MỤC LỤC Mục Nội dung MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………… 2.2 Thực trạng…………………………………………………………………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 Kết luận……………………………………………………………………… 16 Kiến nghị……………………………………………………………………… 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT THCS: Trung học sở THPT: Trung học phổ thơng TW: Trung ương MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học bản, nhiều người quan tâm nghiên cứu Với vai trị mơn học cơng cụ để phát triển tư logic, mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Do vậy, dạy Toán để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống nâng cao, phát triển để em hứng thú say mê học tập câu hỏi mà nhà giáo phải đặt tìm cách để trả lời Qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy toán khối lớp trường THCS, nhận thấy nhiều em học sinh khối học mơn hình học, kiến thức nắm chắc, khả vận dụng kiến thức vào giải tập chưa cao Trước thực tế đó, để giúp học sinh hình thành thói quen tìm tịi vận dụng sáng tạo kiến thức học, cho học sinh tiếp cận dần cách cho học sinh làm tập từ đơn giản đến phức tạp Ngoài giải xong tập, học sinh biết phân chia dạng tập mức độ từ dễ đến khó Sau hệ thống phân dạng tập, phương pháp giải cho dạng tập Riêng học sinh khá, giỏi cần phải biết tổng quát, phát triển, mở rộng toán từ toán ban đầu Đối với học sinh lớp 9, quen với cách học toán, gặp dạng tốn như: Tìm quỹ tích; dựng hình; chứng minh tứ giác nội tiếp vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, chứng minh hệ thức, … học sinh cịn lúng túng Đối với dạng toán chứng minh liên quan đến tứ giác nội tiếp, dạng tốn thường gặp chương trình lớp đề thi vào lớp 10 THPT hàng năm Do làm quen với dạng toán cuối chương trình Hình học lớp với thời gian cịn hạn chế; phương pháp chứng minh chưa trình bày đầy đủ sách giáo khoa sách tập Tốn nên gây khơng khó khăn cho học sinh việc tiếp cận làm quen với dạng toán Trước yêu cầu thực tế cần rèn luyện cho học sinh nắm vững lý thuyết vận dụng giải tốt dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp tập liên quan, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hố” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài là: - Cung cấp cho học sinh lớp số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp khuôn khổ lý thuyết sách giáo khoa, giúp học sinh thành thạo việc chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp vận dụng vào toán liên quan - Qua dạng toán giúp cho học sinh ôn lại kiến thức học lớp Đặc biệt ôn lại nội dung chương III: Góc với đường trịn -Qua tập giúp cho học sinh biết cách nhận xét, sử dụng giả thiết tốn tìm mối liên hệ yếu tố Qua gợi mở giáo viên, học sinh tìm nhiều hướng giải khác Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý nhất, phù hợp em Cuối học sinh phát cách giải tương tự khái quát thành phương pháp chứng minh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, Thành phố Thanh Hóa năm học 2016 – 2017 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài vận dụng kết hợp số phương pháp sau: - Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu - Phương pháp phân tích lên - Thực nghiệm giảng dạy cho em học sinh - Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy kiểm tra nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần nhiều hình thức khác - Đánh giá kết học tập học sinh trước sau giảng dạy chuyên đề theo nội dung đề tài - Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua buổi sinh hoạt chuyên môn 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Xuất phát từ mục tiêu giáo dục giai đoạn là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội” Để đào tạo lớp người từ nghị TW khố năm 1993 xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề" Nghị TW khoá tiếp tục khẳng định: P " hải đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh'' Cho đến nay, Nghị TW số 29 Hội nghị trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nhấn mạnh: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.” Định hướng pháp chế hoá Luật giáo dục, điều 24 mục II nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh" Trong chương trình giáo dục phổ thơng nước ta nay, nhìn chung tất môn học giúp học sinh tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt với mơn tốn, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần toán học đại Trong đó, chứng minh tứ giác nội tiếp yêu cầu học sinh phải có khả phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết giả thiết với nhau, chuyển đổi mối quan hệ toán học Những tốn dạng hầu hết khó với học sinh nên đòi hỏi giáo viên phải xây dựng hệ thống tập phương pháp giải tỉ mỉ, ngắn gọn Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp bậc THCS số phương pháp thường dùng, quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp tốn liên quan khn khổ lý thuyết sách giáo khoa Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy trường THCS mạnh dạn viết đề tài: “Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: a Thuận lợi: - Được quan tâm Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường, tạo điều kiện cho giáo viên tổ chức hoạt động dạy học toán nhà trường diễn thuận lợi, đạt kết cao - Nhà trường tổ chức triển khai chuyên đề đổi phương pháp dạy học đội ngũ giáo viên cốt cán tiếp thu Sở Phòng giáo dục, tổ chức dạy thực nghiệm trường - Phần lớn học sinh hiếu học, ham thích tìm hiểu kiến thức mơn hình học b Khó khăn: - Một phận học sinh chưa thật hiểu rõ tầm quan trọng toán học học tập sống, kiến thức hình học nhiều em cịn rỗng Kỹ vẽ hình, chứng minh hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn - Trường THCS Lê Lợi đóng địa bàn gần trung tâm Thành phố Thanh Hóa, đại phận dân cư sống chủ yếu nghề tự do, buôn bán nhỏ lẻ, nên thời gian quan tâm phụ huynh đến điều kiện học tập em chưa cao - Qua thực tế trước thực áp dụng đề tài, tiến hành kiểm tra tình hình, thực trạng học tập mơn Hình học sinh lớp 9A3 9A4 trường THCS Lê Lợi thông qua việc kiểm tra miệng lý thuyết, thăm dị sở thích học sinh kiểm tra: Đề bài: Cho đường tròn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC AD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt N Hai dây AF BE cắt M Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp Qua khảo sát nhận thấy chứng minh tứ giác nội tiếp em mắc sai lầm đáng tiếc nên có kết thấp cụ thể sau : Bảng khảo sát trước áp dụng đề tài: Bảng 1: Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Tổng - 10 7- 5-6 3-4 0–2 số SL TL TL TL TL TL HS SL SL SL SL (%) (%) (%) (%) (%) 78 5.1 7.7 30 38.5 28 35.9 10 12.8 Từ kết khảo sát thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên 51,3%, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu cao 48,7% Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi Học sinh cịn lúng túng cách chứng minh, trình bày chứng minh chưa thật chặt chẽ chủ yếu học sinh sử dụng định nghĩa để chứng minh tứ giác nội tiếp mà chưa có cách làm khác sử dụng Do trình giảng dạy tơi ln trăn trở, tìm tịi mạnh dạn đưa để chia sẻ, mong muốn bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tơi hồn thiện đề tài: “Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá” 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: - Qua tiết dạy lớp, tiết ôn tập, giáo viên tiến hành khảo sát, so sánh, đối chiếu qua thực tế tập học sinh làm kiểm tra - Giáo viên tạo tình có vấn đề liên quan đến cách giải cho toán - Giáo viên hướng dẫn học sinh tăng cường hoạt động tìm tịi, quan sát, đo đạc, dự đốn tiếp cận lời giải - Qua ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh - Học sinh học lí thuyết cách chủ động, chủ yếu chương III: “Góc với đường trịn” A Lý thuyết Học sinh ơn tập kiến thức lớp (Thông qua tập), đặc biệt là: - Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Số đo cung - Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp Khái niệm tứ giác nội tiếp:  Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Hình Định lý:  Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o  Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180 o tứ giác nội tiếp đường tròn  1800 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A  C 1800 hay B  D Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp: + Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp; + Phương pháp 2: Dựa vào định lí đảo tứ giác nội tiếp; + Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc; + Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích; B Bài tập minh hoạ: Chú ý: Để học sinh chứng minh tốt tốn hình, cần tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ sau: - Kỹ vẽ hình, viết giả thiết, kết luận - Kỹ suy luận chứng minh, kỹ tính tốn - Kĩ suy luận ngược từ cuối để tìm cách chứng minh tốn Hình vẽ đóng vai trị quan trọng q trình giải tốn, vẽ hình cần lưu ý cho học sinh: - Hình vẽ xác, rõ ràng giúp học sinh dễ tìm lời giải Tránh vẽ hình vào trường hợp đặc biệt - Khi vẽ hình phải vẽ hết trường hợp xảy tốn - Sau vẽ hình xong nên đánh dấu giả thiết lên hình vẽ Như việc chứng minh đơn giản, dễ dàng Bài tốn 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC AD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai dây AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp Chứng minh: a) Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp j x D N F I C E M A O B Nhận xét: Để chứng minh tứ giác FNEM nội tiếp ta phải chứng minh điểm nằm đường tròn Chứng minh: Gọi I trung điểm NM Ta có: AFB 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  => MFN 900 (kề bù với AFˆ B ) => MFN tam giác vng F Có FI đường trung tuyến => IF = IN = IM (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) (1) Tương tự: IN = IM = IE (2) Từ (1) (2) suy IF=IE=IN=IM => Bốn điểm F, N, E, M nằm đường tròn Hay tứ giác FNEM nội tiếp Kết luận: Có tốn ta chứng minh tứ giác nội tiếp khơng cần tìm vị trí tâm, song số tốn ta tìm tâm cụ thể Có cách để tìm vị trí tâm I đường trịn thơng qua nhận xét sau sau: - Ba đỉnh tam giác vuông nằm đường trịn có đường kính cạnh huyền Ví dụ: Như tập trên, ta thấy tứ giác FNEM có góc NFM góc vng trung điểm I cạnh NM tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác FNEM - Vẽ đường trung trực đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác, giao điểm đường trung trực tâm đường trịn Đây cách làm tất tốn Ví dụ: Điểm I giao điểm hai đường trung trực ME EN Khi vẽ xong ta cần nhìn vào hình vẽ để xác định xem vị trí điểm I có đặc biệt khơng? tập vị trí đặc biệt điểm I trung điểm cạnh MN Phương pháp 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng góc đối diện 1800) Nhận xét:     Ta phải chứng minh tổng góc đối ( NEM FNE )  NFM  FME 180 Với cặp góc góc góc đường trịn Với cặp góc đầu ta thấy góc NEM khơng phải góc đường trịn.Nhưng góc kề bù với góc (góc BEA) góc nội tiếp (chắn nửa đường trịn) Vậy ta tính góc NEM Chứng minh: Ta có: AFB 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  => MFN 900 (Kề bù với AFˆ B )  Tương tự: MEN 900   Suy ra: MFN  MEN 900  900 1800 => Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm) Chú ý: Ta chứng minh theo cách khác:  nhỏ sđABLớn  sđ EF  Ta có: FNE (Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)   FME   nhỏ sđ AB Lớn  sđ EF (Tính chất góc có đỉnh bên đường tròn)  2Sd AB   Suy ra: FNE  FME  1800 => Tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm) Kết luận: - Với cách chứng minh này, ta cần nhận góc tứ giác có đặc điểm đặc biệt góc đường trịn (Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn), sau dựa vào tính chất góc tìm lời giải (Kiến thức học sinh học nên dễ nhận biết, học sinh thường dùng) Phương pháp 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc  Chứng minh: AFB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => BF  AN AE  BN Tương tự: Xét ABN có BF AE đường cao Mà BF AN cắt điểm M Suy M trực tâm tam giác ABN => MN  AB mà BD  AB (Tính chất tiếp tuyến) suy MN // BD   => FNM (Hai góc đồng vị) (1) FDB   Mà FDB (Cùng phụ với góc FBD) (2) FBA   (Cùng chắn cung nhỏ AF) (3) FBA FEA   Từ (1),(2),(3) suy FNM FEM Như điểm N E nhìn đoạn thẳng FM góc khơng đổi Nên tứ giác FNEM nội tiếp (đpcm) Chú ý: Cách làm học sinh hay mắc sai lầm sau: Học sinh “hai đỉnh đối diện tứ giác nhìn cạnh cịn lại góc tứ giác nội tiếp” Khẳng định sai Điều