MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 1 2 2 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Ngày nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá đại hoá đất nước Hướng đổi giáo dục đào tạo đào tạo người động, sáng tạo, chủ động trong học tập lao động để thích ứng với sống Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em Học sinh nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp học lớp học phương pháp tự học để đáp ứng đổi thường xuyên khoa học công nghệ ngày Toán học môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Đặc biệt với phân môn số học giúp cho học sinh khả tính toán, suy luận logíc phát triển tư sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải toán sở kiến thức học Qua nhiều năm công tác giảng dạy Toán trường THCS nhận thấy việc học toán nói chung bồi dưỡng học sinh lực học toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải toán việc cần làm giáo viên giúp học sinh khai thác đề toán để từ toán ta cần thêm bớt số giả thiết hay kết luận ta có toán phong phú hơn, vận dụng nhiều kiến thức học nhằm phát huy nội lực giải toán nói riêng học toán nói chung Vì sức tìm tòi, giải chắt lọc hệ thống lại số tập mà ta khai thác đề để học sinh lĩnh hội nhiều kiến thức toán - Với mong muốn góp phần công sức nhỏ nhoi việc bồi dưỡng lực học toán cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán ngày khả quan Với lí trên, xin trình bày đề tài “Khai thác phát triển toán từ toán ban đầu nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS” hi vọng góp phần vào giải vấn đề 1.2 Mục đích nghiên cứu Giáo viên tìm cách khai thác toán ban đầu để giúp học sinh phát triển thành toán khó hơn, phức tạp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc hướng dẫn để giúp học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS khai thác phát triển toán từ toán ban đầu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu : Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo,… - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, cô giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh trình lâu dài *Tư tích cực, độc lập sáng tạo HS thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Có óc hoài nghi, đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách khác không? Các trường hợp khác kết luận hay không? … - Tính độc lập thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết *Khai thác, phát triển kết toán nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại toàn bước giải Rút phương pháp giải loại toán Rút kinh nghiệm giải toán - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có toán, đề xuất toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua trình công tác giảng dạy, thấy: - Đa số học sinh, sau tìm lời giải cho toán em hài lòng dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm toán, không sáng tạo thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Học sinh học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập Từ dẫn đến làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Không học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Học không đôi với hành, làm cho thân học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán tiết dạy nói riêng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em học sinh , giúp học sinh có hứng thú học toán - Trước thực trạng đòi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp Trong năm học 2016 – 2017, giao nhiệm vụ dạy Toán Khối có lớp với tổng cộng 68 học sinh, số học sinh khá, giỏi toán 19 em Giữa học kì I năm học, kiểm tra kiến thức toán học sinh với đề kiểm tra khảo sát sau: (Thời gian: 60 phút) Bài 1(4 điểm): Tính tổng sau: a A = + + + + 50 b B = + + + + 49 c C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 49.50 d D = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Bài 2(3 điểm): Tính tổng sau: a A = + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 b B = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 502 Bài 3(3 điểm): 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 + + + b