1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải thức theo nguyên lý học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý thuyết phải gắn liền với thực tiễn ” Với mục đích giúp cho học sinh thấy toán học gần gũi với sống xung quanh, hoàn toàn thực tế việc tiếp thu kiến thức toán nhà trường không để thi cử mà công cụ đắc lực để giúp em giải vấn đề, tình thực tế, việc tăng cường ứng dụng toán học giảng dạy toán trường Trung học phổ thông vấn đề có ý nghĩa lý luận thực tiễn sâu sắc Từ năm học 2016 – 2017, thay đổi hình thức thi THPTQG môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm bước ngoặt quan trọng cải cách giáo dục Việt Nam Nội dung ma trận đề thi minh họa xác định, kiến thức đề cập đến tất phần sách giáo khoa, đòi hỏi học sinh phải nắm vững tất phần kiến thức chương trình, có toán ứng dụng thực tế Đó lớp toán mang tính thực tiễn gần gũi thiết thực sống hàng ngày Bộ SGK môn Toán THPT hành tăng cường thêm toán ứng dụng toán học số lượng chất lượng, song Trong trình giảng dạy nhà trường nhận thấy học sinh ngại tiếp cận thường gặp không khó khăn lĩnh hội toán ứng dụng thực tế, đề loại toán thường dài nên học sinh thường cảm thấy trừu tượng Nhiều học sinh không hiểu đầy đủ ý nghĩa chất khái niệm Toán học yếu kiến thức liên môn từ dẫn đến việc làm tập toán ứng dụng, cảm thấy lúng túng không định hướng phương pháp giải, hướng vận dụng Do cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu dạy học toán ứng dụng thực tế, giúp học sinh thích nghi với thay đổi việc cải cách giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói riêng chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày cao nghiệp Giáo dục tình hình Học sinh thấy việc học Toán không kiến thức hàn lâm xa vời mà có nhiều ứng dụng khác đời sống thực tế, từ em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinh phục đỉnh cao kỳ thi ngược lại học Toán để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn sống ngày Trên tinh thần đó, với số kinh nghiệm thân, đưa sáng kiến “Ứng dụng đạo hàm giải số toán thực tế nhằm nâng cao lực thực tiễn cho học sinh lớp 12” với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng tốt kiến thức học, tự tin với dạng toán ứng dụng thực tế không cảm thấy khó khăn giải lớp toán hay này! 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề xuất ví dụ toán ứng dụng thực tế để chuyển thành câu hỏi trắc nghiệm khách quan, nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đánh giá phát triển lực tư giải toán học cách suy nghĩ tìm lời giải toán - Giúp giáo viên hệ thống kiến thức hướng dẫn học sinh cách tư giải toán ứng dụng thực tế chương trình toán THPT - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, tạo hứng thú học tập giúp em lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Lớp toán có liên quan đến môn Toán học Hình học, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học …và toán xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đời sống hàng ngày - Nội dung chương trình giảng dạy trường THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra khảo sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Phương pháp tổng hợp, phân tích, đánh giá NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM 2.1 Cơ sở lí luận - Hiện Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành lộ trình đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá trường phổ thông theo định hướng phát triển lực học sinh tinh thần Nghị 29NQ/TƯ ngày 04/11/2013 đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Xuất phát từ mục tiêu day học phát triển lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải vấn đề thực tiễn - Việc hình thành cho học sinh kỹ giải toán vận dụng thực tế không mang lại cho học sinh có cách nhìn tổng quát mặt phương pháp dạng toán mà giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét tình cụ thể Đồng thời góp phần bồi dưỡng cho người học đức tính cần thiết người lao động sáng tạo tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ phân tích, tổng hợp vật, tượng - Các vấn đề lý thuyết Toán học từ đại số, giải tích, hình học xuất phát từ nhu cầu tự nhiên thực tiễn môn học khác Người giáo viên chịu khó tìm tòi, sáng tạo ví dụ thực tế lồng ghép vào dạy tiết học tự chọn giúp học sinh hiểu tầm quan trọng học khái niệm Toán học từ giúp em tích cực chủ động hứng thú việc học tập 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nhiệm - Các toán vận dụng kiến thức SGK để giải vấn đề thực tế ít, có mang tính tượng trưng - Các tài liệu mảng toán ứng dụng hạn chế phân loại rõ ràng - Học sinh lúng túng giải loại toán Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống, bổ sung kiến thức - Khái niệm đạo hàm, ý nghĩa đạo hàm - Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm hàm số - Cách khảo sát biến thiên hàm số, quy tắc tìm cực trị, tìm min, max hàm số tập xác định K 2.3.2 Đổi phương pháp dạy học - Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không thấy nhàm chán 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp thông qua ví dụ 2.3.4 Phân dạng tập phương pháp giải Việc phân loại dạng tập với phương pháp giải vô cần thiết, sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán giúp học sinh nắm vững phương pháp giải tập bản, sở học sinh biết cách khai thác tập mức độ cao Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Các toán thực tế liên quan đến đạo hàm chia thành hai phần: Một là, toán thực tế mô hình hóa hàm số toán học Hai là, toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển mô hình toán học để ứng dụng đạo hàm hàm số trước hết ta phải “ thiết lập hàm số” Ta cụ thể hóa bước trình mô hình hóa sau: Bước 1: Từ giả thiết yếu tố đề để diễn tả dạng ngôn ngữ Toán học, biểu diễn dạng biến số, tìm điều kiện tồn tạị biến số Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học,…để thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải toán hình thành bước 2, lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa Sau ví dụ minh họa: 2.3.4.1 Ứng dụng hình học Bài toán Một đường xây dựng hai thành phố A B Hai thành phố bị ngăn cách sông có chiều rộng r (km) Người ta cần xây cầu bắc qua sông, biết A cách sông khoảng a(km) B cách sông khoảng b(km) (0 < a ≤ b) hình vẽ Hãy xác định vị trí xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách hai thành phố nhỏ nhất? (Trích tài liệu tác giả Hứa Lâm Phong) B Phân tích: - Ta thấy vị b trí xây cầu để D tổng khoảng E r Sông cách hai C thành phố nhỏ F a tương p đương với độ dài A I đường gấp khúc AFEB nhỏ - Đề gợi ý số liệu a, b r nên ta giả thiết khoảng cách AI hình vẽ với AI vuông góc với BD Khi ta đặt CF = x (0 < x < p ) ⇒ ED = p − x   AI = p - Tổng khoảng cách lúc là: S = AF + EF + EB = x + a + r + ( p − x) + b - Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số S (x) với < x < p Hướng dẫn giải: Cách 1: Đặt AI = p CF = x ⇒ ED = p − x(0 < x < p) Khoảng cách hai thành phố S = AF + EF + EB = x + a + r + ( p − x) + b - Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số S (x) với < x < p Khi S ' ( x) = x x2 + a2 + 2 x− p b + ( p − x) S ' ( x) = ⇔ x b + ( p − x) = ( p − x ) x + a [ ] ( ) ⇔ x b + ( p − x) = ( p − x) ( x + a ) ⇔ a − b x − 2a px + a p = (1)  x = (1) ⇔   x =  a p − apb ap = ∈ (0; p) 2 a+b a −b a p + apb ap = 2 a−b a −b a2 b2 Mặt khác S " ( x) = 2 + 2 ( x + a ) b + ( p − x) ap ) Do S ( x) = S ( a+b [ ] > ∀x ∈ (0; p ) Vậy để khoảng cách hai thành phố ngắn x = ap a+b Chú ý: Ta cho a, b, r giá trị cụ thể để toán tương tự Cách 2: B b B’ K C a A D r I E Sông F p F Ta thấy chiều dài r cầu đại lượng bất biến vấn đề chọn vị trí thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E hình vẽ để tạo quãng đường ngắn Dĩ nhiên ta đặt câu hỏi liệu có cách khác không? Gọi B' ảnh B qua phép tịnh tiến EF Khi AB'∩CF = D Với vị trí đặt cầu EF ta có BE + EF + AF = B ' F + DK + AF ≥ DK + B ' A = DK + B' D + DA = const Dấu “=” xảy ⇔ F ≡ D Khi S = B' A + EF = p + (b + a) + r Bài toán tương tự: Hai thành phố A B nằm hai phía khác sông thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A bên phía phải cách bờ 6km cách thành phố B theo đường chim bay 16km, thành phố B cách bờ trái 1500km Người ta muốn xây cầu CD vuông góc với bờ sông cho quãng đường từ A đến B ngắn Tính độ dài quãng đường đó? (Trích đề thi HSG giải toán máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012) Bài toán 2: Giả sử bạn Giám đốc công ty sản xuất bồn chứa nước, bạn vừa nhận đơn đặt ∆ r hàng thiết kế sản xuất bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 1000lit Để tốn nguyên vật liệu nhất, bạn chọn giá trị cho độ cao bồn nước giá trị đây? l A 1,3m B 1, 08m C.1,5m D 1, 2m Phân tích: r Để tốn nguyên vật liệu diện tích xung quanh phần vỏ bao bên bồn chứa nước với diện tích đáy nắp phải nhỏ nhất, ta phải tìm diện tích xung quanh nhỏ ứng với thể tích mà đề cho Ta có S = S xq + S day = 2πrh + 2πr (Với r; h bán kính đáy chiều cao bồn nước hình trụ) Đề lại cho sẵn dung tích bồn chứa, tức dạng cho mối liên hệ bán kính đáy r chiều cao h hình trụ, V = π r 2h ⇒ h = V Như ta tìm S phụ thuộc theo biến r π r2 h Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi r ; h(r; h > 0) bán kính chiều cao khối trụ Khi ta có V = π r h ⇒ h = V Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần π r2 tìm r cho diện tích toàn phần khối trụ nhỏ Ta có: S = S xq + 2S day = 2πrh + 2πr = 2πr + 2πr V V = 2π (r + ) πr πr V (r > 0) Bài toán trở thành tìm f (r ) = ? πr V V 4V ⇒h=3 Ta có f ' (r ) = 2r − ; f ' (r ) = ⇔ r = 2π π πr V f (r ) = f ( ) Lập bảng biến thiên, ta có 2π r >0 4V 4.1000 h= = ≈ 10,83dm ≈ 1, 08m Chọn đáp án B π π Xét hàm số f ( x) = r + Khi Cách 2: Ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta sử dụng BĐT Cauchy V V V V2 V 4V ) = 2π (r + + ) ≥ 2π 3.3 ⇒r=3 ⇒h=3 πr 2πr 2πr 2π π 4π h ≈ 10,83 dm ≈ 1, 08 m Thay V = 1000 vào ta Chọn đáp án B 4V h π = ⇒ h = 2r Tổng quát toán lên ta có: = r V 2π S = 2π ( r + Bài toán 3: Một Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai khổng lồ, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R = 3cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn A 54π cm B 18π cm C 128π cm3 D 45π cm3 Phân tích: Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa cầu hình vẽ bên Gọi h; r chiều cao bán kính hình trụ, thể tích khối trụ là: Vtru = πr h (phụ thuộc theo hai biến r h ), mối liên hệ chúng h + r = R R số Để thuận tiện ta tính r theo h r Hướng dẫn giải: Ta có Vtru = πr h Lại có r = R2 − h2 h R x Suy Vtru = πr h = πh( R − h ) Xét f (h) = h( R − h ); < h < R Bài toán trở thành R 2 f ( h) = ? 2 Bài toán trở thành tìm Cách 1: Ta có f '(t ) = 2 f (t ) = ? t∈(0; +∞ ) 2 145t − 63 145t − 126t + 49 ⇒ f '(t ) = ⇔ t = 63 63 ( h) 145 56 f (t ) = f ( )= ≈ 4, 65 Lập bảng biến thiên ta có: t∈min ( 0;+∞ ) 145 145 t = 63 (giờ), ta có d ≈ 4,65 (hải lý) 145 (t ) = ? sau: Cách 2: Học sinh làm cách khác để tìm mìn t∈( 0; +∞ ) f (t ) = 145t −126t + 49 = 145(t − ⇒ f (t ) = t∈( 0; +∞ ) 63 3136 56 ) + ≥ 145 145 145 56 63 ⇔t= (Hoặc sử dụng cực trị Parabol) 145 145 Bài toán tương tự: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng A C α đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2 )  Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Bài toán 7: Một hải đăng đặt A vị trí A cách bờ biển khoảng AB 5km Trên bờ biển có kho vị 5k trí C cách B khoảng 7km m Người canh hải đăng chèo đò từ A đến điểm M bờ biển với vận tốc M B 4km/h đến C với vận tốc 7k 6km/h (xem hình vẽ đây) Tính m độ dài đoạn BM để người đến kho nhanh nhất? Hướng dẫn giải: D h B E C Trước tiên, ta xây dựng hàm số f ( x ) hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải Đặt BM = x ta được: MC = − x , AM = x + 25 Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M là: t AM = x + 25 11 Thời gian người canh hải đăng từ M đến C là: tMC = Thời gian người canh hải đăng x + 25 − x x + 25 − x + 14 + = 12 x + 25 − x x + 25 − x + 14 Xét hàm số: f (x) = + = 12 từ 7− x A đến C là: t= với x ∈ [ 0;7]   3x − ÷  12  x + 25  5x = 100 3x f '( x ) = ⇔ − = ⇔ 3x − x + 25 = ⇔ x + 25 = 3x ⇔  x + 25 x ≥  x = ±2 ⇔ ⇔ x =  x ≥ [ 0;7] Hàm số f ( x ) liên tục đoạn ta Bài toán trở thành tìm f (x) voi x ∈ [ 0;7] Ta có: f ' ( x ) = ( ) = 14 +125 74 14 + 5 Vậy giá trị nhỏ f ( x ) x = Khi thời gian 12 điểm M nằm cách B đoạn BM = x = (km) ff( ) = 29 , 12 có: , f ( 7) = Bài toán tương tự: Bạn Mai từ nhà vị trí A đế trường học vị trí C phải qua cầu từ A đế B tới trường Trận lũ lụt vừa qua làm cầu bị ngập nước, bạn Mai phải thuyền từ nhà đến vị trí D đoạn BC với vận tốc 4km / h sau với vận tốc 5km / h đến C Biết độ dài AB = 3km , BC = 5km Hỏi muộn bạn Mai phải xuất phát từ nhà để có mặt trường lúc 7h30 phút để kịp vào học? A 6h03 phút B 5h30 phút C 6h16 phút D 6h05 phút Bài toán 8: Một nhà thám hiểm địa điểm A sa mạc, ông ta muốn đến địa điểm B cách A đoạn 90km Trong sa mạc xe ông ta di chuyển với vận tốc 35km/h phải đến điểm B sau Vì vậy, ông thẳng từ A đến B đến May mắn thay, có đường nhựa song song với đường nối A B cách AB đoạn 15km Trên đường nhựa xe nhà thám hiểm di chuyển với vận tốc 60km/h Làm để nhà thám hiểm đến sớm (đảm bảo khung cho phép) Phân tích: Ta mô tả toán hình vẽ Ta phải chia quãng đường thành giai đoạn Giai đoạn 1: Đi từ A đến C( Từ A đến đường nhựa song song) Giai đoạn 2: Đi từ C đến D( quãng đường đường nhựa) Giai đoạn 3: Đi từ D đến B( Từ D đến B) 12 Hướng dẫn giải: Gọi H; K; C; D điểm hình vẽ Khi gọi HC = x ( < x < 90 ) DK = y (0 < x < 90) Ta có: AC 152 + x 152 + y DB = DB = 152 + y ⇒ t2 = = v 35 v 35 CD 90 − ( x + y ) = Và CD = 90 − ( x + y ) ⇒ t3 = Vậy tổng thời gian mà nhà thám v 60 AC = 152 + x ⇒ t1 = 2 152 + y 90 − ( x + y ) hiểm từ A đến B là: T = t1 + t2 + t3 ⇒ T ( x; y ) = 15 + x + + 35 35 60 T ( x; y ) Đây biểu thức có dạng đối xứng hai biến x; y ta cần tìm 225 + y 45 − y Ta có: T ( x; y ) = 225 + x + 45 − x + + = f ( x ) + f ( y ) Khi ta xét 35 60 35 60 225 + t 45 − t f (t ) = + (0 < t < 90) 35 60 t 60u 21 95 − ; f '(t ) = ⇔ 225 + t = >0⇔t= Xét f '(t ) = 60 35 19 35 225 + t Lập bảng biến thiên T ( x; y ) = f ( x) + f ( y ) ≥ f ( ta có f (t ) = f ( t∈(0;90) 21 95 ) 19 Do ta có 21 95 21 + 95 )= ≈ 2,196 19 14 Dấu “=” xảy x = y = 21 95 19 Chú ý: Bài toán quãng đường, vận tốc, thời gian ta nhận thấy có mối quan tâm lớn thực tế để quãng đường ngắn thời gian Trong thực tế đời sống ngày, điều lúc lẽ phải chịu tác dộng nhiều yếu tố khác thời điểm, mật độ di chuyển, động nhiều thứ khác ta không lường trước Việc lý tưởng hóa toán mức sai số chấp nhận 2.3.4.3 Ứng dụng kinh tế Bài toán 9: Thầy Hiệu trưởng dự định xây bồn hoa có bề mặt hình tròn có đường kính AB = 16m , ấn tượng thầy thiết kế có hai hình tròn nhỏ hình tròn lớn cách lấy điểm M A B dựng đường tròn đường kính MA MB hình vẽ Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, phần lại thầy trồng hoa hồng trắng Biết giá hoa hồng đỏ 10.000 đồng cây, hoa hồng trắng 7.000 đồng 13 0.5 m trồng hoa Hỏi chi phí thấp để trồng hoa thầy bao nhiêu? (Kết làm tròn đến nghìn đồng) Hướng dẫn giải: AB = 2a; AM = x Đặt suy MB = 2(a − x) Muốn chi phí thấp diện tích trồng hoa hồng trắng phải lớn Gọi S1 , S2 , S3 diện tích đường tròn đường kính Ta có diện tích AB, MA, MB trồng hoa hồng trắng : S = S1 − ( S + S3 ) = π a − π x + π (a − x)  = −2π ( x − ax ) Xét hàm số f ( x) = x − ax ta có S lớn f ( x) = x − ax nhỏ nhất, lập bảng biến thiên ta có f ( x) = x − ax nhỏ −a Khi diện tích trồng hoa hồng a2 trắng lớn π = 32π ≈ 101m Do chi phí thấp mà thầy Hiệu trưởng phải mua hoa để trồng là: T = 32π 2.7000 + 32π 2.10000 ≈ 3434000 đồng Bài toán 10: Công ty tư nhân Ngôi Sao chuyên kinh doanh xe gắn máy tay ga loại Hiện nay, công ty tập trung chiến lược kinh doanh xe tay ga Vespa LX với chi phí mua vào 55 triệu đồng bán với giá 70 triệu đồng Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua 1500 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, Công ty dự định giảm giá bán ước tính giảm triệu đồng số lượng xe bán tăng thêm 500 Vậy công ty phải định giá bán để sau thực việc giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Phân tích: Ta mô tả toán cách sau: Giá mua Giá bán Lợi Số Tổng lợi nhuận vào nhuận lượng Ban xe xe bán đầu xe 55 triệu 70 triệu 15 triệu 1500 22.500.000.000 đồng đồng đồng đ Như việc giảm giá bán xe làm giảm lợi nhuận thu bán đồng thời làm tăng lên nhu cầu mua xe khách hàng Theo giả thiết giảm giá triệu đồng số lượng xe bán tăng 14 thêm 500 Từ ta gọi x giá bán Vespa LX Ta thấy giá bán dao động khoảng 55 triệu đồng đến 70 triệu đồng Ta xác định lại số lượng xe bán sau giảm giá ứng với gián bán x Khi lợi nhuận công ty tổng doanh thu – tổng chi phí hàm phụ thuộc theo biến x Ứng dụng đạo hàm ta tìm giá trị x thỏa mãn yêu cầu toán Hướng dẫn giải: Gọi x giá bán Vespa LX mà công ty phải xác định để lợi nhuận thu sau giảm giá cao ( 55 < x < 70 ) Suy số tiền giảm 70 − x Đồng thời số lượng xe tăng lên 500(70 − x) Vậy tổng số sản phẩm bán 1500 + 500(70 − x) = 36500 − 500 x Doanh thu mà công ty đạt ( 36500 − 500x ) x Chi phí mà công ty phải bỏ ( 36500 − 500 x ) 55 Lợi nhuận mà công ty đạt = Tổng doanh thu – chi phí ⇒ ( 36500 − 500 x ) x − ( 36500 − 500 x ) 55 = −500 x + 64000 x − 2007500 f ( x) = ? Đặt f ( x ) = −500 x + 6400 x − 2007500 Bài toán trở thành tìm 55max < x < 70 ' ' Ta có: f ( x ) = −1000 x + 64000, f ( x) = ⇔ x = 64 f ( x ) = f ( 64 ) = 40500 triệu đồng hay Lập bảng biến thiên, ta có: 55max < x < 70 40.500.000.000 đồng Công ty phải định giá bán 64.000.000 đồng Bài toán tương tự: Công ty du lịch A dự định tổ chức tua xuyên Việt Công ty dự định giá tua triệu đồng có khoảng 160 người tham gia Để kích thích người tham gia, công ty định giảm giá lần giảm giá tua 100 ngàn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua để doanh thu từ tua xuyên Việt lớn nhất? 2.3.4.4 Ứng dụng đời sống lĩnh vực khác Bài toán 11 (Ứng dụng thể thao) Trong nội dung thi điền kinh bơi lội phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 70m chiều dài 250m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi(bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến B hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa( quãng đường x) vận động viên nên nhảy xuống tiếp tục bơi để đích nhanh nhất? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ bơi 5m/s 1,5m/s Phân tích: - Với lộ trình vạch sẵn hình C 250 - x vẽ, ta thấy tổng quãng đường vận A x động viên phải 70 m AC + CB Giả sử đặt AC = x ( x > 0) Khi ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C đến B phải dựa B 250 m 15 vào chiều rộng hồ, quãng đường lại vận động viên dọc theo bờ hồ Do vận tốc nước khác nên thời gian di chuyển khác Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu toán, ta sử dụng ứng dụng đạo hàm Hướng dẫn giải: Gọi C vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh AC AC = x(0 < x < 250) Khi ta có t1 = v = chay x 4,5 thời gian từ A đến C Đồng thời quãng đường bơi BC = 702 + (250 − x) Khi ta có 702 + (250 − x) BC t2 = = thời gian từ C đến B Tổng thời vboi 1,5 x gian vận động viên T = t1 + t2 = + 702 + (250 − x) 1,5 702 + (250 − x) x ( x) = ? f ( x) = + (0 < x < 250) Bài toán trở thành tìm mìnf x∈(0;250) 1,5 x x − 250 f '( x ) = + ; ∀x ∈ (0; 250) ; Ta có: 702 + (250 − x) f '( x ) = ⇔ 10(250 − x) = 70 + (250 − x) 22750 + 210 91 ≈ 227,986 91 22750 − 210 91 ) ≈ 94,517 s Lập bảng biến thiên ta có: mìnf ( x) = f ( 91 x∈(0;250) 91x − 45500 x + 5643400 = ⇔ x = Chú ý: Việc vận dụng đạo hàm giúp ta tối ưu hóa toán thời gian cho vận động viên Trong thể thao có ba môn phối hợp gồm chạy bộ, bơi đua xe đạp Ban đầu vận động viên đua bơi lội Tiếp đua xe đạp tới đường chạy, cuối vận động viên chạy marathon để đích Đây môn thể thao chơi trời môn thể thao chơi Thế Vận Hội năm 2000 Sydney Á vận hội chí SEA Games Ba môn phối hợp đòi hỏi vận động viên phải có sức bền thể lực lẫn tinh thần Đây môn thể thao thi đấu cá nhân đồng đội Môn thể thao có nhiều người tham gia Bài toán 12(Ứng dụng Hóa học) Đốt cháy hidrocacbon dãy đồng đẳng tỉ lệ mol H 2O ; mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần? Phân tích: Để làm này, học sinh cần có hiểu biết kiến thức chương Hidrocacbon học chương trình hóa lớp 11 Từ ta thiết lập công thức tổng quát hidrocacbon Cn H n+ 2−2 k sau thực phản ứng cháy xt ,t Cn H n + 2− k +O2  → nCO2 + (n + − k ) H 2O Đến ta thấy đuộc tỉ lệ mol 16 nH 2O nước khí cacbonic sinh f ( n) = nCO2 = n +1− k Xét hàm số n n +1− k ; n ∈ N * Khảo sát tìm điều kiện k( số liên kết) n Hướng dẫn giải: Công thức tổng quát hidrocacbon Cn H n+ 2−2 k với k số liên kết π phân tử Phương trình phản ứng cháy là: xt ,t Cn H n + 2− k +O2  → nCO2 + (n + − k ) H 2O Ta có: nH 2O nCO2 = n +1− k n n +1− k k −1 ; n ∈ N * Ta