MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài .2 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN .2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận .3 2.1.1 Các định nghĩa giới hạn dãy số hàm số 2.1.2 Các định lý giới hạn dãy số hàm số 2.2.3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 2.2 Thực trạng vấn đề .5 2.3 Các giải pháp thự .6 2.3.1 Giải pháp chung 2.3.2 Các dạng sai lầm, nguyên nhân cách khắc phục KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đề cập đến vai trò chủ đề Giới hạn Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 viết: “Trong đó, Giới hạn vấn đề Giải tích Có thể nói Giới hạn Giải tích, hầu hết khái niệm Giải tích liên quan đến Giới hạn” [1] Khi học sinh tiếp thu tri thức giới hạn xảy trình biến đổi chất nhận thức học sinh Khái niệm giới hạn sở cho phép nghiên cứu vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” Do vậy, nắm vững nội dung khái niệm giới hạn khâu đầu tiên, tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả vận dụng vững chắc, có hiệu kiến thức giải tích toán học phổ thông Trong trình giảng dạy nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải toán liên quan đến giới hạn Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục hướng dẫn người thầy Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức chủ đề giới hạn, có kỹ giải toán liên quan giới hạn, chọn đề tài "Phân tích sai lầm học sinh để khắc sâu kiến thức hướng khắc phục sai lầm học chủ đề giới hạn" 1.2 Mục đích nghiên cứu Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Gúp cho học sinh hiểu rõ chất tránh nhứng sai lầm chủ đề giới hạn Tạo hứng thu cho học sinh trình học môn toán nói chung chủ đề giới hạn nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết dạng toán liên quan đến giới hạn hàm số, giới hạn dãy số - chương IV, Đại số Giải tích lớp 11 chương trình nâng cao 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng, phương pháp nghiên cứu tài liệu 1.5 Những điểm SKKN Tôi có tham khảo số sách giáo khoa, sách tham khảo Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán tác giả Trần Phương, Nguyễn Tấn Đức; Nhà xuất Hà Nội, năm 2004 Tôi thấy tác giả tìm hiểu sai lầm nguyên nhân cách chung giải toán Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung nghiên cứu sâu dạng sai lầm nguyên nhân chủ đề giới hạn 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các định nghĩa giới hạn dãy số hàm số a) Dãy số • lim un = ⇔ Mọi un nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở • lim un = L ∈ R ⇔ lim(un − L) = •Mọi un lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở • lim un = ∞ ⇔ Mọi un nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng trở b) Hàm số • Giả sử x0 ∈ (a; b) f hàm xác định (a; b) trừ x0 f(x) = L ∈ R ⇔ Với dãy (x n ) (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta có + xlim →x lim f(x n ) = L f(x) = +∞ ⇔ Với dãy (x n ) (a; b) \{x0 } mà limx n = x0 ta có + xlim →x lim f(x n ) = +∞ • Giả sử hàm số f xác định (x ; b) , x0 ∈ R lim f(x) = L ∈ R ⇔ Với dãy (x ) ( x ; b) mà limx = x ta có n n x → x 0+ lim f(x n ) = L • lim f(x) = +∞ , lim f(x) = −∞ , x → x0+ x → x0 lim f(x) = −∞ , x → x0− lim f(x) = L , x →+∞ lim f(x) = −∞ , lim f(x) = L , x → x0+ lim f(x) = +∞ , x→+∞ x → x 0− lim f(x) = −∞ , x→+∞ lim f(x) = +∞ , x → x0− lim f(x) = −∞ , x→+∞ lim f(x) = L , lim f(x) = +∞ , lim f(x) = −∞ , x →−∞ x→−∞ x→−∞ Được định nghĩa tương tự 2.1.2 Các định lý giới hạn dãy số hàm số a) Dãy số • Nếu lim un = L ∈ R lim | un |=| L | , lim un = L , lim un = L (nếu un ≥ với n) • Nếu lim un = L ∈ R , lim v n = M ∈ R lim(un ± ) = L ± M ; lim(un ) = L.M un L = (nếu M ≠ ) M lim(c un ) = cL (c số; lim b) Hàm số • Nếu limf(x) = L ( x → x0 , x → x0+ , x → x0− , x → +∞, x → −∞) lim | f(x) |=| L | , lim f ( x) = L , lim f ( x) = L (nếu f ( x) ≥ với n) • Nếu limf(x) = L , lim g ( x) = M ( x → x0 , x → x0+ , x → x0− , x → +∞, x → −∞) lim[ f(x) ± g ( x)] = L ± M ; lim[(f(x) + g(x)] = L.M f ( x) L = (nếu M ≠ ) g ( x) M limcf(x) = cL (c số; lim 2.2.3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Dãy số • Nếu lim un = ±∞ , lim v n = ±∞ lim(un ) cho bảng sau: lim un limv n lim(un ) +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ • Nếu lim un = ±∞ , lim v n = L ≠ lim(un ) cho bảng sau: lim un Dấu L lim(un ) +∞ +∞ + −∞ +∞ −∞ −∞ + −∞ +∞ • Nếu lim un = L ≠ > < kể từ số hạng trở lim un cho bảng sau: Dấu L Dấu lim(un ) + + - + + - +∞ −∞ −∞ +∞ b) Hàm số f(x) = ±∞ , lim g(x) = L ≠ lim [ f ( x) g ( x) ] cho bảng • Nếu xlim →x x→ x x→ x 0 sau: lim f(x) Dấu g(x) +∞ + + - x → x0 +∞ −∞ −∞ f(x) = L ≠ , lim g(x) = • Nếu xlim →x x→ x 0 lim [ f ( x) g ( x) ] x → x0 +∞ −∞ −∞ +∞ g(x) > g(x) < với x ∈ J \{x0 } , J khoảng chứa {x0 } lim x→ x f ( x) g ( x) cho bảng sau: Dấu L + + 2.2 Thực trạng vấn đề Dấu lim(un ) + + - +∞ −∞ −∞ +∞ Qua thực tế giảng dạy dự giảng dạy môn Toán trường THPT, thấy: Chủ đề giới hạn chủ đề khó Giải tích THPT Ngay học sinh tiếp cận với với ngôn ngữ giải tích “lớn số dương bất kỳ”, “x dần a”, “dãy số dần vô cực”, học sinh thường khó hiểu hiểu sai lý thuyết Trong thực tế, làm tập học sinh gặp khó, sai lầm: - Không nắm vững định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số - Không nắm vững tính chất, định lý, quy tắc tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số - Thiếu số kĩ tư duy, nhận thưc, kĩ tính toán, kỹ biến đổi, kĩ vận dụng lý thuyết vào tập 2.3 Các giải pháp thự 2.3.1 Giải pháp chung Như ta biết, sai lầm hậu không biết, không chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà hậu kiến thức có từ trước, kiến thức có ích việc học tập trước lại sai lầm đơn giản không phù hợp việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu không dự kiến trước được, chúng tạo nên từ chướng ngại Những sai lầm sinh từ chướng ngại thường tồn dai dẳng tái xuất sau chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức Vì giúp học sinh tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm tìm cách khắc phục khó khăn sai lầm trình lĩnh hội khái niệm việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trình dạy học Từ việc phát khó khăn chướng ngại tri thức Toán học, giáo viên dự đoán sai lầm thường gặp học sinh lĩnh hội tri thức Qua phân tích khó khăn, sai lầm học sinh học phần giới hạn, từ đó: • Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt • Rèn luyện cho học sinh kĩ mặt tư • Rèn luyện cho học sinh kĩ tính toán, biến đổi • Tăng khả phán đoán, khả học sinh tự học • Phân dạng tập phương pháp giải • Đưa dự đoán sai lầm • Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh • Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh 2.3.2 Các dạng sai lầm, nguyên nhân cách khắc phục Thực tiễn cho thấy trình học tập học sinh thường gặp phải khó khăn sai lầm sau: a Khó khăn sai lầm kiến thức liên quan đến việc nắm chất khái niệm, định lý x3 − Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim " [1] x→2 x −4 Sai lầm thường gặp: lim x − không tồn x→2 x2 − Nguyên nhân sai lầm: Ngay sau học xong khái niệm Giới hạn hàm số (mà chưa học đến định lý Giới hạn hàm số f(x) liên tục) học sinh cho việc tìm Giới hạn f(x) x → a đơn giản: việc thay x = a tính f(a) Khi lim x→ a f(x) =f(a) điều phản ánh học sinh chưa hiểu chất kí hiệu lim Trong ví dụ học sinh thường chưa hiểu chất giới hạn, thay x = vào x3 − kết quả, suy nghĩ kiểu dẫn đến cho lim x→2 x2 − x3 − không tồn x2 − Lời giải đúng: Với x ≠ , Ta có Do lim x →2 x3 − x + x + = x2 − x+2 x3 − x2 + x + = lim = x − x→2 x + Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn hàm số; - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dạng Ví dụ 2: Tính giới hạn lim x →9 ( 81 − x + x − ) Sai lầm thường gặp: lim x →9 ) ( ) ( lim Học sinh cho rằng: x →9 81 − x + x − = f(9) = ( ) 81 − + − = 81 − x + x − = Nguyên nhân sai lầm: Thực hàm số f(x) = ( ) 81 − x + x − giới hạn x =  81 − x ≥ ⇔ x = , tức tập xác định K = { 9} Do tập xác hàm số f(x):   x − ≥ { xn } áp dụng định nghĩa lim x →9 f(x) lấy dãy để thõa mãn điều kiện định nghĩa là: ∀ xn ∈ K , xn ≠ mà { x n } → 9, nên hàm số cho Giới hạn x = Lời giải đúng: lim x →9 ( 81 − x + x − ) không tồn Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số; - Ví dụ học sinh xem xét đồng thời đối tượng thõa mãn định nghĩa khái niệm định lí (qua ví dụ) đối tương không thõa mãn khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ) qua làm sáng tỏ cho học sinh hiểu nắm vững chất khái niệm b Khó khăn sai lầm hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu…) Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim ( ) n + n + − n " [1] Sai lầm thường gặp: lim ) ( n + − n = lim ) ( n + − lim n = (+∞) − ( +∞ ) = ; ) lim (   = ∞ ×0 = ; n + − n = lim n  + − 1÷ n ÷   lim ( n + − n = lim = lim ) ( ( n2 + + ( −n ) ) ) n + + lim ( − n ) = ( +∞ ) + ( −∞ ) = Nguyên nhân sai lầm: Với số sách cũ nước ta sử dụng có kí hiệu ∞ để viết Giới hạn vô cực dãy số Nên tùy vào trường hợp mà kí hiệu ∞ này, hiểu theo cách khác + ∞ −∞ Vì vậy, nên xét giới hạn vô cực dãy số phải xét cụ thể rõ ràng, giới hạn + ∞ hay giới hạn −∞ tức lim un = + ∞ lim un = −∞ Do ¡ tập hợp thứ tự nên kết luận chung chung giới hạn ∞ hay viết lim un= ∞ Bản chất + ∞ −∞ số thực cụ thể lớn đó, mà nói đến lân cận + ∞ tức khoảng ( a ; + ∞ ) lân cận −∞ khoảng ( −∞ ; a) với ∀a ∈ ¡ , thực qui tắc hay phép toán đại số chúng Chẳng hạn: thể viết lim x→a lim x →a f ( x) = lim f ( x ) = L lim g ( x ) = + ∞ không x→ a x→ a g ( x) f ( x) f ( x ) lim L = x→a = = g ( x ) lim g ( x ) + ∞ x →a Nhưng kết giới hạn (nếu có) dãy số un là: Giới hạn hữu hạn ( 0, số L ≠ ) giới hạn vô cực ( ± ∞ ), nên ta xem kí hiệu + ∞ −∞ giới hạn dãy số Như vậy, thực hành giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' ''giới hạn vô cực'', việc biến đổi phép toán giới hạn dẫn đến sai lầm kí hiệu như: ( + ∞ ) - ( + ∞ ) = ? ; ∞ = ? Lời giải đúng: Ta có n n2 + n + − n = = 1 n + n +1 + n + + + với n n n Do lim n +1 ( ) n2 + n + − n = 1+ Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn hàm số; - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dãy số c Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư  Ví dụ 1: "Tính giới hạn lim   n +1 + n2 + + +  ÷ " [4] n2 + n  Sai lầm thường gặp: Do lim n +1  Nên lim  = lim  n +1 n +2 + n2 + = = lim n +n =  ÷ =0+0+ +0=0 n2 + n  + + Nguyên nhân sai lầm: Phép toán tổng, hiệu giới hạn phát biểu cho hữu hạn số hạng Lời giải đúng: Do n +n Nên mà n n2 + n lim ≤ n +k n n2 + n  Do lim  ≤ n2 + = lim  n +1 + ≤ n +0 = + n2 + 1 1+ n , ∀ k ∈ [ 1; n ] n + + n2 + n ≤ n = 1; n = 1 n2 + + +  ÷ = n2 + n  Củng cố, khắc sâu kiên thức: Củng cố định lý giới hạn dãy số; d Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ vận dụng định nghĩa, định lý, công thức Hiện trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sánh tạo, học sinh yếu Học sinh trường chuyên lớp chọn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho toán, tự giải nhiệm vụ học tập, đại đa số học sinh ỷ lại thầy cô, sách giải tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác định lý dạng tập bản, dẫn đến học tập cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ sáng tạo không rèn kỹ kỹ xảo giải toán giải toán thừơng gặp khó khăn sai lầm Ví dụ 1: Tính giới hạn lim x →2 x−2 10 Sai lầm thường gặp: Học sinh cho kết quả: lim x →2 =∞ x−2 Nguyên nhân sai lầm: Học sinh thiếu kỹ vận dụng định nghĩa Lời giải đúng: lim− x →2 1 = −∞ xlim = +∞ + →2 x − x−2 Vậy lim x →2 không tồn x−2 Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới bên; - Củng cố định lý điều kiện có giới hạn; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn hàm số + + + n Ví dụ 2: Tính giới hạn lim n +2 Sai lầm thường gặp: = 0+0+ +0 = lim + + + n = lim + lim + + lim n n2 + n2 + n2 + n2 + + + + n = Vậy lim n +2 Nguyên nhân sai lầm: Các định lý phép toán Giới hạn phát biểu cho hữu hạn số hạng Trong lời giải áp dụng cho Giới hạn tổng vô hạn số hạng nên dẫn đến sai lầm Lời giải đúng: Ta có: + + + + + n = n ( n + 1) 1+ n ( n + ) + + + n n +n n Do đó: lim = lim 2( n + 2) = lim = lim = n +2 2n + 2+ n Củng cố, khắc sâu kiên thức: 11 - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Chú ý: Tổng vô hạn đại lượng có Giới hạn chưa có Giới hạn (tức phép toán Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương phát biểu sử dụng cho hữu hạn số hạng - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dạng −1 Ví dụ 3: "Tính giới hạn lim ( n ) " [1] +1 n Sai lầm thường gặp: Xét dãy số un Ta có: u1 − ( −1) = n 2n + 1 1 , u2 = , u3 = − , … −1 Suy dãy số un = ( n ) không tăng không giảm n +1 Vậy không tồn giới hạn Nguyên nhân sai lầm: Định lý dãy đơn điệu bị chặn có giới hạn nêu lên điều kiện đủ mà điều kiện cần để dãy số có giới hạn Lời giải đúng: Ta có ≤ ( −1) n +1 n < ∀n ∈ N * n ( ) lim = 2n −1 Nên lim ( n ) = +1 n Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa dãy số có giới hạn 0; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dãy số - Mặt khác cần lưu ý rằng: Những số hạng dãy số không ảnh hưởng tới tồn giới hạn dãy số Ví dụ 4: Tính giới hạn lim ( −1) n n2 + 12 Sai lầm thường gặp: Học sinh áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: u n Nếu lim un= L lim vn= ± ∞ lim v = n n Tức: Với un = (-1) , = n + lim ( −1) n n2 + =0 Nguyên nhân sai lầm: Kết nhầm lẫn lim (-1)n giới hạn Lời giải đúng: ( −1) Ta có: n n2 + Vậy lim ( −1) ≤ n2 + ≤ n ( ∀n ∈ N ) * lim = n n n2 + = Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dãy số ) ( 1− x2 + x − Ví dụ 5: Tính giới hạn lim x→1 Sai lầm thường gặp: 1− x2 = lim x − = Ta có lim x→1 x→1 Vậy theo định lí Giới hạn tổng hai hàm số thì: ) ( lim 1− x2 + x − = x→1 Nguyên nhân sai lầm: Thực hàm số f(x) = 1− x2 + x − Giới hạn x = lẽ biểu thức 1− x2 + x − có nghĩa điểm x = nên tập xác định f(x) K= { 1} Do định nghĩa limf(x) được, lấy dãy x→1 { xn} với xn ∈ K , xn ≠ mà { xn} dần tới 13 Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = 1− x2 + x − Tập xác định f(x) K= { 1} Do hàm số giới hạn Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn hàm số  − x2  Ví dụ 6: " Tìm giới hàm số f(x) =    − x − 3≤ x < x = x ≥ f(x) " [3] Tìm lim x→3 Sai lầm thường gặp: Rất nhiều học sinh suy nghĩ f(3) = limf(x) = x→3 Nguyên nhân sai lầm: Học sinh chưa biết vận dụng định nghĩa giới hạn bên Lời giải đúng: Ta có limf(x) = lim+ − x2 = limf(x) = lim− − x2 = + − x→3 