SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Người thực hiện: Nguyễn Văn Trình Chức vụ: Tổ phó chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục……………………………………………………………………… 1 Mở đầu…………………………………………………………………… 1.1.Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2.mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 2.Nội dung sáng kiến ……………………………………………………… 2.1.Cơ sở lí luận…………………………………………………………… 2.2 Thực trạng:…………………………………………………………… 2.3 Khai thác số kĩ giải hệ phương trình nhằm nâng cao hiệu giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ……………………………… 2.3.1 Kĩ thế……………………………………………………………… 2.3.2.kĩ cộng, trừ đại số………………………………………………… 2.3.3 Kĩ đặt ẩn phụ…………………………………………………… 2.3.4 Kĩ đưa phương trình 15 tích……………………………… 3.Hiệu sáng kiến kinh 17 nghiệm………………………………………………………………… Kết luận kiến nghị…………………………………………………… 18 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 19 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hệ phương trình đại số mảng kiến thức lớn quan trọng chương trình toán học phổ thông,ta thường gặp kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải.Trong trình giảng dạy tìm số nguyên nhân sau: Thứ nhất, phải khẳng định hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, nhanh nhạy việc nhìn nhận hướng đi, đồng thời phải có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có quỹ kiến thức nhiều phương pháp khác Thứ hai, sách giáo khoa, sách tập trình bày số hệ phương trình đơn giản, tài liệu tham khảo xuất ạt, tài liệu đề cập đến phần nhiều song phân loại, phân tích, định hình toán chưa rõ ràng , lời giải vắn tắt, dẫn đến bị động học sinh hướng giải quyết.Chỉ số học sinh đọc hiểu vấn đề mà tài liệu tham khảo đề cập đến Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc nên không nhớ lâu, bị động tiếp thu kiến thức, chưa có ý thức cao việc tìm tòi,hình thành cách giải tổng quát, đúc rút kinh nghiệm chưa nhiều 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Với đề tài mong muốn: - Nhằm giúp học sinh khai tác số kĩ thông thường giải hệ phương trình, từ hình thành kĩ giải hệ phương trình, sở có tảng kiến thức để giải hệ phương trình không mẫu mực khó - Rèn luyện tư toán học, tư logic 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Với đề tài này, đề cập đến lớp thân trực tiếp giảng dạy lớp 10A3 năm học: 2014 -2015; 10A4 năm học 2015-2016 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trong trình nghiên cứu viết đề tài này, sử dụng số phương pháp như: so sánh, phân tích, thống kê, thu thập thông tin, xử lí số liệu, nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết NỘI DUNG SÁNG KIẾN: 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN : Để nghiên cứu , học tập sâu phần hệ phương trình đại số, trước hết người học cần nắm vững dạng phương trình cách giải chúng mà sách giáo khoa trình bày 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn a Định nghĩa Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng ax + by = c Trong a, b, c, a ', b ', c ' ∈ ¡ , ( a + b ≠ 0, a '2 + b '2 ≠ )  a ' x + b ' y = c ' 2 x − y = b Ví dụ   x + y = −2 c Cách giải Ngoài cách gải học lớp ta có thêm cách giải định thức, sau : + Bước Tính định thức a b c b a c D= = ab '− a ' b, D x = = cb '− c ' b, D y = = ac '− a ' c a' b' c' b' a' c' + Bước D D - Nếu D ≠ hệ có nghiệm (x;y) x = x , y = y D D - Nếu D = + Dx ≠ : Hệ phương trình vô nghiện + Dx = Dy = : Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm hệ tập nghiệm phương trình ax + by = c 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng kiểu I  f ( x; y ) = a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu I hệ pt có dạng   g ( x; y ) = Trong f ( x; y ) g ( x; y ) đa thức chứa hai biến x, y thỏa mãn f ( x; y ) = f ( y; x), g ( x; y ) = g ( y; x ), ∀x, y ∈ ¡ b Cách giải thường áp dụng: - Bước Biểu diễn phương trình hệ theo tổng x + y tích xy x + y = S - Bước Đặt  , đk: S ≥ P  xy = P - Bước Giải hệ theo hai ẩn S P - Bước Với S P tìm x y hai nghiệm phương trình X − SX + P = 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng kiểu II a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu II hệ phương trìn có dạng  f ( x; y ) = ,trong f ( x; y ) biểu thức chứa hai biến x y  f ( y ; x ) =  b Cách giải - Bước Trừ vế cho vế hai pt ta được: f ( x; y ) − f ( y; x) = (*) - Bước Đưa phương trình (*) dạng tích ( x − y ) g ( x; y ) = - Bước Xét hai trường hợp TH x = y vào hai phương trình hệ giải tiếp TH g ( x; y ) = kết hợp hai phương trình ban đầu ta hệ Chú ý: Nếu g ( x; y ) = phức tạp ta tìm cách chứng minh vô nghiệm x vô nghiệm y 2.1.4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp: Hệ phương trình ẩn có vế trái đẳng cấp hệ phương trình mà phương trình tổng số mũ x y mỗ số hạng Chẳng hạn: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai hệ có dạng ax + bxy + cy = d  2 a ' x + b ' xy + c ' y = d ' Cách giải ad ' x + bd ' xy + cd ' y = dd ' - Bước Cân hệ số tự ta  2 da ' x + db ' xy + dc ' y = dd ' - Bước Trừ vế cho vế hai phương trình ta Ax + Bxy + Cy = (*) - Bước Giải phương trình (*) ta biểu diễn x theo y - Bước Thế vào hai phương trình hệ giải tiếp * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hoàn toàn giải cách đặt y = tx, x ≠ đặt x = ty , y ≠ 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Qua số năm dạy lớp 10, em đa số em có lực học trở lên THCS, song gặp hệ phương trình thời gian đầu em lúng túng, nhiều em không định hình cách giải.Nếu dạy học sinh tập sách giáo khoa sách tập em không đủ kiến thức để thi đại học, thi học sinh giỏi cấp Đây mảng kiến thức gây khó khăn cho đối tượng học sinh, từ khó khăn học sinh,tôi trăn trở tìm tòi, đúc rút sáng kiến kinh nghiệm: “KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10” Trong sáng kiến hệ thống số kĩ thông thường để giúp học sinh có định hình bản, từ hình thành phản xạ gặp hệ phương trình Bên canh xây dựng hệ thống tập từ đến nâng cao phân loại hay, phù hợp với tư học sinh,để giúp em tiếp cận, làm quen hình thành kĩ giải hệ phương trình từ lớp 10 KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 3.1 KĨ NĂNG THẾ: a.Cơ sở lí luận : Ta rút ẩn ,hay biểu thức, số thực từ phương trình hệ vào phương trình lại b Nhận dạng Kĩ thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn , (hay chứa biểu thức, số) mà vào phương trình phương trình phương trình ẩn c Một số ví dụ minh họa: (1) 2 x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x − xy + y = (2) (Bài tập 45b SGK 10 NC- NXBGD) Phân tích: Quan sát hệ học sinh phát phương trình (1) bậc x y nên rút x y được, định hướng cho học sinh rút y y có hệ số Lời giải Từ (1) ta có y = − x vào (2) ta được:  x = ⇒ y = −1 x − x(1 − x) + (1 − x) = ⇔ x − x − = ⇔  x = − ⇒ y = 5  2    Vậy tập nghiệm hệ phương trình ( 1; −1) ;  − ; ÷  5   2  x + x y + x y = x + (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  (2)  x + xy = x + (Đề thi đại học Khối B-2008) Phân tích: Hướng 1: Phương trình (2) bậc y nên ta ẩn Lời giải • x = không thỏa mãn phương trình (2) 6x + − x2 • x ≠ 0, (2) ⇔ y = vào (1) ta 2x  x + − x2   6x + − x2  x + 2x  ÷+ x  ÷ = 2x + x x     2 x = (6 x + − x ) ⇔ x + x (6 x + − x ) + = x + ⇔ x( x + 4)3 = ⇔   x = −4 4  17  Do x ≠ nên hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  −4; ÷ 4  Hướng 2: Ta thấy vế trái phương trình (1) đẳng thức  x + x +  2 ( x + xy ) = x +  ÷ = x + 9(1a)    ⇔ Hệ ⇔  x2 + 6x + 2  x + xy =  x + 6x + (2a )   x + xy = Đến tiếp tục giải pt(1a) tìm x vào tìm y, từ kết luận nghiệm Phân tích: Hướng dễ thấy hơn, song học sinh thường không xét x = mà chia cho x dẫn đến toán không chặt  x ( x + y + 1) = 3(1)  Ví dụ Giải hệ phương trình:  (Đề Thi ĐH Khối D-2009) ( x + y ) − x + = 0(2) Phân tích: Hướng 1: Quan sát nhanh học sinh phát phương trình (1) bậc y nên ta rút y vào (2) để giải theo x Lời giải: Từ (1) ⇒ y = − x − x2 ( x = không thỏa mãn (1)) Thế vào phương trình ta x được: (x + − x − x2 5 ) − + = ⇔ ( − 1) − + = ⇔ − + = x x x x x x 1 x =1⇒ y =  x =1 ⇔ ⇒ x = ⇒ y = 1  =   x   Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: (1; 2), (2; )    x = Hướng Quan sát kĩ pt(1)ta thấy không thỏa mãn pt(1)có thể rút x + y = − vào (2) ta pt bậc ẩn x x 2  x + y + 2( x + y ) = Ví dụ Giải hệ phương trình   y ( y − x) − x = 10 Phân tích: Nhận thấy phương trình thứ có bậc x nên học sinh rút x vào pt thứ để tiếp tục giải Song cách dẫn đế phương trình phức tạp dẫn đến việc tính toán nhầm lẫn Nếu tinh tế chút ta thấy số phương trình thứ quan trọng Lời giải Từ pt (1) ⇒ = x + y + 2( x + y ) , vào phương trình(2) ta được:  x = −1 y ( y − x ) − x = + x + y + 2( x + y ) ⇔ ( x + 1)( x + y + 3) = ⇔   x = −2 y − y = 2 * x = −1 vào pt(2) ta được: y + y − = ⇔   y = −4 * x = −2 y − vào pt(2) ta được:  −5 − −5 + ⇒x= y = 5 y − y (−2 y − 3) − 2(−2 y − 3) = 10 ⇔ y + 10 y − = ⇔   −5 + −5 − ⇒x= y = 5  −5 − −5 + −5 + −5 − ; );( ; ) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (−1; 2);(−1; −4);( 5 5  y − x = ( 1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  3  x − y = y − x ( ) Phân tích : Ta thấy hệ phương trình không dạng với hai hệ phương trình ví dụ Tuy nhiên, quan sát kỹ chút, ta nhận thấy phương trình (1) có vế trái đẳng cấp bậc 2, vế phải số; phương trình (2) có vế trái đẳng cấp bậc 3, vế phải đẳng cấp bậc nhất, xem VT (2) = 1.(2 y − x) ta thực số = y − x từ phương trình(1) vào ta phương trình có vế trái đẳng cấp bậc Cụ thể: Lời Giải: Nếu 2y - x = ⇔ x = 2y, vào hệ phương trình ⇒ vô nghiệm Khi 2y - x ≠ Thế = y − x từ phương trình (1) vào (2), ta được: 2x3 - y3 = (2y2 - x2)(2y - x) ⇔ x3 + 2x2y + 2xy2 - 5y3 = (3) Đặt x = ky (k ≠ 0) ⇒ Phương trình (3 ) trở thành: y = (k3 + 2k2 + 2k - 5)y3 = ⇔   k + 2k + 2k − = Nếu y = ⇒ x = 0, vào hệ ⇒ Hệ phương trình nghiệm (0; 0) Nếu k3 + 2k2 + 2k - = ⇔ (k - 1)(k2 + k + 5) = ⇔ k = Với k = ⇒ x = y thay vào (1) ta y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ± Vậy hệ cho có nghiệm ( 1;1) , ( −1; −1) Chú ý:Vì ta nhân vào vế trái pt(2) hàm chứa biên nên ta phải xét trường hợp để không làm thay đổi tập nghiệm hệ Có nhiều hệ phương trình mà việc ẩn hay số hay biểu thức ta chưa thể nhìn thấy mà qua vài bước biến đổi ta sễ thấy được, chẳng hạn  x + y − xy = Ví dụ Giải hệ phương trình   x + + y + = (Đề thi đh khối A năm 2006)  xy ≥  Lời giải: ĐK:  x ≥ −1  y ≥ −1   x + y − xy =  xy = x + y − 3(1) ⇔  x + + y + =  x + y + + xy + x + y + = 16(2) Từ pt(1) ⇒ xy = ( x + y ) − 6( x + y ) + (đk: x + y ≥ 3) vào phương trình (2) ta Với điều kiện trên, hệ  được: 3( x + y ) + 8( x + y ) − 156 = ( x + y ) − 5( x + y ) + 10 = 14 − ( x + y ) ⇔  ⇔ x+ y =6 ≤ x + y ≤ 14  x + y =  ⇔ x = y = , thử lại thấy thỏa mãn hệ pt cho Do ta có   xy = Vậy hệ pt có nghiệm: ( x; y ) = (3;3) Bình luận:+ Đây hệ phương trình đối xứng kiểu I nên học sinh giải x + y = S  xy = P cách đặt  + Trong cách giải hs bình phương