S GIAO DUC VA AO TAO THANH HOA PHềNG GD & T TH XUN SANG KIN KINH NGHIM TấN ấ TAI KINH NGHIM HNG DN HOC SINH LP VN DUNG CễNG THC NGHIấM VA CễNG THC NGHIấM THU GON CUA PHNG TRINH BC HAI VAO GIAI CAC DANG BAI TP Ngi thc hin: Vu Thi Tuyờn Chc v: Giao viờn n v: Trng THCS Lờ Thanh Tụng Tho Xuõn SKKN thuc lnh vc (mụn): Toan THANH HOA NM 2017 MUC LUC Trang 1.PHN M U 1.1 Lớ chn ti 1.2 Mc ớch nghiờn cu 1.3.i tng nghiờn cu 1.4.Phng phỏp nghiờn cu 2.NI DUNG CA SANG KIN KINH NGHIM 2.1.C s lý lun ca sỏng kin kinh nghim 2.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim 2.3 Cỏc sỏng kin kinh nghim Gii phng trỡnh bc hai Chng minh v s nghim ca phng trỡnh bc hai Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh bc hai cú nghim, vụ nghim p dng vo gii cỏc bi toỏn khỏc 13 Bi tng t 19 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim i vi hot ng giỏo dc, vi bn thõn, ng nghip v nh trng 19 KT LUN, KIN NGH 3.1 Kt lun 20 3.2 Kin ngh 21 M U 1.1 Lý chn ti Nh chỳng ta ó bit, mụn toỏn hc l mụn khoa hc t nhiờn úng vai trũ quan trng hc sinh cú kin thc mụn toỏn c vng vng thỡ cỏc em phi chm ch hc tp, cú phng phỏp hc ỳng n v phi nm kin thc mt cỏch cú h thng Trong ú nhiu hc sinh hin cha cú phng phỏp hc hiu qu, cha bit cỏch h thng cỏc kin thc m mỡnh ó c hc sỏch giỏo khoa Cỏc em ch trụng ch vo cỏc thy cụ giỏo, thy cụ dy bi no thỡ bit bi ú, dy dng no thỡ bit dng ú Chuyờn phng trỡnh bc hai ó cú nhiu tỏc gi vit v xut bn nhiu ti liu, nhng cỏc ti liu hoc l quỏ di v nhiu bi khú i vi hc sinh lp 9, hoc l cha lm ni bt c cỏc ng dng ca cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai Vỡ vy hc sinh lp khú tỡm c ti liu phự hp h tr cho cỏc em cỏc em ụn thi vo lp 10 trung hc ph thụng, ụn thi vo cỏc trng chuyờn v thi hc sinh gii Khi ụn thi vo lp 10 trung hc ph thụng, ụn thi hc sinh gii hay ụn thi vo cỏc trng chuyờn thỡ i sõu tỡm hiu cỏc thi mi thy c hu nh no cng cú nhng bi toỏn ỏp dng cụng thc nghim, cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai hoc h thc Vi-ột Trong ú nhiu hc sinh nm vng cỏc kin thc sỏch giỏo khoa, nhng ỏp dng vo bi thỡ cũn lỳng tỳng, nht l cỏc bi toỏn nõng cao thỡ tip cn cha tt Bn thõn tụi t bt u i dy, tụi tỡnh c c c mt thi vo trng chuyờn Lam Sn, Thanh Hoỏ cỏch õy nhiu nm, tụi rt tõm c vi mt bi thi cú cỏch gii c ỏo bng cỏch s dng cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai V quỏ trỡnh ging dy, tụi ó thy nhiu bi ỏp dng cụng thc nghim hoc cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai thỡ cho li gii hay, ngn gn Vỡ th, sau mi nm hc, tụi li tớch lu thờm c nhiu bi hay v phn ny, v mi dy n phn ny tụi a cỏc bi ú thỡ nhiu em hc sinh ó vụ cựng ngc nhiờn vỡ li cú nhng cỏch gii hay, lý thỳ nh vy Vỡ nhng lý trờn, nm hc ny tụi mnh dn vit sỏng kin kinh nghim cựng trao i vi cỏc bn ng nghip v ti: " Kinh nghim hng dn hc sinh lp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai vo gii cỏc dng bi tp" Tụi cng hy vng õy l mt ti liu giỳp ớch cho cỏc em hc sinh lp cỏc em ụn thi vo lp 10 trung hc ph thụng, thi vo cỏc trng chuyờn v thi hc sinh gii cp tnh 1.2 Mc ớch nghiờn cu Vi sỏng kin kinh nghim "Kinh nghim hng dn hc sinh lp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai vo gii cỏc dng bi " tụi mong mun giỳp cỏc em hc sinh lp nm vng cụng thc nghim, cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai Cỏc em bit dng kin thc vo gii bi tp, nm c h thng cỏc dng bi T ú giỳp hc sinh lp gii quyt c cỏc bi thi cỏc thi vo lp 10 THPT, thi vo lp 10 chuyờn v thi hc sinh gii Cng qua phn ny, tụi mun cỏc em thy c ng sau nhng cụng thc sỏch giỏo khoa tng chng nh n gin v khụ khan y l nhng iu mi m, b ớch v lý thỳ T ú dy nim say mờ hc tp, dy úc sỏng to ca mi hc sinh 1.3 i tng nghiờn cu Trong chng trỡnh toỏn ph thụng, phn phng trỡnh bc hai, h thc Viột l mt phn kin thc rt rng ln, nú xuyờn sut t lp n lp 12 Trong cỏc thi vo lp 10 THPT, thi hc sinh gii, thi vo cỏc trng chuyờn ton quc v c thi i hc ta thng xuyờn bt gp cỏc bi thi ỏp dng kin thc v phng trỡnh bc hai v h thc Vi-ột t dng n gin n cỏc bi khú Tuy nhiờn, khuụn kh ca sỏng kin kinh nghim ny, tụi ch trung nghiờn cu vic ỏp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai vo gii bi tp, h thng cỏc dng bi cng nh phng phỏp gii cho mi dng bi Vi mi dng bi tụi trỡnh by theo mc t d n khú, c bit tụi h thng cỏc ng dng ca cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn vo gii cỏc dng bi nõng cao T ú giỳp hc sinh mi trỡnh u cú th s dng ti liu ny mt cỏch hiu qu 1.4 Phng phap nghiờn cu nghiờn cu ti ny, tụi tin hnh nghiờn cu sỏch giỏo khoa toỏn 9, sỏch bi toỏn 9, sỏch giỏo viờn, toỏn hc v tui tr, toỏn tui th, cỏc sỏch tham kho Trong quỏ trỡnh ging dy, tụi luụn tỡm hiu cỏc thi vo lp 10 THPT ca nhiu tnh thnh c nc, cỏc thi vo cỏc trng chuyờn, thi hc sinh gii cp tnh ca nhiu tnh cú c h thng bi phong phỳ v a dng V mi nm sau ging dy phn ny cho hc sinh thỡ tụi luụn t rỳt kinh nghim hon thin hn nm tip theo NI DUNG SANG KIN KINH NGHIM 2.1 C s lớ lun ca sang kin kinh nghim Ngy 4/11/2013, Tng Bớ th Nguyn Phỳ Trng ó ký ban hnh Ngh quyt Hi ngh ln th 8, Ban Chp hnh Trung ng khúa XI (Ngh quyt s 29-NQ/TW) Ngh quyt cú ni dung v i mi cn bn, ton din giỏo dc v o to, ỏp ng yờu cu cụng nghip húa, hin i húa iu kin kinh t th trng nh hng xó hi ch ngha v hi nhp quc t Trong ngh quyt 29 cú nờu rừ: "Phỏt trin giỏo dc v o to l nõng cao dõn trớ, o to nhõn lc, bi dng nhõn ti Chuyn mnh quỏ trỡnh giỏo dc t ch yu trang b kin thc sang phỏt trin ton din nng lc v phm cht ngi hc Hc i ụi vi hnh; lý lun gn vi thc tin; giỏo dc nh trng kt hp vi giỏo dc gia ỡnh v giỏo dc xó hi" Vi v trớ l mt giỏo viờn trc tip ging dy, bn thõn tụi nhn thy, thc hin theo nh hng trờn thỡ trc ht mi giỏo viờn phi luụn luụn bit t hon thin mỡnh, phi tõm huyt vi ngh, cú nng lc chuyờn mụn vng vng, bit lm ch kin thc Giỏo viờn phi i mi phng phỏp ging dy, to cỏc gi hc sinh ng v hp dn i vi mụn toỏn, ging dy giỏo viờn cn giỳp cho hc sinh h thng c cỏc ni dung kin thc theo tng ch , bit dng tt cỏc kin thc sỏch giỏo khoa vo gii cỏc bi v cỏc bi toỏn thc t Vỡ vy ging dy chuyờn " Phng trỡnh bc hai, h thc Vi-ột", bn thõn tụi luụn suy ngh lm th no hc sinh cú th nm vng c h thng cỏc kin thc v cỏc dng bi t n gii n phc tp, t nhng bi sỏch giỏo khoa n nhng bi thi cỏc k thi m cỏc em s tri qua, t ú to hng thỳ hc cho hc sinh, hỡnh thnh hc sinh t linh hot, sỏng to v ch ng tip thu kin thc Khi dy cho hc sinh, nht l cỏc em hc sinh khỏ gii lũng say mờ hc tp, s khao khỏt khỏm phỏ nhng iu mi l iu ny ó c tụi th hin rừ nột sỏng kin kinh nghim ny 2.2 Thc trng trc ap dng sang kin kinh nghim Trong chng trỡnh mụn toỏn lp 9, phn phng trỡnh bc hai úng vai trũ rt quan trng Vỡ vy vic giỳp hc sinh nm vng kin thc sỏch giỏo khoa v bit ỏp dng kin thc vo gii bi l vic lm vụ cựng cn thit Nú giỳp cỏc em vt qua cỏc kỡ thi quan trng v to nn tng kin thc cho nhng nm hc cp trung hc ph thụng Tuy nhiờn, thi gian u mi ging dy mụn toỏn 9, dy phn phng trỡnh bc hai tụi cũn khỏ lỳng tỳng Cỏc bi tụi cung cp cho hc sinh cha cú h thng, cha lm ni bt c tm quan trng ca cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai Vỡ vy hc sinh hc phn ny, cỏc em cng nm kin thc mt cỏch dn tri, cha cú h thng Cỏc em cha thc s say mờ hc vỡ cha thy c nhng iu thỳ v n sau cỏc cụng thc n gin sỏch giỏo khoa Sau mt vi nm , bn thõn tụi cng cú kinh nghim hn ging dy, tụi ngh rng mỡnh phi lm th no kin thc mỡnh truyn t n hc sinh phi cú chn lc, cú h thng, giỳp hc sinh d hiu, d nh, ó nh thỡ khú quờn Do ú tụi ó dn dn hỡnh thnh ni dung sỏng kin kinh nghim ny m hụm xin c chia s cựng cỏc ng nghip 2.3 Cac sang kin kinh nghim, cac gii phap ó s dng Khi ging dy cho hc sinh lp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc thỡ u tiờn tụi nhc li cho hc sinh cỏc kin thc m cỏc em ó c hc sỏch giỏo khoa: Cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai: *i vi phng trỡnh ax2 + bx + c = (a ) v bit thc =b2 -4ac - Nu > thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: -b+ -b- x1 = ; x2 = ; 2a 2a b - Nu = thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x1 = x = - ; 2a - Nu < thỡ phng trỡnh vụ nghim (Sỏch giỏo khoa toỏn 9, 2, trang 44) Chỳ ý: Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a ) cú a v c trỏi du thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit *Cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai: i vi phng trỡnh ax2 + bx + c = (a ) v b = 2b', '=b'2 -ac - Nu ' > thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: -b'+' -b'- ' x = ;x = ; a a b' - Nu ' = thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x1 = x = - ; a - Nu ' < thỡ phng trỡnh vụ nghim (Sỏch giỏo khoa toỏn 9, 2, trang 48) Tip theo tụi a h thng kin thc theo s sau: Cụng thc nghim, cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai Gii phng trỡnh bc hai Chng minh v s nghim ca phng trỡnh bc hai Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh bc hai cú nghim, vụ nghim ng dng vo gii cac bi toan khac T ú tụi gii thiu cỏc dng bi cho hc sinh Dng 1: Gii phng trỡnh bc hai Khi hng dn hc sinh ỏp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai vo gii cỏc dng bi thỡ vic u tiờn l giỳp hc sinh hiu v ỏp dng kin thc gii cỏc bi n gin nht, ú l gii phng trỡnh bc hai Vi tụi ging dy, bao gi cng bt u t nhng bi d v tng dn khú Ta bt u t mt bi sỏch bi toỏn 9, 2: Bi 1: Gii cac phng trỡnh sau: a, 2x2 5x + = b, x2 + 4x + = c, 5x2 x + = (Bi 20, sach bi toan 9, 2) Hng dn gii: 5+ 17 5- ; x2 = a, = 25-8=17 Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: x1 = 4 '= 4-4= b, Phng trỡnh cú nghim kộp x1 = x2 = -2 c, =1-40= -39 < Phng trỡnh vụ nghim Bi 2: Gii phng trỡnh: ( 3x 1) ( x + ) = 20 Hng dn gii: ( 3x 1) ( x + ) = 20 3x + x x = 20 3x + x 22 = = 52 - 4.3.