1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý lựa chọn đề tài Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học nghiên cứu môn toán cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Hàm số, tiếp tuyến vấn đề chương trình Giải tích lớp 12 Đây khái niệm quan trọng giải tích có nhiều ứng dụng giải toán Trong năm gần đây, toán tiếp tuyến đường hypebol thường xuất đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Trung học phổ thông quốc gia thi chọn học sinh giỏi Trên thực tế, đứng trước toán tiếp tuyến đường hypebol, nhiều học sinh bối rối việc lựa chọn phương pháp phù hợp chưa nhìn thấy mối liên hệ hữu lớp toán, chưa sáng tạo phát giải vấn đề Do đó, viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm: Rèn luyện tư sáng tạo học sinh thông qua toán tiếp tuyến đường Hypebol 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sáng kiến nhằm giúp học sinh thấy mối liên hệ hữu toán tiếp tuyến đường hypebol, từ có nhìn tổng quát, tự tin, sáng tạo giải toán liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Trong phạm vi sáng kiến này, tiến hành nghiên cứu, tổng kết số dạng toán tiếp tuyến đường hypebol 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình giảng dạy nhiều năm trình theo dõi đề thi tốt nghiệp phổ thông tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, trung học phổ thông quốc gia, học sinh gặp nhiều toán tiếp tuyến đường hypebol mà toán trường hợp đặc biệt hóa toán tổng quát Muốn giải học sinh cần biết phương pháp giải tổng quát Vì lý nêu để giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt số dạng toán liên quan đến tiếp tuyến đường hypebol nắm phương pháp giải dạng toán Tôi đưa tiến trình thực hiện: Chọn toán tiếp tuyến hypebol đề thi tài liệu tham khảo Sau phân loại toán tìm phương pháp để giải toán Tiếp theo nghiên cứu hướng đặc biệt hóa toán tổng quát để toán cụ thể có đặc trưng riêng biệt Khi luyện tập cho học sinh kỹ giải toán tiếp tuyến đường hypebol Tôi lại theo trình ngược lại cung cấp cho học sinh toán tổng quát, phương pháp giải hướng đặc biệt hóa toán từ cung cấp cho học sinh lớp toán hay dạng toán tiếp tuyến có nguồn gốc từ toán Tất nhiên có phương pháp giải chung Với cách dạng học sinh dễ tiếp thu nắm phương pháp giải nhiều toán dạng Mặt khác, thời gian đầu tư cho dạng toán hiệu tương đối cao Tạo nên cho học sinh hứng thú tự tin trình học tập, chủ động tiếp nhận tìm tòi kiến thức NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2.1 Vị trí môn Toán nhà trường Môn toán môn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Môn toán trường THPT môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Môn toán có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại 2.2.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Ở lứa tuổi THPT thể em thời kỳ phát triển hay nói cụ thể hệ quan gần hoàn thiện, sức dẻo dai thể cao nên em hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên chúng không tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Học sinh THPT dễ xúc động thích tiếp xúc với vật, tượng xung quanh việc mà em trực tiếp thực - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tòi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh 2.3.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thông minh nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư toán học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, tài Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Đặc biệt học sinh lớp 12, lớp mà em vừa vượt qua mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi chủ đạo sang hoạt động học tập chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 yêu cầu đặt thường xuyên em tất môn học Như nói cách học, yêu cầu học học sinh THPT gặp phải thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 sang lớp 11, 12 em quen dần với cách học Do học trở nên nặng nề, không trì khả ý em người giáo