vế học sinh thường quên đk để hai vế không âm dẫn đến toàn thừa nghiệm Có nhiều hệ phương trình mà hệ có phương trình mà giải x theo y y theo x từ vào pt lại, chẳng hạn:  y = (5 x + 4)(4 − x)(1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2  y − x − xy + 16 x − y + 16 = 0(2) Phân tích: Từ pt hệ rút x hặc y chưa thể xem pt(2) phương trình bậc hai theo y giải y theo x Lời giải:  y = 5x + y = 4− x Pt(2) ⇔ y − (4 x + 8) y − x + 16 x + 16 = , pt có ∆ y = x ⇒  • Với y = x + vào phương trình (1) ta phương trình: x = ⇒ y = x(5 x + 4) = ⇔  x = − ⇒ y =  x = ⇒ y = x = ⇒ y = • Với y = − x vào pt(1) ta x(4 − x) = ⇔  Vậy hệ pt có nghiệm: (0; 4), (4;0), ( − ;0) 3.2 KĨ NĂNG CỘNG ,TRỪ, NHÂN ĐẠI SỐ a.Cơ sở lí luận: Nếu cộng, trừ nhân vế với vế hai phương trình hệ ta phương trình mà giải ẩn theo ẩn b.Nhận dạng: Ta thường áp dụng cách cho hệ phương trình đối xứng kiểu hệ phương trình đẳng cấp hệ đưa đẳng cấp c.Một số ví dụ minh họa:  x − x = y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   y − y = x Lời giải: Trừ vế cho vế hai pt cho ta được: x = y ( x − y ) − 2( x − y ) = −( x − y ) ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = ⇔  x = 1− y x =0⇒ y =0 x = ⇒ y =  • Với x = y vào phương trình thứ ta được: x − 3x = ⇔  • Với x = − y vào phương trình ta được:  1− 1+ ⇒x= y = 2 y2 − y −1 = ⇔   1+ 1− ⇒x= y =  2 1− 1+ 1+ 1− ; ), ( ; ) Vậy hệ có nghiệm: (0;0), (3;3), ( 2 2 Lưu ý: Do tính đối xứng nên hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) hệ có nghiệm ( y0 ; x0 )  x − x = y + y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  x − = 3( y + 1) Phân tích: Hệ phương trinhg rút thế, song chuyển vế phù hợp ta hệ mà vế đẳng cấp Lời giải:  x − x = y + y  x − y = x + y ⇔   2  x − = 3( y + 1) 6 = x − y Nhân vế với vế hai phương trình với ta phương trình hệ quả: 3( x − y ) = (4 x + y )( x − y ) ⇔ x + x y − 12 xy = Vì y = ⇒ x = không thoả mãn hệ nên chia hai vế cho y ta được: x y =3 x x x ( ) + ( ) − 12 = ⇔  y y y x  y = −4   y = −1 ⇒ x = −3  y =1⇒ x = • Với x = y vào pt thứ ta được: y = ⇔   78 78 ⇒x= y = − 13 13 • Với x = −4 y vào pt thứ ta được: 13 y = ⇔   78 78 ⇒x=− y = 13 13  Thử lại thấy nghiệm thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm: (−3; −1), (3;1), ( 78 78 78 78 ;− ), ( − ; ) 13 13 13 13 3 x + xy − y = 38 Ví dụ Giải hệ phương trình  2 5 x − xy − y = 15 Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x + 75 xy − 60 y = 570 ⇒ −145 x + 417 xy + 54 y = Hệ ⇔  2 190 x − 342 xy − 114 y = 570 145 x vào hai phương Giải phương trình ta y = x, y = − 18 trình hệ ta thu kết * Chú ý - Cách giải áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hoàn toàn giải cách đặt y = tx, x ≠ đặt x = ty , y ≠ 3.3 KĨ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ Cơ sở lí luận: - Biến đổi đưa hệ phương trình dạng mà phụ thuộc vào biểu thức, từ ta đặt ẩn phụ.Đây mảng lớn quan trọng, hay khó nên dạy cho học sinh phần kĩ - Xuất phát từ hệ bậc ẩn xây dựng số hệ phương trình xuất phát từ hệ gốc Nhận dạng: Hệ đối xứng kiểu dạng đưa pt dạng phụ thuộc biểu thức Một số ví dụ minh họa:  x2 + y + x + y = Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:   xy + x + y = (BT46a- SGK10 NC NXB GD trang 100) Phân tích: Đối với hệ giải theo cách trên, song học sinh dê dàng nhận dạng hệ pt này, từ đưa cách giải  x + y + x + y = ( x + y ) − xy + x + y = ⇔ Lời giải:   xy + x + y =  xy + x + y = x + y = S Đặt  (Đk: S ≥ P ) xy = p  S − 2P + S = S = ⇒ P = ⇒ S + 3S − 18 = ⇔  Khi hệ pt trở thành:   S = −6 ⇒ P = 11 S + P = Vì S ≥ P nên có S = 3; P = thỏa mãn S =  x + y =  x =  x = ⇒ ⇒ ∨ Với   P =  xy = y =1 y = Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (1; 2), (2;1) Chú ý - Do tính đối xứng nên hệ pt có nghiệm ( x; y ) hệ có nghiệm ( y; x) Vì vậy, để hệ có nghiệm điều kiện cần x = y - Không phải lúc hệ đối xứng kiểu I giải theo cách Đôi việc thay đổi cách nhìn nhận phát cách giải ngắn gọn hơn.Chẳng hạn Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  ( x + y )(1 + xy ) =   ( x + y )(1 + ) = 49  x2 y Phân tích: Đây hệ phương trình đối xứng kiểu I nên giải theo cách túy, song để ý ta thấy biến đổi vài bước ta phát cách giải đặt hay hơn, cụ thể Lời giải: Đk: xy ≠ Khi hệ pt 1 1    ( x + y )(1 + xy ) = x + x + y + y = x + x + y + y =    ⇔ ⇔  ( x + y )(1 + ) = 49  x + y + + = 49 ( x + ) + ( y + ) = 53 2 2    x y x y x y   x + x = a ( a ≥ 2, b ≥ 2) ta hệ phương trình: Đặt  y + = b y  a + b =  a = 7; b = −2 ⇔   a = −2; b = (t/m)   a + b = 53   x + x = 7±3 ⇒ ( x; y ) = ( ; −1) • a = 7; b = −2 ⇒   y + = −2 y  •   x + x = −2 7±3 a = −2; b = ⇒  ⇒ ( x; y ) = (−1; ) y + = y  10 Vậy hệ có nghiệm ( 7±3 7±3 ; −1) , (−1; ) 2  x + y + x + y = 18 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:   xy ( x + 1)( y + 1) = 72 Phân tích Đây hệ đối xứng kiểu I Hướng Biểu diễn pt theo tổng x + y tích xy , hướng mà học sinh thường ý đến Hướng Biểu diễn pt theo x + x y + y Rõ ràng hướng đưa hệ dạng gọn Lời giải 2 ( x + x) + ( y + y ) = 18  x + x = a a, b ≥ − , ta hệ pt Hệ ⇔  Đặt ĐK:  2 ( x + x)( y + y ) = 72  y + y = b a + b = 18  a = 6, b = 12 ⇔  ab = 72   a = 12, b = a =  x = 2, x = −3  x + x = ⇒ ⇔ * b = 12  y + y = 12  y = 3, y = −4 a = 12  x + x = 12  x = 3, x = −4 ⇒ ⇔  *  y + y = b =  y = 2, y = −3 Vì hệ hệ đố xứng nên tập nghiệm hệ là: S = { (2;3); (2; −4); ( −3;3); ( −3; −4); (3;2); ( −4;2); (3; −3); (−4; −3)}   x + y + x y + xy + xy = − (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:   x + y + xy (1 + x ) = − (2)  ( Đề thi đại học khối A năm 2008) Phân tích: Hệ phương trình rút ẩn, nhiên quan sát thấy pt(2) biến đổi thành: ( x + y )2 + xy = − , pt(2) biểu thị theo hai ẩn x + y; xy ta phải biến đổi pt(1) đê làm xuấtt x + y; xy Lời giải Hệ phương trình −5   2  x + y + x y + xy + xy = −  x + y + xy ( x + y ) + xy = ⇔   x + y + xy (1 + x ) = − ( x + y ) + xy = −  4  11  u + v(u + 1) = −  u + v = −  5   u − ( + u )(u + 1) = − u = 0; v = − ⇔ ⇔ u = − ; v = − v = − − u  2    x2 + y =  x =   • u = 0; v = − ⇒  ⇒  xy = −  y = − 25   16   x + y = −  x = 1 ⇒ • u = − ;v = − ⇒  3 2  xy = −  y = −   x = x =   Vậy hệ cho có nghiệm    y = − 25  y = −  16  x − 3x − x + 22 = y + y − y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x + y − x + y =  u = x + y Đặt  ta hệ: v = xy (Đề thi đại học khối A năm 2012) Phân tích: Các biểu thức x3 − 3x y + y gợi cho ta liên tưởng đến đẳng thức ( x − 1)3 = x − x + x − ( y + 1)3 = y + y + y + , gơi cho ta cách đặt u = x −  v = y + Lời giải:  x − 3x − x + 22 = y + y − y ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1)   ⇔ Hệ pt  2 1 2 x + y − x + y = ( x − 1) + ( y + 1) + ( x − 1) − ( y + 1) = 2   u = x − Đặt  ta hệ phương trình: v = y + u − 12u = v − 12v  (u − v)  (u − v) + 3uv − 12  =  2 ⇔ u + v + u − v =  2(u − v) + 2(u − v) + 4uv − =  12  u = v (a)   2(u − v) + 2(u − v) + 4uv − = ⇔  (u − v) + 3uv − 12 = (b)  2(u − v) + 2(u − v) + 4uv − =   u =v= ⇒ x= ;y=−  u = v  2 ⇔ Giải Hệ (a)  u = v = − ⇒ x = ; y = −  2(u − v) + 2(u − v) + 4uv − =  2 2 (u − v) + 3uv − 12 = Giải hệ (b):   2(u − v) + 2(u − v) + 4uv − = 2 (u − v) + 3uv − 12 = 4(u − v) + 12uv − 48 = ⇔ ⇔ 2 2(u − v ) + 2(u − v) + 4uv − = 6(u − v) + 6(u − v) + 12uv − = Trừ vế cho vế ta được: (u − v)2 + 3(u − v) + 