MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài: 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN 2 Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dúng KKN .3 2.3 Sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………… 2.3.1 Nội dung vấn đề 2.3.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử .4 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục 14 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Môn toán môn hay khó trường nào, lớp nào, lại giúp học sinh học tập tốt môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực đời sống, sản xuất học nhà trường sống Môn toán có khả phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất trí tuệ, môn học mang sẵn phương pháp quy nạp thực nghiệm phương pháp suy diễn logic, môn toán tạo hội cho người học rèn luyện khả suy đoán tưởng tượng Hoàn thiện dần đức tính quý báu như: Cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý trí vượt khó, trung thực, tự tin, khiêm tốn… Và môn toán có khả góp phần giáo dục cho học sinh lực cảm thụ đẹp lao động sáng tạo, đẹp ứng dụng phong phú toán học Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường trung học sở, thấy nghiên cứu đề tài “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trườngTHCS Trần Phú” việc làm có ý nghĩa lý luận thực tiễn Mặt khác, giáo viên dạy Toán Trường THCS Trần Phú, sau đào tạo, học tập trực tiếp giảng dạy, thân muốn tìm hiểu việc “Phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Trần Phú” đơn vị công tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Bên cạnh đó, giúp học sinh tháo gỡ, giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Đối với dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nằm chương đầu Đại số nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Với lý khách quan chủ quan nêu trên, thân mạnh dạn chọn cho giải pháp “Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Trần Phú” để làm đề tài nghiên cứu năm học 2016 – 2017 1.2 Mục đích nghiên cứu: Khi vận dụng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, em lúng túng Phải điểm xuất phát từ học sinh làm quen với phân tích đa thức thành nhân tử, em chưa hiểu rõ hết chất vấn đề, chưa nắm rõ phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến nhầm lẫn giải toán Chính vậy, từ phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ chất việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế nhầm lẫn, sai sót sau - Thông qua toán phân tích đa thức thành nhân tử rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử phát huy khả suy luận, phán đoán học sinh, khả vận dụng sáng tạo trình giải tập - Nâng cao chất lượng dạy học - Giúp học sinh hiểu môn học, gây cho học sinh hứng thú học tập môn, gợi cho học sinh tính độc lập tìm hiểu, tự nghiên cứu đam mê với môn học - Giải toán hình thức tốt để rèn luyện kỹ năng: Tính toán, dự đoán, suy luận…và hình thức tốt để kiểm tra lực, mức độ tiếp thu vận dụng kiến thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp khối trường THCS Trần Phú - Thành phố Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Đọc sách, tham khảo tài liệu, nghiên cứu lý thuyết - Tìm số toán đặc trưng sử dụng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: - Chủ yếu rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử - Thêm phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa phương pháp dùng hệ số bất định SGK - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Sau tiếp thu tri thức toán, học sinh phải hình thành kỹ vận dụng tri thức toán học thể qua bình diện khác như: + Kỹ vận dụng tri thức nội môn toán, giải tập toán + Kỹ vận dụng tri thức toán học để học tập môn khác + Kỹ vận dụng tri thức toán học vào đời sống, kỹ tính toán Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học toán học SGK, không làm tập thầy, cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua ví dụ cụ thể, việc phân tích không phức tạp không ba nhân tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Trường THCS Trần Phú tồn nhiều học sinh yếu tính toán, kỹ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chây lười học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Một nhóm học sinh ham học, ham tìm hiểu muốn sâu vào dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử chưa có hội tiếp cận, tìm hiểu Ngoài ra, vài học sinh chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử - Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên làm tập, em thường hay lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.3.1 Nội dung vấn đề + Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức rèn kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp: - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử + Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ - Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tòi cách giải hay, khai thác toán + Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu phương pháp) - Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác - Phương pháp thêm bớt hạng tử - Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa - Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : 2.3.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số tức tìm ƯCLN hệ số - Tìm nhân tử chung biến (Mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Mục đích đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 Thành nhân tử (BT- 39c – SGK - tr19) Đối với học sinh thực trình tự - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 (là 7) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ( xy ) - Nhân tử chung hạng tử cho là: 7xy Vậy 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Câu d 39-SGK trang 19: 2 x(y - 1) - y(y - 1) thành nhân tử 5 Đối với học sinh đặt nhân tử chung (y - 1) thực bình Phân tích đa thức thường mà không cần đổi dấu * Trong hai ví dụ giáo viên rèn cho học sinh tính cẩn thận, kỹ nhẩm nhanh để tìm UCLN kỹ nhận biết nhân tử chung Đối với học sinh yếu cách làm quan trọng gây cho học sinh hứng thú học Chú ý: Đến câu e 39 SGK trang 19 Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Bài dành cho học sinh khá, giỏi em nhìn nhân tử chung (x - y) (y - x) bị nhầm dấu, phần đa học sinh lại không nhìn mà phải dựa vào gợi ý giáo viên Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) H/D: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Sai lầm học sinh hay mắc phải: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 ( đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] ( sai từ ) = (x – y)(19x – 10y) ( kết sai ) Sai lầm học sinh là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (y – x)2 tích –10(y – x)2 (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) * Qua toán trên, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ bao quát toán trước làm rèn kỹ đổi dấu đa thức: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích không đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng quát, tích không đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2.3.2.2 Phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ: + Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ ( Câu b 26-SBT) Phân tích đa thưc 4x2 - 25 thành nhân tử Đối với học sinh yếu em hay bị nhầm lẫn không phân tích = 2 mà làm 4x - 25 = (4x - 5)(4x + 5) Gv cần khắc sâu cho học sinh nhớ 4x2 = (2x)2 làm 4x2 – 25 = (2x)2 - 52=(2x - 5)(2x + 5) Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy * Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ vận dụng đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử (Ở đẳng thức đáng nhớ) để học sinh sử dụng đẳng thức cho thích hợp dạng Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp + Nếu thay mũ hai mũ ba ta có toán: Phân tích (a + b) – (a – b)3 thành nhân tử (BT-44b-SGK-tr20) Giải: (a + b) – (a – b)3 = [ (a + b) - (a - b)][ (a + b)2 + (a + b)(a - b) +(a - b)2] = ( a + b – a + b)( a2 + 2ab +b2 + a2 – b2 + a2 - 2ab +b2 ) = 2b(3a2 + b2 ) + Thay mũ ba mũ sáu ta có toán: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử 2 a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: 2 a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) * Giáo viên rèn kỹ thông qua bài: Các đẳng thức đáng nhớ, kỹ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp Vận dụng đẳng thức để làm tập phát triển cao 2.3.2.3 Phương pháp nhóm hạng tử: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2- xy+ x-y thành nhân tử (Bài 47a-SGK-Trang 22) Phương pháp chung: Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: + Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán + Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: - Mỗi nhóm phân tích - Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực - Nhóm làm xuất nhân tử chung: Với VD6 ta có hai cách nhóm hạng tử Cách 1: Nhóm: (x2 - xy) (x - y) Ta được: (x2 - xy) + (x - y) = x(x - y)+(x - y) = (x - y)(x + 1) Cách 2: Nhóm: (x2 + x) (-xy - y) Ta được: (x2 + x) + (-xy - y) = (x2 + x) - (xy + y) = x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y) Đối với toán học sinh hay bị sai hai ý sau: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) (Sai dấu dùng ngoặc) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)x (sai bỏ sót số 1) - Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 + 4x – y2 + thành nhân tử (Bài 48a-SGK-tr22) Giải: 2 x + 4x – y + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + – y)(x +2 + y) Học sinh phải quan sát nhóm hạng tử làm xuất đẳng thức (x + 2)2 (x + 2)2 – y2 - Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.(Bài 48a-SGK-tr22) Giải: x – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Đối với hày giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm hạng tử làm xuất đẳng thức Học sinh hay bị mắc sai lầm phân tích: x – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) *Qua hai VD7 VD8 giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ sau: - Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm - Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm trình phân tích thành nhân tử không thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Ví dụ ta nhóm (x – 4y) (-2x - 4y2) ta phân tích tiếp 2.3.2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp: (Vận dụng phát triển kỹ năng) Ví dụ 9: Phân tích đa thức x3 – 2x2 + x thành nhân tử (Bài 51a-SGK-tr24) Gợi ý cho học sinh: Xét phương pháp: - Đặt nhân tử chung ? - Dùng đẳng thức ? - Nhóm nhiều hạng tử ? 2 Giải: x – 2x + x = x(x - 2x + 1) = x(x - 1)2 Bài toán sử dụng hai phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ * Khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần lưu ý, đa thức mà hạng tử có nhân tử chung phải dùng phương pháp đặt nhân tử trung trước xét đến phương pháp khác sau Tương tự Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Giải: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Phương pháp chung: - Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp - Ta thường xét phương pháp: + Đặt nhân tử chung ? + Dùng đẳng thức ? + Nhóm nhiều hạng tử ? Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z) – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr toán tập 1) Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) –x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác toán: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = ⇔ x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Trong chương trình sách giáo khoa Toán hành giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán Củng cố phương pháp Để học sinh nắm vững phương pháp phân tích cách tổng quát giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử dạng sơ đồ tư cho học sinh trình bày lại Sau ví dụ minh họa cách tóm tắt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10 2.3.2.5 Giới thiệu bốn phương pháp phân tích khác: (Nâng cao - phát triển tư duy) a Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử: Ví dụ 11: Phân tích đa thức A = 4x – 8x + thành nhân tử (VD5 –Nâng cao số chuyên đề toán - tr17 - Bùi Văn Tuyên) Gợi ý hai cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách 1: (Tách hạng tử 4) A = 4x2 – 8x + = 4x2 - 8x + - = ( 2x - 2)2 - 12 = ( 2x- -1)(2x -2 +1) = (2x -3)(2x -1) Cách 2: (Tách hạng tử -8x) A = 4x2 – 8x + 3= 4x2 - 2x - 6x + = (4x2 - 2x) - ( 6x - 3) = 2x(2x - 1) - 3(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 3) *Ta nhận thấy với phương pháp thông thường phân tích A thành nhân tử A nhân tử chung, đẳng thức Đa thức A có ba hạng tử nên dùng phương pháp nhóm hạng tử Vì ta tách hạng tử thành hai hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho: - Hoặc dùng đẳng thức để phân tích tiếp - Hoặc đặt nhân tử chung Trong cách thứ hai ta tách hạng tử thứ hai -8x thành -2x - 6x Ta thấy (-2)(-6) =12 Trong tích hệ số đầu cuối 4.3 =12 Hai tích Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax2 +bx+c thành nhân tử, ta tách hạng tử bậc bx thành b1x +b2x (b1+b2=b) cho b1.b2=ac sau đặt nhân tử chung theo nhóm Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức 16x -5x2 - thành nhân tử (Bài tập 36c)-SBT-tr10) Ta có: 16x - 5x2 - = -5x2 +16x - 3, a = – ; b = 16 ; c = – Bước 1: ac = (–5).(–3) = 15 Bước 2: ac = (–5).(–3) = 15.1 = (-15).(-1) = 5.3 Bước 3: b = 16 = 15 + Khi ta có lời giải: – 5x2 + 16x – = – 5x2 + 15x + x – = (– 5x2 + 15x) + (x – 3) = –5x(x – 3) + (x – 3) 11 = (x – 3)(–5x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thừa số : n – 7n + (Dành riêng học sinh giỏi) Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 13: Phân thức A = x3 + 5x2 + 3x - thành nhân tử (Dành riêng học sinh giỏi) Ta có cách tách sau: A = x3 + 5x2 + 3x - = x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - Giải: A = x + 5x2 + 3x - = x3 - x2 + 6x2 - 6x + 9x - = x2(x-1) + 6x(x - 1) +9(x - 1) = (x - 1)(x2 + 6x + 9) =(x - 1)(x + 3)2 b Phương pháp thêm bớt hạng tử: Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 14: Phân tích đa thức A= 4x4 + y4 thành nhân tử.(VD nâng cao số chuyên đề toán 8-tr17-Bùi Văn Tuyên ) Ta có A= 4x4 + y4 = (2x)2 + (y2)2 thêm 4x2y2 bớt 4x2y2 làm xuất đẳng thức) Giải: A= 4x4 + y4 = (2x)2 + 4x2y2 + (y2)2 - 4x2y2 = (2x + y2 )2 – (2xy)2 = (2x2 - 2xy + y2)(2x2 + 2xy + y2) Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài 1: x4 + 5x3 + 10x - (Thêm bớt 2x2) Bài 2: x7 + x2 + (Thêm bớt x) Bài 3: x + x + (Thêm bớt x3) Ví dụ 15: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) 12 Trên vài ví dụ có tính tư duy, suy luận cao mà giáo viên rèn cho học sinh kỹ phán đoán, suy luận, điển hình giúp em học sinh giải mắc mứu trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử c Phương pháp đặt ẩn phụ: Trong số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp Ví dụ 16: Phân tích đa thức A= (x2 + 2x + 8)2 + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2 thành nhân tử Giải: Đặt y= x2 + 2x + Ta có: A = y2 + 3xy + 2x2 = y2 + xy + 2xy + 2x2 = (y2 + xy) +(2xy + 2x2) = y(y + x) + 2x(y + x) = (y + x)(y + 2x) Suy ra: A= (x2 +2x +8 +x)( x2 +2x +8 +2x) = (x2 + 3x + 8)( x2 + 4x + 8) = (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4) Trong cách giải trên, nhờ cách biến đổi y = x2 + 2x + ta đưa đa thức bậc x phức tạp trở thành đa thức bậc y đơn giản, nhờ phân tích thành nhân tử dễ dàng Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao số chuyên đề toán - tr18 - 21 - Bùi Văn Tuyên) Bài 1: A = (x2 - 3x - 1)2 - 12(x2 - 3x - 1) +27 Bài 2: B = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y - Bài 3: C = (12x2 - 12xy + 3y2) - 10(2x - y) + d Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa: Ví dụ 17: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.(Bài 74a nâng cao số chuyên đề toán 8-tr21-Bùi Văn Tuyên) Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2 + x + 1)+ (1 – x )(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Chú ý: Phương pháp áp dụng cho đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x 3k+2 + x3h+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + * Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 13 Để thực tốt kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: + Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) + Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? Áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) + Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử - Trong toán phân tích đa thức thành nhân tử Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Chú ý: + Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền + Phương pháp nhóm sử dụng liên tiếp hai bước liền + Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền + Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử + Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá toán xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp 14 Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Trong trình học, em hứng thú học tập, có thời gian môi trường giao lưu với để trao đổi lĩnh hội kiến thức - Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường THCS Trần Phú - Thành phố Thanh Hóa - Cụ thể kết kiểm tra dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua lớp khối năm học 2016 – 2017 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian TS Trung bình trở lên Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Số lượng Tỉ lệ (%) Chưa áp dụng giải pháp 192 105 54,7% Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích toán, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải lung tung b) Áp dụng giải pháp Kiểm tra tiết Thời gian TS Trung bình trở lên Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Số lượng Tỉ lệ (%) Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 192 152 79,2% Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá toán trường hợp, trình bày hợp lý *Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận: Qua công tác giảng dạy trường THCS Trần Phú thấy đa số em học phân tích đa thức thành nhân tử cac em lúng túng, chưa có kỹ làm Chính việc tạo điều kiện cho học sinh môi trường học tập, tìm tòi, nghiên cứu gây cho học sinh đam mê môn học, từ giúp học sinh nâng cao kiến thức cho nâng cao kiến thức cho thân giáo viên Về thân cố gắng học hỏi, tìm tòi kiến thức liên quan để đưa vấn đề mà tâm đắc vấn đề trăn trở Các phương pháp, cách thức đưa giúp cho học sinh nhiều áp dụng vào toán phân tích đa thức thành nhân tử Phần giúp cho số học sinh trung bình lên khá, bồi dưỡng tốt cho học sinh khá, giỏi mở rộng số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, thân rút số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thông tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghỉ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kỹ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn 16 diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh, 3.2 Kiến nghị: - Từ nhu cầu thực tế từ học sinh lòng say mê, trăn trở trình giảng dạy giáo viên Kiến thức toán rộng phong phú, sức có hạn, kinh nghiệm nhỏ công tác giảng dạy môn toán trường THCS nói chung khối nói riêng Vì trình trình bày đề tài có nhiều thiếu sót, mong quan tâm đóng góp bạn đồng nghiệp để thân đề tài có kết tốt - Là người trực tiếp đứng lớp dạy toán khối nên đưa số kiến nghị để SKKN thực có hiệu cao - Các nhà trường cần tăng cường tổ chức thi có lồng ghép nội dung toán học để em có hứng thú việc lĩnh hội kiến thức cách tự nhiên Tổ chức giao lưu toán học với khối học để giúp em giải đáp thắc mắc trình học tập lớp nhà Thành lập nhóm toán học nhà trường - Đối với phòng giáo dục nên tăng cường cho giáo viên học sinh giao lưu học hỏi chuyên môn với trường bạn thành phố nhiều Trên số kinh nghiệm mong đóng góp lãnh đạo đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm đưa vào thực trường THCS Trần Phú hoàn thiện thực rộng rãi trường bạn toàn tỉnh khắp nước XÁC NHẬN Tp Thanh Hóa, ngày 10 tháng 04 năm 2017 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN không chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN Ngô Thị Loan 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán Tập I, Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo dục – năm 2004 Sách giáo viên Toán Tập I, Phan Đức Chính – NXB Giáo dục – năm 2004 Vở Bài tập Toán Tập I, Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục – năm 2004 Sách Thiết kế giảng Toán - tập I, Nguyễn Hữu Thảo - NXB Hà Nội – năm 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Bùi Văn Tuyên 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Ngô Thị Loan Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Trần Phú – Thành phố Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Ứng dụng định lý Pitago vào thực hành giải toán - Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Cấp huyện B Năm học đánh giá xếp loại 2006 - 2007 19 ... toán phân tích đa thức thành nhân tử chưa có hội tiếp cận, tìm hiểu Ngoài ra, vài học sinh chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử - Đa. .. cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh. .. kiến thức để hạn chế nhầm lẫn, sai sót sau - Thông qua toán phân tích đa thức thành nhân tử rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán phân tích đa thức thành nhân tử phát huy khả suy luận, phán đoán học