MỤC LỤC Nội dung Phần : Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phần : Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.3 Các giải pháp 2.3.1 Định nghĩa tính chất phép biến hình 2.3.2 Ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học 2.3.3 Bài tập ứng dụng 2.4 Hiệu sáng kiến Phần : Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 1 1 2 2 3 14 14 15 15 15 17 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong trường phổ thông môn toán giữ vai trò, vị trí quan trọng môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy, lập luận cách chặt chẽ logíc, tri thức toán với phương pháp làm việc toán công cụ để học tốt môn học khác Nội dung phép biến hình trình bày sách giáo khoa hình học 11 có tác dụng phát triển tư hàm cho học sinh Đó phương thức tư đòi hỏi phải biết nhận thức đối tượng toán học chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn Hơn nữa, học sinh học phép biến hình với điểm, hình, liên hệ ảnh tạo ảnh, nghiên cứu quan hệ biến thiên mối liên hệ nhân quả, nghiên cứu hình học trạng thái động Điều góp phần bồi dưỡng quan điểm vật biện chứng cho học sinh đồng thời kiến thức phép biến hình cần thiết cho nhiều hoạt động thực tế cho số ngành khoa học khác hội họa, kiến trúc ngành kĩ thuật Trong thực tế giảng dạy cho học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương 2, thấy nội dung phép biến hình nội dung khó đa số học sinh, nhiều học sinh học phép biến hình em thường lúng túng việc áp dụng để giải toán thêm từ trước đến nội dung kiến thức chương phép biến hình có đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên học em quan tâm không tích cực Tuy nhiên lại phần kiến thức giúp em rèn luyện tư toán học đặc biệt giúp em giải toán thực tiễn áp dụng sống ngày đồng thời năm học nội dung phép biến hình phần kiến thức thiếu đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế nghiên cứu đề tài: “Dạy học phép biến hình mặt phẳng theo hướng tăng cường khả tư phát huy tính tích cực học sinh ” với mong muốn phần giúp học sinh nắm vững kiến thức đồng thời tạo húng thú say mê tìm tòi sáng tạo học tập 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Với đặc điểm chương là: Kiến thức mới, học sinh tiếp cận khó khăn chất lượng học sinh không đồng nên để áp dụng lý thuyết vào giải toán thực vấn đề khó khăn nhiều học sinh Do qua trình giảng dạy nghiên cứu đề tài với mục đích: - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập môn toán - Thông qua đề tài này, tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi tốt nghệp THPT quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng để giải toán hình học - Học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo - Phương pháp đàm thoại vấn: Lấy ý kiến giáo viên học sinh - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Quảng Xương - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển.Vì trình dạy học giáo viên cần trọng gợi động học tập để em thấy điều chưa biết khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo việc lĩnh hội tri thức Từ kích thích khả tư duy, sáng tạo em Phép biến hình nội dung kiến thức quan trọng chương trình hình học 11, phép biến hình mặt phẳng không cung cấp cho học sinh kiến thức công cụ để giải toán mà tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Ngoài ra, phép biến hình ta sáng tạo toán khác việc làm mang lại nhiều hứng thú việc tìm tòi, nghiên cứu hình học.Vì vậy, trình dạy học để giúp em học tốt phép biến hình giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, cần cho học sinh thấy phép biến hình ứng dụng để giải nhiều toán