MỤC LỤC NỘI DUNG Phần Mở đầu Phần Nội dung đề tài 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp để giải vấn đề 2.3.1 Tính tỉ số thể tích khối đa diện 2.3.2 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách 2.3.4 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Phần Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 3 4 13 17 19 20 21 MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài Trong năm học trước đề thi Đại học – Cao đẳng (THPT Quốc Gia) câu hỏi hình học không gian thường dạng “thẳng” tức làm trực tiếp, phần lớn em quên kiến thức hình học không gian chương trình hình học lớp 11 Do việc học hình học không gian lớp 12, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ lúng túng Trong năm học 2016 – 2017 việc thi THPT Quốc Gia môn Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, có khoảng ba đến bốn câu khối đa diện(dựa theo đề tham khảo bộ) để giải vấn đề với lượng thời gian ngắn vấn đề khó với phần đông học sinh Qua việc tham khảo tài liệu việc tính thể tích khối đa diện hay tỉ số thể tích khối đa diện thường dùng cách phân chia, lắp ghép khối đa diện lập tỉ số thể tích khối đa diện để đưa yêu cầu cần xác định Đó loại câu hỏi mang tính phân loại cao đề thi Trước tình hình với trình giảng dạy nghiên cứu, thử giải toán tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích thấy có hiệu cho lời giải ngắn gọn nhiều; học sinh cần kiến thức hình học không gian lớp 11 làm Nhưng qua việc nghiên cứu tài liệu, học tập đồng nghiệp thấy có tài liệu nghiên cứu hay bàn sâu vào vấn đề có tài liệu viết vấn đề thường không triệt để phức tạp cho học sinh, với mong muốn đơn giản hóa vấn đề để em học sinh dể tiếp cận, rèn luyện nhiều, xử lý tốt câu khó đề thi Trước kì thi THPT Quốc Gia đến gần, với mong muốn cung cấp cho em học sinh thêm phương pháp để giải số toán hình học không gian, nghiên cứu viết đề tài: “ Ứng dụng tỉ số thể tích số toán hình học không gian” Mong với tài liệu này, hưởng ứng đồng nghiệp; em học sinh thêm tự tin để giải tốt toán thể tích khối đa diện - Mục đính nghiên cứu Với mục đính “Sử dụng tỉ số thể tích số toán hình học không gian” nhằm giúp cho học sinh giải tỏa bớt khó khăn giải toán thể tích khối đa diện, thông qua phát triển tư duy, vận dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng khởi tìm tòi, khám phá yêu thích môn Toán mong muốn đóng góp phần công sứ nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trường THPT Lê Lợi - Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kỹ phân chia, tách ghép khối đa diện sử dụng tỉ số thể tích khối đa diện để giải toán thể tích nằm trương trình toán phổ thông; luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thông Với trách nhiệm người giáo viên muốn đưa đến học sinh điều tốt đẹp hy vọng tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cho học sinh toán trắc nghiệm thể tích khối đa diện - Phương pháp nghiên cứu Với mục tiêu rèn luyện kỹ sử dụng tỉ số thể tích khối đa diện nên phương pháp nhiên cứu mà tác giả sử dụng đề tài phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, phần ví dụ cho hai dạng câu hỏi tự luận câu hỏi trắc nghiệm khách quan; trình bày lời giải đầy đủ ví dụ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Để tính thể tích khối đa diện bất kì, chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết công thức tính ( Khối lăng trụ V = B.h , Khối chóp V = B.h , Khối hộp chữ nhật V = abc , …) cộng kết lại Tuy nhiên nhiều trường hợp, việc tính thể tích khối lăng trụ khối chóp theo công thức lại gặp khó khăn không xác định đường cao hay diện tích đáy, chuyển việc tính thể tích khối việc tính thể tích khối biết thông qua tỉ số thể tích hai khối Sau ta xét số toán ví dụ minh hoạ Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S CMR: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC (1) Giải: Gọi H H’ hình chiếu vuông góc A A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét ∆ SAH ta có SA ' A ' H ' = (*) SA AH Do A ' H '.S · ' SC ' ∆SB ' C ' VS A ' B ' C ' A ' H ' SB '.SC '.sin B = = (**) · AH S VS ABC AH SB SC sin BSC ∆ SBC Từ (*) (**) ta đpcm □ Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’ ≡ B C’ ≡ C ta VS A ' B ' C ' SA ' = VS ABC SA (1’) Ta lại có VS ABC = VS A ' BC + VA ' ABC (1') ⇒ VS ABC = SA ' VS ABC + VA ' ABC SA ⇒ VA ' ABC SA ' A ' A VA ' ABC A ' A = 1− = = Vậy: (2) VS ABC SA SA VS ABC SA Tổng quát hoá công thức (2) ta có toán sau đây: Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A1A2…An ( n ≥ 3) , đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi ta có VA1 ' A1 A2 An VS A1 A2 An = A1 ' A1 SA1 (2’) Chứng minh (2’) phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành khối chóp tam giác áp dụng công thức (2) Bài toán 3: Hai hình chóp ( H ) ; ( H ′ ) có diện tích đáy tỉ số thể tích chúng tỉ số hai chiều cao Bài toán 4: Hai hình chóp ( H ) ; ( H ′ ) có độ dài chiều cao tỉ số thể tích chúng tỉ số diện tích đáy 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hình học không gian vấn đề khó rộng đòi hỏi học sinh phải có tư trừu tượng cao, phải có khả phân tích, tổng hợp, đánh giá…, mà đứng trước toán yêu câu tính thể tích tỉ số thể tích để định hướng cách giải thường gặp khó khăn đề tài góp phần nhỏ định hướng giải vấn đề 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Dựa vào bốn toán trên, ta xét số toán tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng 2.3.1 Tính tỉ số thể tích khối đa diện Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M trung điểm CD I giao điểm AC BM Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ICM S.ABCD [1] Giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác BCD, VISCM IM 1 = = ⇒ VISCM = VBSCM (1) Lại có hai hình chóp VBSCM BM 3 S.BCM S.BCD có chiều cao S BCM = S BCD (đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích V V 1 S BCM = ⇔ B.SCM = ⇔ VB.SCM = VS BCD (2) Mặt nhau) nên V VS BCD 2 S BCD khác tương tự ta có VS BCD = VS ABCD (3)Từ (1), (2), (3) Vậy VISCM = VS ABCD 12 Ví dụ Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp(AB’D’) [1] Giải Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có VS AB ' C ' SB ' SC ' SC ' VS AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = = = ; VS ABC SB SC SC VS ACD SC SD SC Suy SC ' SC ' VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = (VS ABC + VS ACD ) = VS ABCD Kẻ SC SC OO’//AC’ ( O ' ∈ SC ) Do tính chất đương thẳng song song cách nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 Do VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Hay VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD hình vuông tâm O Gọi H K trung VS A BCD điểm SB, SD Tỷ số thể tích V [4] A.OHK A 12 B C D Xét hai hình chóp A.HOK A.SBD có chung mặt phẳng đáy nên có chung chiều cao; Do H, K, O trung điểm SB, SD, BD nên SOHK VA.OHK = ⇒ = Chứng minh tương tự S SBD VA.SBD VS ABD V V = ⇒ A.OHK = hay S A BCD = Chọn đ.án C VS ABCD VS ABCD VA.OHK Ví dụ (Đề tham khảo lần Bộ giáo dục & đào tạo năm 2017) Cho khối tứ diện tích V Gọi V ′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số A V′ = V B V′ = V C V′ = V D V′ = V V′ [2] V Giải Gọi K, M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, AC, AD, BC, BD, CD Khi V ′ = VKMNPQR = V − VAKMN − VB PQK − VC PRN − VD.MRQ Mặt khác VA KMN AK AM AN 1 = = ⇒ VA KMN = VA.BCD = V VA BCD AB AD AC 8 Chứng minh tương tự ta 1 V′ VB PQK = VC PRN = VD MRQ = V Vậy V ′ = V hay = V Chọn đáp án A Ví dụ Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm E F trung điểm C’B’ C’D’ Khối lập phương bị mặt phẳng (AEF) chia thành hai phần, khối chứa điểm C tích V1, khối lại tích V2 Khi V1 tỉ số V bằng: [4] A 25 47 B 47 72 C 72 47 D 47 25 Giải Đặt V = VLP ,V3 = VA.MA' N ,V4 = VPFD' N ,V5 = VQMB ' E Dễ thấy V4 = V5 (cùng chiều cao diện tích đáy) 3a a3 AA ' A ' M A ' N = , V4 = PD '.D ' F D ' N = 72 3 25a 47a V 47 V2 = V3 − 2V4 = , V1 = V − V2 = ⇒ = 72 72 V2 25 V3 = Chọn đáp án D * Bài tập tham khảo: Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH MNP = VS ABC 32 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD M N Tính SM để mặt phẳng ( α ) chia hình chóp SC thành hai phần tích ĐS: SM −1 = SC Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn : A B C D 10 ĐS: Đáp án A Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a; SA = SB = SC = 2a Gọi M trung điểm cạnh SA; N giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 thể tích khối chóp V S.ABCD S.BCNM Tỷ số là: V A B C D ĐS: Đáp án C 2.3.2 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Ví dụ (ĐH khối B – 2008 ) · Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ·ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a [2] Giải Áp dụng công thức (1) ta có VS BCM SM VS CMN SM SN = = ; = = VS BCA SA VS CAD SA SD Suy 1 VS BCNM = VS BCM + VS CNM = VS BCA + VS CAD 3 a 2a a3 = + = 2.3 4.3 Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực công thức V = B.h gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA VSCAD dễ dàng nhiều 2/ Khi dạy học yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ (ĐH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a [2] Giải Ta có VCMNP CN CP = = VCMBD CB CD (a) VCMBD VM BCD MB = = = (b) VCSBD VS BCD SB Lấy (a) x (b) vế theo vế ta VCMNP 1 = ⇒ VCMNP = VS BCD VS BCD 8 Gọi H trung điểm AD ta có SH ⊥ AD mà ( SAD) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD ) Do VS BCD 1 a a3 a3 = SH S ∆BCD = a = Vậy: VCMNP = (đvtt) 3 2 12 96 Ví dụ (ĐH khối D – 2006 ) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vuông góc A lên đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a [2] Giải Ta có VSAMN SM SN = AM AN đường VSABC SB SC cao tam giác vuông SAB SAC nên ta có SM SM SA2 4a SM = = =4⇒ = MB MB AB a SB SN = Tương tự SC 4 16 Do VS.AMN = VS.ABC = VS.ABC Suy VA.BCMN = 5 25 a a3 VS.ABC Mà VS.ABC = 2a = 25 3a 3 Vậy VA.BCMN = (đvtt) 50 Ghi chú: Ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC sau b ' b2 = ( Chứng minh c ' c2 dựa vào tam giác đồng dạng) Ví dụ (ĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD = a ; SA vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a [2] Giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC, VAIMN AI AM 1 = = = VACDN AC AD AI AI = ⇒ = AO AC nên (1) Mặt khác VACDN NC = = VACDS SC 3 Mà VSACD = SA.S ∆ACD = a (2) Từ (1) (2) suy VAIMN = VACDS 12 a 2a a a3 = Vậy VAIMN = VSACD = (đvtt) 12 72 Ví dụ (Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Tính thể tích V khối chóp S ABC có độ dài cạnh SA = BC = 5a, SB = AC = 6a SC = AB = 7a [3] A V = 35 a B V = 35 a C V = 95a Giải Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNP hình vẽ Dễ thấy tứ diện S.MNP tứ diện vuông đỉnh S (Các mặt bên có đường trung tuyến cạnh huyền) VS ABC = VS AMC = VS ANB = VS PBC = VS MNP (Có chung chiều cao S ABC = S AMC = S ANB = S PBC = S MNP ) Đặt x = SM , y = SN , z = SP , ta có: D V = 105a3 S M C A P B N  x + y = ( 5a )  x = 76a   2 1  2 xyz = 95a Chọn đáp án C  y + z = ( 6a ) ⇔  y = 24a ⇒ VS ABC = VS MNP = 24   z = 120a 2   z + x = ( a ) Ví dụ (ĐH - CĐ khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a [2] Giải Từ giả thiết ta tính AH = a a 14 3a , SH = , CH = , SC = a ⇒ SC = AC Do 4 tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA 10 V SM 1 S MBC = = ⇒ VS MBC = VS ABC Ta có V SA 2 S ABC 1 a a 14 a 14 VS ABC = SH S ∆ABC = = (đvtt) 48 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có hai cạnh đối AB = CD = 2a AB, CD tạo với góc 300 Khoảng cách hai đường thẳng AB CD a Tính thể tích khối tứ diện [3] A 2a B a 3 D a C a Giải Dựng BE / / CD; BE = CD , ta · ABE = 300 d ( AB, CD ) = d ( CD, ( ABE ) ) = d ( D, ( ABE ) ) = a 1 ⇒ VABCD = VABDE = d ( D, ( ABE ) ) S ABE = a 3 Chọn đáp án D Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy a, góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Gọi A’; B’; C’ tương ứng điểm đối xứng A; B; C qua S Thể tích khối bát diện có mặt: ABC; A’B’C’; A’BC; B’CA; C’AB; AB’C’; BC’A’; CA’B’ A 3a B 3a C 3a 3 D 3a 3 Giải Thể tích khối bát diện cho V = 2VA 'B'C'BC = 2.4 VA '.SBC = 8VS.ABC = SG.SABC · = 600 Xét ∆SGA vuông G: Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAG SG · tan SAG = ⇔ SG = AG.tan SAG =a AG 1 a 3a = Vậy V = SG.SABC = .a 3 Chọn đáp án C * Bài tập tham khảo: 11 · · Bài Cho khối tứ diện ABCD có ·ABC = BAD = 900 , CAD = 1200 , AB = a, AC = 2a, AD = 3a Tính thể tích tứ diện ABCD ĐS: VABCD = a3 2 Bài Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vuông góc A lên SB SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a ĐS: VS A ' B ' C ' D ' = 16a 45 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M, P trung điểm SA SC, mp(DMP) cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: VS DMNP = a3 36 Bài (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 7a 3a 3 R = 12 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' biết cạnh AB = a , SA = 2a Gọi M , N trung điểm cạnh A ' C ' B ' C ' Tính thể tích khối đa diện ABC.MNC ' ĐS: VABC A ' B 'C ' = A 3 a 24 B 3 a C 3 a 24 D 3 a 12 ĐS: Đáp án đúng: A Bài Cho tia Ox, Oy, Oz không nằm mặt phẳng ·xoy = ·yoz = ·zox =600 A, B, C điểm tương ứng Ox, Oy, Oz Biết OA= a; OB = 2a; OC = 3a Thể tích khối chóp O.ABC theo a là: a3 A V = a3 B V = 12 C V = 6a a2 D V = ĐS: Đáp án đúng: B Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có đáy hình thoi cạnh a, góc A 600.Hình chiếu B’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD.Biểt BB’= a.Thể tích khối hộp là: 3a A a3 B 3a C D a3 ĐS: Đáp án đúng: A 12 Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Thể tích khối tứ diện ACB’D’ A a a3 B 3 a3 C a3 D ĐS: Đáp án đúng: B 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khó khăn xác định chân đường cao Khó khăn khắc phục ta tính khoảng cách thông qua thể tích khối đa diện, mà khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện Sau ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ (ĐH khối D – 2002 ) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) [2] Giải Ta có AB2 + AC2 = BC2 ⇒ AB ⊥ AC Do VABCD = AB Ac AD = 8cm Mặt khác CD = , BD = BC = 5, nên ∆BCD cân B, Gọi I trung điểm CD 2 DC.BI = − (2 2) = 34 2 3V 3.8 34 = Vậy d ( A,( BCD)) = ABCD = S ∆BCD 17 34 ⇒ S ∆BCD = Ví dụ (ĐH khối D – 2007) · Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, ·ABC = BAD = 900 , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên SB CMR tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) [2] Giải Ta có VS HCD SH = ∆SAB VS BCD SB vuông A AH đường cao nên SH SA2 2a SH = = =2⇒ = HB AB a SB 13 Mà VS HCD = d ( H ,( SCD )).S ∆SCD ∆SCD vuông C ( AC2 + CD2 = AD2), 1 S ∆SCD = CD.SC = a 2.2a = a 2 2 3a a = Vậy d ( H ,( SCD)) = 9a Ví dụ (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C [2] Giải Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’Suy B’C// (AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC AEM MC 3V = = Ta có d (C ,( AME )) = C AEM VC AEB CB S ∆AEM Gọi H hình chiếu vuông góc B lên AE, ta có BH ⊥ AE Hơn BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta a , ∆ABE vuông B nên 1 a = + = ⇒ BH = ∆BHM vuông B nên 2 BH AB EB a AE ⊥ HM , mà AE = 1 a a 21 a 14 a a a 21 = Do S∆AEM = AE.HM = MH = + = 2 3a a d (C ,( AME )) = = Vậy: a 14 24 Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính S ∆AEM Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) [1] Giải 14 Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC) Tam giác ABC vuông A AH trung tuyến nên AH = BC = a ∆A ' AH vuông H nên ta có VA ' ABC = Suy A ' H = A ' A2 − AH = a mặt khác V ABC A ' B ' C ' 2 a3 VA '.BCC ' B ' = VABC A ' B ' C ' = = a 3 3VA ' BCC ' B ' Ta có d ( A ',( BCC ' B ')) = Vì AB ⊥ A ' H ⇒ A ' B ' ⊥ A ' H ⇒ ∆A ' B ' H vuông S BCC ' B ' a + 3a = 2a = BB ' ⇒ ∆BB ' H cân B’ Gọi K trung a 14 điểm BH, ta có B ' K ⊥ BH Do B ' K = BB '2 − BK = 3a 3 14a a 14 = = a 14 Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) = Suy S BCC ' B ' = B ' C '.BK = 2a 14 a 14 A’, suy B’H = Ví dụ Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a Khoảng cách AB SC bằng: [4] A a 21 Giải Dựng B hình 2a 21 bình C hành ABCD, d ( AB; SC ) = d ( AB; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) Lại có a 21 14 D a 14 a3 (cùng chiều cao diện tích đáy) 12 a (có thể Ta có: SC = a 2; SD = a 2; CD = a nên S SCD = VS ACD = VS ABC = dùng công thức Hê-rông tam giác cân cần xác định đường cao ) Từ VS ACD = d ( A, ( SCD ) ) S SCD ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = 3V a 21 = S SCD Chọn đáp án A * Bài tập tương tự: Bài (ĐH khối D – 2009) 15 Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: d ( A,( IBC )) = 2a 5 Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: d ( A,( AB ' C )) = a Bài Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ·ABC = 900 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) AD = a, AB = BC = b ĐS: d ( A,( BCD)) = ab a + b2 Bài Cho tứ diện ABCD, biết AB = a, M điểm miền tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện ĐS: h1 + h2 + h3 + h4 = 3VABCD =a S ∆ACB Bài Cho tứ diện ABCD điểm M miền tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 khoảng cách từ M đến mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện tứ diện CMR: r1 r2 r3 r4 + + + =1 h1 h2 h3 h4 Bài Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I,AB = a,BC = a , H trung điểm AI Biết SH vuông góc với đáy tam giác SAC vuông S Khoảng cách từ S đến (SBD) là: A a 15 B 3a 15 C a 15 D a 15 15 ĐS: Đáp án đúng: C Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, AD Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCN) bằng: A a B a C a A a ĐS: Đáp án đúng: B Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm CD Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM) bằng: 16 A a B a A a A a 2 ĐS: Đáp án đúng: B 2.3.4 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo công thức S∆ = ah , h – chiều cao a độ dài cạnh đáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng không gian, tính trực công thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thông qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ1 (ĐH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) [2] Giải Gọi K trung điểm BC I trung điểm VS AMN SM SN = = (1) VS ABC SB SC Từ ( AMN ) ⊥ ( SBC ) AI ⊥ MN (do ∆AMN cân A) nên AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ SI Mặt khác, MN ⊥ SI SI ⊥ ( AMN ) SI S ∆AMN 1 SO = ⇒ S ∆AMN = S ∆ABC Từ (1) ⇒ SO.S ∆ABC 4 SI MN Ta có (O trọng tâm tam giác ABC) Ta có ∆ASK cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AK = AS = Vậy S ∆AMN a a 15 a ⇒ SO = SA2 − OA2 = SI = SK = a 15 a a 10 = = 6a 16 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi với ·ABC = 600 SA = SB = SC Gọi H hình chiếu vuông góc S mặt phẳng đáy Khoảng cách từ H đến (SAB) 2cm thể tích khối chóp S.ABCD 60 ( cm ) Diện tích tam giác SAB [4] 17 A ( cm ) B 15 ( cm3 ) C 30 ( cm ) D 15 ( cm ) Giải Vì SA = SB = SC nên hình chiếu H S mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lại có đáy hình thoi ·ABC = 600 nên tam giác ABC H trọng tâm tam giác ABC Gọi I 3 tâm hình thoi, S ABH = S ABI = S ABCD = S ABCD 1 3VS ABH = = 15 Chọn đáp án D d ( H ; ( SAB ) ) nên VS ABH = VS ABCD = 10 Mặt khác VS ABH = d ( H ; ( SAB ) ) S SAB ⇔ S SAB * Bài tập tham khảo: Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vuông B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ≥ a + b ) Một mặt phẳng (α ) qua A vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN ab a + b + c = 2c Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, AC = y, AD = z, góc · · · BAC = CAD = DAB = 900 Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 1 1 = 2+ 2+ 2 AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD ĐS: S∆BCD = 2 x y + y2 z + z x2 Bài Cho hình hộp đứng ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·ABC = 1200 , AA′ = a Diện tích thiết diện hình hộp qua B vuông góc với CD′ A a2 B a2 C a2 D a2 ĐS: Đáp án D Bài Cho hình chóp S.ABC có góc gữa hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 600 Biết diện tích tam giác SHC 20 với H hình chiếu vuông góc B mặt phẳng (SAC) Diện tích tam giác SBC A 10 B 10 C 20 D 40 ĐS: Đáp án D 18 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy vuông B với AB = a, BC = a 2, SA = 2a SA vuông góc với đáy Biết mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp S.ABC 8a 10 A 25 4a 10 B 25 4a C 15 4a D ĐS: Đáp án B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong tiết học ôn tập lớp thực nghiệm 12A2 tuần học thứ 36 năm học 2016 2017 đưa tập: 1(Ví dụ mục 2.3.1 ), ( Ví dụ mục 2.3.2).Trong tuần 37 tiếp tục cho em lớp đối chứng 12A1 làm So sánh kết hai lớp, nhận thấy áp dụng sáng kiến em 12A2 bớt lúng túng việc giải phương trình vô tỷ, số lượng em đạt loại giỏi lớp 12A2 cao rõ rệt Cụ thể sau: Sỉ số 42 Lớp thực nghiệm 12A2 Giỏi Khá T.bình 30 10 Yếu Lớp đối chứng 12A1 Giỏi Khá T.bình 16 20 Yếu 19 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải toán hình học không gian, đặc biệt toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn không cần sử dụng nhiều kiến thức hình học không gian lớp 11 Trong trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 trường THPT Lê Lợi buổi ôn tập cuối năm học 2016 - 2017, đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập mà cho kiểm tra lớp Tôi mong hội đồng chuyên môn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh toàn khối 12 Nhà trường Hy vọng rằng, với đề tài này, giúp cho em học sinh có thêm phương pháp để giải toán hình học không gian kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng đạt kết cao Trong trình biên soạn đề tài có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện Có thể nói kết trình bày sáng kiến tích lũy thân số dạng toán ứng dụng tỉ số thể tích, phù hợp với xu hướng giảm tải sâu vào vấn đề tư thực tế giảm bớt toán mang tính chất đánh đố kỹ mang tính “hàn lâm” với học sinh Với hy vọng phần giúp em học sinh cảm thấy tự tin kì thi, mong sáng kiến em đón nhận đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 10 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Bùi Anh Tuấn TÀI LIỆU THAM KHẢO www.ToanCapBa.net www.vnmath.com 20 www.Thanhhoaedu.vn https://www.facebook.com/tranduy.thuc.73 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Anh Tuấn Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê lợi TT Tên đề tài SKKN Một số toán lập Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Sở C 2010 phương trình mặt phẳng không gian Hướng dẫn học sinh làm Sở B 2014 số toán không gian phương pháp tổng hợp 21 22 ... cấp cho em học sinh thêm phương pháp để giải số toán hình học không gian, nghiên cứu viết đề tài: “ Ứng dụng tỉ số thể tích số toán hình học không gian Mong với tài liệu này, hưởng ứng đồng nghiệp;... đồng nghiệp; em học sinh thêm tự tin để giải tốt toán thể tích khối đa diện - Mục đính nghiên cứu Với mục đính “Sử dụng tỉ số thể tích số toán hình học không gian nhằm giúp cho học sinh giải tỏa... tỉ số hai chiều cao Bài toán 4: Hai hình chóp ( H ) ; ( H ′ ) có độ dài chiều cao tỉ số thể tích chúng tỉ số diện tích đáy 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hình học không