình: Và x = 3 x−2 + y −1 + 25 z −5 = 16 − x − − y − − z − Giải: Điều kiện: x > ; y > ; z > Phương trình đưa dạng: x−2 + x−2 + y −1 + y −1 + 25 z −5 + x − = 16(1) áp dụng bất đẳng thức ta có: x−2 y −1 25 z −5 + x−2≥4 + y −1 ≥ + x − ≥ 10 Vậy VP(1) ≥ 16 dấu xảy : y −1 = x =   x − = ⇔  y =  z − = 25  z = 30   Ví dụ 5: Giải phương trình x2 + x + + = x+3 x2 (1) [3] Giải: Điều kiện: −3 ≤ x ≤ −1; x ≥ Bình phương hai vế (1) ta có: 1 x + + x + + ( x + x )(1 + ) = x + x x 1 ⇔ x2 + + x2 + x + + = x x 1 Nhận xét: x + ≥ x + x + + ≥ x x Dấu xảy : x = - Ví dụ 6: Giải phương trình: 10 x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + ( x + x − 1) x + x x + x −1 ≤ = 2 + ( x − x + 1) x − x + x − x2 + ≤ = 2 VT ≤ x + ⇔ x − x + ≤ x + ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1)2 ≤ ⇔ x = nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trình: 13 x − + x + = 16 x Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 13 x − + x + = 13.2 x − + 3.2 x +1 2 ≤ 13( + x − 1) + 3( + x + 1) = 16 x 4   x + = ⇔ x = thoả mãn Dấu xảy :   x +1 =  2) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hay dãy số: (a1 , a2….an) (b1 ,b2 ….bn) Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ ( a12 + a22 , an2 ) ( b12 + b22 , bn2 ) dấu xảy : a1 a2 a = = = n b1 b2 bn Dạng đơn giải: ax + by ≤ (a + b )( x + y ) ( ax + by + cz ) ≤ ( a + b + c ) ( x + y + z ) a b c = = x y z Dấu hiệu sử dụng : Hai dãy số tuỳ ý vế có dạng : a1b1 + a2b2 + + anbn ( a12 + a22 , an2 ) ( b12 + b22 , bn2 ) Dấu xảy : Ví dụ1: Giải phương trình: x − + − x = x − x + 11 Giải: 11 áp dụng bất phương trình Bunhiacopski ta có ( x − + − x ) ≤ (12 + 12 )( x − + − x) = Vậy −2 ≤ VT ≤ VP = x − x + 11 = ( x − 3) + ≥ Dấu xảy x−2 4− x = ⇔ x=3 1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x − + ( x − 3) ≥ 2( x − 3) + x − Giải: Điều kiện: x ≥ Xét: ( x − 3) + ( x − 1) = ( x − 3) + ( x − 1) 2 2 2 VT: ( x − + ( x − 3)) ≤ (1 + )( x − + ( x − 3)) = ( x − 3) + x − 1 ⇒ x − + ( x − 3) ≤ 2( x − 3) + 2( x − 1) Dấu xảy khi: x −1 x − = ⇔ x = thoả mãn 1 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x + − − x ≤ x (1) Giải: Điều kiện x ≥ −1 (1) ⇔ ( x + − − x )( x + + − x ) = x ≤ x( x + + − x ) Mà x + + − x ≤ (12 + 12 )(1 + x + − x) = ⇔ x ≤ x ⇒ x ≤ ⇒ −1 ≤ x ≤ Ví dụ 4: Giải phương trình x + x + x − = 3x + x + Giải: áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai số ( x ;1);( x + 2; x − 1) Ta có: ( x( x + 2) + x − 1) ≤ ( x + 1)( x + + x − 1) = x2+ 4x +1 hay x + x + x − ≤ x + x + x+2 2x − = ⇔ x + = (2 x − 1) x Dấu xảy khi: x 1+ phù hợp ⇒x= Ví dụ 5:( HVQHQT 96 ) Giải phương trình 12 x + (1 − x) = 27 Giải: Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1 x + (1 − x) =  x + (1 − x)  = (12 + 12 + 12 )( x + x + (1 − x) ) 3 2 1 ≥  x + x + (1 − x  =  x + x (1 − x)  3 1 = (12 + 12 + 12 ) ( x + x + (1 − x) ) ≥ ( x + x + − x) = 27 27 27 2  x = x = (1 − x ) ⇔x= Dấu xảy ⇔  x = x = − 2x Bài toán giải đặt ẩn phụ u = 2x, v = - 2x ( ) Ví dụ 6: ( ĐH NTH CM ) Giải phương trình 1 − x2 + − = − ( x + ) x x Giải: Phương trình có dạng 1 x + − x2 + + − = x x áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có: x + − x = 1.x + − x ≤ (12 + 12 )( x + − x ) = 1 1 1 + − = + − ≤ (12 + 12 )( + − ) = x x x x x x 1 ⇒ x + − x2 + + − ≤ x x Dấu xảy x=1 hay x=1 nghiệm phương trình Ví dụ ( Tạp chí THTT) Giải