22 = (Vô nghiệm), suy hệ (b) vô ngiệm 2 Vậy hệ cho có nghiệm ( ; − );( ; − ) • Để xuất hai đại lượngđể đặt ẩn phụ, phép biến đổi quan trọng mà học sinh phải ý kĩ chia vế phương trình cho x, x , x3 , y, y , y , chia cho biểu thức xy, x y ,  xy + x + = y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  2  x y + xy + = 13 y (2) (Đề thi đại học khối B năm 2009) Phân tích: Phương trình (1) hệ có x, y bậc nhất, ta rút x y vao pt(2) hệ Tuy nhiên ta phương trình bậc cao nghiệm hữu tỉ việc giải gặp nhiều khó khăn Nếu chia vế (1) cho y pt(2) cho y biến đổi bước ta cách đặt ẩn phụ đơn giản, cách giải cụ thể Lời giải: Nhận thấy y = không thỏa mãn hệ phương trình, chia vế (1) cho y pt(2) cho y x x   x+ + =7 (x + ) + =    xy + x + = y y y y y   ⇔ ⇔  2  x y + xy + = 13 y  x + + x = 13 ( x + ) − x = 13   y2 y y y 13  a = x + y  Đặt  b = x  y a + b = ta hệ phương trình:   a − b = 13  a = −5 ⇒ b = 12 ⇒ a + a − 20 = ⇔  a = ⇒ b =  x + = −5  y  a = −5  ⇒ (vn) * x b = 12  = 12  y  x+ =4 x =  y a =  x =  ⇒ ⇒ ∨ * b =  x = y =1 y =   y x = x =  ∨ Vậy hệ có nghiệm:  y =1 y =   y + xy = x Ví dụ Giải hệ phương trình:  2 1 + x y = x Lời giải: Nhận thấy x = không thỏa mãn hệ, chia hai vế pt cho x ta được: 1  y y2 y  (y + ) a= y+ =6  +    ab = a = x  x x x x ⇔ ⇔ Đặt  ta hệ pt:   b =  a − 2b =  y2 + = ( y + ) − y = b = y    x x x x    y + x =  x =  x = x = x = ⇒ ∨ ∨ Vậy hệ có nghiệm:  Khi ta có  y = y =1 y = y =1 y =2    x ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy Ví dụ Giải hệ phương trình:  2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y Phân tích: Đây hệ đối xứng kiểu I nên ta giải theo quen thuộc S =x +y P =xy Tuy nhiên chia vế pt(1) cho xy, phương trình (2) cho x y xếp lại ta có cách giải tốt hơn, cụ thể: Lời giải: Nhận thấy xy = không thỏa mãn pt nên chia vế pt(1) cho xy , pt (2) cho x y ta hệ phương trình: 14 1   ( x + y )( xy + 1) = 18  x + x + y + y = 18   ⇔  ( x + y )( + 1) = 208 ( x + ) + ( y + ) = 212 2   x y x y   a = x + x  a + b = 18  a = ⇒ b = 14 a ≥ 2; b ≥ ), ta hệ :  ⇔ Đặt  , (  a = 14 ⇒ b =  a + b = 212 b = y + y   x+ = 4⇒ x = 2±  a = x  ⇒ * b = 14  y + = 14 ⇒ y = ± y   a = 14 tương tự tính đối xứng nên nghiệm hoán vị x y b = * Vậy hệ pt cho có nghiệm là: ( − 3;7 − ) ; ( − 3;7 + ) ; ( + 3;7 − ) ; ( + ( − 3; − ) ; ( − 3; + ) ( + 3; − ) ( + 3;7 + 3; − ) ) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 2 y + y + x − x = − x (1)   y + + y = + x + 4(2) (Đề thi HSG Vĩnh phúc năm học 2012-2013) Phân tích: Trong hệ ta rút thế, song đặt a = − x ta thấy vế phương trình (1) đối xứng, nên đặt nhân tử chung Lời giải: ĐK: −4 ≤ x ≤ Đặt a = − x phương trình (1) có dạng : y + y = 2a + a ⇔ ( y − a )(2 y + ya + 2a + 1) = ⇔ y = a ( Vì pt: y + ya + 2a + = ( y + a) + y + a + > 0∀y, a ) ⇒ y = − x thay vào phương trình (2) ta được: − x + − x = + x + ⇔ (3 − − x ) + (2 − − x ) + ( x + − 1) = 1 + + ) = ⇔ x + = ⇔ x = −3 + − 2x + − x + x + Với x = −3 ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (−3; 2) ⇔ ( x + 3)( ìï x + 3x + x + = y + y (1) ï Ví dụ 10: Giải hệ phương trình: í ïï - x - y = - y - 1(2) ïî (Đề thi HSG12 nghệ an 2011)  x ≤ 0 ≤ y ≤ Lời giải: ĐK:  15 Pt(1) ⇔ ( x + 1)3 + ( x + 1) = y + y , đặt a = x + ta phương trình: a + a = y + y ⇔ ( y − a )( y + ya + a + 1) = ⇔ y = a ( a 3a y + ya + a + = ( y + ) + + > 0∀y , a) ⇒ y = x + vào pt(2) ta được: − − x + x + + − x − = t2 − Đặt t = + x + − x ⇒ t > 0; ⇒ t = + − x ⇒ − x = , ta phương trình: t = t − 2t = ⇒  t = Vì t>0 nên ta t = ⇒ − x + + x = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = (0;1) x − x − x + 22 = y + y − y (1)  Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:  2 x + y − x + y = (2)  Đề thi đại học khối A năm 2012 Phân tích: Đối với ta giải cách đặt ẩn phụ , nhiên ta biến đổi vế trái thành biểu thức đối xứng từ đưa tích.Cụ thể: Lời giải: x − x − x + 22 = y + y − y (1) ( x −1) −12( x −1) = ( y +1) −12( y +1)(3)   ⇔  1 2 x + y − x + y = (2) ( x − ) + ( y + ) = (4)   2 1    −1 ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ ⇔ Từ pt(4)   −1 ≤ y + ≤ − ≤ y + ≤ 2    − ≤a≤  a = x −  2 ⇒ Đặt  b = y + 1  − ≤ b ≤  2 a = b  a + b − 12 = 0(loai ) pt(3) trở thành: a − 12a = b − 12b ⇔ (a − b)(a + b − 12) = ⇔  ⇒ x − = y + ⇔ y = x − vào pt(2) ta  x= ⇒ y=−  2 x + ( x − 2) − x + ( x − 2) = ⇔ x − x + = ⇔  x = ⇒ y = −  2 3  Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ; − );  ; − ) ÷ 2 2  16  x + + x − − y + = y (1) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:  2  x + x( y − 1) + y − y + = 0(2) Đề thi đại học khối A-2013 Lời giải: Từ pt(2),để hệ có nghiệm x ∆ 'x = ( y − 1) − ( y − y + 1) = y ≥ ⇒ y ≥ Đặt a = x − ; (a ≥ 0) , pt(1) trở thành: a4 + + a = y + + y ⇔ ( a + − y + 2) + (a − y ) =  (a + y )(a + y )  ⇔ (a − y )  + 1 = ⇔ a = y = ⇔ a = y  a + + y +  (a + y )(a + y ) + > 0∀a, y ≥ a4 + + y4 + ⇒ x − = y ⇒ x = y + thay vào phương trình (4) ta được: y = ⇒ x =1 y ( y − 1)( y + y + y + y + y + y + 4) = ⇔  (thỏa mãn đk)  y =1⇒ x = Vậy hệ cho có nghiệm: (1;0);(2;1) 3.4.KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI MỘT PHƯƠNG TRÌNH THÀNH TÍCH a.Cơ sở lí luận: Hệ phương trình rút việc biến đổi để dặt ẩn phụ gặp phải khó khăn, làm để xử lí thời gian ngắn, để có thêm quỹ kiến thức cho học sinh giới thiệu kĩ biến đổi hai pt tích Tức là, từ phương trình hệ sử dụng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử… đưa phương trình dạng tích từ tìm mối liên hệ gữa x y thuận lợi cho việc giải hệ b Một số ví dụ minh họa:  xy + x + y = x − y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:   x y − y x − = x − y (2) Đề thi đại học khối D năm 2008 Phân tích: Hệ phương trình rút việc biến đổi để dặt ẩn phụ gặp phải khó khăn, song quan sát kĩ ta thấy tách −2 y = − y − y gép cặp với pt(1) đưa tích x ≥ ⇒ x + y ≥1> y ≥ Lời giải: ĐK  pt(1) ⇔ xy + y + x + y − ( x − y ) = ⇔ ( x + y )(2 y − x + 1) = ⇔ y = x − Thế vào(2) ta được: x x − − ( x − 1) x − = 2( x + 1) ⇔ ( x + 1) x − = 2( x + 1) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y=2  x − x = y − y Ví dụ Giải hệ phương trình  (Đề thi đại học khối A năm 2003) 2 y = x3 +  17 Phân tích: Nhận thấy pt thứ hệ có vế đối xứng, pt đưa dạng tích, cụ thể: x ≠ x = y 1 , pt : x − = y − ⇔ ( x − y )(1 + ) = ⇔  x y xy y ≠  xy = −1 Lời giải: ĐK   x = y =  x = y −1 + ⇔  x = y = • Giải hệ  ( tỏa mãn điều kiện) 2 y = x +   x = y = −1 −   xy = −1 1 ⇒ x + x + = ⇔ ( x − ) + ( x + ) + > 0, ∀x , TH • Giải hệ  2 2 y = x + hệ vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm: x = y = 1; x = y = −1 + −1 − ;x = y = 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Trên sở kĩ giải hệ phương trình cho học sinh nhà giải thêm số hệ nhằm khắc sâu kiến thức cho em Giải hệ phương trình sau:  x y + 2( x + y ) = 1)   xy + x + y = 2  x + xy + y + 3x = 2)   xy + y + y + = KQ: (1;2),(- ± 2;1± 2) KQ (- ± 2;1 m 2);(- ± 5; m 5)  x + (6 − y ) x − xy = 3)  KQ (0;-3); (-1;-5)  x − x + y = −3  x ( y + 1) = y − 4)  K Q : (0; ),(± 2;1) 2 2  x y + x y + y ( x + 1) = 12 y − ( xy + 1) x + ( x + 1) = x y + x 5)  K Q : (1;- 1),(- 1;3),( ;3) 2 4 x y + x + x y + = x + ( xy + 1)3 = y (9 − xy ) 6)  KQ: (1;1)  xy (5 y − 1) = + y  x + xy − y − x + y + = 7)  2  x + y + x + y − = K Q : (1;1),(- 13 ;) 5 18 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = 8)  ( A − 2011) 2  xy ( x + y ) + = ( x + y ) K Q : (1;1);(- 1;- 1);(± 10 10 ;± ) 5  x + y − x + y = 56 13 9)  KQ :( ; ) 5 2 x + y − x + = 3.