x→3 x→3 x→3 f(x) = Do lim x→3 Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn bên; - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn bên e Khó khăn sai lầm liên quan đến kỹ biến đổi: 14 lim x − x − " [1] Ví dụ 1: "Tính giới hạn x→− x +x Sai lầm thường gặp: Học sinh giải: x − x − ( x + 1)( x − 2) x − = = x3 + x x ( x + 1) x x2 − x − x−2 lim = −3 Do x→−1 = xlim →− x +x x2 Kết thật sai lầm biến đổi đồng x2 − 2x − x − = dấu xảy ra, chúng có tập xác định hoàn x3 + x2 x toàn khác Nguyên nhân sai lầm: Kết thật sai lầm biến đổi đồng x2 − 2x − x − = dấu xảy ra, chúng có tập xác định hoàn x3 + x2 x toàn khác Lời giải đúng: x − x − ( x + 1)( x − 2) x − = = Với x ≠ −1 ta có: x3 + x2 x ( x + 1) x lim x − x − = lim x − = −3 Do x→− 2 x →−1 x +x x Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn hàm số; Cần hiểu chất chọn dãy xn → −1 , xn ≠ −1 , ( ∀n ∈ N * ) ⇒ xn − xn − xn − lim x − x − = lim x − = −3 = Do x→−1 x →−1 x xn + xn xn x3 + x - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn dạng 15 Ví dụ 2: Tính giới hạn xlim →−∞ x + x + + 3x 16 x + + x + Sai lầm thường gặp:   x  + + + 3÷ x x x + x + + 3x =  lim  lim x →−∞ x →−∞  1 16 x + + x + x  16 + + + ÷ x x   + +3 x x = xlim = →−∞ 1 16 + + + x x 1+ Nguyên nhân sai lầm: Học sinh thường hay nhầm lẫn đưa biểu thức khỏi dấu dạng x = x , kết x → + ∞ Lời giải đúng: Ta có x2 + x + = − x + + 16 x + = − x 16 + , với x < x x x + −3 x + x + + 3x x x = lim = − Khi xlim →−∞ 1 16 x + + x + x →−∞ 16 + − − x x 1+ Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Củng cố lại chất định nghĩa giới hạn hàm số; - Củng cố định lý giới hạn hàm số; - Rèn luyện kỹ tính giới hạn hàm số g Khó khăn sai lầm liên quan đến định hướng kĩ tính toán Ví dụ 1: Tính giới hạn lim 4n + − 2n − n + 4n − − n Sai lầm thường gặp: Ta có: 16   1 1 n + − − ÷ 4+ −2− ÷  n n = n n n + − 2n − = lim  lim  lim     4 n + 4n − − n n  + − − 1÷  + − − 1÷ n n n n     đến gặp dạng vô định học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định cách nhân chia tử mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức phức tạp, khó khăn tính toán thường dẫn đến kết sai Nguyên nhân sai lầm: Học sinh thói quen định hướng xác định dạng, trước biến đổi tính toán đại số Lời giải đúng: Ta có nlim → +∞  4n + − ( 2n + 1)   n + 4n + + n   ×   = nlim 2 →+∞  2    n + 4n − − n ( n + 4n + 1) − n   4n + + 2n + 1 4n + − 2n −   1 + + +  ÷ n n2 n ( −4 )   =−1 = lim × n →+∞ 1    n2  + ÷  + + + ÷ n  n n  Củng cố, khắc sâu kiên thức: - Rèn luyện thói quen định hướng xác định dạng, trước biến đổi tính toán đại số, từ đầu xác định n → + ∞ tử số mẫu số có dạng vô định ( ∞ - ∞ ) ta phải khử dạng vô định trước - Khi tìm Giới hạn, số học sinh thói quen xác định dạng thuộc loại vô định trước định hướng biến đổi tính toán đại số, xem dạng: (- ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) + (+ ∞ ), (+ ∞ ) - (- ∞ ), (- ∞ ) - (+ ∞ ) thuộc dạng vô định ( ∞ ) - ( ∞ ), nên hay áp dụng kỷ thuật tính toán khử dạng vô định để giải Đôi việc áp dụng cho phép tính kết Giới hạn, đa số trường hợp khác dẫn tới dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: 1− x − x x lim ∞ a) Tìm giới hạn xlim = xlim → −∞ (x – x) = x → −∞ → −∞ =+ ; x +x + x x3 17 ( x2 + − x b) tìm xlim → −∞ ( ) x + − x = lim x → −∞ x +1 + x = lim x → −∞ ) thực biến đổi   − x + − 1 x   = lim x → −∞ x − 1+ +1 x2 0 (dạng ) Nên dạng hiểu chất có đáp số: lim lim ∞ a) xlim → −∞ (x – x) = x → −∞ x - x → −∞ x = + ) ( x + − x = xlim b) xlim → −∞ → −∞ ( ) ∞ x + − xlim → −∞ x = + Hoặc xét sau, cụ thể: lim x 1 −  = +∞ a) xlim (x – x) = → −∞ x → −∞  ( ) x     x x + − x = xlim x  + −  = lim − x + + 1 = +∞ b) xlim → − ∞ → −∞ x x  x → −∞  x   18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định giớ hạn kiến thức liên quan , học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải toán cho riêng ; học sinh quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm toán Từ thấy lôgic toán học nói chung chương Giới hạn nói riêng Qua đề tài số yếu việc tiếp thu tri thức giới hạn, phân tích nguyên nhân yếu Từ hạn chế mà học sinh gặp phải giải vấn đề giới hạn học sinh nhà giáo dục có biện pháp để giúp học sinh nâng cao hiểu biết giới hạn Trên sở mạnh dạn đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao hiệu cho học sinh THPT tiếp thu khái niệm giới hạn Thông qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư 3.2 Kiến nghị Trong trình giảng dạy, thực hành cần cho học sinh trao đổi, so sánh kết quả, tìm nguyên nhân sai lầm hướng khắc phục sau giáo viên tổng hợp kết luận Hoàn toàn tương tự ta làm cho chuyên đề khác môn Toán THPT Trên số kinh nghiệm thân đúc kết trình giảng dạy, có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến đề tài hoàn thiện vào áp dụng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 11 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Văn Thủy Trịnh Xuân Thanh 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số Giải tích nâng cao 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất Giáo Dục; năm 2006 Đại số Giải tích nâng cao - Sách giáo viên 11; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất Giáo Dục; năm 2006 Bài tập Đại số Giải tích nâng cao; Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan(Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng; Nhà xuất Giáo Dục; năm 2006 Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán; Trần Phương, Nguyễn Tấn Đức; Nhà xuất Hà Nội; năm 2004 20 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trịnh Xuân Thanh Chức vụ đơn vị công tác: Phó hiệu trưởng, trường THPT Hà Trung TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Khái quát hóa, tổng quát hóa, Ngành GD cấp tỉnh đặc biệt hóa từ toán quen Thanh Hóa thuộc Hướng dẫn học sinh dùng ẩn Ngành GD cấp tỉnh phụ giải toán Thanh Hóa Phát huy tính tích cực tự giác học sinh thông qua thay Ngành GD cấp tỉnh đổi cách phát biểu Thanh Hóa toán Vận dụng PPDH phát giải vấn đề vào dạy Ngành GD cấp tỉnh học sách giáo khoa môn Thanh Hóa Hình học lớp 10 Dùng ước lượng hình học để giải toán cực trị Ngành GD cấp tỉnh hình giải tích qua phát Thanh Hóa huy tính tích cực, chủ động, tự giác học sinh Dùng ước lượng hình học để giải toán cực trị Cấp tỉnh, Thanh hình giải tích qua phát huy tính tích cực, chủ động, Hóa tự giác học sinh Sử dụng Bản đồ tư Ngành GD cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại C 2003 - 2004 C 2005-2006 C 2016 -2007 B 2017-2008 B 2012 - 2013 B 2014 -2015 B 2015 -2016 21 dạy học môn toán góp phần đổi phương pháp dạy học tích cực Thanh Hóa 22 ... tích sai lầm học sinh để khắc sâu kiến thức hướng khắc phục sai lầm học chủ đề giới hạn" 1.2 Mục đích nghiên cứu Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề Bồi... giới hạn Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục hướng dẫn người thầy Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức chủ đề giới hạn, có kỹ giải toán liên quan giới hạn, chọn đề tài "Phân tích sai. .. khăn chướng ngại tri thức Toán học, giáo viên dự đoán sai lầm thường gặp học sinh lĩnh hội tri thức Qua phân tích khó khăn, sai lầm học sinh học phần giới hạn, từ đó: • Bổ sung, hệ thống kiến thức