hình học thực tế 2.2 Thực trạng vấn đề: Qua thực tiễn trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên học sinh trường THPT Quảng Xương 2, tổng hợp thông tin có nhận thấy việc dạy phép biến hình tồn thực trạng sau: - Xuất phát từ nguyên nhân từ trước đến nội dung kiến thức chương phép biến hình đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên nhiều giáo viên xem nhẹ, chưa thực quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu kiến thức phép biến hình để dạy cho học sinh - Phép biến hình khái niệm khó nên học sinh lười nghiên cứu, ứng dụng lớn học sinh học thời gian ngắn nên việc áp dụng dạng tập nhiều học sinh chưa tốt Kết khảo sát nội dung kiến thức phép biến hình học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương Năm học Học sinh đạt yêu cầu Học sinh chưa đạt yêu cầu 2012 – 2013 25% 75% 2013 - 2014 35% 65% 2014 - 2015 30% 70% 2.3 Các giải pháp: Trong học phần: Các phép biến hình mặt phẳng học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu chất Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả khái quát phân tích hạn chế, đặc biệt phần ứng dụng phép biến hình Vì học sinh lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu xin đưa vài dạng toán giải bàng cách sử dụng phép biến hình 2.3.1 [3] Định nghĩa tính chất phép biến hình: a) Định nghĩa phép dời hình: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M ' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Phép dời hình phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm b) Tính chất phép dời hình: - Bảo toàn khoảng cách hai điểm: AB = A ' B ' với điểm A, B ( A ', B ' ảnh A, B ) - Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm đường thẳng Biến đường thẳng d thành đường d ' song song trùng với - Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A ' B ' AB = A ' B ' , biến tam giác ABC thành tam giác A ' B ' C ' ∆ABC = ∆A ' B ' C ' - Biến đường tròn (O, r ) thành đường tròn (O ', r ) với O ' ảnh O qua phép biến hình - Biến hình H thành hình H ' - Biến góc thành góc c) Các phép dời hình mặt phẳng: + Phép tịnh tiến : r Oxy cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M - Trong mặt phẳng uuuuur r r thành điểm M ' cho MM ' = v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v r - Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = (a; b) , điểm uuuuur r x ' = x + a M ' = Tvr ( M ) = ( x '; y ') với M(x;y) Khi MM ' = v ⇔  y' = y +b + Phép đối xứng trục: - Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành M ' cho d đường trung trực đoạn thẳng MM ' , gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Kí hiệu Đd , d gọi trục đối xứng - Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho Ox trùng với đường x ' = x y' = −y thẳng d Điểm M ' = Đd ( M ) = ( x ', y ') với M(x,y) ta có  + Phép quay: Cho điểm O góc lượng giác ϕ Phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M khác O thành M ' cho OM ' = OM góc lượng giác (OM ', OM ) = ϕ gọi phép quay tâm O góc ϕ Kí hiệu Q( O ,ϕ ) + Phép đối xứng tâm : - Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành M ' cho I trung điểm đoạn thẳng MM ' gọi phép đối xứng tâm I Kí hiệu ĐI , I gọi tâm đối xứng - Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ x ' = −x Oxy cho M ( x; y ) , M ' = ĐO ( M ) = ( x '; y ') Khi :  y' = −y d) Khái niệm hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình e) Định nghĩa phép đồng dạng: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k ( k > ) với hai điểm M , N ảnh M ', N ' tương ứng có: M ' N ' = kMN f) Tính chất phép đồng dạng: - Bảo toàn tỉ số khoảng