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong năm học vừa qua vận dụng sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy cho lớp 10A3, 10A4 , với thời lượng buổi tiết học thu kết sau : Minh chứng 1.Trước áp dụng sáng kiến: Vì em học sinh lớp phần lớn học sinh giỏi THCS nên em bồi dưỡng nhiều phần hệ phương trình, nên sau dạy xong “Một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn” tiến hành cho em làm kiểm tra lực 45 phút, kết thu được: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 10A3 41 2,4 12,2 25 61 12,2 12,2 Lớp Sĩ 10A4 Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 39 0 15,4 14 35,9 10 25,6 23,1 Sau vận dụng sáng kiến: Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 41 15 36,6 20 48,8 12,2 2,4 0 Lớp Sĩ 10A4 Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 39 7,7 10 25,6 20 51,3 12,8 2,6 Phân tích: Từ hai bảng số liệu ta thấy sau học bồi dưỡng sáng kiến chất lượng tăng vượt bậc, với lớp 10A3 học sinh giỏi chiếm đại đa số, 19 em có điểm TB yếu giảm mạnh , không điểm Với lớp 10A4 có điểm giỏi, điểm tung bình tăng, yếu giảm rõ rệt Sau bồi dưỡng phần này, với việc xác định hệ pt mảng lớn, khó quan trọng nên biên soạn thêm nhiều tập yêu cầu em ôn tập, giải chi tiết, thời lượng viết nên đề cập đến số tập nhà KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau vận dụng sáng kiến kiểm nghiệm nêu trên, khẳng định: - Đại đa số em nắm vững số kĩ thông thường việc giải hệ phương trình đại số.Các em phần tự tin gặp hệ phương trình - Một số em có lực học giỏi nắm kĩ năng, em tổng quát hóa số toán gốc, toán tổng quát Một số em có lực học yếu giải đơn giải - Khi giáo viên thổi hồn vào toán, thách thức tìm tòi, tư sáng tạo cách giải tinh thần học tập, khí học tập nâng lên nhiều Có nhiều em giải theo nhiều cách khác nhau, minh chứng lớn cho phát triển tư sáng tạo cho người học sáng kiến tôi, yêu cầu lớn việc học môn toán Mặc dù có đầu tư thu thành công lớn song điều kiện thời gian hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hoàn thiện Kiến nghị đề suất với trường THPT Hậu Lộc 1,với Sở GD & ĐTThanh Hóa sáng kiến kinh nghiệm xếp loại từ cấp trường trở lên cần nhân rộng toàn tỉnh, toàn trường để kinh nghiệm quý báu đó, tâm huyết bao năm giáo viên áp dụng thực tế giảng dạy, nâng cao giá trị sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh, cấp trường.Từ nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung chất lượng môn toán nói riêng Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh hóa, ngày 16 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 20 Nguyễn Văn Trình TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGK 10 Nâng cao, nhà xuất giáo dục, XB 2006 - Sách BT Đại số 10 nâng cao, nhà xuất giáo dục, XB 2006 - INTERNET, Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT - Các chuyên đề ôn thi đại học ĐẶNG THÀNH NAM 21 ... giải hệ phương trình đại số. Các em phần tự tin gặp hệ phương trình - Một số em có lực học giỏi nắm kĩ năng, em tổng quát hóa số toán gốc, toán tổng quát Một số em có lực học yếu giải đơn giải -... NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 3.1 KĨ NĂNG THẾ: a.Cơ sở lí luận : Ta rút ẩn ,hay biểu thức, số thực từ phương trình hệ vào phương trình. .. Hệ phương trình đại số mảng kiến thức lớn quan trọng chương trình toán học phổ thông, ta thường gặp kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh