1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bản, có vai trò quan trọng việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Hiện nay, xu đổi ngành giáo dục phương pháp giảng dạy phương pháp kiểm tra đánh giá kết giảng dạy thi tuyển Cụ thể phương pháp kiểm tra đánh giá phương tiện trắc nghiệm khách quan trở thành phương pháp chủ đạo kiểm tra đánh giá chất lượng dạy học trường Trung học phổ thông Năm học 2016 -2017 trở đi, Bộ giáo dục đào tạo đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan môn Toán vào kì thi Trung học phổ thông quốc gia Điều khiến cho việc dạy thầy việc học trò có thay đổi từ năm lớp 10 Học sinh cần tiếp cận với nhiều phương pháp giải khác cho toán, để từ tìm cách giải nhanh xác Trước đây, với hình thức thi tự luận Bài toán cực trị mặt phẳng toạ độ đưa vào đề thi Đại học – Cao đẳng mức vận dụng cao, chủ yếu cho học sinh khá, giỏi Nhưng để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm nay, học sinh cần rèn luyện câu hỏi nhiều mức độ khác (nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao) khoảng thời gian ngắn Thực tế, Sách giáo khoa Hình học 10, Bài toán cực trị mặt phẳng toạ độ khai thác dẫn đến ban đầu tiếp cận em lúng túng Một số em bỏ qua hứng thú, số em tự làm chậm, chưa hiểu rõ chất vấn đề kể tập Chính vậy, với suy nghĩ làm để giúp em học sinh lớp 10 làm quen với nhiều hướng tư khác nhằm tìm cách giải nhanh cho toán cực trị mặt phẳng toạ độ Đồng thời lôi nhiều học sinh tham gia vào trình giải tập để em cảm thấy đơn giản việc giải tập trắc nghiệm môn Toán Mặc khác giúp cho quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm tài liệu tham khảo trình giảng dạy môn Vì vậy, chọn đề tài: " TÌM CÁCH GIẢI TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 10 VẬN DỤNG VÀO THI TRẮC NGHIỆM HIỆN NAY " 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp em học sinh lớp 10 từ việc thụ động gặp toán cực trị mặt phẳng toạ độ chuyển sang chủ động, ham thích khám phá nhiều cách khác Từ đó, lựa chọn cách giải nhanh thi trắc nghiệm - Rèn luyện kĩ giải toán, giúp em phát triển, nâng cao lực tư - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy môn Toán với quan điểm tiếp cận '' Phương pháp trắc nghiệm khách quan" - Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp 1.3 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, đề thi - Phương pháp điều tra thực tiễn, thực nghiệm sư phạm: Quan sát việc dạy học phần tập thông qua tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng - Phương pháp thống kê 1.4 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu phương pháp giải tìm phương pháp giải tối ưu cho toán cực trị mặt phẳng toạ độ vận dụng vào thi trắc nghiệm - Đối tượng áp dụng: Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 10 trường THPT Như Thanh năm học 2016 – 2017 1.5 Điểm nghiên cứu - Nghiên cứu toán cực trị mặt phẳng toạ độ theo cách tiếp cận : vận dụng vào thi trắc nghiệm Chính vậy, hệ thống ví dụ phân tích câu hỏi trắc nghiệm đưa theo mức độ khác nhằm hướng đến nhiều đối tượng học sinh giải toán - Nghiên cứu toán cực trị mặt phẳng toạ độ theo cách giải khác nhằm giúp học sinh tìm cách giải nhanh cho loại câu hỏi 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Hiện nay, giáo dục nước ta áp dụng phương pháp giáo dục đại, nhằm phát huy lực tự học, lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề người học Giải tập Toán học biện pháp quan trọng để thực nhiệm vụ dạy học, giúp học sinh đào sâu mở rộng kiến thức cách sinh động, phong phú Thực tiễn giảng dạy cho thấy việc thực giải toán nhiều cách khác nhau, giúp học sinh nắm vững kiến thức mà hoàn thiện kỹ hình thành kỹ xảo Sự khác biệt hình thức thi tự luận hình thức thi trắc nghiệm khách quan là: Hình thức thi tự luận yêu cầu học sinh phải tự trình bày lời giải cách với đầy đủ bước để tìm ẩn số toán mà không bị bó buộc nhiều thời gian Trong đó, hình thức thi trắc nghiệm khách quan yêu cầu kiến thức có phạm vi rộng với nhiều dạng, nhiều mức độ giải khoảng thời gian ngắn.Vì vậy, học sinh phải vận dụng kiến thức, kĩ năng, tư để tìm đáp án nhanh xác Phương pháp giải tối ưu toán trắc nghiệm phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu cho kết nhanh Bài toán cực trị mặt phẳng toạ độ toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có liên quan đến đối tượng hình học phẳng ( điểm, đường thẳng, đường tròn, elíp, hyperbol, parabol) 2.2 Thực trạng vấn đề Thực trạng học môn Toán trường THPT phận không nhỏ học sinh học toán không hiểu rõ chất, gặp toán khó thường bỏ qua, hứng thú Trong trình giảng dạy chương trình Toán lớp 10 (năm học 2016-2017) trường THPT Như Thanh, nhận thấy " toán cực trị mặt phẳng toạ độ" sách giáo khoa đề cập đến Ban đầu, học sinh chưa tiếp cận với nhiều phương pháp giải nên chưa biết cách tìm phương pháp giải tối ưu cho tập dạng câu hỏi trắc nghiệm Điều này, khiến mạnh dạn chọn đề tài nhằm tháo gỡ khúc mắc mà em gặp phải Từ đó, trang bị nhiều hướng tư khác giúp em thích ứng với thi trắc nghiệm 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Giải pháp để giải vấn đề nêu Bước Tổ chức cho học sinh nắm bắt kiến thức liên quan Bước Tổ chức hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác lựa chọn cách giải tối ưu cho hai toán sau: - Bài toán cực trị mặt toạ độ liên quan đến khoảng cách - Bài toán cực trị mặt toạ độ liên quan đến biểu thức Ở toán, học sinh định hướng tư theo hai ba cách để học sinh khai thác tối đa kỹ làm toán Cụ thể: phương pháp hình học, phương pháp đại số hoá (sử dụng bất đẳng thức, sử dụng tính chất hàm số bậc hai, sử dụng lượng giác hoá) Từ đó, so sánh để tìm cách làm nhanh vào dạng câu hỏi trắc nghiệm (Chú ý: có phải kết hợp phương pháp) Bước Tổ chức cho học sinh làm tập vận dụng dạng câu hỏi trắc nghiệm (giáo viên