Cho B = Chứng minh: B < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 a Tính tổng: A = Kết ban đầu chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này: Số Học sinh 19 Số học sinh đạt điểm trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ ( % ) 15,8 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua toán mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết toán Bằng hình thức như: - Kiểm tra kết Xem xét lại lập luận - Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu toán có cách giải khác hay không? từ toán cho có rút toán tổng quát không? Có thể thay đổi kiện cho để đề xuất toán không? Bài toán cho có liên quan với toán khác không? Trong đề tài này, xin minh hoạ cách khai thác, phát triển từ kết ba toán tính tổng lớp quen thuộc Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học toán nói chung số học nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học toán; giúp học sinh thêm yêu thích môn Toán hơn, nâng cao chất lượng mũi nhọn Đặc biệt kết học tập môn toán ngày nâng lên rõ rệt Từ kết toán ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển toán, tạo chuỗi toán hay thú vị khác Sau vài ví dụ minh hoạ: Dạng 1: Khai thác, phát triển từ số toán liên quan đến tính tổng số tự nhiên, tổng lũy thừa với số số mũ số tự nhiên 1.1 Bài toán hướng khai thác toán 1: Tính tổng: A = + + + + 100 Phân tích toán: Đây tổng số tự nhiên liên tiếp, khoảng cách chúng Để tính tổng A ta tính xem tổng A có số hạng sau sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để tính tổng Từ ta có cách giải toán sau: Giải Cách 1: Ta có A = + + + + 100 + A = 100 + 99 + 98 + + A = 101 + 101 + + 101 100 số hạng A = 101 100 A = 101.50 A = 5050 Giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác Cách 2: Ta có số số hạng tổng là: (100 - 1) : + = 100 Do đó: A = + + + + 100 A = (1+ 100) + + (49 + 51) 50 cặp A = 101 + 101 + 101 + + 101 50 cặp A = 101.50 A = 5050 Như vậy: Muốn làm tốt toán ta thực bước sau: Bước 1: Tìm số số hạng dựa theo công thức: (Số cuối - số đầu) : khoảng cách hai số liên tiếp + Bước 2: Ghép cặp Có nhiều cách ghép cặp, nhiên thông thường ta nên ghép cặp sau: số hạng đầu với số hạng cuối Bước 3: Tính tổng cho cách chuyển tổng cần tìm tìm tích Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát toán Bài toán 1.1: Tính tổng: B = + + + + n (với n ∈ N*) Từ cách giải toán ta có công thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến n (Với n∈ N* ) sau: + + + + n = n(n + 1) với n∈ N * Vậy dựa theo công thức tổng quát để tính tổng dãy số cách Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách số hạng dãy toán Bài toán 1.2: Tính tổng: a) C = + + + + 49 b) D = + + + + 100 Giải (1 + 49).25 50.25 = = 25 = 625 2 ( + 100).50 102.25 = = 2550 b) Tổng D có: ( 100− 2) : 2+ 1= 50 (số hạng) ⇒ D = 2 a) Tổng C có: ( 49 − 1) :2 + 1= 25 (số hạng) ⇒ C = Từ toán 1.2 ta có toán tổng quát sau : Bài toán 1.3: Tính tổng: a) + + + +(2n – 1) (Với n∈ N* ) b) + + + + 2n (Với n∈ N* ) Giải Với cách làm toán 1.2, ta có: a) Công thức tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2n - (Với * n∈ N ) sau: + + + + (2n-1) = n2 với n ∈ N* b) Công thức tính tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp từ đến 2n (Với n∈ N* ) sau: + + + + 2n = n(n+1) với n ∈ N* Hướng khai thác thứ ba: Thay đổi yêu cầu toán Bài toán 1.4: Tìm số tự nhiên x biết: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .+ (x + 48) + (x + 49) = 1275 Phân tích toán: Thoạt nhiên có nhiều học sinh lúng túng gặp này, giáo viên gợi ý học sinh câu hỏi: Em nhóm số hạng x vế trái thành nhóm, số hạng lại thành nhóm Nếu học sinh không trả lời giáo viên viết lại toán sau: Tìm số tự nhiên x biết: ( x + x + x + .+ x) + (1 + + + + 48 + 49) = 1275 có số hạng x Từ vận dụng phương pháp làm toán 1.1 để giải toán này? ( giáo viên yêu cầu ) Và ta có cách làm sau: Giải Ta có: x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .+ (x + 48) + (x + 49) = 1275 ( x + x + x + .