cách hai điểm - Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm đường thẳng Biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' song song trùng với d - Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A ' B ' A ' B ' = kAB - Biến tam giác ABC thành tam giác A ' B ' C ' ∆ABC ∽ ∆A ' B ' C ' - Biến đường tròn (O, r ) thành (O ', kr ) với O ' ảnh O - Biến hình H thành hình H ' H ' đồng dạng với H - Biến góc thành góc g) Phép vị tự: Cho điểm O số k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành điểm uuuuu r uuuu r M ' cho OM ' = k OM gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V( O ,k ) Tính chất phép vị tự: Phép vị tự tâm O tỷ số k phép đồng dạng tỷ số k nên có tính chất phép đồng dạng Ngoài ra, phép vị tự có tính chất đặc biệt sau: đường thẳng nối điểm ảnh qua O; ảnh d ' đường thẳng d song song trùng với d h) Khái niệm hai hình đồng dạng: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình 2.3.2 Ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học: Dạng toán 1: Xác định ảnh hình qua phép biến hình Phương pháp chung: - Sử dụng định nghĩa - Sử dụng biểu thức tọa độ phép biến hình - Sử dụng tính chất phép biến hình Bài 1: [8] Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường thẳng ∆ ' ảnh đường thẳng ∆ : x + y − = rqua phép biến hình sau: a) Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −2) b) Phép đối xứng tâm I với I (2; −1) c) Phép đối xứng trục d với d : x − y − = Giải r a) Cách 1: Gọi ∆ ' ảnh ∆ qua phép tịnh tiến vectơ v = (3; −2) nên phương trình ∆ ' có dạng x + y + c = Lấy M (1;1) ∈ ∆ Gọi M '( x '; y ') ảnh M qua Tvr , uuuuur r x −1 = x = ⇔ Vậy M '(4; −1), M '(4; −1) ∈ ∆ ' nên c = −2 Vậy  y −1 =  y = −1 MM ' = v ⇔  ∆ ': x + 2y − = Cách 2: Gọi M '( x '; y ') ảnh M ( x ; y) qua Tvr Khi uuuuur r x ' = x +  x = x '− MM ' = v ⇔  ⇔ (*) y' = y −  y = y '+ Thay (*) vào phương trình ∆ ta x '− + 2( y '+ 2) − = ⇔ x '+ y '− = Vậy phương trình đường thẳng ∆ ' : x + y − = Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt đường thẳng ∆ , ta tìm tọa độ ảnh A ', B ' tương ứng chúng qua Tvr , ∆ ' đường thẳng A ' B ' b) ∆ ' ảnh ∆ qua ĐI nên phương trình ∆ ' có dạng x + y + c = Lấy x '+   = x ' = M (1;1) ∈ ∆ Gọi M '( x '; y ') ảnh M qua ĐI ,  ⇔  y ' = −3  −1 = y '+  Vậy M '(3; −3) mà M ' ∈ ∆ ' nên + 2(−3) + c = ⇔ c = Vậy phương trình ∆': x + 2y + = c) Ta có ∆ cắt d I (3;0) Lấy M (1;1) ∈ ∆ , gọi H hình chiếu vuông góc M lên d ta có MH ⊥ d ⇒ MH : x + y + c = 0, M ∈ MH ⇔ + + c = ⇒ c = −2 Vậy phương trình MH : x + y − = Khi tọa độ điểm H nghiệm hệ:  x=  x − y − =  ⇔  Vậy H ( ; − ) 2 x + y − =  y = −1  Gọi M điểm đối xứng M qua d, suy H trung điểm MM ⇒ M (4; −2) Đường thẳng ∆ ' qua I (3;0) M (4; −2) có phương trình: 2x + y − = Bài 2: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) có phương trình: x + y − 2x − y − = Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn (C) qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O , góc quay 450 phép vị tự tâm O tỉ số k = Giải Đường tròn (C ) có tâm I (1;1) , bán kính R = Gọi I1 ảnh I qua phép quay tâm O , góc quay 450 I1 (0; 2) Gọi I ' ảnh I1 qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = uuur uur OI ' = OI ⇒ I '(0; 2) Do qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay 450 phép vị tự tâm O tỉ số k = I có ảnh I '(0; 2) Gọi (C ') ảnh (C ) qua phép đồng dạng nói (C ') có tâm I ' bán kính R ' = k R = 2 Vậy phương trình (C ') : x + ( y − 2)2 = Bài 3: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 5x − y + 15 = Hãy viết phương trình đường thẳng d ' ảnh d qua phép quay tâm O , góc