phương trình x − + x − x − x x + = x ( x + 2)(5 x − 1) Giải: áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai số: ( 3x − ; x − x ; x + 1) ( 1; 1; -x) (1) [4] Vế trái (1) ≤ (3 x − + x − x + x + 1)(12 + 12 + x ) = (5 x − x)( x + 2) = x ( x + 2)(5 x − 1) = VP (1) 13 3x2 − x2 − x = = 1 Vậy x= -1 nghiệm phương trình x2 + hay x = −1 −x dấu xảy ⇔ Ví dụ (Thi vào 10 ĐHSPHN) Giải phương trình ( x + 1)3 x + x + + x( x − x + 1) ≤ x 2 (1) Giải: Điều kiện x > Nhận xét: x − x + + x = x + x + x + + x = ( x + 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai số: ( x; x + x + 1) ( x − x + 1; x) vế trái (1) x ≤ ( x + x − x + 1)( x + x + + x ) = ( x + 1)3 Dấu xảy x2 − x + x = ∀x > x x4 + x2 + Vậy với x > nghiệm Ví dụ Giải hệ:   + x1 + + x2 + + + xn = n + (1) n  ( n ≥ 2)   − x + − x + + − x = n − (2) n  n Giải: Từ (1) n 2 2 Ta có: (n + ) = n + n ≤ (1 + + + )( n + ∑ xi ) ( BĐT Bunhiacopxki) n i =1 n ⇒ ∑ xi ≥ (3) i =1 n từ (2): : (n − ) = n − n ≤ (12 + 12 + + 12 )( n − ∑ xi ) (BĐT Bunhiacopxki) n i =1 n n ⇒ ∑ xi ≤ (4) ⇒ ∑ xi = i =1 Dấu xảy khi: x1 = x2 = = xn = i =1 n 14 2.3.4 Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn Để đánh giá kết học tập học sinh đề: Bài 1: Giải phương trình sau: x + 17 − x + x 17 − x = x + 63 x + − = Bài 2: Giải hệ phương trình sau 36 x + y + z =   2 x + y + z =  Bài Giải hệ phương trình sau:  2x2 =y  1 + x  2y2 =z  1 + y  2z =x  1 + z Lời giải sơ lược Bài 1: Giải phương trình x + 17 − x + x 17 − x = GIẢI: Đặt: y = 17 − x ( y ≥ 0) ⇔ y + x = 17  x + y + xy = Phương trình đưa hệ :  2  x + y = 17  x + y + xy =  x + y + xy = ⇔ ⇔ 2 ( x + y ) − xy = 17 ( x + y ) + 2( x + y ) − 35 =  x + y = −7 (loai )  xy = 16 Ta  x + y = thoả mãn  xy =  x,y nghiệm phương trình t2 - 5t + = ⇒ t =1 ; t =  x =  x = ⇔ ⇔ x =1   y =  17 − x =   x = ⇔ x =   y =  15 Vậy phương trình có hai nghiệm x=1, x=4 x + 63 x + − = GIẢI: Đặt: y = x + ⇔ y − x − =  x − x − = (1) Do phương trình đưa hệ:   y − x − = (2) Trừ vế (1) cho (2) ta được: x3 - y3 +6 (x - y) = ⇔ (x+y) (x2 + xy +y2 +6) = => x=y ( x2 + xy +y2 +6 > Thay x = y vào (1) ⇔ x3 - 6x - = ⇔ ( x + 2) ( x2 - 2x - 2) = Vậy phương trình có nghiệm : x = -2, x = − 3, x = + Bài 2: Giải hệ phương trình: 36 x + y + z =   2 x + y + z =  r r 1 Xét hai véc tơ a(6 x;3 y ;2 z ); b( ; ; ) r r Nhận xét: a = 1; b = 18 rr r r a.b = x + y + z = mà a b = a.b > a b mà a.b ≤ a b 18 Vậy hệ phương trình vô nghiệm Bài Giải hệ phương trình  2x2 1 + x = y (1)   y2 =z  + y   2z2 =x  1 + z Nhận xét : vế trái không âm nên đk: x, y, z ≥ x2 x2 ≤ =x - Ta có + x ≥ x ⇒ + x2 x 16 Từ (1) ⇒ y ≤ x - Tương tự ta có: z ≤ y; x ≤ z Vậy ta có x=y=z Thay vào phương trình (1) giải x=0; x=1 Vậy hệ có nghiệm (0;0;0); (1;1;1) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Cách thức tổ chức thực nghiệm: - Chọn lớp: + Lớp đối chứng: 10B2, 10B10 + Lớp thực nghiệm: 10B3,10B8 - Tiến hành kiểm tra 45 phút 2.4.2 Kết thực nghiệm: Kết kiểm tra thực nghiệm lớp sau: Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 10B2 42 7,1 13 31,0 25 59,5 2,4 10B10 45 2,2 14 31,1 26 57,8 8,9 10B3 44 13,6 24 54,5 14 31,8 0 10B8 44 20,4 23 52,3 12 27,3 0 Qua kết cho thấy việc giáo viên hướng dẫn học sinh tổng hợp phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa thức nâng cao chất lượng học giúp học sinh học tập cách chủ động, tích cực