+ x) + (1 + + + + 48 + 49) = 1275 50 số hạng 50.x + (49 + 1).49 = 1275 50.x + 1225 = 1275 50.x = 1275 - 1225 50.x = 50 x =1 Vậy x = 1.2 Bài toán hướng khai thác toán 2: * Tính tổng: D = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 99.100 Phân tích toán: Mỗi hạng tử tổng tích, tích có hai thừa số, khoảng cách hai thừa số Để tính tổng D ta biến đổi D để làm xuất hạng tử đối để triệt tiêu dần hạng tử Ta nhân hai vế D với Thừa số viết dạng – số hạng thứ nhất, – số hạng thứ hai, – số hạng thứ ba… 101 – 98 số hạng cuối từ ta có cách giải toán sau: Giải 3D = 1.2.(3 – ) + 2.3.(4 – ) + 3.4 (5 – 2) + …+ 99.100 (101 – 98) = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ 98.99.100 + 99.100.101) – (0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + …+ 97.98.99 + 98.99.100) = 99.100.101 = 99.100.101 : = 333300 Vậy D = 333300 * Các hướng khai thác toán Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát toán Bài toán 2.1: Tính tổng: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 +…+ n(n+1) Từ cách giải toán ta có công thức tổng quát: 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 +…+ n(n+1) = n.(n + 1).(n + 2) với n ∈ N* Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử toán Nhận xét: Trong toán 2, thừa số hạng tử (cách nhau) đơn vị ta thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử toán phát triển thành số toán sau: Bài toán 2.2: Tính: F = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải 6F = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 +…+ 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 ⇒ F = ( + 97.99.101 ) : = 161 651 Từ toán 2.2 ta có toán tổng quát sau: Bài toán 2.3: Tính tổng: G = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n – 1).(2n + 1) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 2.2, ta có công thức tổng quát: 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n - 1).(2n+1) = + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) với n ∈ N* Nhận xét: Ta thấy khoảng cách hai thừa số số hạng toán – = - = – = …= 1; Ở toán 2.2 – = – = – = … = Trong toán 2.2 ta nhân hai vế E với ( lần khoảng cách hai thừa số ), toán 2.2 ta nhân hai vế F với (3 lần khoảng cách hai thừa số) Từ nhận xét học sinh làm dạng theo hướng khai thác thứ Giáo viên tập nhà theo hướng khai thác sau: Tính G1 = 1.4 + 4.7 + 7.10 + … + 97.100 (Gợi ý: nhân hai vế G1 với lần khoảng cách ) Tính G2 = 1.5 + 5.10 + 10.15 + …+ 100.105 (Gợi ý: nhân hai vế G2 với lần khoảng cách ) Tính G3 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ….+ 98.100 ( Gợi ý: nhân hai vế G3 với lần khoảng cách ) Bài toán 2.4: Tính tổng: H = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200 Phân tích toán : Ta thấy số hạng tổng tích số tự nhiên chẵn liên tiếp Do đó, để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số hạng với ta nhân hai vế H với Thừa số viết dạng: (6 - 0) số hạng thứ nhất, (8 - 2) số hạng thứ hai, (10 - 4) số hạng thứ ba, ,(202 - 196) số hạng cuối Giải 6.H = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6 6.H = 2.4.6 + 4.6.(8 – 2) + 6.8.(10 – 4) + … + 196.198.(200 – 194) + 198.200.(202 – 196) 6.H = 2.4.6 + 4.6.8 - 2.4.6 + 6.8.10 - 4.6.8 +…+ 196.198.200 - 194.196.198 + 198.200.202 - 96.198.200 6.H = 198.200.202 ⇒ H = 198.200.202 : = 333 200 Từ toán 2.4 ta có toán tổng quát sau : Bài toán 2.5: Tính tổng I = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n – 2).2n với n ∈ N*, n > Giải Với cách làm toán 2.4, ta có công thức tổng quát: 2.4 + 4.6 + 6.8 + + (2n – 2).2n = (2n − 2)2n(2n + 2) với n ∈ N*, n > Bài toán 2.6: Tính tổng: K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Phân tích toán: Để tính tổng K ta không nhân vế với số thích hợp mà tách thừa số số hạng làm xuất tổng khác mà ta biết cách tính dễ dàng tính Giải K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99 = (1.2 + 2.3 +3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99) = 99.100.101 99.100 99.100.205 99.100.