(-22) = 289 Vỡ > nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit l: -5+ 289 =2 2.3 -5- 289 -11 x2 = = 2.3 x1 = -11 Vy phng trỡnh cú nghim l: S = 2; Nhn xột: Khi a bi tụi mun cng c kin thc v gii cỏc phng trỡnh bc hai dng n gin, dng trc tip cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn, mc ớch giỳp cho hc sinh nh cụng thc, dng c cụng thc dng n gin nht Trong ú, vi bi tụi mun nhn mnh cho hc sinh rng, cỏc phng trỡnh sau bin i m a c v phng trỡnh bc hai thỡ bng cỏch ỏp dng cụng thc nghim, cụng thc nghim thu gn ta d dng tỡm c nghim ca phng trỡnh Tip theo, ta s xột cỏc phng trỡnh bc hai cú h s l cỏc s vụ t Ta tip tc vi bi sau: Bi 3: Gii phng trỡnh: 4x2 2(1 + )x + =0 Hng dn gii: 2 Ta cú: '= 1+ - 3=1+2 3+3-4 3=1-2 3+3= 1- ( ) ( ) Vỡ ' > nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: x1 = ( 1+ 3+ 1- ) = ( 1+ 3- 1- ) 1+ 3+ 1- 1+ 3- 1- = 4 Vy phng trỡnh cú nghim l: S = ; 2 x2 = = = Nhn xột: Khi cỏc h s a, b, c ca phng trỡnh l s vụ t thỡ sau tớnh hoc ' xong cn xem cú a c v bỡnh phng ca mt tng hoc bỡnh phng ca mt hiu hay khụng dng ny, tụi ch a cỏc bi gii phng trỡnh bc hai n gin, mc ớch mun giỳp hc sinh nm vng cụng thc nghim, cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai Cỏc phng trỡnh phc thỡ khụng cp n phn ny m s gii thiu chuyờn phng trỡnh quy v phng trỡnh bc hai Dng 2: Chng minh v s nghim ca phng trỡnh bc hai õy l dng bi thng gp cỏc thi vo lp 10 ca nhiu tnh, thnh c nc Ta thng gp dng bi chng minh phng trỡnh bc hai cú nghim, cú hai nghim phõn bit hoc vụ nghim Ta xột mt s bi sau: Bi 1: Cho phng trỡnh: x2 + (m - 1)x + m2 2m + = (m l tham s) Chng minh rng phng trỡnh trờn vụ nghim vi mi gia tri ca m Hng dn gii: Phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú: = ( m-1) -4 m -2m +5 ( ) = m2 -2m +1-4m +8m -20 = -3m2 + 6m -19 = -3 ( m-1) -16 Vỡ -3(m-1)2 vi mi giỏ tr ca m nờn -3(m - 1)2 16 < vi mi giỏ tr ca m < vi mi giỏ tr ca m Vy phng trỡnh vụ nghim vi mi giỏ tr ca m Nhn xột: Qua bi ny, tụi mun khc sõu kin thc cho hc sinh: Mun chng minh phng trỡnh bc hai vụ nghim ta chng minh < hoc '< Bi 2: Cho phng trỡnh: x2 (m + 1)x + 2m = (m l tham s) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10 tnh Thanh Hoa nm hc 2004 - 2005) Hng dn gii: Phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú: ( ) = m+1 ( - 4.1 2m-3 ) = m +2m +1-8m +12 = m -6m +13 ( ) = m -6m +9 +4 ( = m-3 ) +4 Vỡ ( m-3) 0, m nờn 4> 0, m Do ú phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m Nhn xột: Qua bi ny, tụi mun khc sõu kin thc cho hc sinh: Mun chng minh phng trỡnh bc hai cú hai nghim phõn bit ta chng minh > hoc ' > Bi 3: Cho phng trỡnh: x + 2(1 m)x + m = , m l tham s Chng minh phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi gia tri ca m (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10 tnh Bỡnh inh nm hc 2015 - 2016) Hng dn gii: Ta cú: = (1 m) 1(-3 + m) = m2 2m + + m = m2 3m + = m- ữ +7 Vỡ m- 3ữ vi mi giỏ tr ca m nờn >0 vi mi giỏ tr ca m Vy phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr m Bi 4: Cho phng trỡnh: x2 2mx + m2 - m - m = (vi m l tham s) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi gia tri ca m (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10 tnh Thanh Hoa nm hc 2003 - 2004) Hng dn gii: 2 Ta cú: '= ( -m ) -1 m - m -m = m + m ( ) - Nu m thỡ m = m Do ú '= 2m (vỡ m ) nờn phng trỡnh cú nghim - Nu m < thỡ m = -m Do ú '= -m + m = nờn phng trỡnh cú nghim kộp Vy vi mi giỏ tr ca m thỡ phng trỡnh luụn cú nghim Nhn xột: Qua bi ny, tụi mun khc sõu kin thc cho hc sinh: Mun chng minh phng trỡnh bc hai cú nghim ta chng minh hoc ' Bi 5: Chng minh rng phng trỡnh sau cú nghim vi mi gia tri ca a, b, c: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Hng dn gii: Bin i phng trỡnh v dng: 3x2 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = Phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai cú: '= ( a + b+c ) -3.( ab +ac + bc ) = a + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc-3ab-3ac-3bc = a + b2 +c2 -ab-ac -bc = ( a -b ) + ( b-c ) + ( c-a ) Vi mi a, b, c ta cú: ( a-b ) 0; ( b-c ) 0; ( c-a ) nờn suy ' Do ú phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca a, b, c Nhn xột: Khi a bi ny, tụi mun nhn mnh cho hc sinh thy c: Phng trỡnh ban u khụng phi l phng trỡnh bc hai nhng sau bin i ta a v c phng trỡnh bc hai Khi ú ta ỏp dng cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai chng minh phng trỡnh cú nghim Bi 6: Cho phng trỡnh: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi gia tri ca k Hng dn gii: + Nu k = 0, phng trỡnh cú dng 2(x - 1) = x = + Nu k 0, phng trỡnh bin i v dng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - = (*) ' = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k = k2 - 2k + = (k - 1)2 Vỡ (k - 1)2 > vi mi giỏ tr ca k nờn ' > vi mi giỏ tr ca k, ú phng trỡnh (*) luụn cú nghim Kt hp hai trng hp ta cú phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca k Nhn xột: Khi a bi ny, tụi mun nhn mnh cho hc sinh thy c: Phng trỡnh ban u khụng phi l phng trỡnh bc hai nhng sau bin i ta a v c phng trỡnh dng ax2 + bx + c = Tuy nhiờn gp phng trỡnh ny, giỏo viờn cn lu ý cho hc sinh rng ch c tớnh hoc ' h s a khỏc Trong trng hp a cú th bng thỡ cn phi xột cỏc trng hp xy Bi 7: Cho phng trỡnh bc hai n x: x -2 ( a + b +c ) x +3ab +3ac + 2bc+ a = Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi gia tri ca a, b, c Hng dn gii: Phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú: a ữ '= ( a + b + c ) - 3ab +3ac + 2bc + ữ = a + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc-3ab -3ac-2bc= a2 a2 2 + b + c -ab -ac a2 a2 -ac + c2 ữ ữ ữ 2 a a = -b ữ + -c ữ 2 a a Vỡ -b ữ v -c ữ nờn ' vi mi giỏ tr ca a, b, c; suy phng = -ab + b2 ữ+ trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca a, b, c Bi 8: Cho phng trỡnh: (m2 2m + 5)x2 (m3 2m2 + 7)x (m2 m + 1) = Chng minh rng phng trỡnh cú hai nghim phõn bit vi mi gia tri ca tham s m Phõn tớch, tỡm cỏch gii: Nu bi ny ta dựng iu kin > thỡ bi toỏn tr nờn khỏ phc Vy cú cỏch no khỏc chng minh phng trỡnh trờn cú hai nghim phõn bit hay khụng i vi bi toỏn ny, ta ỏp dng kin thc sau: Nu phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú a v c trỏi du thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.(Sỏch giỏo khoa toỏn 9, tõp 2, trang 45) Hng dn gii: Xột phng trỡnh:(m 2m + 5)x2 (m3 2m2 + 7)x (m2 m + 1) = Ta cú: a = m2 2m + = (m - 1)2 + > m c = (m m + 1) = m ữ < m Do ú phng trỡnh bc hai (m2 2m + 5)x2 (m3 2m2 + 7)x (m2 m + 1) = cú a v c trỏi du nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m Nhn xột: Qua bi ny, tụi mun cht li hai cỏch chng minh phng trỡnh bc hai cú hai nghim phõn bit: - Cỏch 1: Chng minh phng trỡnh cú > hoc '> - Cỏch 2: Chng minh phng trỡnh cú a v c trỏi du Bi 9: Chng minh rng ớt nht mt cac phng trỡnh bc hai sau õy cú nghim: ax2 + 2bx + c = (1) bx + 2cx + a = (2) cx + 2ax + b = (3) Hng dn gii: Vỡ cỏc phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai nờn a 0;b 0;c Ta cú: ' = b2 -ac; ' = c -ab; ' = a -bc nờn: ' +' + ' = a +b2 +c2 -ab-ac-bc = a -2ab+b2 +b2 -2bc+c2 +c2 -2ca+a 2 = ( a-b ) + ( b-c ) + ( c-a ) ' ' ' Dú ú suy ra: + + ( ) Vy ba s 1' ; '2 ; 3' ớt nht phi cú mt s khụng õm (vỡ nu c ba s u õm thỡ tng ba s phi l mt s õm, vụ lý), suy cú ớt nht mt ba phng trỡnh ó cho cú nghim Nhn xột: Qua bi trờn tụi mun cht li cỏch gii cỏc bi chng minh ớt nht mt cỏc phng trỡnh bc hai ó cho cú nghim -Khi chng minh ớt nht mt hai phng trỡnh bc hai cú nghim ta chng minh + hoc 1. (hay 1' +'2 hoc 1' '2 ) - Khi chng minh ớt nht mt ba phng trỡnh bc hai cú nghim ta chng minh + + hoc 1. 2.3 (hay 1' + '2 + 3' hoc 1' '2.3' ) Cỏc bi toỏn khỏc cú cỏch gii tng t Dng 3: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh cú nghim, phng trỡnh vụ nghim Khi gii thiu dng bi ny, tụi a cỏch gii tng quỏt cho hc sinh trc a h thng bi tp: Xột phng trỡnh bc hai: ax2 + bx + c = (a 0) (1) - Phng trỡnh (1) cú nghim hoc ' - Phng trỡnh (1) cú nghim kộp = hoc ' = - Phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > hoc ' > - Phng trỡnh (1) vụ nghim < hoc ' < Khi a h thng bi phn ny, tụi thng cn c vo trỡnh ca hc sinh la chn cỏc bi phự hp Nu ụn thi vo lp 10 trung hc ph thụng thỡ ch a nhng bi va phi, cũn ụn thi hc sinh gii thỡ a nhng bi phc hn Sau õy l mt s bi tp: Bi 1: Cho phng trỡnh x2 - (m + 5)x - m + = (m l tham s) Tỡm cac gia tri ca m phng trỡnh cú mt nghim x = - Hng dn gii: Phng trỡnh cú nghim x = - khi: (-2)2 - (m + 5) (-2) - m + = + 2m + 10 - m + = m = - 20 Nhn xột: Qua bi ny tụi cht li cỏch gii cho hc sinh: Mun tỡm giỏ tr ca tham s phng trỡnh cú nghim x0 ta thay x = x0 vo phng trỡnh, t ú suy giỏ tr ca tham s cn tỡm Bi 2:Cho phng trỡnh: x2 + (m + 1)x + m2 = (m l tham s) Tỡm m phng trỡnh cú nghim phõn bit Hng dn gii: Phng trỡnh cú nghim phõn bit khi: > (m + 1)2 - m2 > 2m + > m > -1 Bi 3: Cho phng trỡnh: x2 2(m + 1)x + 2m + = Tỡm tt c cac gia tri ca m phng trỡnh cú nghim (Trớch thi vo lp 10 tnh Thanh Hoa, nm hc 2000 - 2001) Hng dn gii: Phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai cú: '= ( m+1) - ( 2m+5 ) = m + 2m +1-2m -5= m -4 m 2 phng trỡnh cú nghim thỡ ' m m m Nhn xột: T bi 2, bi mt ln na tụi nhn mnh li kin thc cho hc sinh: - Phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú nghim hoc ' - Phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú hai nghim phõn bit > hoc ' > Bi 4: Tỡm cac gia tri ca tham s m phng trỡnh sau vụ nghim x 2mx m m + = (Trớch thi vo lp 10 tnh Thanh Hoa, nm hc 2006 - 2007) Hng dn gii: Phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai cú: '= m2 - ( -m m + ) = m + m m -2 -m -2= -2< - Nu m < thỡ m = - m'= m + m Do ú phng trỡnh vụ ( ) nghim - Nu m thỡ m = m'= m +2m m ( -2= ) 2m -22 Phng trỡnh vụ nghim 2m2 < m2 < m Qua bi v bi tụi khc sõu kin thc cho hc sinh: Nu phng trỡnh ax + bx + c = cú h s a cú cha tham s v cú th bng thỡ tu theo yờu cu ca bi toỏn ta cn xột cỏc trng hp xy (nh bi 5) hay t iu kin a (nh bi 6) Bi 7: Cho phng trỡnh: 4x2 + 2(m -1)x m = (m l tham s) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tho x12 +x 22 - x1x = Hng dn gii: Phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai cú: ' = ( m 1) + 4m = m + 2m + = ( m + 1) , m m Do ú phng trỡnh luụn cú hai nghm: x1 = ; x2 = 2 11 m Thay x1 = ; x2 = vo x12 + x22 x1x2 = ta c phng trỡnh: 2 m2 m + + = m2 + m = 4 29 Gii phng trỡnh ta c: m = Nhn xột: - Khi a bi trờn tụi mun nhn mnh cho hc sinh: Vi nhng phng trỡnh m hoc ' biu din c v dng bỡnh phng ỳng ca mt biu thc thỡ ỏp dng cụng thc nghim hay cụng thc nghim thu gn ta tớnh c nghim ca phng trỡnh dng n gin, khụng cha cn Khi ú ta cú th cú li gii p cho nhng bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s hai nghim cu phng trỡnh tho iu kin cho trc - Vi nhng bi toỏn m hai nghim x1 v x2 cú vai trũ khụng nh thỡ gii theo cỏch ny phi xột hai trng hp xy ca x1 v x2 - Bi toỏn trờn ta cũn gii theo cỏch quen thuc l ỏp dng h thc Vi-ột m tụi xin khụng cp n bi vit ny Bi 8: Cho phng trỡnh: x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = (a l tham s) Tỡm gia tri ca a phng trỡnh trờn cú nghim x0 cho x0 t gia tri ln nht Hng dn gii: Gi s phng trỡnh cú nghim l x0 Ta cú: x + x + 2ax + ( a +1) = 0 0 x04 + x02 + 2ax0 + a + 2a +1 = ( ) ( ) a + x + a + x + x +1 = (*) 0 Vỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x0 nờn phi tn ti giỏ tr ca a cú nghim x0 Vỡ vy phng (*) phi cú nghim a Phng trỡnh (*) cú nghim a ' (0 ) (0 ) 2 ( x +1) ( x +1) 0 x +1 x + x2 +1 ( )( ) ( x02 + x0 + ) x0 ( x0 ) x0 +1 + x02 +1 x0 +1 x02 x0 x0 ( Do x02 + x0 + = x0 + ữ + > 0) x0 ( ) Vỡ x0 nờn giỏ tr ln nht ca x0 l xy ti a = - (x0 + 1) = -2 Nhn xột: T cỏch gii trờn ta cũn tỡm c giỏ tr nh nht ca x0 l xy ti a = -1 12 Trong bi 8, phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc bn vi n x Vi cỏch gii trờn ta ó i vai trũ n v tham s, a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai vi n a, coi x0 nh tham s T iu kin tn ti nghim ca phng trỡnh bc hai ta tỡm c giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca x Phng phỏp gii nh trờn gi l hoỏn i vai trũ n v tham s Qua bi ny, tụi lu ý cho hc sinh gp nhng phng trỡnh m n khụng phi l bc hai nhng tham s cú bc hai thỡ ta ngh n cỏch gii hoỏn i vai trũ ca n v tham s tng t nh cỏch gii trờn Dng 4:ng dng ca cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn vo gii cac bi toan khac ng dng 1: ng dng vo gii phng trỡnh nghim nguyờn Bi 1: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh sau: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Phõn tớch, tỡm hng gii: Ta thy phng trỡnh trờn cỏc n x v y u cú bc cao nht l Do ú ta cú th a phng trỡnh v phng trỡnh bc hai vi mt n, coi n cũn li nh tham s Khi ú t iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai nu ta gii hn c khong giỏ tr ca mt n thỡ s tỡm c cỏc giỏ tr nguyờn v suy c cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh Hng dn gii: Phng trỡnh ó cho vit di dng: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 28x = (1) Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai n y thỡ ta cú: ' = ( 3x 14 ) 12 x 28 x ( ) = x2 84 x +196 36 x2 + 84 x = 27 x +196 phng trỡnh cú nghim thỡ ' Suy x x { 2; 1;0;1;2} 20 88 - Nu x = -2 thỡ ' = 88 Khi ú phng trỡnh (1) cú nghim y = khụng l s nguyờn nờn loi - Nu x = - thỡ ' =169 Suy y = 10 (chn) v y = (loi) 28 (loi) - Nu x = thỡ ' =169 Suy y = (chn) v y = (loi) - Nu x = thỡ ' =196 Suy y = (chn) v y = 88 - Nu x = -2 thỡ ' = 88 Khi ú phng trỡnh (1) cú nghim y = khụng l s nguyờn nờn loi Vy phng trỡnh cú cỏc nghim nguyờn (x; y) l: (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Nhn xột: - Nu ta a phng trỡnh trờn v phng trỡnh bc hai vi n x v tớnh ' theo y thỡ li gii s phc hn rt nhiu Do vy gp dng bi ny tụi thng lu ý cho hc sinh phi xem nờn a v phng trỡnh bc hai vi n no li gii l ngn gn nht 13 - Vi mt s phng trỡnh thỡ sau tớnh hoc ' ta phi kt hp vi mt vi kin thc v s hc mi tớnh c nghim Ta xột bi sau: Bi 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hng dn gii: Phng trỡnh ó cho vit di dng: y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + = (2) Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai n y thỡ ta cú: ' = ( x +1) 3x2 + x + = x + x +1 3x x = x ( ) Phng trỡnh (2) cú nghim nguyờn v ch ' l s chớnh phng t x2 = n2 ( vi n N ) thỡ ta cú: x2 = n2 (x n).(x + n) = Vỡ x + n v x n cựng tớnh chn, l vi mi giỏ tr nguyờn ca x v n nờn suy ra: x n = x + n = hoc x n = x + n = -2 T ú ta c x = hc x = -2 - Vi x = - thỡ ta tớnh c y = - Vi x = thỡ ta tớnh c y = -5 Vy phng trỡnh cú hai nghim nguyờn (x; y) l (-2; 3) v (2; -5) Nhn xột: - Trong cỏch gii trờn ta ó s dng mt cỏch gii khỏc ca phng trỡnh nghim nguyờn ú l cỏch a v phng trỡnh c s - gim bt vic xột cỏc trng hp xy ca phng trỡnh (x n).(x + n) = ta ó s dng mt tớnh cht, ú l: Vi hai s nguyờn a v b ta luụn cú a + b v a b l hai i lng cựng chn hoc cựng l Vi cỏch gii tng t bi 2, ta cú bi sau õy: Bi 3: Cho phng trỡnh: x2 2ax (a + 3) = (a l tham s) Hóy tỡm tt c cac s nguyờn a cho phng trỡnh trờn cú nghim nguyờn Hng dn gii: Phng trỡnh x 2ax (a + 3) = (3) l phng trỡnh bc hai n x cú ' = a + a + Phng trỡnh (3) cú nghim nguyờn v ch ' l s chớnh phng t a2 + a + = k2 (vi k N ) Ta cú: a2 + a +3 = k 4a + 4a +12 = 4k ( 2a +1) ( 2k ) =11 ( 2a +1 2k ) ( 2a +1 + 2k ) =11 a +1 k a +1 + k a +1 k 2a +1 + 2k = = 11 = 11 =1 ( 2a + 2k < 2a + + k ; k N ) k = a =2 k =3 a = Vy a = v a = - l giỏ tr cn tỡm 14 Bi 4: Tỡm cac nghim nguyờn (x; y) ca phng trỡnh: 5(x2 + xy + y2 )= 7(x + 2y) (Trớch thi hc sinh gii lp tnh Thanh Hoa nm hc 2014 - 2015) Hng dn gii: a phng trỡnh ó cho v dng: 5y2 + (5x - 14)y + 5x2 7x = Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai n x, ta cú: ( = ( x 14 ) 4.5 x x ) = 25 x 140 x + 196 100 x + 140 x = 75 x + 196 phng trỡnh cú nghim thỡ x 196 x { 0; 1;1} 75 Vi x = thỡ ta tớnh c y = Vi x = thỡ ta tớnh c y = Vi x = - thỡ ta tớnh c y = Vy phng trỡnh cú ba nghim nguyờn (x; y) l: (0; 0); (-1; 3); (1; 2) Nhn xột: Sau gii thiu cỏc bi trờn tụi nhn mnh cho hc sinh thy rng: Khi gii phng trỡnh nghim nguyờn m phng trỡnh a c v dng phng trỡnh bc hai vi mt cỏc n thỡ ta cú th ngh n phng phỏp gii dng cụng thc nghim hoc cụng thc nghim thu gn tng t vi cỏc cỏch gii trờn ng dng 2:ng dng vo gii h phng trỡnh 698 (1) x + y = 81 Bi 1: Gii h phng trỡnh: x + y + xy 3x y + = (2) Hng dn gii: Ta cú: (2) x + ( y 3) x + ( y ) = phng trỡnh trờn cú nghim i vi n x, ta phi cú: ( y 3) ( y ) ( y ) ( y ) y (3) Mt khỏc ta li cú: (2) y + ( x 4) y 3x + + x = phng trỡnh trờn cú nghim i vi n y, ta phi cú: ( x ) x 3x + x ( 3x ) x (4) T (3) v (4) ta cú: ( ) 697 698 , khụng tho phng trỡnh (1) x + y ữ + ữ = < 81 81 Vy h phng trỡnh ó cho vụ nghim 15 x + y = Bi 2: Gii h phng trỡnh: x + xy + y y = (1) (2) (Trớch thi hoc sinh gii lp tnh Thanh Hoa nm hoc 1998 1999, bng A) Hng dn gii: Coi phng trỡnh (2) l phng trỡnh bc hai n x thỡ ta cú: = y y y = y + y = y ( y ) ( ) phng trỡnh (2) cú nghim x thỡ y ( y ) y T phng trỡnh (2) ta cú: y2 + (x - 1)y + x2 = Coi phng trỡnh l phng trỡnh bc hai n y thỡ ta cú: = ( x 1) x = 3x x + = ( x + 1) ( 3x ) (3) phng trỡnh (2) cú nghim y thỡ ( x + 1) ( 3x ) x 1 11 T (3) v (4) suy ra: x + y + ữ = < (khụng tho (1)) 23 Vy h phng trỡnh ó cho vụ nghim x + y + z + xy xz yz = Bi 3: Gii h phng trỡnh: x + y + yz xz xy = Hng dn gii: ( x + y ) z ( x + y ) + z = Ta cú: (I) ( x y ) z ( x y ) + 1= (4) (I) (1) (2) Coi phng trỡnh (1) l phng trỡnh bc hai n x + y, phng trỡnh cú nghim 2 2 ta phi cú: z z 3z + 12 z z (3) ( ) Coi phng trỡnh (2) l phng trỡnh bc hai n x - y, phng trỡnh cú nghim ta z 2 phi cú: z (4) z T (3) v (4) suy z = hoc z = -2 - Vi z = thay vo h phng trỡnh (I) ta c: ( x + y ) ( x + y ) +1 = x + y =1 x =1 ( x + y 1) = (I ) y = x y =1 ( x y 1) = ( x y ) ( x y ) +1 = - Vi z = - thay vo h phng trỡnh (I) ta c: x + y +1 = ( x + y ) + ( x + y ) +1 = ) ( (I ) ( x y ) + ( x y ) +1 = x + y =1 x =1 y = x y =1 ( x y +1) = Vy h phng trỡnh (I) cú hai nghim (x, y, z) l: (1; 0; 2); (-1; 0; -2) Nhn xột: 16 Qua cỏc bi gii h phng trỡnh trờn tụi thng cht li kin thc cho hc sinh: Khi gp bi gii h phng trỡnh m h ó cho cú phng trỡnh a c v dng phng trỡnh bc hai thỡ ta nờn ngh n vic ỏp dng cụng thc nghim hay cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai gii hn giỏ tr ca cỏc n, t ú cú th giỳp ta cú c li gii p cho bi toỏn ng dng 3: ng dng vo bi toan chng minh bt ng thc, tỡm gia tri ln nht, gia tri nh nht Bi 1: Cho x, y tho món: x2 + y2 = xy x + 2y -2 3 x Chng minh rng: 3 Hng dn gii: 2 Ta cú: x + y = xy x + 2y y ( x + ) y + x + x = (*) Ta coi phng trỡnh trờn l phng bc hai vi n y thỡ ta cú: = ( x + ) x + x = x + x + x x = 3x + ( ) tn ti x; y tho iu kin x2 + y2 = xy x + 2y thỡ phng (*) phi cú nghim y Do ú Suy ra: 2 3 x2 x x 3 3 3 Vy ta chng minh c : x 3 125 Bi 2: Cho x 1; y tho y x + x = y Chng minh rng: x3 64 Hng dn gii: 2 Ta cú: y x + x = y y x y + x = 125 - Nu x = thỡ y = 0, ta cú x3 = 1< (ỳng) 64 - Nu x > thỡ phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai vi n y Phng trỡnh cú nghim v ch khi: ( x 1) x x 125 Vi x thỡ x3 64 125 Vy ta chng minh c x3 64 Bi 3: Cho x, y, z l cac s dng thay i tho món: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 Tỡm gia tri ln nht ca biu thc B = x + y + z (Trớch thi tuyn sinh vo lp 10 tnh Thanh Hoa, nm hc 2016 - 2017) Hng dn gii: Ta cú: 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 x2 + xyz + y + 3z 60 = (*) Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh bc hai n x thỡ ta cú: ' = ( yz ) y + 3z 60 = y z 20 y 15 z + 300 = 15 y 20 z ( ) ( )( ) 17 Vỡ 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 v x, y, z nguyờn dng nờn y 60; 3z 60 Do ú: y 15; z 20 15 y 0; 20 z Vỡ v x dng nờn phng trỡnh (*) cú nghim: x= ( )( yz + 15 y 20 z ) p dng bt ng thc Cauchy vi hai s khụng õm 15 y2 v 20 z2 ta luụn cú: ( ) ( ) ( )( ) 15 y + 20 z 15 y 20 z ( )( ) 35 y z 2 15 y 20 z 35 y z Suy ra: yz + 35 y z 35 ( y + z ) 2 x = = 10 10 35 ( y + z ) + 10( y + z ) 60 ( y + z 5) x+ y+ z = 10 10 y + z = x =1 2 Du bng xy v ch 15 y = 20 z y = x + y + z = z = yz + Vy giỏ tr ln nht ca B l xy x = 1; y = 2; z = Nhn xột: Khi a cỏc bi trờn tụi cht li ghi nh cho hc sinh: Trong cỏc bi chng minh bt ng thc, nu bi cú cỏc iu kin m biu din c v dng phng trỡnh bc hai thỡ hóy nh n cỏch gii dng cụng thc nghim hay cụng thc nghim thu gn, cú th ta s tỡm c li gii hay cho bi toỏn x2 x + Bi 4: Cho biu thc: y = Tỡm gia tri ln nht v gia tri nh nht x2 + x + ca y Hng dn gii: 2 Ta cú: x + 2x + = (x + 1) + > vi mi x nờn y xỏc nh vi mi giỏ tr ca x y= x2 x + yx + yx + y = x2 x + ( y 1) x + ( y + 1) x + ( y 1) = x + 2x + (*) - Nu y = thỡ thay vo (*) ta cú x = - Nu y thỡ (*) l phng trỡnh bc hai vi n x tn ti x thỡ ' ' ( y + 1) ( y 1) y y + ( y 3) 2 y + 2 T ú ta cú: ( y + 1) = = Giỏ tr nh nht ca y l 3-2 xy ti x = y 18 ( y + 1) 4+2 = = y 2+2 Vy: Giỏ tr ln nht ca y l 3+2 xy x = - ; Giỏ tr nh nht ca y l 3-2 xy ti x = Nhn xột: Phng phỏp gii nh trờn c gi l phng phỏp xỏc nh giỏ tr ca hm s Ta cn nhn mnh cho hc sinh rng hm s cú th a v dng ca mt phng trỡnh bc hai thỡ ta cú th tỡm c giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s bng cỏch nh trờn Mt s bi tng t: Bi Cho phng trỡnh x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp ? Hóy tớnh nghim kộp ú Bi Cho phng trỡnh x2 4x m2 + 6m = vi m l tham s a) Gii phng trỡnh vi m = b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m Bi Cho phng trỡnh bc 2: x2 - (2m + 1)x + m2 = (1) a) Gii phng trỡnh vi m = b) Vi giỏ tr no ca m phng trỡnh (1) cú nghim kộp.Tỡm nghim kộp ú Bi Cho phng trỡnh : 2x2 + (2m 1)x + m = (1) ( m l tham s) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit Bi Cho phng trỡnh x +2(m+1)x-2m4 +m2 =0 (m l tham s) Giỏ tr ln nht ca y l 3+2 xy ti x = a) Gii phng trỡnh m = b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m Bi Tỡm tham s m phng trỡnh :x2 +2(m +1)x +2m2 +2m +1 = vụ nghim Bài Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Bi Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim nht: m(m-1)x2 + 2(m-1)x + 2(m-1)=0 Bi Gii v bin lun phng trỡnh sau theo tham s a: ax2 2(3a+1)x + a = x +y2 +z =1 (1) Bi 10 Gii h phng trỡnh: x + y2 -2xy + 2yz -2xz +1=0 (2) Bi 11 Gii phng trỡnh nghim nguyờn: x2 + 13y2 6xy = 100 x3 + y = Bi 12 Gii h phng trỡnh: x + y + xy - y = x2 + x + Bi 13 Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: y = x2 + Bi 14: Tỡm giỏ tr ca tham s a phng trỡnh sau cú nghim: x4 + 2ax2 + x + a2 + a = Bi 15: Tỡm x y t giỏ tr ln nht tho món: x2 + y2 + 2xy 8x + 6y = 19 2.4 Hiu qu ca sang kin kinh nghim Sau nhiu nm ging day mụn toỏn lp 9, ụn cho hc sinh thi vo lp 10 THPT, thi vo cỏc trng THPT chuyờn, thi hc sinh gii cp huyn, cp tnh, sau mi nm tụi li tớch lu thờm cỏc bi lớ thỳ v phn ny T mt n v kin thc sỏch giỏo khoa, tụi ó giỳp hc sinh h thng c cỏc dng bi thng gp cỏc thi, cng c c phng phỏp gii mi dng bi Mi dy cho hc sinh ng dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn vo gii cỏc dng bi tp, c bit l gii thiu cỏc bi ng dng vo gii phng trỡnh nghim nguyờn, gii h phng trỡnh, chng minh bt ng thc hay phng phỏp hoỏn i vai trũ n v tham, s thỡ nhiu hc sinh thy bt ng vi cỏch gii Cỏc em thy c nhng iu vụ cựng thỳ v n sau nhng cụng thc n gin sỏch giỏo khoa m cỏc em c hc õy chớnh l mt nhng ni dung to c hng thỳ hc tp, rốn luyn úc sỏng to, trau di t linh hot cho hc sinh T ú thp sỏng nim say mờ hc ca hc sinh Sau truyn t ni dung ny ti hc sinh, cỏc hc sinh tụi dy u ghi nh kin thc v phng phỏp gii rt tt Mi gp nhng bi dng ny cỏc em rt t tin v dng c cỏc kin thc m mỡnh ó c lnh hi Qua cỏc nm ging dy, hc sinh ca tụi thi vo lp 10 THPT im mụn toỏn tng i cao, cú nhiu em c im tuyt i mụn toỏn Nhiu em thi u vo cỏc trng chuyờn Lam Sn, chuyờn ca trng i hc khoa hc t nhiờn cú em tip tc hc lờn THPT ó t gii hc sinh gii cp quc gia mụn toỏn Trong k thi hc sinh gii cp huyn, cp tnh, nhiu em ó t thnh tớch cao: gii nht, gii nhỡ cp huyn, t gii nhỡ cp tnh Kt qu ú giỳp tụi khng nh rng sỏng kin kinh nghim ca mỡnh thc s em li hiu qu ging dy 3.KT LUN, KIN NGH 3.1 Kt lun L mt giỏo viờn trc tip ging dy tụi nhn thy rng mun hc sinh nm vng kin thc thỡ mi thy giỏo, cụ giỏo phi thc s tõm huyt vi ngh, phi kiờn trỡ un nn cho mi hc sinh cỏc em cha nm vng kin thc Khi cng c mt ni dung kin thc no thỡ tụi luụn tuõn th theo nguyờn tc t d n khú, t n gin n phc H thng bi tụi a cho hc sinh luụn bỏm sỏt vo cỏc thi to sc thuyt phc cho hc sinh Kin thc tụi truyn th n hc sinh luụn cú h thng, mi dng bi phi cht c phng phỏp gii giỳp hc sinh cú c nhng k nng t sỏng to, nhy bộn hc v thc hnh ũi hi giỏo viờn phi s dng nhiu phng phỏp s phm, nhiờn khụng cú phng phỏp no l nng t c mt kt qu tt cỏc kỡ thi m ú l s tng hp ca nhiu phng phỏp khỏc Khi dy hc sinh cỏch dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn vo gii cỏc dng bi tp, giỏo viờn cn s dng linh hot, mm do, tu thuc vo kh nng nhn thc ca hc sinh Sau mt thi gian dng sỏng kin kinh nghim ny vo ging dy tụi nhn thy rng nhng kinh nghim ny phự hp vi ni dung chun kin thc k nng v bỏm sỏt cu trỳc thi vo lp 10 THPT, thi hc sinh gii, hc sinh ch 20 ng, tớch cc vic lnh hi kin thc v k nng Khụng khớ hc sụi ni, hc sinh yờu thớch mụn hc hn Tụi hi vng rng vi vic ỏp dng ti ny giỳp cho hc sinh t kt qu cao hn cỏc k thi m cỏc em s phi vt qua Trờn õy l mt s kinh nghim nh m tụi ỳc rỳt c qua quỏ trỡnh ging dy t cỏc nm hc v mun chia s vi ng nghip Tuy nhiờn, thi gian cú hn tụi khụng th trỡnh by t m, chi tit, c th; nhng hiu bit v kinh nghim trờn chc chn khụng trỏnh nhng sai sút, rt mong c s gúp ý chõn thnh ca cỏc ng nghip bn thõn tụi c hc hi, tip tc trau di v hon thin nhm gúp phn nõng cao cht lng ging dy ca mỡnh 3.2.Kin nghi Hng nm, phũng giỏo dc o to, s giỏo dc v o to t chc cỏc lp chuyờn v i mi phng phỏp ging dy, trao i kinh nghim ging dy mt cỏch hiu qu v thit thc cỏc giỏo viờn cú dp cựng trao i, hc hi kinh nghim Ph bin cỏc sỏng kin kinh nghim hay huyn, tnh cho giỏo viờn ỏp dng vo quỏ trỡnh ging dy cỏc nh trng XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Hoỏ, ngy thỏng 05 nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Tac gi: Vu Thi Tuyờn 21 TAI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa toỏn 9, 2 Sỏch bi toỏn 9, Sỏch giỏ viờn toỏn 9, Phng trỡnh bc hai v mt s ng dng; tỏc gi Nguyn c Tn 500 bi toỏn chn lc lp 9; tỏc gi Nguyn Ngc m - Nguyn Quang Hnh Ngụ Long Hu Toỏn bi dng hc sinh lp - i s; tỏc gi V Hu Bỡnh - Tụn Thõn - Quang Thiu ễn luyn thi vo lp 10 mụn toỏn; tỏc gi Tụn Thõn Mai Cụng Món - Nguyn Vn Ngc Hong Xuõn Vinh ễn thi vo lp 10 mụn toỏn; tỏc gi Phan Doón Thoi(ch biờn) - Trnh Thuý Hng - Li Thanh Hng Hong Xuõn Vinh Tp toỏn tui th 10 Cỏc thi vo lp 10 ca cỏc tnh thnh c nc 11 thi hc sinh gii mụn toỏn lp cp tnh ca tnh Thanh Hoỏ 22 DANH MUC CAC ấ TAI SANG KIN KINH NGHIM C HI NG ANH GIA XP LOAI CP PHềNG GD&T, CP S GD&T VA CAC CP CAO HN XP LOAI T C TR LấN H v tờn tỏc gi: V Th Tuyờn Chc v v n v cụng tỏc: T trng t t nhiờn, trng THCS Lờ Thỏnh Tụng, huyn Th Xuõn, tnh Thanh Hoỏ, Cp anh Kt qu gia xp loi anh gia TT Tờn ti SKKN (Phũng, S, xp loi (A, Tnh ) B, hoc C) Mt vi suy ngh t mt bi Phũng A S C toỏn Tớnh giỏ tr ca dóy s Phũng B Rốn luyn t cho hc Phũng C Nm hc anh gia xp loi 2003 2004 2007 - 2008 2011 - 2012 sinh thụng qua dng bi tớnh giỏ tr ca mt biu thc Kinh nghim hng dn hc Phũng B 2016 - 2017 sinh lp dng cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai vo gii cỏc dng bi 23 ... a2 + a + = k2 (vi k N ) Ta cú: a2 + a +3 = k 4a + 4a + 12 = 4k ( 2a +1) ( 2k ) =11 ( 2a +1 2k ) ( 2a +1 + 2k ) =11 a +1 k a +1 + k a +1 k 2a +1 + 2k = = 11 = 11 =1 ( 2a + 2k < 2a... b + c ) - 3ab +3ac + 2bc + ữ = a + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc-3ab -3ac-2bc= a2 a2 2 + b + c -ab -ac a2 a2 -ac + c2 ữ ữ ữ 2 a a = -b ữ + -c ữ 2 a a Vỡ -b ữ v -c ữ nờn ' vi mi... kộp x1 = x2 = -2 c, =1-40= - 39 < Phng trỡnh vụ nghim Bi 2: Gii phng trỡnh: ( 3x 1) ( x + ) = 20 Hng dn gii: ( 3x 1) ( x + ) = 20 3x + x x = 20 3x + x 22 = = 52 - 4.3.( -22 ) = 2 89 Vỡ >