có f '(n) = ; n ∈ N * n n f ( n ) thiết hàm nghịch Xét hàm số f ( n) = Theo giả k −1 k∉N f '(n) < ⇔ < ⇔ k − < ⇔ k <  →k = ⇒ n Cn H n + : ankan biến nên công thức tổng quát Nhận xét: Việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau, góp phần giúp cho toán Hóa trở nên dễ dàng có công cụ Toán học hỗ trợ, ngược lại ta tìm thấy ứng dụng Toán học trình tìm hiểu môn học khác, điều góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta lĩnh hội học Bài toán 13(Ứng dụng xây dựng) Hãy xác định độ dài ngắn C cánh tay nâng cần B cẩu bánh dùng để xây dựng tòa nhà cao tầng mái có chiều H cao H chiều rộng 2l ? α E Biết cần cẩu thỏa mãn A h yêu cầu sau: Có thể xê dịch cẩu góc 2l nghiêng cánh tay nâng để cho điểm cuối cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái Hướng dẫn giải: Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu cánh tay cần cẩu (0 < h < H ) H −h l + Bài toán trở thành tìm f (α) = ? sin α cos α − cos α sin α l sin α − ( H − h) cos3 α +l = Ta có f '(α ) = ( H − h) sin α cos α sin α cos α Đặt f (α ) = 17 Cho f '( x) = ⇔ tan α = H −h > ⇔ tan α = l H −h =k >0 l f(α ) = f( arctan k ) = ( H − h) k + + l + Lập bảng biến thiên ta có: αmin  π k ∈ 0;   2 Một số tập áp dụng(Trích tài liệu tham khảo) Bài Biết km dây điện dặt nước 5000USD, đặt đất 3000USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn ? Bài (Ứng dụng thủy lợi) Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học"(Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S ; l độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x = S , y = S B x = S , y = S C x = 2S , y = S D x = 2S , y = S Bài Nhà Nam có bàn tròn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị công thức C = c sin α ( α góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c l2 số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là? A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Bài Ông An cần sản xuất thang để Trèo qua tường nhà Ông muốn thang phải đặt qua vị trí C, biết điểm C cao 2m so với nhà điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên).Giả sử kinh phí để sản xuất thang 1.500.000 đồng mét dài Hỏi ông An cần tiền để sản xuất thang? (Kết làm tròn đến hàng nghìn đồng) Bài (Ứng dụng Sinh học) Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian quy luật N (t ) = 1000 + 100t (con vi khuẩn), t thời gian(đơn vị giây) Hãy 100 + t xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất? 18 Bài (Ứng dụng Y Học) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G ( x) = 0, 25 x (30 − x) với x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x: miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm? 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau triển khai đề tài thấy hiệu tốt, học sinh tự tin, biết vận dụng kiến thức thực tiễn vào việc giải toán thực tế chương trình toán THPT, có niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho việc tự học, tự nghiên cứu biết áp dụng kiến thức chương trình vào thực tiễn đời sống thường ngày Để thấy kết sát thực SKKN chọn hai lớp 12A2 12A7 lớp 12A7 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên đề kiểm tra có vận dụng đạo hàm để giải toán thực tế, chấm điểm kết sau: Lớp Sĩ số 12A2 43 12A7 46 Giỏi 6,9% 21% Khá 18,6% 11 23% TB 22 51,2% 20 43% Yếu, 10 23,3% 13% Bài làm học sinh chủ yếu mức độ trung bình, yếu có em gần bế tắc, số đạt khá, giỏi Trước tình trạng tập trung bồi dưỡng cho em vào buổi học thêm buổi chiều tiết học tự chọn, truyền thụ nội dung chủ yếu SKKN, em tự tin tiếp thu làm loại tập này, kết thu kiểm tra lần hai là: Lớp Sĩ số Giỏi 12A2 43 14 12A7 46 21 32,6% 45,7% Khá 19 44,2% 17 36,9% TB 16,3% 17,4% Yếu 6,9% 0.0% Với kết làm thực tế học sinh, nhận thấy việc cung cấp cho học sinh toán ứng dụng đạo phương pháp phân tích tìm tòi lời giải vào giải toán thực tế có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu nâng cao lực giải toán tực tiễn Các em hiểu được: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm nào? Một nhà kinh doanh muốn có lợi nhuận cao phải tính toán chi phí nguyên liệu, giá thành sản phẩm nào? Một nhà khoa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lý cần làm để tính toán vận tốc, gia tốc chuyển động ? 19 Và thực tiễn đời sống có nhiều toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính toán để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao nhất? Với cách xây dựng hệ thống kiến thức từ SGK đến toán thực tế theo dạng, học sinh dễ dàng nhận dạng từ tìm lời giải nhanh chóng khả vận dụng kiến thức thực tiễn em nâng lên cách rõ rệt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau: Đưa phương pháp cụ thể hệ thống ví dụ hợp lý, có định hướng phân tích, thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực Và đặc biệt tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Học sinh hứng thú tiếp cận nhiều dạng tập phương pháp giải nó, vào vai nhà thiết kế, kinh doanh …để tìm giải pháp tối ưu cho công việc Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện toán ứng dụng thực tế nói riêng, Toán học nói chung Tôi hi vọng có điều kiện để trình bày mở rộng vấn đề năm 3.2 Đề xuất Nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại này, mở thư viện điện tử để học sinh cập nhật tiếp cận nhiều dạng toán phương pháp giải toán thực tế Đây đề tài cần mở rộng phát triển để giáo viên học sinh có thêm tư liệu giảng dạy học sinh tiếp cận nhiều 3.3 Lời kết Chuyên đề toán ứng dụng thực tế chuyên đề rộng, song khuôn khổ giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên người viết nêu số toán điển hình, mong nhận góp ý hội đồng chuyên môn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện đầy đủ nhằm nâng cao hiệu giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGUT,THS LƯƠNG HƯU HỒNG Lê Thị Thanh 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liệu Ứng dụng toán để giải toán thực tế - Trần Văn Tài NXB ĐHQG Hà Nội năm 2017 Rèn luyện kỹ giải toán trắc nghiệm thực tế - Hứa Lâm Phong NXB Thanh Hóa năm 2017 Giải tích12, Bài tập Giải tích 12 - NXBGD 2008 Giải tích12 nâng cao, Bài tập Giải tích 12 nâng cao - NXBGD 2008 Đề thi thử THPTQG trường THPT Sở GD nước Các fanpage http://violet.vn; https://lovebook.vn; … Luật giáo dục năm 2005, Nghị 29NQ/TƯ 21 ... phần: Một là, toán thực tế mô hình hóa hàm số toán học Hai là, toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển mô hình toán học để ứng dụng đạo hàm hàm số trước hết ta phải “ thiết lập hàm số Ta... làm thực tế học sinh, nhận thấy việc cung cấp cho học sinh toán ứng dụng đạo phương pháp phân tích tìm tòi lời giải vào giải toán thực tế có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu nâng cao lực giải toán. .. vào thực tiễn đời sống thường ngày Để thấy kết sát thực SKKN chọn hai lớp 12A2 12A7 lớp 12A7 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên đề kiểm tra có vận dụng đạo hàm để giải toán thực tế,