Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp cegrell (LV thạc sĩ)
I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NG VN THNG NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP CEGRELL LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN 2017 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NG VN THNG NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGE-AMPERE PHC TRONG CC LP CEGRELL Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN - 2017 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi ng Vn Thng i S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng o to- B phn Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng THPT Lng Ti Bc Ninh cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi ng Vn Thng ii S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc lun Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu hũa di 1.2 Hm cc tr tng i 1.3 Toỏn t Monge-Ampốre phc 1.4 Nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor 12 Chng NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGE- 17 AMPERE TRONG CC LP CEGRELL 2.1 Cỏc lp Cegrell 17 2.2 S hi t theo dung lng 17 2.3 Mt vi nh lý hi t 20 2.4 Mt vi tớnh cht ca cỏc lp Cegrell v ng dng 28 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 iii S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ M U Lý chn ti Toỏn t Monge-Ampere phc (dd c )n i vi lp hm a iu hũa di b chn a phng, mt khỏi nim úng vai trũ quan trng trung tõm lý thuyt a th v ó c E Berfod v B.A Taylor [4] ó xõy dng t Nm 1982 ng thi cỏc tỏc gi ó thit lp v s dng nguyờn lý so sỏnh nghiờn cu cỏc bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge - Ampere phc PSH ầ LƠ loc (W) Bi toỏn m rng xỏc nh ca toỏn t Monge-Ampere ó nhn c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu tỏc gi Nm 1998, Cegrell [5] ó nh ngha cỏc lp nng lng E0, F p , Ep trờn ú toỏn t Monge-Ampere phc hon ton xỏc nh Nm 2004, Cegrell [6] ó nh ngha cỏc lp E, F v ch rng lp E l lp hm nh ngha t nhiờn ca toỏn t Monge-Ampere phc (dd c )n ú l lp hm ln nht trờn ú toỏn t Monge Ampốre xỏc nh, liờn tc di dóy gim cỏc hm a iu hũa di Cỏc lp ny cũn c gi l cỏc lp Cegrell Nghiờn cu cỏc lp ny dn n nhiu kt qu nh nguyờn lý so sỏnh, gii bi toỏn Dirichlet [7], s hi t theo dung lng Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn ti: Nguyờn lý so sỏnh i vi toỏn t Monge-Ampere phc cỏc lp Cegrell Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun l nghiờn cu v trỡnh by li cỏc kt qu ca N.V Khue v P.H Hiep ([14]) v Nguyờn lý so sỏnh i vi toỏn t Monge-Ampere phc cỏc lp Cegrell 2.2 Nhim v nghiờn cu S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ Nghiờn cu mt s kin thc c s lý thuyt a th v, nguyờn lớ so sỏnh cỏc lp Cegrell v mt vi ỏp dng Phng phỏp nghiờn cu S dng phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 43 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Cỏc kin thc c s v cỏc kt qu chng c trớch dn v tham kho ti liu [1] Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v mt s tớnh cht ca hm a iu ho di, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor Chng 2: L ni dung chớnh ca lun Kt qu chớnh ca chng l nh lý 2.4.2 v mt vi nguyờn lý so sỏnh kiu Xing Trong mc 2.1, chỳng tụi nhc li mt s lp Cegrell