góc nhìn góc vuông Nhận xét: Nhận xét mối liên hệ góc tứ giác xem góc đường trịn Sau phân tích tìm hướng chứng minh Ở câu b ta thấy sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp sử dụng quỹ tích cung chứa góc  để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp khó khăn ta lựa chọn sử dụng phương pháp thứ hai để chứng minh Với phương pháp ta có nhiều hướng để đưa tới kết tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 Cách 1:   Ta có: FBA (Cùng phụ với góc FBD) FDB   ( Góc nội tiếp chắn cung nhỏ AF) FBA FEA   ( Vì góc FBA) FEA FDB     Mà FEA  FEC 180 suy FDB  FEC 1800 suy tứ giác CDFE nội tiếp Cách 2:  nhỏ sđ ABLớn  sđ BF  - Ta có: FDB   1800  2  nhỏ sđ BF   nhỏ sđ AF (1) ( T/c góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) sđ AFnhỏ (2) (Tính chất góc nội tiếp)  FEA    Từ (1) (2) suy FEA FDB     Mà FEA  FEC 1800 suy FDB  FEC 1800 suy tứ giác CDFE nội tiếp Cách 3: Ta chứng minh cho tổng hai góc DFE góc DCE 180 Nhận xét: Dễ dàng nhận thấy góc DFE khơng phải góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc có đỉnh bên trong, hay góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Nhưng góc kề bù với góc góc AFE góc nội tiếp đường trịn, ta dựa vào góc Chứng minh: Ta có: AFE  sđ AE Lớn (Tính chất góc nội tiếp) AB  nhỏ 1800 sđ  nhỏ  BE Lớn  sđ BE ACB sđ (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi   2 đường trịn) AE  1800  Suy ra: AFE  ACB sđ Lớn  nhỏ sđ BE sđ AB  180 1800 (1)    Mà DFE kề bù với AFE (2); DCE kề bù với ACB (3)   Từ (1); (2); (3) suy DFE  DCE 1800 suy tứ giác CDFE nội tiếp Bài toán 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường A tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh I đường tròn điểm A, I, F, H, E nằm Ta nhận thấy tứ giác BHCD có đường chéo Cắt trung điểm đường nên hình bình hành  CD // BH , CH // BD Mà BE  AC , CF  AB F E H  DC  AC , BD  AB B O M C D Chứng minh: a) Cách 1: Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp Gọi O trung điểm đoạn thẳng AD Vì  ACD vng C nên CO = AO = OD = AD (Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh ấy) Tương tự BO = AO = OD = AD  OA = OC = OD = OB  điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O Cách 2: Dựa vào định lý (Chứng minh tổng góc đối diện 1800) Ta có DC  AC , BD  AB  ACD  ABD 1800 nên tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn Cách 3: Áp dụng quỹ tích cung chứa góc  Ta có ACD 900 , ABD 900  Điểm B C nhìn đoạn thẳng AD góc 90 nên tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn b) Ta thấy chứng minh nhiều điểm từ điểm trở lên thuộc đường trịn ta chọn điểm làm gốc, nối điểm thứ với điểm chứng minh điểm đỉnh tứ giác nội tiếp Sau lại chứng minh điểm gốc kết hợp với điểm thứ đỉnh tứ giác nội tiếp, tiếp tục tới điểm cuối Vì tất điểm nằm đường tròn qua điểm gốc nên tất đường trịn trùng Chứng minh: Ta có AFH 900 , AEH 900 nên điểm I, F ,H nằm đường trịn đường kính AH  Và AID 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên HIA 900  điểm A, I, F, H, E nằm đường trịn Kết luận: Qua hai tốn ta thấy: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, sau vẽ hình (chính xác) ta nhìn hình vẽ xem có góc tứ giác có góc vng hay khơng? + Nếu có cịn góc vng nữa? Khi ta chứng minh cho góc 90 (Nếu có thể) 10 + Nếu khơng có ta chứng minh cho điểm đỉnh kề nhìn xuống đoạn thẳng cạnh tứ giác góc (Tức quay dạng tốn chứng minh góc nhau) chứng minh cho tổng góc đối 180 Chú ý: Khi chứng minh ta chia trường hợp: - Trường hợp 1: Hình vẽ có đường trịn Ta chứng minh cách: Xem góc tứ giác góc đường trịn Dựa vào tính chất góc giả thiết đề ta tìm mối liên hệ để chứng minh - Trường hợp 2: Hình vẽ khơng có đường trịn Nếu hình vẽ khơng có đường trịn, ta sử dụng giả thiết đề để chứng minh Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính CM Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp b) ABD  ACD c) CA tia phân giác góc SCB Nhận xét: Đây tập mà hình vẽ có đường trịn  Nhìn hình vẽ ta thấy có CAB 900 (gt), chắn cịn góc vng tạo đỉnh (là góc CDB) Ta chứng minh cho góc CDB 90 Góc CDB góc đường trịn? Học sinh dễ dàng nhận góc nội tiếp chắn nửa đường tròn C D M S A N B Chứng minh:   a) Ta có: CDM 90o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên CDB 90o   => CDB CAB (900 ) => tứ giác ABCD nội tiếp (đpcm) b) Từ câu a => ABD  ACD (Góc nội tiếp chắn cung nhỏ AD) (đpcm) c) Với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD 11 Ta có: ADB  ACB (Góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB)  Và SDM  ADB  Nên SDM  ACB   (Góc nội tiếp chắn cung nhỏ SM) SDM SCM  SCM  ACB => CA tia phân giác góc SCB (đpcm) Kết luận: Vấn đề đặt là: Khi ta chuyển dạng tốn chứng minh hai góc toán chứng minh tứ giác nội tiếp? Trả lời: Khi hai góc có đỉnh đỉnh đường trịn, cịn cạnh góc chứa cạnh tứ giác, cạnh lại chứa đường chéo tứ giác Phương pháp 4: Dựa vào tính chất phương tích Lưu ý: Ngồi phương pháp chứng minh chủ yếu có phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp phương pháp sử dụng tính chất phương tích: Bổ đề: Cho tứ giác BCED Gọi J giao điểm BE CD, BC DE cắt A Khi đó: Nếu AB AC = AD AE BJ JE = CJ JD tứ giác BCED nội tiếp C B J A D E Vận dụng giải toán sau: Bài tốn 4: Cho tam giác ABC vng A Kẻ đường cao AH Gọi E F hình chiếu H xuống AB AC Chứng minh rằng: a) AEHF hình chữ nhật b) AE.AB = AF.AC c) BEFC tứ giác nội tiếp C M H N F A E B Chứng minh:  a) Ta có CFH = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 12  Tương tự BEH = 900   AFH  AEH CAB 900 Tứ giác: AEHF có góc vng AEHF hình chữ nhật b) Xét tam giác vng AHC có: AF AC = AH2 (1) (Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) Tương tự: AE AB = AH2 (2) Từ (1) (2) suy AE.AB = AF.AC c) Từ câu b suy BEFC tứ giác nội tiếp Bài toán 5: Cho điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O Kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn, kẻ cát tuyến MCD Gọi F giao điểm MD AB; H, E trung điểm AB CD Chứng minh rằng: a) MA2 = MC MD b) M, A, E, O, B thuộc môt đường tròn c) ME MF = MH MO Chứng minh: A C M D E F O H B  MDA (g.g) a) Dễ dàng chứng minh  MAC Từ suy ra: MA = MC.MD b) OE  CD (Quan hệ đường kính dây cung)    Suy ra: OEM = 900, OAM = 900 OBA Vậy M, A, E, O, B thuộc đường tròn đường kính OM c)  OAB cân có OH đường phân giác đồng thời đường cao  Suy OHA =900   Tứ giác OHFE có OHA = 900 Suy tứ giác OHFE nội tiếp OEM áp dụng bổ đề suy ra: ME MF = MH MO Chú ý: Đây phương pháp hay sử dụng nhiều, chương trình SGK không đưa vào Mà đưa vào sách tập Chính giáo viên nên hướng dẫn thật chi tiết tập giúp học sinh hiểu vận dụng cách giải tốt Đặc biệt đối tượng học sinh giỏi C Một số tập vận dụng: 13 Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = a Lấy điểm M tuỳ ý đoạn AB thoả mãn AM>MB>0 Dựng phía AB hình vng AMCE BMKQ Nối A, K kéo dài cắt BC I a) Chứng minh : BCM KMA b) Chứng minh tứ giác BQIK, AICE tứ giác nội tiếp Bài 2: Tam giác ABC cân A Điểm E di động A B Qua B vẽ đường vng góc với tia CE D cắt tia CA tạ H.Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn b) Góc ADH có số đo khơng đổi C di động A B Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có Ax tiếp tuyến Đường thẳng song song với Ax cắt AB, AC D E Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp Bài 4: Cho tam giác ABC(AB=AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AG, BE, CF gặp H a) CMR: AEHF tư giác nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) CMR: AF AC = AH AG c) CMR: GE tiếp tuyến đườn tròn (I) Bài 5: Tam giác ABC khơng có góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM không trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết BAˆ H CAˆ M Chứng minh rằng: a) AMHN tứ giác nội tiếp b) Tính số đo góc BAC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A Điểm E di động A B Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CE D cắ tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp đường trịn b) Góc ADH có số đo khơng đổi C di động Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho đường trịn (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MB, MC với đường tròn; kẻ tia Mx nằm tia MO MC Kẻ đường thẳng qua B song song với tia Mx , đường thẳng cắt đường tròn điểm thứ A, AC cắt Mx I Gọi B / điểm xuyên tâm đối B Kẻ đường thẳng qua O vng góc với B B / , đường thẳng cắt MC B / C K E a) Chứng minh tứ giác MOIC nội tiếp b) Chứng minh tam giác MOB EB / O 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 14 Sau thời gian lồng ghép phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp vào tiết học Tôi tiến hành khảo sát lại lớp: Lớp 9A3 lớp 9A4 (Cũng đề cho em mức độ lần trước) thu kết sau: Bảng kết khảo sát sau áp dụng đề tài: Bảng 2: Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm Tổng - 10 7- 5-6 3-4 0–2 số SL TL TL TL TL TL HS SL SL SL SL (%) (%) (%) (%) (%) 78 15 19,2 25 32,1 25 32,1 10 12,8 3,8 Qua kết bảng khảo sát 2, so sánh với bảng 1, ta thấy chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh hiểu làm toán chứng minh tứ giác nội tiếp đạt kết cao hơn, tỉ lệ giỏi, trung bình cao hơn, đồng thời tỉ lệ yếu giảm so với lần trước Đây dấu hiệu tốt việc áp dụng đề tài Như với phương pháp đưa ra, việc đặt hệ thống câu hỏi gợi mở phần giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động Học sinh dễ nhận toán cho thuộc dạng nào, khơng cịn rơi vào trạng thái gị ép, lúng túng, giúp học sinh có hứng thú gặp tốn chứng minh tứ giác nội tiếp nói riêng mơn hình học nói chung Đối với nhiều học sinh, khơng làm tốt dạng tốn mà giúp em khắc sâu kiến thức hình học từ lớp đến lớp Một phận em học sinh biết cách suy luận để mở rộng, phát triển toán KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 - Kết luận: Trong trình giảng dạy kiểm tra mức độ học sinh, nhận thấy đa số học sinh ban đầu tiếp nhận dạng tốn cịn gặp khó khăn Sau áp dụng sáng kiến trường THCS Lê Lợi nơi tơi cơng tác thì: Với cách gợi mở, hướng dẫn giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động, không rơi vào trạng thái gị ép, giúp học sinh có hứng thú học môn Đa số em hiểu cách chứng minh tứ giác nội tiếp Đối với học sinh, khơng làm tốt dạng tốn mà giúp học sinh nắm sâu kiến thức từ lớp Vận dụng tốt vào chứng minh tập Biết cách suy luận từ toán đến tốn mới, từ dễ đến khó qua hình thành phương pháp chứng minh Đề tài “Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá” rút từ thực tế giảng dạy; kinh nghiệm cịn hạn chế thân, trình đưa sáng kiến vận dụng cho học sinh khơng tránh khỏi thiếu sót Bản thân nghiên cứu tập phạm vi kiến thức sách giáo khoa, sách tập, đề thi vào lớp 10 hàng năm Sáng kiến cần mở rộng khai thác nhiều với kiến thức rộng Chính tơi mong góp ý đồng nghiệp, hội đồng khoa học cấp để sáng kiến hoàn thiện - Kiến nghị: + Kiến nghị cấp cần tổ chức nhiều hội nghị chuyên đề trao đổi học tập kinh nghiệm trường THCS thành phố Thanh Hóa nói riêng tỉnh Thanh Hóa nói chung + Cần tăng cường sở vật chất nhà trường theo hướng đại Tôi xin chân thành cảm ơn! Tp Thanh Hoá, ngày 01 tháng 04 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép người khác Người thực Nguyễn Thị Thủy 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa toán lớp Tác giả : Phan Đức Chính - Tơn Thân – Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức [2] Sách giáo viên tốn lớp Tác giả : Phan Đức Chính - Tơn Thân [3] Sách tập tốn lớp Tác giả : Tơn Thân – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Trần Kiều [4] Dạy – học tốn THCS theo hướng đổi Tác giả : Tơn Thân [5] Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên trung học sở chu kỳ III (2004 – 2007) mơn Tốn [6] Tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọn trường trung học sở mơn Tốn [7] Tốn phát triển lớp Tác giả : Vũ Hữu Bình [8] Tạp chí tốn học tuổi thơ – NXB Giáo dục [9].Các dạng toán phương pháp giải – NXB Giáo dục 17 ... dễ đến khó qua hình thành phương pháp chứng minh Đề tài ? ?Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hố” tơi rút từ thực... tài: ? ?Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá” 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: - Qua tiết dạy lớp, tiết... ? ?Rèn số kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi, thành phố Thanh Hoá” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài là: - Cung cấp cho