viên cho em nghe làm theo có sách giáo khoa Muốn học có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Kiểu dạy người giáo viên phải thật người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, người định hướng, tổ chức tình học tập kích thích óc tò mò tư độc lập, phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài không quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua trình giảng dạy nhận thấy nhiều học sinh gặp toán tiếp tuyến đường hypebol chương trình giải tích lớp 12, em học sinh lúng túng, không phân loại dạng toán, chưa định hướng cách giải, chương trình giải tích 12 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến tiếp tuyến củ đường hypebol 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: 2.3.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải 2.3.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán 2.3.3 Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy hình động liên quan trực tiếp tới giảng (ví dụ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong) 2.3.4 Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh 2.3.5 Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo 2.3.6 Minh họa I Một số kí hiệu: y (e) y (d1) M0 A B (T) O I x B I A M0 (d2) (e) (d2) (d1) + Gọi (H) đồ thị hàm số + (d1) tiệm cận đứng; (d2) tiệm cận ngang (xiên) (H) + Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ (H) + Gọi (T) tiếp tuyến (H) M0 + Gọi: x = d1 ∩ d A = (T ) ∩ ( d1 ); B = (T ) ∩ ( d ) + Gọi: P chu vi ∆AIB S diện tích ∆AIB II Hướng dẫn học sinh chứng minh số tính chất đặc trưng (H) x Bài toán 1: Cho (H): y = ax + b + k điểm M ∈ ( H ) tiếp tuyến (H) cx + d điểm M, cắt đường tiệm cận đứng xiên (H) A B Chứng minh M trung điểm A, B Ta hướng dẫn học sinh: k + Lập phương trình tiếp tuyến (H) M ( x0 , ax0 + b + cx + d ) + Tìm giao tiếp tuyến (T) với tiệm cận đứng (d 1): y = − d tiệm cận c xiên (d2): y = ax + b + Do A, M, B thẳng hàng mà xA + xB = x0 => M trung điểm AB => M ≡ M giao điểm phân giác góc tạo đường tiệm cận với (H) Đặc biệt M0 giao phân giác góc tạo (d 1) (d2) ∆AIB cân (IA = IB) Bài toán 2: Tích khoảng cách từ điểm M (H) đến hai đường tiệm cận số không đổi + Xét (H): y = ax + b + k d có đường tiệm cận (d1): y = − (d2): cx + d c y = ax + b + Gọi M ( x0 , ax0 + b + d2 = k (cx0 + d ) a + cx0 + d k ) khoảng cách d1 ( M ; ∆1 ) = c cx + d => d1d = k c a2 + không đổi Bài toán 3: Nếu tiếp tuyến với (H) điểm M cắt tiệm cận A B ∆AIB có diện tích không đổi (không phụ thuộc vào vị trí điểm M) Hướng dẫn học sinh tìm tòi trình bày lời giải k + Do M ∈ ( H ) nên M ( x0 , ax0 + b + cx + d ) + PT tiếp tuyến (H) M: y = (a − ck k )( x − x0 ) + ax0 + b + (cx0 + d ) cx0 + d + Giao tiếp tuyến với tiệm cận đứng là: d ck d A(− ;( a − )(− − x0 ) + y0 ) c (cx0 + d ) c d c + Giao điểm tiệm cận là: I (− ; b − + S∆AIB = 2S∆IMA = IA.d ( M ; ∆ ) = Đối với Hypebol y = ax + b cx + d ad ) c 2ck + (1 − c)(cb − ad )d c2 không đổi (với c ≠ ) có tiệm cận vuông góc việc chứng minh tính chất đặc trưng nêu dễ dàng Từ toán nêu ta hướng dẫn học sinh rút tính chất khác Hypebol * Từ toán thứ ta đặt vấn đề để học trò giải quyết: Bài toán 4: Tìm điểm M (H) cho tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận nhỏ Gọi hình chiếu M lên đường tiệm cận M M2 theo toán ta có: MM1; MM2 số không đổi để tổng MM1 + MM2 nhỏ ⇔ MM1=MM2 ⇔ M ≡ M (là giao điểm đường phân giác góc tạo tiệm cận với Hypebol) * Từ toán thứ ta hướng dẫn học sinh đến toán sau: Bài toán 5: Tìm điểm M (H) cho tiếp tuyến (H) M cắt đường tiệm cận điểm AB cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ * Hướng dẫn học sinh xét ∆IAB để : AB = IA2 + IB − IA.IB.cos ·AIB ≥ 2(1 − cos ·AIB ) IA.IB Theo kết toán ta có S∆AIB = IA.IB.sin ·AIB không đổi mà góc ·AIB khổng đổi nên tích IA.IB không đổi Vậy AB nhỏ dấu đẳng thức xảy ⇔ IA = IB ⇔ M ≡ M Cũng tương tự với cách suy luận ta lại đưa toán: Bài toán 6: Xác định điểm