Trong mc 2.2, nhc li khỏi nim dung lng v s hi t theo dung lng Mc 2.3, trỡnh by cỏc nghiờn cu v s hi t ca dóy cỏc hm a iu hũa di theo C n - dung lng Mnh 2.3.3 l kt qu tng t nguyờn lý so sỏnh ca Xing ([7]) Trong nh lý 2.3.5, chỳng tụi trỡnh by iu kin i vi s hi t theo C n - dung lng ca dóy cỏc hm a iu hũa di lp F p dng nh lý 2.3.5, ta cú cỏc kt qu v s hi t ca cỏc hm Green a cc v tiờu chun i vi tớnh a cc Mc 2.4 trung vo cỏc nh lý 2.4.2 v 2.4.9 p dng nh lý 2.4.2, ta cú mt vi kt qu v cỏc lp Cegrell Trong nh lý 2.4.4, trỡnh by c lng a phng i vi o Monge Ampere theo ngha dung lng tng i Bedford-Taylor Trong phn ỏp dng, nh lý 2.4.5 ó ch kt qu phõn ró cỏc o Monge Ampere, tng t nh lý 6.1 ([5]) Cui cựng t Mnh 2.3.3 v nh lý 2.4.2, ta cú nguyờn lý so sỏnh kiu Xing i vi lp F v E S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di nh ngha 1.1.1 Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ ộ- Ơ , Ơ ờở ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Kớ hiu PSH (W) l lp tt c cỏc hm a iu ho di W Sau õy l mt vi tớnh cht ca hm a iu ho di: Mnh 1.1.2 Nu u, v ẻ PSH (W) v u = v hu khp ni W, thỡ u v Mnh 1.1.3 Hm a iu ho di tho nguyờn lý cc tr b chn, tc l nu W l mt m liờn thụng b chn ca Ê n v u ẻ PSH (W) , thỡ hoc u l hng hoc vi mi z ẻ W, u (z ) < sup lim sup u (y ) wẻ ả W y đ w yẻ W nh lý 1.1.4 Cho W l mt m Ê n Khi ú i ) H PSH (W) l nún li, tc l nu a , b l cỏc s khụng õm v u, v ẻ PSH (W) , thỡ a u + b v ẻ PSH (W) S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ {u } ii ) Nu W l liờn thụng v j jẻ Ơ è PSH (W) l dóy gim, thỡ u = lim u j ẻ PSH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ iii ) Nu u : Wđ Ă , v nu {u j } è PSH (W) hi t u ti u trờn cỏc jẻ Ơ compact ca W, thỡ u ẻ PSH (W) iv ) Gi s {u a } è PSH (W) cho bao trờn ca nú u = sup u a l b chn aẻ A aẻ A * trờn a phng Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u l a iu ho di W Mnh 1.1.5 Gi s Wè Ê n l m, w è W l m thc s, khỏc rng ca W Gi s u ẻ PSH (W), v ẻ PSH ( w) v lim supx đ y v(x ) Ê v(y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi ú ỡù m ax{u, v } t rong w w = ùớ ùù u W\ w ợ l hm a iu ho di trờn W Chng minh Rừ rng w l na liờn tc trờn trờn W Ch cn chng t nu a ẻ W, b ẻ Ê n cho {a+ l b, l Ê r } è W thỡ w(a ) Ê 2p 2p ũ w(a + re iq b)d q Vi a ẻ W, b ẻ Ê n , chn r > {a+ l b, l Ê r } è w Khi ú S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ B 2.4.1 Cho m l o Borel trờn W v f : Wđ Ă l hm o c trờn W Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng : i ) m(E ) = vi mi hp Borel E è ii ) ũE fdm = {f 0}, vi mi hp Borel E W Chng minh i ) ị ii ) Suy t ũ fd m = ũ E fd m + E \ {f = 0} ũ fd m = E ầ{f = 0} ii ) ị i ) Ta ch cn chng minh m = trờn mi X d = {f > d > 0} Theo nh lý phõn hoch Hahn, tn ti cỏc o c X d+ v X d- ca X d cho X d = X d+ ẩ X d- , X d+ ầ X d- = ặ v m trờn X d+ , m Ê trờn X d- Ta cú: dm(X d+ ) Ê ũ fd m = 0, X d+ v dm(X d- ) ũ fd m = X d- T ú m(X d+ ) = m(X d- ) = Do ú, ta cú m = trờn X d W nh lý 2.4.2 Cho u , u 1, , u n - ẻ E , v ẻ PSH - (W) v T = dd cu1 dd cun - Khi ú dd c max(u, v ) T {u > v } = dd cu T {u > v } Chng minh 30 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ a ) Trc tiờn, ta chng minh vi v a < Theo chỳ ý sau nh ngha 4.6 [6], khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s u , u 1, , u n - ẻ F S dng nh lý 2.1 [6], ta cú th tỡm c u j ẻ E0 ầ C (W), u j ] u; ukj ẻ E0 ầ C (W), ukj ] uk , k = 1, , n - { } Vỡ u j > a m nờn ta cú: dd c max(u j , a ) T j Do ú, t } = dd cu j T j {u j > a } {u > a } = dd cu j T j {u > a } { uj > a {u > a } è {u j > a } suy dd c max(u j , a ) T j , ú T j = dd cu1j dd cunj - Theo H qu 5.2 [6], ta cú: max(u - a, 0)dd c max(u j , a ) T j đ max(u - a, 0)dd c max(u, a) T , max(u - a, 0)dd cu j T j đ max(u - a, 0)dd cu T Do ú, max(u - a, 0) ộờdd c max(u, a ) T - dd cu T ự= ỳỷ S dng B 2.4.1, ta cú: dd c max(u, a) T = dd cu T trờn {u > a } b) Gi s v ẻ PSH - (W) Vỡ {u > v } = ẩ - {u > a > v }, nờn ta ch cn chng aẻ Q minh: dd c max(u, v) T = dd cu T trờn {u > a > v } 31 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ vi mi a ẻ Q - Vỡ max(u, v ) ẻ E nờn theo a ) ta cú: dd c max(u, v ) T {max(u ,v )> a } = dd c max(max(u, v ), a ) T = dd c max(u, v, a ) T dd cu T {u > a } = dd c max(u, a ) T {max( u ,v )> a } {max(u ,v )> a } {u > a } (2.2) (2.3) (2.4) Vỡ max(u, v, a ) = m ax(u, a ) trờn hp m {a > v } ta cú dd c max(u, v, a ) T Vỡ {u > a > v }è {a > v } = dd c max(u, a ) T {a > v } {u > a }, {a > v }, {max(u, v) > a } v (2.2), (2.3),(2.4) nờn dd c max(u, a ) T {u > a > v } = dd cu T {u > a > v } Mnh 2.4.3 a ) Cho u, v ẻ E cho (dd cu )n ({u = v = - Ơ }) = Khi ú (dd c max(u, v ))n 1(u > v )(dd cu )n + 1(u < v )(dd cv )n ú 1E l hm c trng ca E b) Cho m l o dng trit tiờu trờn mi hp a cc ca W Gi s u, v ẻ E cho (dd cu )n m, (dd cv )n m Khi ú (dd c max(u, v))n m Chng minh a ) Vi mi e > , t Ae = {u = v - e}\ {u = v = - Ơ } Vỡ A e ầ Ad = f 32 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ vi e d nờn tn ti ei ] cho (dd cu )n (A e ) = vi j Mt khỏc, vỡ j (dd cu )n ({u = v = - Ơ }) = nờn ta cú (dd cu )n ({u = v - ej }) = vi j Theo nh lý 2.4.2 ta cú (dd cu )n (u, v - ej )n (dd c max(u, v - ej ))n {u > v - ej } + (dd c max(u, v - ej ))n = (dd cu )n { u v - ej + {u < v - ej } + (dd cv )n } {u < v - ej } = u v - e (dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { { j} j} 1{u v }(dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { j} Cho j đ Ơ v theo chỳ ý sau nh lý 5.15 [6], ta nhn c ( n ) dd cu m ax( u, v ) 1{u v }(dd cu )n + 1{u < v }(dd cv )n , vỡ max(u, v - ej ) Z max(u, v) v u < v - e Z 1{u < v } j đ Ơ { j b) Lp lun tng t nh a ) } W Mnh 2.4.4 Cho u1, , uk ẻ PSH (W) ầ LƠ (W) v uk + 1, , un ẻ E Khi ú i) ũ dd u1 dd un = O (C n (B ) c c k/ n ) vi mi hp Borel B è WÂé W; B 33 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ ii ) ũ dd cu dd cu n = O (C n (B (a, r ))k / n ) r đ vi mi a ẻ W B (a , r ) { } ú B (a, r ) = z ẻ Ê n : | z - a |< r Chng minh Ta cú th gi s Ê u j Ê vi j = 1, , k Mt khỏc, theo chỳ ý sau nh ngha 4.6 [6] ta li gi s uk + 1, , un ẻ F i ) Vi mi hp m B é W, ỏp dng Mnh 2.3.3 v H qu 5.6 [6] ta nhn c ũ dd u1 dd un = ũ (- hB ) dd u1 dd un c c * k B c c B Ê ũ (- hB ) * k dd cu1 dd cu n W Ê k ! ũ (1 - u1)(dd chB* )k dd cu k + dd cu n W Ê k ! ũ (dd chB* )k dd cu k + dd cu n W ộ ựk / n Ê k ! ờờũ (dd chB* )n ỳ ỳ ỳ ởờW ỷ ộ ự1/ n ộ ự1/ n (dd cu )n ỳ (dd cu )n ỳ k+1 ỳ n ờũ ờũ ỳ ỳ ỳ ởờW ỷ ởờW ỷ ộ ự1/ n ộ ự1/ n (dd cu )n ỳ ộC (B )ựk / n Ê k ! ờờũ (dd cuk + 1)n ỳ ỳ n ỳ ờũ ỳ ờở n ỷ ỳ ỳ ởờW ỷ ởờW ỷ k n Ê const ant s ộờởC n (B )ự ỳ ỷ Do ú 34 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ ũ dd u1 dd u n Ê c c k/ n const ant s ộờởC n (B ) ự ỳ ỷ W vi mi hp Borel B è W ii ) Theo Mnh 2.3.3 ta cú ũ (- j ) dd u1 dd un Ê k c c k ! ũ (1 - u1)(dd cj )k dd cu k + dd cu n W W Ê k ! ũ (dd cj )k dd cu k + dd cu n < + Ơ W T ú (- j )k ẻ L1(dd cu1 dd cun ) vi mi j ẻ F (W) Cho a ẻ W v r0, R cho B (a, r0 ) é Wé B (a, R ) Khi ú log z- a Ê ga (z ) Ê log R0 z- a r0 vi mi z ẻ W, ú ga l hm Green ca W vi cc ti a Vỡ ( ) (- ga )k ẻ L1 dd cu1 dd cu n , nờn t ú suy ũ (- ga )kdd cu dd cu n đ r đ B (a , r ) Do ú ũ (log r0 - log r )k dd cu dd cu n Ê B (a , r ) ũ (- ga )k dd cu dd cu n đ B (a , r ) r đ iu ny cú ngha l ũ dd cu1 dd cu n = o(( B (a , r ) )k ) r đ log r0 - log r 35 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ Kt hp iu ny vi bt ng thc: C n (B (a, r ), W) C n (B (a, r ), B (a, R )) = = ( 1 )n = O(( )n ) log R - log r log r0 - log r Ta nhn c ũ dd cu1 dd cu n = O ((C n (B (a, r )))k / n ) W B (a , r ) nh lý 2.4.5 Cho u1, , u n ẻ E Khi ú tn ti u%ẻ Ea cho dd cu1 dd cun = (dd cu%)n + dd cu1 dd cu n {u1 = = un = - Ơ } Chng minh Trc tiờn, ta vit dd cu1 dd cun = m + dd cu1 dd cu n {u1 = = un = - Ơ } ú m = dd cu1 dd cun {u1> - Ơ }ẩ ẩ {un > - Ơ } d thy m = Cn mi E é W Tht vy theo nh lý 2.4.2 ta cú dd cu1 dd cun {u1> - j } = dd cm ax(u1, - j ) dd cun T ú, theo nh lý 2.4.4 (i ) suy ra: dd cu1 dd cun {u1> - j } {u1> - j } = Cn mi E ẻ W Vn cũn li l ch rng tn ti u%ẻ Ea cho m = (dd cu%)n 36 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ Cho (Wj ) l mt dóy tng vột cn ca W Vi mi j t mj = m W j Do [2], tn ti u%ẻ F cho (dd cu%j )n = mj Chỳ ý rng mj Z m v (dd cu%j )n Ê m Ê (dd c (u1 + + un ))n p dng nguyờn lý so sỏnh ta c u%j ] u% u1 + + un ẻ E Do ú, u%ẻ Ea v (dd cu%)n = lim (dd cu%j )n = m jđ Ơ W H qu 2.4.6 Cho u1, , u n ẻ E Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng: i ) dd cu1 dd cun = Cn mi E é W; ũ ii ) dd cu1 dd cu n = , {u1 = = un = - Ơ } ũ iii ) dd cu1 dd cun đ s đ + Ơ vi mi E é W {u1 < - s , ,un < - s }ầE Chng minh p dng trc tip nh lý 2.4.5 ta s cú kt qu Nguyờn lý so sỏnh i vi lp F ó c nghiờn cu [7] v [12], [13] Tuy nhiờn bng cỏch dựng Mnh 2.3.3 v nh lý 2.4.2, ta cng nhn c nguyờn lý so sỏnh dng Xing i vi lp F nh lý 2.4.7 Cho u ẻ F , v ẻ E v Ê k Ê n Khi ú k! Ê ũ (v - u )k dd c w1 dd c wn + {u < v } ũ (r - w1 )(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v } ũ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u < v }ẩ{u = v = - Ơ } 37 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ vi mi wj ẻ PSH (W), Ê wj Ê 1, j = 1, , k, wk + 1, , wn ẻ F v mi r Chng minh Cho e > , t v%= m ax(u, v - e) Theo a ) Mnh 2.3.3 ta cú (v%- u )k dd cu1 dd cu n + ũ k! W ũ (r - Ê ũ (r - w1)(dd cv%)k dd c wk + dd c wn W w1 )(dd cu )k dd c wk + dd c wn W Vỡ {u < v%} = {u < v - e} v s dng nh lý 2.4.2 ta cú k! ũ (v - e - u )kdd c w1 dd c wn + {u < v - e} ũ + (r - w1)(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v - e} ũ Ê (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u Ê v - e} ũ Ê (u < v ) ẩ {u = v = - Ơ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn } Cho e đ ta c k! + ũ (v - u )kdd c w1 dd c wn + {u < v } ũ (r - w1)(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v } 38 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ ũ Ê ( u < v ) ẩ {u = v = - Ơ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn W } H qu 2.4.8 Cho u ẻ Ea : u v vi mi v ẻ E tha (dd cu )n Ê (dd cv)n Khi ú n! ũ (v - u )ndd c w1 dd c wn + {u < v } ũ (r - w1 )(dd cv )n {u < v } Ê ũ (r - w1)(dd cu )n , {u < v } vi mi v ẻ E, r v vi mi w1, wn ẻ PSH (W), Ê w1, , wn Ê Chng minh Cho (Wj ) l mt dóy tng vột cn cỏc compact tng i ca W t mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n , ú 1E l hm c trng ca E è W p j dng nh lý 2.4.2 ta cú mj = 1W 1{u > - j }(dd cm ax(u, - j )n Ê 1W (dd cm ax(u, - j ))n j j Ly f ẻ E0 (W) ầ C (W) t f j = m ax(u, - j , a j f ), ú a j = - j Khi ú f j = m ax(u, - j ) trờn Wj + 1, f j ẻ E0 v sup f Wj + mj Ê 1W (dd cm ax(u, - j ))n = 1W (dd cf j )n Ê (dd cf j )n j j Theo nh lý ca Kolodziej (xem [11]) tn ti u j ẻ E0 cho (dd cu j )n = mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n j 39 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ vi mi j Theo nguyờn lý so sỏnh, ta cú u j ] u% u Mt khỏc vỡ (dd cu )n ({u = - Ơ }) = nờn suy (dd cu j )n = 1W 1{u > - j }(dd cu )n đ (dd cu )n , yu j đ Ơ j Do vy (dd cu%)n = lim(dd cu j )n = (dd cu )n Theo gi thit, ta cú u%= u p dng jđ Ơ nh lý 2.4.7 ta cú: n! ũ (v - u j )dd c w1 dd c wn + ũ (r - w1 )(dd cv )n {u j < v } {u j < v } Ê Ê ũ (r - w1)(dd cu j )n {u j < v } ũ (r - w1)(dd cu )n {u j < v } Cho j đ Ơ ta c n! ũ ũ (v - u )dd c w1 dd c wn + {u < v } (r - w1 )(dd cv )n {u < v } Ê ũ (r - w1)(dd cu )n W {u < v } Lp lun tng t nh nh lý 2.4.7, ta chng minh c nguyờn lý so sỏnh Xing i vi lp E nh lý 2.4.9 Cho u, v ẻ E v Ê k Ê n cho lim ộờởu (z ) - v(z )ựỳỷ Khi ú zđ ảW n! ũ (v - u )k dd c w1 dd c wn + {u < v } ũ (r - w1)(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v } 40 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ ũ Ê (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u < v }ẩ{u = v = - Ơ } vi mi wj ẻ PSH (W), Ê wj Ê , j = 1, k; wk + 1, , wn ẻ E v r Chng minh Cho e > Ta t v%= m ax(u, v - e) Theo b) Mnh 2.3.3 ta cú (v%- u )k dd c w1 dd c wn + ũ k! W ũ (r - Ê ũ (r - w1)(dd cv%)k dd c wk + dd c wn W w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn W Vỡ {u < v%} = {u < v - e} v ỏp dng nh lý 2.4.2 ta cú k! ũ (v - e - u )k dd c w1 dd c wn + {u < v - e} ũ + (r - w1)(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v - e} ũ Ê (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u Ê v - e} ũ Ê (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u < v }ẩ{u = v = - Ơ } Cho e ] ta c k! Ê ũ (v - u )kdd c w1 dd c wn + {u < v } ũ (r - w1)(dd cv )k dd c wk + dd c wn {u < v } ũ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + dd c wn {u < v }ẩ{u = v = - Ơ } 41 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v mt s tớnh cht ca hm a iu ho di, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor - Khỏi nim v cỏc lp Cegrell, cỏc khỏi nim dung lng v s hi t theo dung lng S hi t ca dóy cỏc hm a iu hũa di theo C n - dung lng Kt qu tng t nguyờn lý so sỏnh ca Xing ([7]) (Mnh 2.3.3) - iu kin i vi s hi t theo C n - dung lng ca dóy cỏc hm a iu hũa di lp F (nh lý 2.3.5) 42 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ - p dng nh lý 2.3.5, ta cú cỏc kt qu v s hi t ca cỏc hm Green a cc v tiờu chun i vi tớnh a cc - Kt qu chớnh ca lun l nh lý 2.4.2 v mt vi nguyờn lý so sỏnh kiu Xing p dng nh lý 2.4.2, ta cú mt vi kt qu v cỏc lp Cegrell Trong nh lý 2.4.4, chỳng tụi ó trỡnh by c lng a phng i vi o Monge Ampere theo ngha dung lng tng i Bedford-Taylor Trong phn ỏp dng, nh lý 2.4.5 ó ch kt qu phõn ró cỏc o Monge Ampere Cui cựng l nguyờn lý so sỏnh kiu Xing i vi lp F v E c suy t Mnh 2.3.3 v nh lý 2.4.2 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi (2009), C s lý thuyt a th v , Nxb i hc s phm H Ni TING ANH [2] Ahag P (2002), The complex Monge-Amp`ere operator on bounded hyperconvex domains, Ph.D Thesis, Umea University [3] Bedford E and Taylor B.A (1976), The Dirichlet problem for the complex Monge-Amp`ere operator, Invent Math 37, 1-44 [4] Bedford E and Taylor B.A (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., 149, 1-40 43 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ [5] Cegrell U (1998), Pluricomplex energy, Acta Math., 180, 187-217 [6] Cegrell U (2004), The general definition of the complex MongeAmp`ere operator, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159-179 [7] Cegrell U (2008), A general Dirichlet problem for the complex Monge-Amp`ere operator, Ann Polon Math., 94, 131-147 [8] Cegrell U, Kolodziej S and Zeriahi A (2005), Subextention of plurisubharmonic functions with weak singularities, Math Zeit., 250, 7-22 [9] Czyz R (2005), Convergence in capacity of the Perron-Bremermann envelope, Michigan Math J., 53, 497-509 [10] Coman D., Levenberg N and Poletsky E.A (2005), Quasianalyticity and pluripolarity, J Amer Math Soc., 18, 239-252 [11] Kolodziej S (1995), The range of the complex Monge-Amp`ere operator, II, Indiana Univ Math J., 44, 765-782 [12] Hiep P.H (2004), A characterization of bounded plurisubharmonic functions, Ann Polon Math., 85, 233-238 [13] Hiep P.H (2006), The comparison principle and Dirichlet problem in the class Ep ( f ), p > , Ann Polon Math., 88, 247-261 [14] Khue N.V and Hiep P.H (2009), A comparison principle for the complex Monge-Ampere operator in Cegrells classes and applications, Trans Amer Math Soc Vol 361, No 10, 55395554 [15] Xing Y (1996), Continuity of the complex Monge-Amp`ere operator Proc Amer Math Soc., 124, 457-467 [16] Xing Y (2000), Complex Monge-Amp`ere measures of pluriharmonic functions with bounded values near the boundary Canad J Math., 52, (2000),1085-1100 44 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www lrc.tnu.edu.vn/ ... Lí SO SNH I VI TON T MONGE- AMPERE PHC TRONG CC LP CEGRELL Chng ny trỡnh by nguyờn lý so sỏnh i vi toỏn t Monge- Amoere phc cỏc lp Cegrell Kt qu chớnh ca chng l nh lý 2.4.2 v mt vi nguyờn lý so. .. t Monge- Ampốre, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor Chng 2: L ni dung chớnh ca lun Kt qu chớnh ca chng l nh lý 2.4.2 v mt vi nguyờn lý so sỏnh kiu Xing Trong mc 2.1, chỳng tụi nhc li mt s lp Cegrell. .. vo cỏc nh lý 2.4.2 v 2.4.9 p dng nh lý 2.4.2, ta cú mt vi kt qu v cỏc lp Cegrell Trong nh lý 2.4.4, trỡnh by c lng a phng i vi o Monge Ampere theo ngha dung lng tng i Bedford-Taylor Trong phn