quay 900 Giải Cách 1: Phép quay tâm O , góc quay 900 biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' có phương trình 3x + y + c = Lấy M (0;5) ∈ d , đường thẳng d ' qua ảnh M '(−5;0) M qua Q(O;90 ) M ' ∈ d ' ⇒ 3(−5) + 5.0 + c = ⇔ c = 15 Vậy phương trình d ' : 3x + y + 15 = Cách 2: Đường thẳng d qua A(0;5), B(−3;0) , gọi A ', B ' ảnh A, B qua Q(O ;90 ) A '(−5;0), B '(0; −3) Đường thẳng d ' đường thẳng A ' B ' có phương trình 3x + y + 15 = Bài 4: [2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x+y − = Hãy viết phương trình đường thẳng d1 ảnh d qua phép vị tự tâm I (−1; 2) , tỷ số k = −2 Giải d Cách 1: Đường thẳng ảnh d qua V( I ;−2) nên phương trình đường thẳng d1 có dạng 2x + y + c = 0 uuu r uu r  x ' = −3  y ' = −2 Lấy A(0; 4) ∈ d Gọi A '( x '; y ') ảnh A qua V( I ;−2) ta có : IA ' = −2 IA ⇔  suy A '(−3; −2) Do A '(−3; −2) ∈ d1 ⇒ 2(−3) − + c = ⇒ c = Vậy d1 : 2x + y + = Cách : Gọi M '( x '; y ') ảnh M ( x; y ) qua V( I ;−2) ta có x '+  x=− uuuu r uuur   x '+ = −2( x + 1)  IM ' = −2 IM ⇔  ⇔  y '− = −2( y − 2)  y = − y '−   x '+  y '− −2  − = ⇔ 2x '+ y '+ = Vậy d M Điểm thuộc nên ÷−   d1 : 2x + y + = Cách : Lấy hai điểm M , N d Tìm ảnh M ', N ' chúng qua phép vị tự tâm I , tỷ số −2 Khi d1 đường thẳng qua hai điểm M ', N ' Dạng toán 2: Sử dụng phép biến hình để giải toán tìm quỹ tích Phương pháp: Giả sử cần tìm quỹ tích điểm M có tính chất α Từ kiện toán ta cần xem xét điểm M ảnh điểm chuyển động N qua phép biến hình f ( M = f ( N ) ) Nếu N thuộc vào hình H M ∈ H ' ảnh H qua phép biến hình Sử dụng phép biến hình giải toán quỹ tích cần ý hướng dẫn học sinh lựa chọn phép biến hình Phép biến hình sử dụng để giải toán quỹ tích giả thiết toán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động tập hợp xác định Bài 1: [2] Cho nửa đường tròn (O, R) , đường kính AB cố định Điểm C di động nửa đường tròn Dựng phía đường tròn (O, R) hình vuông BCDE Tìm quỹ tích điểm E Giải Vì BCDE hình vuông nên BC = BE , Bµ = 900 Xét phép quay Q( B; −90 ) biến B thành B , C thành C Mà C ∈ »AB E ∈ ¼ A ' B ảnh »AB qua Q( B; −90 ) Vậy: Quỹ tích điểm E ¼ A ' B ảnh »AB qua Q( B; −90 ) Bài 2: [4] Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Giải Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho AM = AB = AD 0 AM AB 0 = = Ngoài ra, ( AM , AB ) = 45 , ( AM , AD ) = −45 AC AC V Suy phép vị tự ( A, ) biến điểm C thành điểm M Khi đó, ta có phép quay Q( A,45 ) biến điểm M thành điểm B V Vậy: Nếu gọi F phép hợp thành ( A, 22 ) Q( A,45 ) F biến C thành B Vì điểm C thay đổi đường tròn (O) nên quỹ tích B ảnh đường tròn (O) qua phép đồng dạng F Đường tròn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính đường tròn (O) PQ đường kính đường tròn (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR, AP) = 450 ) Khi ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường tròn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường tròn đường kính AQ Bài 3: [3] Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O) điểm A thay đổi đường tròn Chứng minh rằng: Trực tâm H tam giác ABC nằm đường tròn cố định Giải Có thể hướng dẫn học sinh giải câu hỏi như: H thuộc ba đường cao tam giác H có quan hệ với đỉnh tam giác ABC? B,C cố định nên vị trí H phụ thuộc vào vị trí A Quỹ tích điểm A biết(là đường tròn tâm O) Vậy để giải toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh H A H A liên hệ với qua phép biến hình nào? Đối với tập này, ta có cách giải sau: Cách 1: Sử dụng phép đối xứng trục Gọi H ' giao điểm AH với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Ta có µA1 = Cµ1 (cùng phụ với góc B) µ ¶ (cùng chắn cung ¼ ) ⇒ C µ =C ¶ A1 = C BH ' 2 Từ suy H ảnh H ' qua phép Đ BC Khi A di chuyển đường tròn ngoại tiếp ∆ABC H ' di chuyển đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Vậy quỹ tích điểm H đường tròn (O ') ảnh đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC qua phép Đ BC Từ yếu tố cố định cho tìm thêm yếu tố cố định khác để tìm mối liên hệ A H ? Trả lời cho câu hỏi dẫn đến chỗ kẻ đường kính AA ' lấy trung điểm I đoạn thẳng BC Các yếu tố tạo nên có cho biết mối liên hệ H A không? Và từ đường kính AA ' có thêm số góc vuông mà giả thiết ban đầu có ba đường cao, có thêm cặp đoạn thẳng song song, có hai trung điểm I O Trong yếu tố vẽ thêm có A ' thay đổi A thay đổi mà quỹ tích điểm A ' đường tròn nên tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh H A ' Cứ phân tích dẫn đến chỗ tìm phép đối xứng tâm I biến A ' thành H ( I giao điểm uur hai đường chéo hình bình hành A ' BHC ) phép tịnh tiến theo vectơ 2OI biến A thành H Như giải toán hai cách nữa: Cách 2: Sử dụng phép đối xứng tâm Kẻ đường kính AA' Dễ thấy A ' B / / HC , BH / / A ' C nên tứ giác A ' BHC hình bình hành, suy H A ' đối xứng với qua trung điểm I đoạn thẳng BC Khi A di chuyển đường tròn (O) A ' di chuyển đường tròn (O) H di chuyển đường tròn (O ') ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I Cách 3: Sử dụng phép tịnh tiến Kẻ đường kính AA ' , gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Tứ giác A ' BHC hình bình hành nên I trung điểm đoạn thẳng A ' H Trong ∆ AHA ' OI đường trung bình nên uuur uur OI // AH OI = AH hay AH = 2OI Chứng tỏ uuu r H ảnh A qua phép tịnh tiến T2OI Vậy A di chuyển đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC H di chuyển (O ') ảnh (O) uuu r qua phép tịnh tiến T2OI Qua toán trên, ta thấy tập hợp trực tâm H đường tròn ngoại tiếp ∆HBC Như đường tròn ngoại tiếp ∆HBC ảnh đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua phép đối xứng trục Đ BC qua phép đối xứng tâm Đ I với I trung điểm cạnh BC qua uuu r phép tịnh tiến T2OI Tương tự, ta có đường tròn ngoại tiếp ∆HAB ảnh đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua phép đối xứng trục Đ AB , qua phép đối xứng tâm Đ J trung điểm AB đường tròn ngoại tiếp ∆HCA tương tự Dạng toán : Sử dụng phép biến hình để giải toán dựng hình Phương pháp: Giả sử toán dựng hình cần dựng điểm M Trong bước phân tích ta xem xét M ảnh điểm N qua phép biến hình, việc dựng điểm M đưa dựng ảnh điểm N phép biến hình Cách thứ hai xác định điểm M thuộc đường (C ) thỏa mãn tính chất T Khi ta cần dựa vào tính chất T để thấy M ảnh điểm N qua phép biến hình f hoàn toàn xác định, N thuộc đường ( H ) hoàn toàn xác định Vậy điểm M thuộc đường ( H ' ) ảnh ( H ) qua f , M giao điểm ( H ' ) (C ) Bài 1: [6] Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) (O, r ) với r < R điểm A cho trước (O, r ) Hãy dựng qua A đường thẳng xy cắt (O, r ) B , cắt (O, R) C , D , theo thứ tự C , A, B, D cho CA = AB = BD Giải +) Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng xy thỏa đề Chỉ cần xác định ba điểm B C D , chẳng hạn cần dựng điểm D , mặt D uuur uuur thuộc (O, R) mặt khác AD = AB ⇒ AD = AB D = V( A;2) ( B) mà B thuộc (O, r ) nên D thuộc (O ', 2r ) , với O ' = V( A;2) (O ) , từ suy cách dựng +) Cách dựng: - Dựng O ' = V( A;2) (O ) - Dựng (O ', 2r ) - Dựng D = ( O; R ) I ( O '; 2r ) - Dựng đường thẳng xy qua A, D Ta có đường thẳng xy cần dựng +) Chứng minh: 10 Gọi B = (O; r ) I xy , C = (O; R) I xy (C ≠ D) Chứng minh CA = AB = BD Thật vậy, xét phép vị tự V( A;2) ( B) = D , suy AD = AB nên AB + BD = AD = AB ⇒ AB = BD Kẻ OH ⊥ xy, ( H ∈ xy ) ∆OAB cân O ⇒ HA = HB tương tự HC = HD ⇒ HC − HA = HD − HB ⇒ CA = BD +) Biện luận: - Nếu OO ' = R − 2r ⇔ 3r = R , toán có nghiệm hình - Nếu R < 3r , toán có hai nghiệm hình - Nếu R > 3r , toán nghiệm Bài 2: [5] Cho đường thẳng d hai đường tròn (O), (O ') nằm hai phía d Hãy dựng hình vuông ABCD cho đường chéo BD nằm d, đỉnh A nằm đường tròn (O) , đỉnh C nằm đường tròn (O ') Giải +) Phân tích: Giả sử dựng hình vuông thỏa yêu cầu, A C đối xứng qua đường thẳng d , xét phép đối xứng trục Đ d biến A thành C biến đường tròn (O) thành đường tròn (O ") qua C Vì C điểm chung hai đường tròn (O ') (O ") Mặt khác AC đường kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông, B, D giao điểm đường tròn đường kính AC đường thẳng d +) Cách dựng: - Dựng đường tròn (O ") ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng trục Đ d Gọi C giao điểm (O ") (O ') - Dựng ảnh C qua phép đối xứng trục Đ d Đó điểm A - Dựng đường tròn đường kính AC Gọi B, D giao điểm đường tròn với d , ABCD hình vuông phải dựng +) Chứng minh: Theo cách dựng, điểm C thuộc (O ") nên ảnh A C qua phép đối xứng trục Đd thuộc (O) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường, ABCD hình vuông +) Biện luận: Số nghiệm hình số giao điểm đường tròn (O ') (O ") Nếu hai đường tròn trùng toán có vô số nghiệm Bài 3: [5] Cho tam giác ABC Hãy dựng đường thẳng d song song với BC cho d cắt cạnh AB, AC M , N AM = CN Giải +) Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu toán uuur (C ) Khi gọi K = TuNM tứ giác NMKC hình bình hành nên · · Mặt khác: MK = CN = AM ⇒ ∆AMK cân M ⇒ MAK = MKA · · · · MKA = KAC ⇒ MAK = KAC ⇒ AK tia phân giác góc BAC Vì MN // BC nên K nằm BC Vậy K chân đường phân giác góc BAC +) Cách dựng: - Dựng đường phân giác Ax góc BAC 11 - Dựng giao điểm K BC Ax - Dựng M AB cho MK // AC - Dựng N thuộc cạnh AC cho MN // BC Khi đường thẳng d qua M , N đường thẳng cần dựng +) Chứng minh: Ta có d // BC · · Theo cách dựng MAK , = KAC · · · · mà MKA nên MAK nên AM = MK = KAC = MKA Mặt khác tứ giác MNCK hình bình hành nên MK = CN từ suy AM = CN Vậy d đường thẳng cần dựng +) Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Dạng toán 4: Sử dụng phép biến hình giải toán cực trị Bài 1: [6] Cho trước điểm A đường thẳng d không qua A Trên d ta đặt đoạn thẳng BC = a ( a độ dài cho trước) Tìm vị trí đoạn BC để AB + AC nhỏ Giải r r Thực phép tịnh tiến Tur , phương u song song với d , u = a Phép tịnh tiến Tur biến B thành C , A thành A ' nên AB = A ' C AB + AC = A ' C + AC Thực phép đối xứng trục Đd biến A ' thành A " , A ' cố định nên A " điểm cố định AA '' = b số không đổi Ta có CA '+ AC = CA "+ AC ≥ b Dấu ‘’=’’trong bất đẳng thức xảy C giao điểm AA '' với d Vậy AB + AC nhỏ C giao điểm d AA '' , B ảnh C qua phép tịnh tiến T−ur Bài 2: [3] Hai làng nằm vị trí A B cách sông (xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây cầu MN bắc qua sông (cầu phải bắc vuông góc với bờ sông) đắp hai đoạn đường thẳng từ A đến M từ B đến N Hãy xác định vị trí cầu MN cho khoảng cách AM + BN ngắn Giải Kí hiệu a, b hai bờ sông - Trường hợp 1: Coi sông hẹp Bài toán trở thành : Cho hai điểm A, B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M a để AM + BM nhỏ Khi M giao điểm AB với a - Trường hợp 2: a // b uuuu r Nhận xét: a, b cố định ⇒ MN cố định uuur ( A ) = A ' ⇒ A ' N = AM TuMN Ta có 12 uuur ( A ) AM + BN = A ' N + BN = A ' B Dựng A ' = TuMN , nối A ' với B cắt b N ,từ N hạ đường thẳng vuông góc với a M Khi MN vị trí xây cầu Bài 3: [7] (Bài toán Toricelli) Cho tam giác ABC tong góc lớn nhỏ 1200 Tìm mặt phẳng chứa tam giác điểm M tam giác cho tổng MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Giải Xét phép quay Q( B ;60 ) Gọi M ' = Q( B ;60 ) ( M ) , C ' = Q( B ;60 ) ( C ) suy M ' C ' = MC Phép quay tâm B , góc quay α =600 nên ∆BMM ' ⇒ MM ' = BM nên MA + MB + MC = MA + MM '+ M ' C ' (hình 1) Vì C cố định nên C ' cố định Với điểm M , M ' ta có AM + MM '+ M ' C ' ≥ AC ' Dấu đẳng thức xảy A, M , M ', C ' thẳng hàng Vậy: min( MA + MB + MC ) = AC ' Ta xác định vị trí điểm M : Giả sử M Hình điểm thỏa MA + MM '+ M ' C ' = AC ' (hình 2) Do α =600 nên góc hai đường thẳng · MC M ' C ' 600 hay CMC ' = 600 · · ∆BMM ' nên BMB ' = 600 ⇒ BMC = 1200 , Hình · mặt khác ·AMB = 1800 − BMM ' = 1200 , ·AMC = 1200 Vậy điểm M cần tìm giao điểm ba cung chứa góc 1200 dựng cạnh AB, BC , CA tam giác ABC Ta dựng điểm M sau: - Về phía ∆ABC dựng tam giác 0 A Mj C B M' C' ⇒ C ' = Q B ;600 ( C ) ( ) - Dựng đường tròn (C ) ngoại tiếp ∆BCC ' - AC’ cắt (C ) M Ta có M điểm cần tìm Hoặc dựng điểm M cách sau: Về phía ∆ABC dựng tam giác BCC ', AB ' B, ACA ' đường thẳng AC ', CB ', BA ' đồng quy Điểm BCC ' đồng quy điểm cần tìm Dạng toán 5: Sử dụng phép biến hình để giải dạng toán khác Bài 1: [5] Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC = a Từ A kẻ đường thẳng AE ⊥ BC AF ⊥ CD ( E ∈ BC , F ∈ CD ) Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H tam giác AEF biết EF = b(b < a) Giải AF ⊥ CD DC Vì , AF ⊥ EH nên // EH hay FC // EH Tương tự ta có FH // CE ⇒ FCEH hình bình hành Phép tịnh tiến TuFCuur biến F thành C , biến H thành E , biến A thành A ' suy AH = A ' E , tứ giác AA 'CF 13 hình chữ nhật nên AC = A ' F = a ∆A 'EF vuông E (vì AH // A ' E , AH ⊥ EF ), ta có A ' E = A ' F − EF = a − b Vậy: AH = A ' E = a − b Bài 2: [6] Cho tam giác ABC vuông C Kẻ CD ⊥ AB D Gọi AM , CN theo thứ tự trung tuyến tam giác ACD BCD Chứng minh AM ⊥ CN Giải DC DB CB = = = k Phép vị tự V( D; k ) biến A thành A1 , DA DC CA biến C thành C1 suy DA1 = DC , DC1 = DB Xét phép quay Q( D ;900 ) biến A1 thành C , biến C1 thành B Ta có ∆DCB ∽ ∆DAC ⇒ Xét phép đồng dạng Q( D;90 ) V( D ; k ) biến A thành C , biến C thành B , biến AM thành CN Do góc AM CN 900 tức AM ⊥ CN Bài 3: [6] Qua tâm G ∆ABC , kẻ đường thẳng a cắt BC M , cắt AB N , kẻ đường thẳng b cắt AC P cắt AB Q đồng thời tạo với a góc 600 Chứng minh: Tứ giác MNPQ hình thang cân Giải Ta có : a ∩ BC = { M } , b ∩ BA = { Q} mà Q(G ,−120 ) biến a thành b (1) biến C thành B , biến B thành A nên biến CB thành BA (2) Từ (1), (2) suy Q(G ,−120 ) biến M thành Q nên GM = GQ ∆GMQ cân A Tương tự: ∆GNP cân suy MQ // NP NQ = MP Vậy: MNPQ hình thang cân N 0 P k Q G j B M C 2.3.3 Bài tập áp dụng : Bài 1: [2] Cho hai điểm A B nằm phía đường thẳng d Hãy dựng điểm M d cho MA + MB nhỏ 14 Bài 2: [5] Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm M chuyển động đường tròn Trên tia AM , ta lấy điểm P cho AP = BM Tìm tập hợp điểm P M thay đổi 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: “Dạy học phép biến hình mặt phẳng theo hướng tăng cường khả tư phát huy tính tích cực học sinh ” vào dạy học học sinh hứng thú học nhìn chung em biết vận dụng linh hoạt, biết nhận biết vấn đề đặc biệt bắt đầu làm quen với kiểu tư mới, công cụ có hiệu để giải toán, đặc biệt loại toán dựng hình, tìm quỹ tích em tìm kiếm sưu tầm áp dụng phép biến hình để làm Kết đối chứng - Chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học Học sinh đạt yêu cầu Học sinh chưa đạt yêu cầu 2012 – 2013 25% 75% 2013 - 2014 35% 65% 2014 - 2015 30% 70% - Đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học Học sinh đạt yêu cầu Học sinh chưa đạt yêu cầu 2015 - 2016 65% 35% 2016 - 2017 75% 25% PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong năm học phép biến hình nội dung kiến thức mà học sinh thường gặp kỳ thi Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia, ôn thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi, Qua trình giảng dạy, nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh không lúng túng làm phần lớn tập đòi hỏi tính sáng tạo lớp tập vận dụng đề tài Với kết thực nghiệm cho học sinh lps 11 trường THPT Quảng Xương chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập, nghiên cứu Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập tích cực em Thông qua kinh nghiệm này, thân thực rút nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp hoàn thành tốt công việc giảng dạy 15 Trên kinh nghiệm: “Dạy học phép biến hình mặt phẳng theo hướng tăng cường khả tư phát huy tính tích cực học sinh ” Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp đồng chí hội đồng khoa học Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Qua trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: 1) Đối với giáo viên: - Cần tích cực đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực tư sáng tạo học sinh, sau tiết dạy cần có rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho tiết nhằm giúp em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với thầy cô hơn, hiểu hơn, tự học tự giác say mê nghiên cứu môn toán - Phải lựa chọn tập phát huy tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh Trước dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng kiến thức liên quan 2) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào đổi phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy lực học sinh, viết áp dụng SKKN 3) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Với sáng kiến kinh nghiệm hay, nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở GD ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo áp dụng hiệu SKKN HĐKH ngành đánh giá xếp loại Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ hoàn thành SKKN XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2016 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Lan 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11- Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, NXB giáo dục năm 2007 Bài tập hình học 11- Nguyễn Mộng Hy, NXB giáo dục năm 2007 Hình học 11 nâng cao- Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương,NXB giáo dục năm 2007 Bài tập hình học nâng cao- Văn Như Cương, NXB giáo dục năm 2007 Giải toán hình học 11- Võ Anh Dũng, Trần Đức Huyên, NXB giáo dục năm 2009 Các phép biến hình mặt phẳng- Nguyễn Mộng Hy,NXB Giáo dục năm 2007 Trọng tâm kiến thức tập hình học 11- Phan Huy Khải, NXB Giáo dục năm 2010 Đề thi kiểm tra môn toán lớp 11, trường THPT Quảng Xương năm học 2015-2016, 2016-2017 17 18 ... THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế nghiên cứu đề tài: Dạy học phép biến hình mặt phẳng theo hướng tăng cường khả tư phát huy tính tích cực học sinh ” với mong muốn phần giúp học sinh nắm vững kiến... nghĩa tính chất phép biến hình: a) Định nghĩa phép dời hình: Quy tắc đặt tư ng ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M ' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Phép dời hình phép biến hình bảo toàn... ảnh O qua phép biến hình - Biến hình H thành hình H ' - Biến góc thành góc c) Các phép dời hình mặt phẳng: + Phép tịnh tiến : r Oxy cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M - Trong mặt phẳng uuuuur