hơn, từ dẫn đến tỉ lệ hiểu điểm giỏi tăng lên Chất lượng kiểm tra nhận thức lớp thực nghiệm ( 10B3, 10B8) cao lớp đối chứng( 10B2, 10B10) Cụ thể lớp thực nghiệm tỉ lệ điểm trung bình thấp gần nửa, không học sinh đạt điểm yếu tỉ lệ điểm khá, giỏi cao gần gấp đôi so với lớp đối chứng Kết luận, kiến nghị - Kết luận Với đề tài “Hướng dẫn học sinh tổng hợp phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa thức” giúp học sinh nắm phương pháp giải toán phương trình, bất phương trình hệ chứa thức chương trình phổ thông Với học sinh ôn thi chuyên nghiệp hay ôn thi học sinh giỏi đề tài thiết thực giúp học sinh giải tốt dạng toán mà tư tốt vận dụng vào dạng toán khác Đề tài tiến hành nghiên cứu song trình độ, lực có hạn, điều kiện không cho phép, kinh nghiệm non nớt Vì nội dung đề tài tránh khỏi hạn chế không muốn.Tôi thiết tha mong muốn có đóng góp quý báu giúp cho đề tài thêm hoàn hảo - Kiến nghị Lớp Sĩ số Giỏi Khá 17 Qua thành công bước đầu phương pháp thiết nghĩ cần phải có nghiên cứu hình thành đưa chuyên đề, phương pháp cụ thể giúp học sinh có đủ kiến thức phục vụ kỳ thi cách có kết có hệ thống phù hợp với mức độ kỳ thi Chúng ta không nên dạy kiến thức SGK mà cần phải đưa kiến thức phù hợp với mức độ yêu cầu cao kỳ thi biết vận dụng kiến thức hình học để giải vấn đề cách linh động Để hình thành cho học sinh thói quen không tốt nghiên cứu vấn đề, lòng với kiến thức có mà không tự tìm tòi kiến thức phương pháp đặc biệt vận dụng môn học khác vào môn học Do trình giảng dạy đưa học sinh vào tình có vấn đề yêu cầu học sinh tự hình thành cho kiến thức có hiệu cụ thể kỳ thi, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng kiến thức liên môn để làm tập cách có hiệu Sáng kiến kinh nghiệm phần nhỏ thân thu trình giảng dạy phạm vi nhỏ hẹp Vì việc phát ưu nhược điểm chưa đầy đủ sâu sắc Mong báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu nhược điểm chuyên đề Cuối mong chuyên đề đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng cách hiệu thực tiễn để rút điều bổ ích XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017 18 Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Đinh Thế Ninh 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ghi - Ở mục 2.3.1, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ 4, ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 1, phần lời giải tác giả viết Ở mục 2.3.2, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 2, phần lời giải tác giả viết Ở mục 2.3.3, đoạn từ ví dụ 1, ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 3, phần lời giải tác giả viết Ở mục 2.3.3, đoạn từ ví dụ 7, tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số 4, phần lời giải tác giả viết - ******************* [1] dethi.violet.vn [2] tailieu.vn [3] hocmai.vn [4] Tạp chí Toán học tuổi trẻ 20 ... tài Hướng dẫn học sinh tổng hợp phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa thức giúp học sinh nắm phương pháp giải toán phương trình, bất phương trình hệ chứa thức. .. viên hướng dẫn học sinh tổng hợp phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa thức nâng cao chất lượng học giúp học sinh học tập cách chủ động, tích cực hơn, từ dẫn đến... pháp giải hữu hiệu với dạng toán Trong phạm vi đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC” Tôi xin giới thiệu tổng