M (H) để tiếp tuyến (H) M với đường tiệm cận ∆IAB có chu vi nhỏ + Hướng dẫn học sinh tính chu vi tam giác: P = IA + IB + AB ≥ IA.IB + (1 − cos ·AIB ).IA.IB Dấu xảy ⇔ IA = IB ⇔ M ≡ M + Vậy P nhỏ ⇔ M ≡ M Ta lại áp dụng kết toán vừa nêu để giải toán sau: Bài toán 7: Xác định điểm M (H) cho khoảng cách từ giao điểm I đường tiệm cận đến tiếp tuyến (H) M lớn + Gọi h khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (T) + Diện tích ∆IAB S = AB.h Do S không đổi, h lớn ⇔ AB nhỏ ⇔ M ≡ M Bài toán 8: Xác định điểm M (H) cho tiếp tuyến (H) M cắt tiệm cận A, B cho đường tròn nội tiếp ∆IAB có diện tích lớn * Hướng dẫn học sinh giải toán: + Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r diện tích hình tròn S htr = π r Do S htr lớn r lớn + Mặt khác S∆AIB = p.r không đổi Vậy r lớn ⇔ p nhỏ ⇔ M ≡ M Trên đưa toán tính chất đặc trưng (H), học sinh chứng minh tính chất (H) Từ toán ta lại hướng dẫn học sinh suy luận, tìm tòi để phát chứng minh thêm nhiều toán khác tiếp tuyến (H) Các toán kỳ thi nhiều đề đề cập đến Để cung cấp rèn luyện thêm cho học sinh tính tư duy, sáng tạo, chọn hệ thống tập để học sinh tự tìm tòi lời giải, tự bổ sung vào vốn kiến thức Hypebol thân * Xét toán tổng quát toán số 1: y Bài tập 1: Nếu cát tuyến ∆ cắt Hypebol điểm C, C D cắt tiệm cận điểm A, B D A B AC=BD (hay AB CD có (∆) trung điểm) * Nếu đặc biệt hóa: Khi O x C ≡ D ≡ M ( ∆ ) tiếp tuyến I F (H) M M trung điểm E AB Đây số M Bài tập 2: Cho Hypebol (H), M điểm (H) Từ M kẻ đường thẳng song song với tiệm cận cắt tiệm cận E F Chứng minh hình bình hành MEIF có diện tích không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M) Xác định vị trí M (H) cho hình bình hành MEIF có chu vi nhỏ Bài tập 3: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận Xác định M để M1M2 nhỏ (Xét ∆MM 1M có: ¶ > 2(1 − cosM ¶ )MM MM không đổi M 1M 22 = MM 12 + MM 22 − 2MM 1.MM 2cosM Vậy M1M2 nhỏ ⇔ MM = MM ⇔ M ≡ M ) 10 Bài tập 4: Cho Hypebôn (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận Hãy xác định M cho ∆MM 1M có chu vi nhỏ (+ Gợi ý để học sinh tìm tòi lời giải + Chu vi: ¶ ) MM MM p = MM + MM + M 1M ≥ MM 1.MM + 2(1 − cosM không đổi => p nhỏ ⇔ MM = MM ⇔ M ≡ M ) Bài tập 5: Cho Hypebôn (H), M điểm (H), tiếp tuyến (H) M cắt đường tiệm cận A B Xác định điểm M (H) cho ∆IAB có diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác nhỏ (+ Shtr = π r ⇒ S n ⇔ R nhỏ + Xét ∆IAB có: AB = R mà ·AIB không đổi sin ·AIB Vậy R nhỏ ⇔ AB nhỏ ⇔ M ≡ M ) Bài tập 6: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M lên đường tiệm cận (H) Xác định M để hình tròn ngoại tiếp ∆MM 1M có diện tích nhỏ Bài tập 7: Cho Hypebol (H), M điểm (H), gọi M1, M2 hình chiếu M đường tiệm cận Xác định M để tổng khoảng cách MM1+MM2+IM nhỏ Ta cho học sinh làm số tập cụ thể sau: x2 + x + Bài 1: Cho hàm số y = Tìm đồ thị hàm số điểm M cho x −1 tiếp tuyến đồ thị vuông góc với IM (I giao điểm đường tiệm cận) Bài 2: Cho hàm số y = x2 − 3x + có đồ thị (H) điểm M thuộc đồ thị 2x − Gọi I giao điểm đường tiệm cận tiếp tuyến đồ thị M cắt đường tiệm cận A B 11 Chứng minh M trung điểm AB Chứng minh tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi Chứng minh ∆IAB có diện tích không đổi Tìm điểm M (H) cho: a Độ dài đoạn AB ngắn b Hình tròn ngoại tiếp ∆IAB có diện tích nhỏ c Chu vi ∆IAB nhỏ Tìm cặp điểm M, N (H) cho tiếp tuyến (H) M N song song với Tìm điểm M (H) cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (H) M lớn C Kết luận: Nội dung hệ thống tập tính chất Hypebol có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol xuất phát từ toán bản, toán khác suy từ toán đó, với kiến thức học Từ toán đưa vào nội dung giảng tập nhà để thực mong muốn: - Làm cho học sinh nắm tính chất quan trọng đường Hypebol, đặc biệt tính chất có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol - Từ nội dung toán với tư logic tảng kiến thức, học sinh suy nghĩ tìm tòi nội dung toán suy từ toán Qua rèn luyện khả tư sáng tạo học sinh, gây lòng tin khả thân tạo hứng thú học tập em, sở ban đầu phát minh khoa học - Cũng thông qua việc giải tập, chứng minh tính chất Hypebol rèn luyện cho học sinh phương pháp kỹ giải toán; phương pháp trình bày chuyên đề, nội dung toán học 12 - Hệ thống tập giao nhà giúp em tiếp tục tự rèn luyện, tự tìm tòi để phát thêm kiến thức củng cố kiến thức lòng tin thân Thông qua viết ngắn muốn trình bày với người việc nhỏ nhân giảng dạy chuyên đề nhỏ toán học phổ thông tính chất đường Hypebol có liên quan đến tiếp tuyến Hypebol Việc nhỏ giúp học sinh nắm vững kiến thức đường Hypebol, đồng thời rèn khả tư duy, sáng tạo học sinh, gây lòng tin hứng thú học tập học sinh 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong khuôn khổ viết đưa 15 toán tổng quát Từ 15 toán nàydưới hướng dẫn cô giáo học sinh tìm tòi lời giải toán Sau giải toán Tôi hướng dẫn học trò đặc biệt hóa toán theo hướng khác nhau; để nhiều toán cụ thể Trong trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức Sau giải toán cụ thể để khắc sâu phương pháp giải toán tổng quát Từ 15 toán gốc, học trò nắm 15 dạng toán tính tích phân; dạng toán gồm nhiều toán khác Nắm phương pháp giải dạng toán tính tích phân này; đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ giải số dạng toán tích phân Trong lớp 12 dạy năm áp dụng kinh nghiệm lớp giảng dạy bình thường lớp Kết lớp dạy thực nghiệm kinh nghiệm giỏi đạt 70% Còn kết lớp dạy bình thường giỏi đạt 50% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Quá trình dạy học trình tìm tòi suy nghĩ để không ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày cải tiến nhỏ rèn luyện kỹ giải toán tích phân cho 13 học sinh Nhưng dù sáng kiến nêu hình thành cho học sinh phương pháp giải toán tổng hợp; rèn luyện cho học sinh phương pháp tư trừu tượng Biết từ toán cụ thể khái quát lên để toán đặc trưng cho lớp toán hay dạng toán để nắm phương pháp giải toán dạng Ngược lại rèn cho học sinh biết cách từ toán tổng quát đặc biệt hóa theo hướng khác để thu toán cụ thể có đặc trưng riêng biệt, làm cho nội dung toán phong phú đa dạng gây cho học sinh hứng thú tìm tòi, hứng thú học toán Hai trình tổng quát đặc biệt hóa toán thiếu thầy cô giáo, dạy toán viết áp dụng trình việc rèn luyện kỹ tính tích phân cho học sinh kết thu thật mong đợi Tôi hy vọng chút kinh nghiệm thân thầy cô giáo dạy toán quan tâm chia Kiến nghị: Tác giả thiết nghĩ, phần toán học phổ thông đúc rút kinh nghiệm viết thành tài liệu dạng in thành tài liệu cung cấp cho giáo viên việc dạy học trường phổ thông đạt hiệu nhiều, chắn tỉ lệ học sinh khá, giỏi môn học không ngừng tăng lên kiến nghị tác giả XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ: Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2017 14 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Thanh Vân 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Stt Tên sách tham khảo Toán nâng cao cho học sinh Giải tích 12 NXB: Đại học Quốc gia Hà Nội Tuyển chọn phân loại thi tuyển sinh môn toán NXB: Trẻ Tạp chí Toán học tuổi trẻ NXB: Giáo dục đào tạo Ba thập kỷ đề thi toán vào trường Đại học Việt Nam NXB: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các đề thi tuyển sinh năm gần 16 17 ... chuyên đề nhỏ toán học phổ thông tính chất đường Hypebol có liên quan đến tiếp tuyến Hypebol Việc nhỏ giúp học sinh nắm vững kiến thức đường Hypebol, đồng thời rèn khả tư duy, sáng tạo học sinh, gây... chất có liên quan đến vấn đề tiếp tuyến Hypebol - Từ nội dung toán với tư logic tảng kiến thức, học sinh suy nghĩ tìm tòi nội dung toán suy từ toán Qua rèn luyện khả tư sáng tạo học sinh, gây lòng... nghiệp phổ thông tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, trung học phổ thông quốc gia, học sinh gặp nhiều toán tiếp tuyến đường hypebol mà toán trường hợp đặc biệt hóa toán tổng quát Muốn giải học sinh cần