tổng hợp, nhận xét, đánh giá kết làm học sinh) 2.3.2 Tổ chức thực giảng dạy nội dung Phần1 Hệ thống kiến thức cần ghi nhớ 1/ Một số tính chất hình học phẳng : - Tính chất đường xiên hình chiếu - Cách tìm toạ độ hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d - Cách tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng d - Cách xét hai điểm A, B nằm phía (hoặc khác phía) đường thẳng d 2/ Các bất đẳng thức : - Bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab (điều kiện a ≥ 0, b ≥ ) Dấu "=" xảy a = b - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )( x2 + y2) a x Dấu "=" xảy = b y - Bất đẳng thức độ dài véctơ: r r r r r r u + v ≤ u + v , dấu "=" xảy u , v hướng r r r r r r u − v ≤ u − v , dấu "=" xảy u , v hướng - Bất đẳng thức lượng giác: −1 ≤ sin ϕ ≤ 1; − ≤ cos ϕ ≤ ; sin ϕ cos ϕ = ) − a + b ≤ a sin ϕ + bcosϕ ≤ a + b (dấu "=" xảy a b −∆ −b 3/ Tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a >0) đạt giá trị nhỏ x = 4a 2a −∆ −b 4/ Tam thức f(x)= ax2 + bx + c (a < 0) đạt giá trị lớn x = 4a 2a 5/ Vectơ phép biến đổi vectơ: uu r uur r - Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB thì: IA + IB = với điểm M ta uuur uuur uuu r có: MA + MB = MI uuu r uuu r uuur r - Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: GA + GB + GC = với điểm uuur uuur uuur uuuu r M , ta có: MA + MB + MC = MG Phần2 Các toán ví dụ cụ thể Bài toán cực trị mặt phẳng toạ độ liên quan đến khoảng cách Bài toán Tìm đường thẳng d điểm M cho M cách điểm A cho trước khoảng ngắn Đây toán sở cho toán sau Học sinh định hướng giải theo cách: + Cách 1: ( Phương pháp hình học) Sử dụng tính chất đường xiên hình chiếu + Cách 2: ( Phương pháp hàm số) Đại số hoá đưa hàm số bậc hai + Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Qua đó, em bước đầu làm quen với toán cực trị mặt phẳng Cụ thể xét ví dụ sau: Ví dụ Cho điểm A(1; 0) đường thẳng d: x +y +1 =0 Tìm đường thẳng d điểm M cho MA ngắn Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi H hình chiếu A lên d Khi đó: AM ≥ AH = d(A, d) = Vậy AM nhỏ M ≡ H Phương trình đường thẳng d' qua A d' ⊥ d là: - x + y + = Toạ độ H  x + y = −1 nghiệm hệ phương trình:  M ≡ H(0; - 1) − x + y = −  Cách 2: Gọi M(t; - t - 1) ∈ d Ta có: AM = 2t + ≥ Do AM = t = hay M (0; -1) Cách 3: Gọi M(a; b) ∈ d nên a +b +1=0 Ta có AM = (a − 1) + b , áp dụng 2 2 bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: (a − + b) ≤ (a − 1) + b  (1 + ) ⇒ (a − 1) + b ≥ Vậy AM = M( 0;-1) a − = b a = ⇔  hay a + b + = b = − Nhận xét Cách có phần tư khó hơn, đòi hỏi kỹ thuật tách ghép biến hợp lí song lại tạo hứng thú cho em học sinh giỏi sử dụng bất đẳng thức Cách đa số học sinh thấy dễ hiểu phải khéo léo gọi toạ độ M theo phương trình d Khi sử dụng cách học sinh rút AM ngắn d(A, d) M hình chiếu A lên d.Việc tìm điểm M trở nên đơn giản, phù hợp với câu hỏi trắc nghiệm Bài toán Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A d cách điểm B cho trước khoảng lớn Ví dụ Cho điểm A( -1; 2), B( 1; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d lớn Một số học sinh bắt đầu tự tìm cách tư hình học dựa vào tính chất đường xiên hình chiếu tìm cách đại số hoá dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki tương tự Bài toán Sau so sánh cách để tìm cách giải nhanh Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi H hình chiếu B lên d Ta có d(B, d) = BH ≤ AB = Suy ra, BHmin= H ≡ A Đường thẳng d ⊥ AB có phương trình là: 2x - y + = Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d qua A(-1; 2) có véctơ pháp tuyến r n(a; b) , ( a + b ≠ ) là: a(x + 1) + b( y - 2) = (1) 2a − b a + b ≤ = Vậy d(B, d)min = a + b2 a2 + b2 a = -2b Thay vào (1) ta phương trình đường thẳng d là: -2x + y – = d(B, d) = Nhận xét So sánh hai cách cách cho kết nhanh học sinh rút đường thẳng d qua A cho d( B, d ) lớn d ⊥ AB tức uuu r đường thẳng d nhận AB làm vectơ pháp tuyến Bài toán Cho điểm M nằm đường tròn (C) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài lớn nhất, nhỏ Phân tích Giả sử d qua M cắt (C) theo dây cung AB Gọi H trung điểm AB, đó: AB=2HA = R − IH Cách 1: ( Phương pháp hình học) + ABmax IH tức I ≡ H Khi đường thẳng d qua tâm I + ABmin IH max = d ( I , d ) max , M ≡ H ( Bài toán ) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá d ( I , d ) lớn nhỏ Ví dụ: Cho phương trình đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 3)2 = 25 điểm M( 0;1) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I( 1; 3), bán kính R=5, IM = < R nên M nằm đường tròn (C) Gọi H hình chiếu I lên d Giả sử d cắt (C) theo dây cung Ta có: AB = HA = R − IH Cách 1: Theo Phân tích ta được: + AB lớn I trùng H Khi đường thẳng d qua hai điểm I, M cóphương trình: 2x – y + = + AB nhỏ IH lớn Do IH ≤ IM suy IH lớn H ≡ M Đường thẳng d lúc qua M d ⊥ IM có phương trình: x + 2y -2 =0 Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng d qua M(0; 1) có véctơ pháp tuyến a+2b r 2 n(a; b) , ( a + b ≠ ) là: ax + by - b = (2) Ta có d(I, d) = a + b2 +) AB lớn d(I, d) nhỏ tức a + 2b = Thay vào (2) phương trình d: 2x – y +1 = + AB nhỏ d(I, d) lớn Ta có a+2b a +b ≤ 5(a + b ) a +b = Vậy d(I, d)min = 2a = b Thay vào (2) ta phương trình đường thẳng d là: x +2y – = Nhận xét Rõ ràng việc tư hình học cho kết nhanh Nếu vận dụng vào câu hỏi trắc nghiệm học sinh cần ý đường thẳng d qua M cắt đường tròn (C) theo dây cung AB lớn d qua tâm I, dây cung AB nhỏ d ⊥ IM Lưu ý: M nằm nằm đường tròn(C) không xảy trường hợp đường thẳng d qua M cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ Bài toán Tìm điểm M đường tròn (C) cho M cách điểm A cho trước khoảng nhỏ nhất, lớn Ví dụ Cho phương trình đường tròn (C): ( x + 1)2 + ( y - 2)2 = điểm A(1; 2) Tìm điểm M đường tròn (C) cho AM nhỏ nhất, lớn Phân tích Cách 1( Phương pháp hình học): IA >R nên A nằm đường tròn (C) Yêu cầu học sinh vị trí điểm M cần tìm hình vẽ Giả sử M1M2 đường kính M1 nằm A, M2 + MA lớn M trùng với M2, vì: AM ≤ AI + IM ≤ AI + IM = AM + AM nhỏ M trùng với M1, vì: AM ≥ AI − IM = AI − IM = AM Như vậy, MA nhỏ nhất, lớn M thuộc d đường thẳng qua tâm I A Hướng dẫn giải:  x = − + 2t Gọi d đường thẳng IA Phương trình đường thẳng d:  ( t ∈ R ) y =  x = − + 2t  Toạ độ giao điểm d (C) nghiệm hệ :  y =  2 ( x + 1) + ( y − 2) = 1 −1 Giải ta t = ; t = 2 1 Với t = ta M1( 0; 2), với t = − ta M2( -2; 2) 2 Nhận thấy: M1A = 1, AM2 = Vậy M1( 0; 2) điểm cách A khoảng nhỏ M2( -2; 2) điểm cách A khoảng lớn Phân tích Cách 2: ( Phương pháp lượng giác hoá ) Xuất phát từ phương trình đường tròn  x − a = R sin ϕ , ϕ ∈ [ 0;2π ] Đưa yêu cầu ( x - a)2 + ( y –b)2 = R2 , ta đặt  y − b = R cos ϕ  toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác Hướng dẫn giải:  x = − + sin ϕ , ϕ ∈ [ 0;2π ] Gọi M( −1 + sin ϕ ; + cos ϕ ) ∈ (C ) Đặt   y = + cos ϕ (sin ϕ − 2) + (cos ϕ ) = − 4sin ϕ , −1 ≤ sin ϕ ≤1 nên ≤ − 4sin ϕ ≤ hay ≤ AM ≤ Kết luận : AM = sin ϕ = 1, cos ϕ = ta M( 0; 2) AM max = sin ϕ = − 1, cos ϕ = ta M(- 2; 2) AM = Nhận xét Nếu Bài toán cho dạng câu hỏi trắc nghiệm dùng cách học sinh trình bày phân tích mà cần MA nhỏ nhất, MA lớn M thuộc đường thẳng qua tâm I A Song câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu kết khoảng cách lớn nhất, nhỏ việc dùng cách để đánh giá ≤ AM ≤ nhanh Bài toán Tìm điểm M đường tròn (C) cho M cách đường thẳng d cho trước khoảng nhỏ nhất, lớn Ví dụ Cho phương trình đường tròn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = đường thẳng d: x - y - = Tìm điểm M đường tròn (C) khoảng cách từ M đến d nhỏ nhất, lớn Phân tích + Phương pháp hình học: Ta có d(I, d) >R nên d không cắt (C) Gọi d' đường thẳng qua tâm I, d' ⊥ d H d' cắt (C) hai điểm M 1, M2 cho M1 nằm H, M2 Hạ MK ⊥ d , HM ≤ KM ≤ HM nên: d(M, d) lớn M trùng với M2, nhỏ M trùng với M1 + Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : Gọi M(x ,y0 ) thuộc (C), suy ( x0 - a)2 + ( y0 –b)2 = R2 Học sinh cần khéo léo tách ghép biến để sử dụng điều kiện ( x0 - a)2 + ( y0 –b)2 = R2 + Phương pháp lượng giác hoá : ( tương tự Phân tích – Bài toán 4) Hướng dẫn giải: x = + t Cách 1: Phương trình đường thẳng d' :  y = − t Giải hệ phương trình d' (C) ta t = 1; t = −1 Với t = ta M1(3; 2), với t = −1 ta M2(1; 4) Nhận thấy d ( M 1, d ) = d ( M , d ) = 2 Vậy d ( M 1, d ) nhỏ M1(3; 2) d ( M , d ) lớn M2(1; 4) Cách 2: M(a; b) ∈ (C): (a -2 )2 + (b - 3)2 =2 Tacó : (a -2) - (b − 3) ≤ (a − 2) + (b − 3) = a −b−2 (a − 2) − (b − 3) − ≤ d (M , d ) = = ≤ 2 2 Tương tự: d ( M , d ) = M(3; 2), d ( M , d ) max = M(1; 4) 2 Cách 3: Gọi M( + sin ϕ ;3 + cosϕ ) ∈ (C ) , ϕ ∈ [ 0;2π ] Ta có sin ϕ − cosϕ − 2 ≤ d (M , d ) = ≤ 2 2 Vậy d ( M , d ) = M(3; 2).; d ( M , d ) max = M(1; 4) 2 Nhận xét Việc yêu cầu học sinh giải Bài toán ba cách nhằm phát huy nhiều hướng tư cho học sinh Cách thuận lợi câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu tìm điểm M (vì học sinh cần ghi nhớ d( M, d ) nhỏ nhất, d( M, d) lớn M thuộc d' đường thẳng qua tâm I d' vuông góc với d) Lưu ý: d cắt (C) d(M, d) nhỏ M trùng với giao điểm d (C) Nhưng câu hỏi trắc nghiệm hỏi kết khoảng cách lớn nhất, nhỏ việc đánh giá bất đẳng thức theo cách nhanh hơn( lúc tìm điều kiện để dấu " = '' xảy ra) x2 y2 Bài toán Tìm Elíp (E) : + = điểm M cho diện tích tam giác a b MAB lớn ( với hai điểm A, B cho trước) Phân tích SVMAB = d ( M , d ) AB , AB không đổi nên SVMAB lớn quy d ( M , d ) lớn Tương tự Bài toán toán Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki).Gọi M(x0; y0 ) thuộc( E), suy x0 y0 + = Học sinh cần khéo léo tách ghép biến để sử dụng a b2 x2 y2 điều kiện 02 + 02 = a b Cách 2: (Phương pháp lượng giác hoá).Xuất phát từ phương trình Elíp, ta đặt:  x = a sin ϕ ,ϕ ∈ [ 0;2π ] đưa đánh giá biểu thức lượng giác   y = b cos ϕ x2 y2 + = đường thẳng d: Ví dụ Cho Elíp (E) có phương trình: x − y + = Gọi A, B giao điểm (E) d Tìm điểm M (E) cho diện tích tam giác MAB lớn Hướng dẫn giải: Ta có: AB = , ta có: SVABC = d ( M , d ) , SVABC lớn d ( M , d ) lớn a2 b2 Cách 1: Gọi M(a; b) thuộc (E): + = Ta có: a b a − 2b = 2 − 2 ≤ ⇔ −4 ≤ a − 2b ≤ 2 a − 2b + =2 3 a − b = a = S ⇔ ⇒ M (2; − 2) Do VABC lớn  b = − a = −b  Cách 2: Gọi M( 2 sin ϕ ; 2cosϕ ) ∈ ( E ) , ϕ ∈ [ 0;2π ] Ta có: ⇒ d(M, d)= ≤ 10 sin ϕ − cos ϕ + ≤ (vì −2 ≤ sin ϕ − cos ϕ ≤ ) sin ϕ = − cos ϕ sin ϕ = ⇔ ⇒ M (2; − 2) Dấu " = "   sin ϕ − cos ϕ = cos ϕ = −  d (M , d ) = Nhận xét Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá theo cách dễ dàng ( học sinh không cần phải tách ghép biến cách 1) Bài toán (Trích đề thi đại học khối A – năm 2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + x + y + = đường thẳng ∆ : x + my -2m +3 = 0,với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Phân tích - Đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B d ( I , ∆) < R - Để xét diện tích tam giác IAB lớn nhất, ta phân tích hai cách sau: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức lượng giác R R2 · · ( sin ·AIB ≤ ) SVIAB = IA IB sin AIB = sin AIB ≤ 2 2 R R Suy SVIAB lớn ·AIB = 900 hay d ( I , ∆) = R sin 450 = 2 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Gọi H trung điểm AB SVIAB = IH AB = IH R − IH 2 IH + R − IH R2 ≤ = 2 Dấu "=" xảy R IH = R − IH ⇔ IH = Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I(- 2; -2), bán kính R = Điều kiện để đường thẳng cắt (C) hai điểm phân biệt A, B d ( I , ∆ ) < Cách 1: Theo phân tích trên, diện tích tam giác IAB lớn m = d ( I , ∆) = ⇔ − 4m = + m ⇔  m = 15  Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Theo phân tích diện tích tam giác IAB lớn IH = ⇔ d ( I , ∆) = Ta m = 0; m = 15 11 R Nếu lớn Nhận xét Cả hai cách quy tìm điều kiện m để d ( I , ∆) = toán hỏi dạng trắc nghiệm rõ ràng việc tìm SVIAB R2 theo cách nhanh hơn, dễ hiểu Bài toán cực trị mặt toạ độ liên quan đến biểu thức Bài toán Cho đường thẳng d hai điểm A, B không thuộc d Tìm d điểm M cho MA + MB nhỏ Phân tích + Khi sử dụng phương pháp hình học, học sinh cần đưa toán hai trường hợp Trường hợp1: A, B nằm hai phía d Khi MA +MB ≥ AB ( không đổi) ⇒ MA +MB nhỏ AB A, B, M thẳng hàng tức M trùng với giao điểm I d với đường thẳng AB Trường hợp2: A, B nằm phía d Lấy A' đối xứng với A qua d, đó: MA +MB = MA' +MB ≥ A'B (khôngđổi) ⇒ (MA+ MB) =A'B A', B, M thẳng hàng hay M trùng với giao điểm I A'B d + Sử dụng bất đẳng thức độ dài vectơ: Để áp dụng bất đẳng thức r r r r r r r r u + v ≥ u + v học sinh cần khéo léo chọn u , v cho u + v = MA + MB r r u + v không đổi Ví dụ Cho hai điểm A(1; 1) B( -2; -4) Tìm d: x + y = điểm M cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn giải: Cách 1: Đặt f ( x ; y ) = x + y Ta có f (1;1) f (−2 ; − 4) < nên A, B khác phía d Lí luận TH1, ta (MA +MB)min = AB = 34 M giao điểm d với đường thẳng AB 1 1   Cách 2: Gọi M( t; - t) thuộc d, đó: MA + MB = 2t + + 2(t − 1)2 + 18 Phương trình đường thẳng AB: 5x -3y -2 = ⇒ M  ; − ÷ 4 12 r r r r Ta chọn u = (− 2t ; 2), v = ( 2t − 2;3 2) ⇒ u + v = ( − 2;4 2) Khi đó: r r r r r r MA + MB = u + v ≥ u + v = 34 , dấu " =" xảy u , v hướng ⇒t = 1 1 hay M  ; − ÷ 4 4 Bài toán Cho đường thẳng d hai điểm A, B không thuộc d Tìm d điểm M cho MA − MB lớn Phân tích + Khi sử dụng hình học, đưa toán hai trường hợp Trường hợp1: A, B nằm phía d Khi MA − MB ≤ AB ⇒ MA − MB lớn AB A, B, M thẳng hàng M nằm đoạn AB hay M trùng với giao điểm I AB d Trường hợp2: A, B nằm hai phía d Lấy A' đối xứng với A qua d Khi MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B ⇒ MA − MB lớn A'B A', B, M thẳng hàng M nằm đoạn A'B hay M trùng với Mo giao điểm d A'B + Sử dụng bất đẳng thức độ dài vectơ: Để áp dụng bất đẳng thức r r u −v r r u −v r r ≤ u −v r r học sinh cần khéo léo chọn u, v cho = MA −MB r r u − v không đổi Ví dụ Cho đường thẳng d: 2x – y + = 0, A(1; 2), B(0; -1) Tìm điểm M thuộc d cho MA − MB lớn Hướng dẫn giải: Cách 1: Nhận thấy A, B phía d Theo TH1, MA − MB ≤ 10 , M giao điểm AB d suy M(2; 5) Cách 2: Gọi M(t; 2t+1) thuộc d Ta có: 4 (t − ) + − (t + ) + 25 25 r  1 r  2 r r  1 Đặt u =  t − ; ÷, v =  t + ; ÷⇒ u − v =  − ; ÷ Khi đó:  5  5  5 MA − MB = 13 r r r r MA − MB = u − v ≤ u −v = 10 Dấu " = " xảy r r u , v hướng t = 2, suy M(2; 5) Nhận xét Khi đưa toán toán dạng câu hỏi trắc nghiệm cách ưu đa số học sinh ( trình bày trình phân tích toán mà cần vị trí M hai trường hợp A, B nằm phía khác phía d Việc tìm M quy toán tìm giao điểm hai đường thẳng) Cách thú vị, đặc biệt với em yêu thích bất đẳng thức Bài toán Cho n điểm A1, A2 , , An với n số k1, k2 , , kn thoả mãn: k1 + k2 + + kn = k ≠ đường thẳng d Tìm d điểm M cho uuuu r uuuur uuuur P1 = k1 MA1 + k2 MA2 + + k n MAn nhỏ Phân tích + Sử dụng kết hợp phương pháp pháp hình học uur biếnuuđổi u r vectơ uvới uu r phương r - Xác định điểm I cho k1 IA1 + k2 IA2 + + kn IAn = uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r - Biến đổi P1 = k1 ( MI + IA1 ) + k2 ( MI + IA2 ) + + kn ( MI + IAn ) = k MI Do P1 nhỏ MI nhỏ ( quy Bài toán1- trang 5) Đặc biệt n = 2; k1 = k2 I trung điểm AB, n = 3; k1 = k2 = k3 I trọng tâm tam giác ABC + Sử dụng phương pháp hàm số: Gọi toạ độ M theo phương trình d Đưa biểu thức P1 hàm số bậc hai Ví dụ Cho đường thẳng d: 2x – y = 0, A(1; 0), B(-1; 2) Tìm điểm M thuộc d uuur uuur cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn giải: uuur uuur uuu r Cách 1: Gọi I(0;1) trung điểm AB Khi đó, MA + MB =2 MI = 2MI uuur uuur ⇒ MA + MB nhỏ 2d( I, d) = M hình chiếu I lên d, suy 2 4 M  ; ÷ 5 5 uuur uuur Cách 2: Gọi M( t; 2t), MA + MB = 20t − 16t + Giá trị hàm số uuur uuur −b ⇒ MA + MB nhỏ = f(t) = 20t2 - 16t + nhỏ t = = 2a 2 4 M  ; ÷ 5 5 Ví dụ Cho A(-2; 0), B(0; 3), C(5; -3) Tìm đường thẳng d: y = điểm M uuur uuur uuuu r cho MA + MB + MC nhỏ 14 Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi G(1;0) trọng tâm tam giác ABC Ta có: uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r MA + MB + MC =3 MG =3MG ⇒ MA + MB + MC nhỏ 3d(G, d) = MG nhỏ tức M hình chiếu G lên d Tìm M( 1;2) uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = 9(t − 1) + nhỏ t =1 Cách 2: Gọi M(t; 2), hay M(1; 2) Nhận xét So sánh hai phương pháp vận dụng ví dụ ví dụ vào câu hỏi trắc nghiệm ta nhận thấy: Cách1 việc tìm M cần quy tìm hình chiếu trung điểm I (hoặc trọng tâm G) lên d Điều cho kết nhanh Ví dụ Cho đường thẳng d: x +y -1= 0, A(2; -3), B(2; 3).Tìm điểm M thuộc d uuur uuur cho MA + 2MB nhỏ Hướng dẫn giải: uu r uuu r r Cách 1: Giả sử I(x; y) thoả mãn : IA + IB = x = ⇔ (2 − x; − − y ) + 2(2 − x; − y ) = ⇔  tìm I(2; 1) Theo ý y =1 uuur uuur uuur uuur MA + MB = IM Do MA + 2MB nhỏ d(I, d) = M hình chiếu I lên d Ta có: Phương trình đường thẳng d' qua I vuông góc với d là: -x + y -1 =0 − x + y + = Toạ độ M nghiệm hệ phương trình:  suy M(1; 0) x + y − = uuur uuur MA + MB = 18t − 36t + 36 Cách : Gọi M(t; 1-t) thuộc d Khi : Giá trị hàm số f(t) = 18t2 - 36t + 36 nhỏ 18 uuur uuur MA + MB nhỏ M(1; 0) t= −b =1⇒ 2a Nhận xét 10 So sánh hai phương pháp vận dụng hai ví dụ uu r vào uuu r câu r hỏi trắc nghiệm ta nhận thấy: Ở cách việc tìm điểm I thoả mãn IA + IB = sau tìm hình chiếu I lên d nhiều thời gian Vì cách đưa hàm số hàm số bậc hai lúc lại tối ưu Bài toán Cho n điểm A1, A2 , , An với n số k1, k2 , , kn thoả mãn k1 + k2 + + kn = k ≠ đường thẳng d Tìm d điểm M cho P2 = k1 MA21 + k2 MA2 + + k n MA2 n nhỏ nhất, lớn Phân tích + Sử dụng kết hợp phương pháp uur biến uuu rđổi vectơ uuu rvới rphương pháp hình học - Xác định điểm I cho k1 IA1 + k2 IA2 + + kn IAn = - Biến đổi P2 = kMI + k1 IA21 + k2 IA2 + + kn IA2 n 15 Nếu k >0 P2 nhỏ MI nhỏ Nếu k