(99.2 + 7) + = = = 338250 6 Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức K thành tổng hai biểu thức có dạng toán 2.3 2.5 tính tổng K Từ toán 2.6 ta có toán tổng quát sau : Bài toán 2.7: Tính tổng: M = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + n(n + 2) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 2.6, ta có công thức: 1.3 + 2.4 + 3.5 + + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7) với n ∈ N* Bài toán 2.8: Tính tổng: N = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Giải Ta có: N = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 = 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + + 99(100 + 2) = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + + 99.100 + 99.2 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + 2(1 + + + + 99) = 99.100.101 99.100 99.100.104 99.100.(99 + 5) + = = = 343200 3 Từ toán 2.8 ta có toán tổng quát sau : Bài toán 2.9: Tính tổng: P = 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 2.8, ta có công thức: 1.4 + 2.5 + 3.6 +…+ n(n + 3) = n.( n + 1)(n + 5) với n ∈ N* Hướng khai thác thứ ba: Làm tăng thêm thừa số hạng tử toán Bài toán 2.10: Tính tổng: Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + … + 98.99.100 Giải Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 98.99.100 4.Q = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 98.99.100).4 = [1.2.3.(4-0) + 2.3.4.(5-1) + 3.4.5.(6-2) + 4.5.6.(7-3) + …+ 98.99.100(101 – 97)] = (1.2.3.4 - 1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6 – 3.4.5.6 +…+ 97.98.99.100 – 97.98.99.100 + 98.99.100.101) = 98.99.100.101 Vậy Q = 98.99.100.101 = 24 497 550 Từ toán 2.10 ta có toán tổng quát sau: Bài toán 2.11: Tính tổng: R = 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1)(n + 2) với n ∈ N* Giải Ta có: 1.2.3 = 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 − − − ; 2.3.4 = ; 3.4.5 = 4 4 4 ……………… n (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n − 1)n(n + 1)(n + 2) − 4 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: R = 1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1)(n + 2) = Ta có công thức tổng quát: 1.2.3 + 2.3.4 … + n (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) với n ∈ N* Từ toán 2.11, ta tiếp tục thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử, ta có toán sau: Hướng khai thác thứ tư: Vừa làm thay đổi khoảng cách thừa số, vừa làm tăng thêm thừa số hạng tử toán Bài toán 2.12: Tính tổng: S = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Giải 8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) +…+ 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 ⇒ S= 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Nhận xét: Ta thấy khoảng cách hai thừa số liên tiếp hạng tử toán 2.11 là: – = - = – = …= 1; Ở toán 2.12 là: – = – = – = … = Trong toán 2.10 ta nhân hai vế Q với ( lần khoảng cách hai thừa số ), toán 2.12 ta nhân hai vế S với (4 lần khoảng cách hai thừa số) Hướng khai thác thứ năm: Làm thay đổi lặp lại thừa số toán ta có toán sau: 10 Bài toán 2.13: Tính tổng: T = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Giải T = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = T1 + T2 ( T1 dạng toán theo hướng khai thác thứ hai nên học sinh biết cách tính, T2 tổng 100 số chẵn nên học sinh biết cách tính) Khi T = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách giải khác T = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = T3 + T4 ( T3 dạng toán 2.3 nên học sinh biết cách tính, T4 tổng 100 số lẻ nên học sinh biết cách tính ) = 171650 – 2500 = 169150 Trong toán ta không nhân I với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Bài toán 2.14: Tính tổng: U = 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 + …+ 99.99 Phân tích toán: Thoạt đầu có nhiều học sinh lúng túng gặp này, giáo viên gợi ý học sinh câu hỏi: Em nhận dạng toán với toán 2.5 xem chúng có dạng không? Nếu học sinh không trả lời giáo viên viết lại toán sau: U = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1) + …+ 99.(100 – 1) Từ vận dụng phương pháp làm toán 2.5 để giải toán này? ( giáo viên yêu cầu ) Và ta có cách làm sau U = 1.(2-1) + 2.(3-1) + 3.(4-1) + …+ 99.(100 – 1) = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 ) – ( 1+2 + + + …+ 99) = U – U2 ( U1 toán 2.1, U2 tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 99) = 99.100.101 99.100 = 333300 – 4950= 328 350 ? Biểu thức K viết dạng Từ ta phát triển thành toán sau: Bài toán 2.15: Tính tổng: V = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ 992 Bây ta tạm thời quên đáp số 328350 toán 2.14 mà ta biến đổi 99.100.101 99.100 sau: 99.100.101 99.100 99.100.199 99(99 + 1)(2.99 + 1) = = 99 số hạng 6 tiếp hiệu cuối tổng V 11 Từ toán 2.15 ta phát triển thành toán tổng quát sau: Bài toán 2.16: Tính tổng: X = 12 + 22 + 32 + 42 +…+ n2 với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 2.14, 2.15, ta có công thức tính tổng bình phương số tự nhiên từ đến n sau: 12 + 22 + 32 + 42 +…+ n2 = n(n + 1)(2n + 2) với n ∈ N* Thay đổi khoảng cách số 2.15 ta có toán sau: Bài toán 2.17: Tính X = 12 + 32 + 52 + … + 992 Giải X1 = + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = + 2(3 + + + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = + 4998 + 161651 = 166650 Thay đổi số mũ toán 2.15 ta có toán sau: Bài toán 2.18: Tính: X2 = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Giải 3 Ta có: X2 = + + + … + 1003 = 13 – + 23 – + 33 – +…+ 1003 – 100 + ( + + + …+ 100 ) = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + …+ 100( 1002 – ) + ( + + + …+ 100 ) = (1.2.3 + 2.3.4 + …+ 99.100.101) + ( + + + … + 100 ) = 99.(99 + 1).(99 + 2).(99 + 3) 100.101 + = 101989800 + 5050 = 101994850 Từ toán 2.18 ta có toán tổng quát sau: Bài toán 2.19: Tính tổng: X3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 2.18, ta có: X3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 = 13 – + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n ) = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + 4( 42 – ) + …+ n( n2 – ) + ( + + + + …+ n ) = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – )n( n + ) + ( + + + + … + n ) = (n − 1)n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)  (n − 1)(n + 2)  + = n(n + 1)  +  4 2  n + n − + 2) n( n + 1)  n(n + 1)  = n(n + 1) = = n(n + 1) 4   Ta có công thức tính tổng lập phương số tự nhiên từ đến n sau:  n(n + 1)  + + + …+ n =  với n ∈ N*   3 3 Thay đổi khoảng cách số 2.18 ta có toán sau: 12 Bài toán 2.20: Tính tổng: X4 = 13 + 33 + 53 + … + 993 Phân tích toán: Đây tổng lập phương số lẻ liên tiếp Muốn tính tổng ta lập tổng tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp trừ phần cộng thêm Giải 3 3 3 X4 = + + + … + 99 = (1 + + 33+…+ 993) - (23 + 43 + 63+…+983) = (13 + 23 + 33+…+ 993) - 23(13 + 23 + 33 +…+493) 2  99.100   49.50  2 =  −2   = 4950 − 8.1225 = 24502500 − 12005000 = 12497500     Từ toán 2.20 ta có toán tổng quát sau: Bài toán 2.21: Tính tổng: X5 = 13 + 33 + 53 + + (2n + 1)3 với n ∈ N Giải Với cách làm toán 2.20, ta có: X5 = 13 + 33 + 53 + + (2n + 1)3 = [13 + 23 + 33 + (2n)3 + (2n + 1)3] - [23 + 43 + 63 + + (2n)3] = [13 + 23 + 33 + (2n)3 + (2n + 1)3] - 23 [13 + 23 + 33 + + n3]  ( 2n + 1)( 2n + + 1)   n( n + 1)   2( 2n + 1)( n + 1)   n( n + 1)  − 23  = − 23  =     2         n (n + 1) 2 = ( n + 1) ( 2n + 1) − 2n = ( 2n + 1) ( n + 1) − 2 = ( n + 1) 2n + 4n + 2 [ ( ] ) Ta có công thức tính tổng lập phương số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 2n + sau: 13 + 33 + 53 + + (2n + 1)3 = ( n + 1) ( 2n + 4n + 1) với n ∈ N* Từ toán 2.15 hoán vị số mũ số ta có toán sau: Bài toán 2.22: Tính tổng: Y = + 22 + 23 + 24 + + 299 Giải Ta có: Y = + 22 + 23 + 24 + + 299 2Y = 22 + 23 + 24 + + 299 + 2100 Xét: 2Y - Y = (22 + 23 + 24 + + 299 + 2100) - (2 + 22 + 23 + 24 + + 299) Suy ra: Y = 2100 - Từ cách giải toán 2.22 học sinh biết cách làm toán sau: Bài toán 2.23: Tính tổng: Y1 = + 22 + 23 + 24 + + 2n ĐS: Y1 = = 2n+1 – Từ toán 2.23 thay số số a (với a ∈ N, a > 1, n ∈ N) ta toán tổng quát sau: Bài toán 2.24: Tính tổng: Y2 = + a + a2 + a3 + … + an với a∈ N, a > 1, n ∈ N Giải Với cách làm toán 2.23, ta có: a Y2 – Y2 = an+1 – (a – 1) Y2 = an+1 – 13 Y2 = Ta có công thức: a n +1 − a −1 a n +1 − 1+a+a +a +…+a = với a∈ N, a > 1, n ∈ N a −1 n Nhận xét: Với cách khai thác ta khai thác, phát triển toán thành nhiều toán hay mà trình giải đòi hỏi học sinh phải có linh hoạt, sáng tạo * Bài tập tự luyện: Tính tổng sau: a A = 2+ +10 + 14 + + 202 b B = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) (n = 1,2,3 , ) c C = 49 + 64 + 81+ + 169 d 1.3.5.7 + 3.5.7.9 + 5.7.9.11 + …+ 93.95.97.99 e E = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + f F = + 52 + 53 + + 99 + 5100 Dạng 2: Khai thác, phát triển từ số toán liên quan đến tính tổng phân số với tử số mẫu số số tự nhiên * Bài toán ban đầu hướng khai thác toán Tính tổng: A= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 Phân tích toán Ta thấy phân số có mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta viết sau: 1 1 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ;… = − ; 1.2 2.3 3.4 98.99 98 99 1 = − 99.100 99 100 Từ ta tính tổng A cách dễ dàng Ta giải toán sau: Giải 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − + − 1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 98 99 99 100 1 99 99 = = = − 100 99 + 100 99 Vậy: A = 100 A= * Các hướng khai thác toán Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát toán Bài toán 1: 1 1 Tính tổng: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.( n + 1) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 1, ta có công thức: 14 1 1 n + + + + = 1.2 2.3 3.4 n.( n + 1) n + với n ∈ N* Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách hai thừa số mẫu phân số toán ban đầu Bài toán 2: Tính tổng: C = 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 Đối với đầu có nhiều học sinh hiểu nhầm áp dụng giống cánh làm toán biến đổi 1 1 1 = − ; = − ; thực tế không 1.3 3.5 vậy, thực tế là: 1 −1 1 − 1 101 − 99 − = = ; − = = ; ; − = = 1.3 1.3 3.5 3.5 99 101 99.101 99.101 Giáo viên hỏi: phải biến đổi B dạng áp dụng cách giải toán ? Và học sinh biến đổi sau: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 1 1 1 1 1 100 = − = = − + − + − + − 3 5 99 101 101 101 100 50 = Vậy C = 101.2 101 2C = Nhận xét: Xét hiệu hai thừa số mẫu ta thấy – = – = – = … = 101 – 99 = phải biến đổi phân số biểu thức B có tử tách phân số thành hiệu hai phân số có tử có mẫu hai thừa số tích mẫu ban đầu Khi học sinh hiểu giáo viên toán dạng Từ toán ta có toán tổng quát sau: 1 1 Bài toán 3: Tính tổng: C1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n( n + 2) với n ∈ N, n lẻ Giải 1 1 Ta có: C1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n( n + 2) = 1 1 1 1  1  n +1 1 − + − + − + + −  = 1 − = 2 3 5 n n+ 2 2 n+2 n+ Ta có công thức: Bài toán 4: 1 1 n +1 + + + + = với n ∈ N, n lẻ 1.3 3.5 5.7 n( n + ) n + 1 1 + + + + Tính tổng: C2 = 4.6 6.8 8.10 54.56 15 Và học sinh dễ dàng tính tổng C cách nhân hai vế C với ( – = 8- = 10 – = … = 56 – 54 = ) tính tương tự 1 13 − ⇒ C2= 56 112 1 1 + + + + Tính tổng: D = 5.10 10.15 15.20 100.115 ĐS: Bài toán 5: 2C2 = Học sinh tính tổng D cách nhân hai vế D với ( Vì 10 – = 15 – 10 = … = 115 – 100 = ) Và tính tương tự 22 575 ĐS: D = Hướng khai thác thứ ba: Làm thay đổi mẫu số phân số ban đầu Bài toán 6: Tính: E = 1 1 + + + + 12 9900 Nhận xét: Ta có = 1.2; = 2.3 ; 12 = 3.4 ; …; 9900 = 99.100 Như toán đưa toán quen thuộc toán Giải E= 1 1 1 1 1 99 + + + + + + + + = − = = 12 9900 1.2 2.3 3.4 99.100 100 100 Hướng khai thác thứ tư: Làm thay đổi tử số phân số toán Bài toán 7: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.100 Tính tổng: F = Nhận xét: Từ cách giải toán học sinh biết cách giải toán Giải 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.100 1 1 1 1 1 100 = − = = − + − + − + − 3 5 99 101 101 101 100 Vậy F = 101 F= Từ toán ta có toán tổng quát sau: Bài toán 8: 2 2 Tính tổng: F1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n( n + 2) với n ∈ N, n lẻ Giải 1 1 Ta có: F1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + n( n + 2) 1 3 5 n = = − + − + − + + − Ta có công thức: 1 n +1 = 1− = n+2 n+2 n+2 2 2 n +1 + + + + = với n ∈ N, n lẻ 1.3 3.5 5.7 n( n + ) n + Bài toán 9: Tính tổng: G = 3 3 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.100 16 Nhận xét: Trong biếu thức G giả sử tử số phân số giống toán ta dễ dàng giải Vậy làm để tử số mà đề toán? Đây tình có vấn đề buộc học sinh phải suy nghĩ tìm cách biến đổi, ta có cách giải sau: Giải 3 3 + + + ) ( + 3 5 99.100 2 2 + + + ) = ( + 3 5 99.100 1 1 1 1 = ( − + − + − + − ) 3 5 99 101 1 100 150 = = ( − ) = 101 101 101 G= Hướng khai thác thứ năm: tăng thêm thừa số mẫu số phân số toán ban đầu Bài toán 10: Tính tổng: H = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 Nhận xét: Ta có: 1 − = ; 1.2 2.3 1.2.3 1 1 − = ;…; − = 2.3 3.4 2.3.4 98.99 99.100 98.99.100 Giải 1 1 + + + + 2H = ( ).2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 1 1 9898 4949 − − = − = = = + − + 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100 19800 9900 4949 Vậy H = 9900 Từ toán 10 ta có toán tổng quát sau: 1 1 Bài toán 11: Tính tổng: H1 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 10, ta có: H1 =  1 1 1 + + + + =  − 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2)  (n + 1)(n + 2)   (n + 1)(n + 2) −  ( n + 1)(n + 2) − n + 2n + n + − n(n + 3) = = = =    2(n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 4( n + 1)(n + 2) Ta có công thức : 1 1 n(n + 3) + + + + = với n ∈ N* 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Bài toán 12: Tính tổng: I = 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 17 1 1 1  = =  −  1.2.3.4 1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1 1 1  = =  −  2.3.4.5 2.3.4.5  2.3.4 3.4.5  1 1 1  = =  −  3.4.5.6 3.4.5.6  3.4.5 4.5.6  Nhận xét: Ta có: ………………………………………………… 1 1 1  = =  −  27.28.29.30 27.28.29.30  27.28.29 28.29.30  Giải 1 1 + + + + ).3 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 1 − + − + + − = ( ) 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 27.28.29 28.29.30 1 4059 1353 451 − )= = = = ( 1.2.3 28.29.30 24360 24360 8120 451 Vậy I = 8120 Ta có: I = ( Từ toán 12 ta có toán tổng quát sau: Bài toán 13: 1 1 Tính tổng: I1 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) với n ∈ N* Giải Với cách làm toán 12, ta có: 1 1 I1 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 [ 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ].3 1 1 1 = [ 1.2.3 − 2.3.4 + 2.3.4 − 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) − (n + 1)(n + 2)(n + 3) ] 1 = [ 1.2.3 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) ] = Ta có công thức : 1 1 1 + + + + − = [ ] với n ∈ N* 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n( n + 1)(n + 2)(n + 3) 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) Hướng khai thác thứ sáu: vừa làm thay đổi tử số phân số, vừa làm tăng thêm thừa số mẫu số phân số toán ban đầu Bài toán 14: Tính tổng: K = 2 2 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 Giải 18 2 2 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 1 1 9898 − − = − = = + − +…+ 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100 19800 9898 Vậy: K = 19800 3 3 + + + + Bài toán 15: Tính M = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 K= Giải 3 3 + + + + ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 2 2 + + + + =( ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 1 − ) =( − + − + …+ 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1 9898 4949 ) = =( − = 1.2 99.100 19800 6600 4949 Vậy M = 6600 Ta có: M = ( Hướng khai thác thứ bảy: Thay đổi yêu cầu toán Bài toán 16: Chứng minh rằng: N = 1 1 + + + + > P> − (2) 101 1 1 1 < Từ (1) (2) ta suy ra: < + + + + 6 100 1 1 1 < Vậy: < + + + + 6 100 Ta có: P < * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính 4 5 5 + + + + + + + ; b B = 5.7 7.9 59.61 11 16 16.21 21.26 61.66 2 + + + c C = 1.2.3 2.3.4 37.38.39 a A = Bài 2: 36 36 36 + + + Chứng minh: A < 1.3.5 3.5.7 25.27.29 5 + + + b Cho B = Chứng minh: B < 5.8.11 8.11 14 302.305.308 48 ∈ c Chứng minh với n N; n > ta có: 1 1 C = + + + + < 4 n a Cho A = 2.4 Hiệu Triển khai áp dụng đề tài cho 19 học sinh khá, giỏi môn Toán lớp trường, kết thu khả quan Giữa học kì II năm học 2016 - 2017, giao đề kiểm tra cho học sinh Đề kiểm tra (Thời gian: 60 phút) Bài 1(4 điểm): Tính tổng sau: a A = + + + + 200 b B = + + + + 199 c C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …+ 199.200 d D = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + … + 96.97.98.99 Bài 2(3 điểm): Tính tổng sau: a A = + 72 + 73 + + 7100 b B = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 502 Bài 3(3 điểm): 3 3 + + + + 5.8 8.11 11 14 2006.2009 1 1 + + + b Cho B = Chứng minh: B < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 a Tính tổng: A = 20 c Cho D = 1 1 + + + + Chứng minh: < D < 9 Kết sau: Số học sinh 19 Số học sinh đạt điểm trung Số học sinh đạt điểm trung bình bình trở lên sau triển trở lên trước triển khai đề tài khai đề tài Số lượng Tỉ lệ ( % ) Số lượng Tỉ lệ ( % ) 15,8 12 63,2 Như vậy, ban đầu đa số em chưa giải dạng tập này, sau triển khai đề tài, em hiểu giải số học sinh hiểu giải tăng lên rõ rệt Các em làm quen với phương pháp làm việc mang tính tư duy, sáng tạo cao, qua hoàn thiện kỹ biến đổi, vận dụng phương pháp Đặc biệt em rèn luyện thói quen làm việc có phương pháp, có sáng tạo không ngại trước toán khó rèn luyện ý chí vươn lên học tập Với kết trên, học sinh có động lực học tập, thấy vững tin phương pháp dạy học Đồng nghiệp có nhận xét cách khai thác, phát triển toán đề tài dễ hiểu dễ nhớ học sinh (dù học sinh vùng nông thôn!) KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Việc khai thác, phát triển toán cho trước góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh học môn Toán việc bồi dưỡng học sinh giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy toán đánh giá cao tầm quan trọng việc khai thác, phát triển từ toán mà học sinh giải Mở rộng, phát triển thêm toán khác (đơn giản thường phức tạp hơn) nhằm phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học Trong trình giảng dạy học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết toán quan trọng có ích Nó không giúp nắm bắt kĩ kiến thức dạng toán mà nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá toán; từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích môn toán Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Khai thác phát triển toán từ toán ban đầu nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung 21 hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, từ nâng cao chất lượng dạy học môn toán nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, tự thấy phong phú, thú vị toán học Các em ham thích với môn toán Mặc dù vậy, với khuôn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng ý kiến riêng cá nhân Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Tôi mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung thầy giáo, cô giáo để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị * Đối với giáo viên: Tận tâm với nghề dạy học, tìm tòi phương pháp để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, thường xuyên quan tâm đến chất lượng học tập học sinh, trân trọng thành đạt học sinh dù nhỏ * Đối với nhà trường: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để giáo viên áp dụng đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy * Đối với phòng giáo dục: Tổ chức triển khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh để giáo viên nghiên cứu trao đổi học hỏi đồng nghiệp, tìm biện pháp hay Xin chân thành cảm ơn ! Xác nhận thủ trưởng Hiệu trưởng Hà Sỹ Sơn Thọ Xuân, ngày tháng 03 năm 2017 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Người thực Trần Thị Hằng TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 Toán nâng cao chuyên đề Toán – Vũ Dương Thụy(chủ biên) Nâng cao phát triển Toán – Vũ Hữu Bình Bổ trợ nâng cao Toán - Trần Diên Hiển (Chủ biên) Nguồn tập từ Internet 23 ... Khai thác phát triển toán từ toán ban đầu nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS hi vọng góp phần vào giải vấn đề 1.2 Mục đích nghiên cứu Giáo viên tìm cách khai thác. .. nghiệp, hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài Khai thác phát triển toán từ toán ban đầu nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp bậc THCS Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi... lực học toán cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán