I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Chương trình mơn Tốn bậc phổ thơng phần kiến thức phương trình vơ tỉ khó học sinh Để giải toán dạng học sinh phải vận dụng bất đẳng thức, cần phải biết biến đổi tương đương biểu thức đại số, phải sử dụng nhiều đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp , phải tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn, tư sáng tạo Là người trực tiếp giảng dạy toán trường THCS, q trình giảng dạy, tơi thấy học sinh hay lúng túng, bế tắc qua trình tìm tịi lời giải cách xác định dạng tốn Khơng học sinh gặp khó khăn giải tốn mà thân tơi dạy phần “ Giải phương trình vơ tỉ” gặp khó khăn việc hướng dẩn học sinh giải tốn phần Vì tơi ln trăn trở, tìm tịi, chọn lọc phương pháp hợp lý để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh cách suy nghĩ làm quen với dạng tốn giải phương trình vơ tỷ, để em có số phương pháp giải Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học phát triển bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh tích cực chủ động học tập, mạnh dạn đưa đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ” Mục đích nghiên cứu Đề tài đưa hệ thống phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ số toán áp dụng; phương pháp trang bị cho học sinh lớp hệ thống kiến thức để giải phương trình vơ tỉ, tránh sai lầm thường gặp giải dạng tốn Thơng qua đề tài, học sinh nắm số phương pháp vận dụng vào giải tập, rèn kĩ giải tốn có chứa bậc hai, đồng thời giúp học sinh thấy hay, đẹp, sức hấp dẫn tốn học, kích thích tị mị, nghiên cứu, khám phá, tìm hiểu tốn Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng đề tài “ Phương pháp giải phương trình vơ tỉ” - Nghiên cứu tài liệu có liên quan - Giáo viên dạy toán THCS học sinh THCS đặc biệt học sinh khối Phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết: Nghiên cứu phương pháp giải tốn “ Phương trình vơ tỉ” chương trình tốn THCS [4] - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Sau nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kết học sinh lớp trước, trao đổi với giáo viên môn để rút kinh nghiệm, thử nghiệm trình giảng dạy khóa - Phương pháp thực nghiệm sư phạm II NỘI DUNG Cơ sở lí luận đề tài Trong chương trình đại số lớp 9, phương trình vơ tỉ dạng khó Khi gặp phương trình có chứa tương đối phức tạp học sinh thường lúng túng khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm Có phương trình khơng giải phương pháp quen thuộc Khi gặp phương trình vô tỉ học sinh thường quen phương pháp bình phương hai vế làm dấu Nhưng trình giải thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương phương trình Vì dẫn đến thừa, thiếu nghiệm Có phương trình sau dẫn tới phương trình bậc cao mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc bậc hai để giải khó khăn Vì học sinh thường lúng túng khơng tìm cách giải Để tránh sai lầm hay mắc phải, cần có hệ thống phương pháp giải để em luyện tập nhiều dạng bài, giúp cho việc giải phương trình vơ tỉ trở thành quen thuộc với học sinh Thực trạng vấn đề nghiên cứu Là giáo viên dạy toán trường THCS tơi nhận thấy phần đơng em học mơn Tốn với lực sẵn có mà tạo hứng thú, tự bồi dưỡng lực tư sáng tạo em có tâm lý sợ, ngại gặp tốn giải phương trình vơ tỷ Vậy lý làm cho em có tâm lý vậy? Đó do: Các em khơng thuộc lý thuyết không nắm vững kiến thức bản, kỹ thực hành biến đổi hạn chế Các em chưa biết tìm tịi đường lối giải tốn mà ta gọi phương pháp, phương pháp đặc trưng cho dạng, loại toán … Vì làm để giúp học sinh hiểu rõ chất loại toán, vận dụng kiến thức lý thuyết vào để giải hay cụ thể hình thành phương pháp giải loại tốn Giải vấn đề điều dễ dàng mà phân phối chương trình chưa có tiết cho giáo viên dạy cách hệ thống phương pháp giải loại toán cụ thể mà xuất đơn lẻ Trong chương trình đại số THCS, “Phương trình” khái niệm quen thuộc; học sinh thường xuyên làm việc với giải phương trình tốn học từ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba ẩn, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình bậc cao Đây nội dung quan trọng khó đặc biệt phương trình vơ tỉ • Kết thực trạng Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm phương trình có chứa ẩn số dấu (Phương trình vơ tỉ) học sinh cịn gặp nhiều khó khăn chưa trình bày lời giải hoàn chỉnh Học sinh thường mắc phải sai lầm chẳng hạn: Khơng tìm điều kiện xác định phương trình (điều kiện có nghĩa phương trình) thực phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, , tìm nghiệm vội vàng kết luận mà không kiểm tra lại điều kiện Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương phương trình với hệ điều kiện trình bày rời rạc khơng theo qui trình Mặt khác, việc định dạng phương trình thường gặp chương trình tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có cách giải phương trình phù hợp với dạng mà áp dụng máy móc bình phương liên tục (nhiều lần) phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dịng, thiếu hiệu Hơn nữa, thực tế chương trình Đại số việc giải phương trình vơ tỉ dừng lại số tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh dạng phương trình vơ tỉ khác SGK tập qui định, dự thi kì thi Học sinh giỏi nhiều học sinh khơng giải phương trình vơ tỉ địi hỏi vận dụng kiến thức có chương trình Để khắc phục tồn nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp có cách nhìn nhận phương pháp giải phương trình vô tỉ tảng kiến thức trang bị cấp học, qua giúp em trau dồi phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo q trình giải tốn, góp phần bồi dưỡng em trở thành học sinh khá, giỏi mơn tốn trường THCS Tơi xin trình bày số quan điểm giải phương trình vơ tỉ chương trình tốn THCS hình thức nêu số phương pháp giải dạng phương trình vơ tỉ Các biện pháp thực 3.1.Đối với giáo viên 1/ Thường xuyên khắc phục sai lầm thường mắc cho học sinh như: + Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương + Không chọn nghiệm theo điều kiện đặt mà kết luận nghiệm cho phương trình + Chưa phân biệt phép biến đổi tương đương không tương đương 2/ Cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ có liên quan tới giải phương trình + Các định lí phép biến đổi tương đương phương trình + Chú ý phép biến đổi dẫn tới hai phương trình khơng tương đương với + Ghi nhớ cho học sinh công thức quan trọng chương bậc hai, bâc ba có liên quan đến kỹ biến đổi thức, thực phép tính chứa dấu 3/ Xây dựng cơng thức giải dạng phương trình vơ tỉ thường gặp 4/ Cung cấp cho học sinh phương pháp giải phương trình vơ tỉ 5/ Phối hợp với tốn khác có nội dung kiên quan 6/ Thường xuyên kiểm tra uốn nắn kịp thời sai sót thường gặp 3.2.Đối với học sinh: - Hiểu chất loại toán - Nhận dạng loại tập, vận dụng phương pháp hợp lý vào dạng toán cụ thể - Phát huy khả tư sáng tạo giải, biết suy luận từ dễ đến khó với cách giải hay Các giải pháp thực 4.1 Các kiến thức cần lưu ý giải phương trình Các khái niệm [1, 4] + Phương trình vơ tỉ phương trình đại số có chứa dấu + Hai phương trình tương đương hai phương trình có tập hợp nghiệm • Chú ý: + Nếu phương trình hệ phương trình ngược lại hai phương trình tương đương + Mọi phương trình vơ nghiệm coi tương đương chúng có tập nghiệm ø 2.Các phép biến đổi tương đương, không tương đương phương trình [2] a Các phép biến đổi tương đương phương trình: - Các định lí phép biến đổi tương đương lớp - Thực biến đổi đẳng thức vế phương trình khơng làm thay đổi TXĐ chúng phương trình tương đương với phương trình cho b Các phép biến đổi dẫn tới hai phương trình khơng tương đương (dẫn tới phương trình hệ quả) [2] - Nhân hai vế phương trình với đa thức chứa ẩn (có thể xuất nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai) - Chia hai vế phương trình với đa thức chứa ẩn số (có thể làm nghiệm phương trình ban đầu) - Cộng vào hai vế phương trình cho với phân thức - Nâng vế phương trình lên luỹ thừa tự nhiên: m > Nếu m chẵn : nâng vế f1(x) = f2(x) lên luỹ thừa chẵn ta phương trình nhận thêm nghiệm phương trình: f1(x) = f2(x) : [ f1 ( x)f]12( x=) [=f 2f(2x()x] 2) ⇔  Vì giải phương  f1 ( x) = − f ( x) trình vơ tỉ ta cần thử nghiệm vào phương trình đầu để loại nghiệm ngoại lai ( phép bình phương hai vế phương trình dẫn tới phương trình hệ quả) Những sai lầm thường gặp giải phương trình vơ tỉ - Không đặt điều kiện cho thức có nghĩa mà vội bình phương hai vế phương trình - Khơng đặt điều kiện để biến đổi tương đương - Khi tìm nghiệm bỏ quên bước thử lại vào phương trình đầu chọn nghiệm thích hợp theo điều kiện đặt mà vội kết luận nghiệm phương trình vơ tỉ Ví dụ: Khi giải phương trình : x − − x − = 3x − (1) Học sinh giải: x − = x − + 3x − Bình phương hai (5 x − 1).(3x − 2) vế : x - = 5x - + 3x - + (3) Rút gọn : -7x = (4) Bình phương hai vế : - 28x + 49x = 4.(15x2-13x + 2) (5) Rút gọn : 11x - 24x + = 1x- 2)(x - 2) = (1  x⇔ =  Kết luận: x = ;  11 x2 = =2  x11 *Phân tích sai lầm học sinh: + Học sinh khơng ý đến điều kiện có nghĩa thức là: Giá trị không    x −1 ≥  x ≥1 nghiệm phương trình   (1)  5x − ≥ ⇔  x ≥ ⇔ x ≥ Vậy phương trình (1) 3 x − ≥   x ≥ vô nghiệm   Để khắc phục sai lầm phải tìm ĐKXĐ phương trình từ bước + Học sinh khơng đặt điều kiện để biến đổi tương đương nên (4) không tương đương với (5) − 7x ≥  + Phương trình (4)  2 tương đương với hệ: (2 − x) = 4(15 x − 13x + 2) Phương trình (5) hệ ≥0⇔ x≤ phương trình (4), tương đương với phương trình (4) có điều kiện: - 7x, x = khơng nghiệm (1) *Cách giải đúng: + Cách 1: Sau tìm thử x = ; x = 2 11 lại vào phương trình ban đầu, phương trình (1) khơng nghiệm Vậy phương trình (1) vô nghiệm + Cách 2: Đặt điều kiện cho x = xx2≤≥; x12 = 2 11 phương trình có nghĩa (*) sau từ (4) chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện (**), đối chiếu giá trị với (*) (**) ta thấy x1 x2 khơng thỏa mãn Vậy phương trình (1) vơ nghiệm +Cách 3: Điều x ≥ ⇔ x < x ⇒ x − < x − ⇒ x − − x − < kiện: Mặt khác Như vế trái 3x − > ⇒ 3x − > âm, vế phải dương Vậy phương trình (1) vơ nghiệm * Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh giải phương trình vơ tỉ ta nên hướng dẫn học sinh theo bước sau: B1: Tìm ĐKXĐ phương trình ( Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa) B2: Nâng hai vế phương trình lên lũy thừa, phương trình cịn dấu bậc hai tiếp tục đặt điều kiện, sau khử để đưa phương trình dạng biết cách giải 15 x − 13 x + x= 11 B3: Thử nghiệm theo điều kiện theo phương trình đầu kết luận nghiệm 4.2 Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ [5] 4.2.1.Sử dụng phép biến đổi tương đương a Dạng : ( A số f ( x) = A biểu thức biết) (1) *Công thức giải:  A≥0 f ( x) = A ⇔  (2)  f ( x) = A Ở phương pháp ta biến f ( x≥) = A đổi tương đương phương trình cho với hệ hỗn hợp, nghiệm (2) nghiệm của(1) Do ta giải hệ (2) kết luận nghiệm (1) Cơ sở phương pháp dựa vào khái niệm bậc hai số học : f(x)0 * Chú ý: Khi A 0) ⇒ t = x + + x − + ( x + 1)( x − 2) x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 13 − x ≥  ⇒ ( x + 1)( x − 2) = t − x + t + t − x + = 13 − x ⇔ t + t − 12 = 2 Đặt Thay vào (1) ta có phương trình: (1) Giải (1) ta có: t1= ( Chọn) ; t2 = - (loại) x +1 + x − = ⇔ x +1+ x − + x2 − x − = ⇔ Giải trình  x≤5 x ≤ x2 − x − = − x ⇔  ⇔ ⇔ x=3 x =  x − x − = (5 − x ) phương x =3 thỏa mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm x= Bài tập tương tự [6] 10 (3) Giải phương trình x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = c) Dạng 3: ( f ( x) + a)( f ( x) + b)( f ( x) + c)( f ( x) + d ) = m a + b = c + d fa(+x)d==t (bt +≥ c0) *Cách giải: Đặt:  Đưa phương trình dạng: (t + a) a + c = b + d (t + b)(t + c)(t + d) = m [ Trong ][ ] ⇔ [ (t + a)(t + b)][ (t + c)(t + d )] = m ⇔ t + (a + b)t + ab t + (c + d )t + cd = m (3) Đặt ẩn phụ lần thứ hai để đưa (3) phương trình biết cách giải Có thể có nhiều cách đặt, chẳng hạn : y = t2 + (a + b).t = t2 + (c + d).t ⇔ ( y + ab)( y + cd ) = m ⇔ y + (ab + cd ) y + abcd − m = Ta có phương trình (3) Đây phương trình bậc hai biết cách giải Ví dụ: [6] Giải ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 840 phương trình: Điều kiện: đặt Ta có phương x x= ≥t (t0.≥ 0) trình ẩn t: ⇔ [ (t + 1)(t + 4)][ (t + 2)(t + 3)] = 840 (t +1)(t + 2)(t + 3)(t + 4) = 840 f ( x) = A Đặt ẩn phụ: y = t + 5t + ⇒ y > Ta có ( y − 1)( y _ 1) = 840 ⇔ y − = 840 ⇔ y = 841 ⇔ y1, = ± 841 = ±29 phương trình: Loại y < ta có y = 29 Giải phương trình: t + ⇔ t + 5t − 24 = ⇒ t1 = 3; t = −8 5t +5 =29 (loại) Giải phương trình: ( thoả x =3⇔ x=9 mãn điều kiện) Kết luận: Nghiệm phương trình ban đầu x = • Nhận xét: Ở dạng dùng ẩn phụ lần thứ ta ” hữu tỉ hoá” phương trình cho Song chưa có phương trình dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụ lần hai mà ta đưa phương trình dạng phương trình bậc hai Cần lưu ý cách đặt ẩn phụ lần hai có nhiều cách chọn khác mà người giải cần ý • Như giải phương trình cách đặt ẩn phụ ta đặt nhiều lần ẩn phụ khác cho đích cuối đưa phương trình ban đầu dạng quen thuộc 4.2.3.Phương pháp hệ phương trình( chuyển phương trình thành hệ phương trình tương đương) Bên cạnh phương pháp đặt − x = − x ẩn số phụ để đưa toán 11 khác, có nhiều tốn cần dùng tới nhiều ẩn số phụ tuỳ theo đặc thù toán cho ta thu mối liên hệ đại lượng tương ứng, chẳng hạn phương trình: (1) Nhiều học sinh giải phương trình thường dẫn tới lúng túng bình phương hai vế (1) phương trình bậc khó giải Ta vận dụng phương pháp hệ phương trình cho phương trình (1): x−2≥0⇒ x ≤2 Điều kiện phương trình có nghĩa : Đặt y = 2− x ⇒ y ≥ Kết hợp với y = –x ta có  x = − y  hệ phương trình: (2) y = − x Trừ vế với vế hai phương trình hệ (2) ta có phương trình: y − x = y − x ⇔ ( y − x)( y + x) − ( y − xy) = 0x ⇔ ( y− yx)= [ ( yx + x) − 1] = ⇔ ( y − x)( y + x − 1) = ⇔ ⇔ y = 1− x y + x = Nếu y = x từ y =2 –x ta có phương trình: x2 + x –2 = Suy x1 = 1; x2=-2 (loại) Nếu y = – x từ phương trình y = – x2 ta có: – x = – x2 suy x2 – x – = Phương trình có hai 1+ 1− x1 = ; x2 = nghiệm là: 2 2 Đối chiếu với điều − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ − ≤ x ≤ kiện nghiệm: khơng thoả mãn 1+ x1 = Vậy phương trình có hai nghiệm 21 − x1 = 1; x = Như việc dùng phương pháp hệ phương trình giúp cho học sinh tìm cách giải cho toán cách hợp lý Tuy nhiên với toán cần ý đặc biệt đến điều kiện nghiệm việc chọn nghiệm xác 4.2.4 Phương pháp đốn nghiệm chứng minh nghiệm Cơ sở phương pháp là: để giải phương trình ta kiểm nghiệm trực tiếp số hữu hạn giá trị ẩn số nghiệm phương trình sau chứng minh ngồi nghiệm phương trình khơng nghiệm khác [4] Như theo phương pháp ta nên làm theo hai bước sau: B1: Đoán nhận nghiệm B2: Chứng minh tính nghiệm số * Bài tốn 1: Giải phương trình x= x+2 (1) Điều kiện cho phương trình có nghĩa x ≥ Ta thấy x = nghiệm phương trình (1) Chứng minh x = nghiệm (1) - Với x>1 ta có: => VT VP  x≠ > Vậy phương trình (1) vơ nghiệm với    1 ≤  x + x -1< x 0  Vậy phương trình (2) vơ 1+ x2 ⇒ VT >  x nghiệm với: < x <  >0  − x - Nếu –1 < x <  x <  ta có: 1+ x2 ⇒ VT <  x Vậy phương trình (2) vơ nghiệm với: –1 < x <  3 ta có 3 x − > ⇒ VT >  Vậy phương trình (3) vơ  x +1 > nghiệm với x>3 ≤ x < - Với -1 ta có  x −