Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng MỤC LỤC CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHÉP BIẾN HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép biến hình Dạng Tìm điểm bất động phép biến hình C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN BÀI PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 11 Dạng Xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến 11 Dạng Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động 12 Dạng Dùng phép tịnh tiến để dựng hình 12 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 13 BÀI PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 30 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 30 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 30 Dạng Xác định ảnh hình qua phép đối xứng trục 30 Dạng Tìm trục đối xứng hình 31 Dạng Tìm tập hợp điểm 32 Dạng Dùng phép đối xứng trục để dựng hình 32 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 33 BÀI PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 51 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 51 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 51 Dạng tìm ảnh điểm, đường qua phép đối xứng tâm 51 Dạng Chứng minh hình H có tâm đối xứng 52 Dạng Dùng phép đối xứng tâm để dựng hình 53 Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 54 BÀI PHÉP QUAY 60 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 60 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 63 Dạng Chứng minh điểm M’ ảnh điểm M phép quay 63 Dạng Tìm ảnh đường thẳng, đường tròn qua phép quay 64 Dạng Dựng hình phép quay 66 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 67 BÀI KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU 76 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 76 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 80 BÀI PHÉP VỊ TỰ 91 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 91 B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 95 Dạng Xác định phép vị tự biến điểm M cho sẵn thành điểm M’ cho sẵn 95 Dạng Dùng phép vị tự để tìm tập hợp điểm 96 Dạng Dùng phép vị tự để dựng hình 97 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 99 BÀI PHÉP ĐỒNG DẠNG 114 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 114 Dạng Xác định yếu tố phép đồng dạng 114 Dạng Tìm ảnh điểm M qua phép đồng dạng 115 Dạng Chứng minh hai hình H H’ đồng dạng 115 Dạng Tìm tập hợp điểm M’ ảnh điểm M qua phép đồng dạng 116 ÔN TẬP CHƯƠNG 121 Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHÉP BIẾN HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Đặt vấn đề: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d điểm M Dựng hình chiếu vuông góc M’ điểm M lên đường thẳng d Ta biết với điểm M có điểm M’ hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng d cho trước (hình 1.1) Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Nếu kí hiệu phép biến hình F ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) gọi điểm M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H ’ = F(H) tập điểm M’  F  M  , với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ ảnh hình H qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Biểu thức tọa độ Gọi M  x; y  điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: M'  f  M   x'  g  x; y    y'  h  x; y  Với M'  x'; y'  cho:  1 Hệ (1) gọi biểu thức tọa độ phép biến hình f Điểm bất động phép biến hình  Một điểm M   P  gọi điểm bất động phép biến hình f f  M   M Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng  Nếu f  M   M với điểm M   P  f gọi phép đồng B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định ảnh hình qua phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép biến hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 1; 2  , M’ ảnh M qua phép biến x'  2x  y  hình f có biểu thức tọa độ:   y'  x  y  Tìm tọa độ  x'; y'  M’ Giải  x'  2.1   2    1   y'    2    Thay tọa độ điểm M vào biểu thức tọa độ M’, ta được:  Vậy M'  1; 5 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x  y   x'  2x  y Tìm ảnh đường thẳng d qua phép biến hình có biểu thức tọa độ là:   y'  3x  2y Giải x'  2x  y x  2x' y'   y'  3x  2y y  3x' 2y' *  Ta có:  Thay (*) vào phương trình d, ta được: 2x' y' 3x' 2y'   x' y'  Do đó, phương trình d’, ảnh đường thẳng d là: x  y   Dạng Tìm điểm bất động phép biến hình Phương pháp giải: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép biến hình Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f có biểu thức tọa độ là: x'  2x  y  Tìm điểm bất động phép biến hình f   y'  x  2y  Giải x'  x M  x; y  điểm bất động M'  f  M   M Do đó, M'  x'; y'    y'  y x  2x  y  Thay vào biểu thức tọa độ, ta được:   y  x  2y  hay x  y   Vậy điểm bất động f nằm đường thẳng có phương trình x  y   C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ xác định bởi: OM'  OM với O điểm cố định Hỏi f có điểm cho M  f  M  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng A Duy điểm B Ít C Ít hai D điểm Hướng dẫn giải Đáp án A M  f  M   OM  OM  OM   O  M Vậy có điểm có ảnh nó, gốc tọa độ O Câu Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ xác định MM'  v ( v vectơ cho sẵn khác ) Hỏi điểm nằm đoạn thẳng AB có ảnh qua f A A B B C trung điểm AB D điểm Hướng dẫn giải Đáp án D   Gọi M thuộc đoạn thẳng AB có ảnh qua f nó, ta có M  f  M   MM'  v   điểm M Câu Cho đường thẳng  cố định Gọi f phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ MM'   tai H Giả sử A'  f  A  ,B'  f  B  Khẳng định sau MH  M'H cho  A AB  A' B' B AB  A' B' C AB  A' B' Hướng dẫn giải D Chỉ A Đáp án C Vì A'  f  A  B'  f  B  nên  đường trụng trực AA' BB’ Trong hình thang ABB’A’, ta có A'B'  AB Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, a  1;  ; M  x,y  ;M'  x',y'  Biểu thức tọa độ phép biến hình f biến M thành M’ cho MM'  a có công thức sau đây: Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng x'  x  x'  x  A  B   y'  y   y'  y  x'  x  x'  y  C  D   y'  y   y'  x  Hướng dẫn giải Đáp án A x'  x  Vì MM'  a nên   y'  y  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  x định   y'  2y Điểm sau có ảnh qua f A  0;  B  1;  C  0;1 D  x  ,0  Hướng dẫn giải Đáp án D x  x x    y  2y y  M ảnh qua f M  M  f  M    Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  x định   y'  y Ảnh  : x  y  qua f có phương trình là: B  1;  A y  x C  0;1 D  x  ,0  Hướng dẫn giải Đáp án C x'  x x  x'  thay vào x  y   y'   y  y   y' Từ  Ta có: x' y'   x  y  Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  x  y định   y'  x  y Gọi A 1;  B  1;  Tính độ dài A' B' ta được: Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng A 10 B C Hướng dẫn giải D 10 Đáp án D x'  x  y Vì   y'  x  y xA'    1    y A'    nên A’ có tọa độ  Tương tự ta tìm B  4;  Do đó: A' B'  10 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  x định   y'  2y A x2 y  1 Ảnh elip  E  : B x2  y  qua f (E’) có phương trình x2 y  1 C x2  2y  D x2  y2 1 Hướng dẫn giải Đáp án A x'  x Vì  nên  y'  2y  x  x'   y' thay vào y     E  : x2  y  ta x2 y  1 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  x định   y'  2y x2 y A  1 Ảnh đường tròn  C  : x2  y2   qua f có phương trình x2 y B  1 C x2  2y2  D x2  y2 4 Hướng dẫn giải Đáp án D x'  x Vì   y'  2y  x  x'  y' thay vào y     nên   C : x2  y2   ta x2  y2 4 Câu 10 Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M  x,y  thành M'  x',y'  xác x'  2x định   y'  y Gọi M''  x'',y''  ảnh M’ qua f Tọa độ M’’ tính theo  x, y  M là: Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng x''  4x x''  2x A  B   y''  y  y''  y x''  x C   y''  y x''  3x D   y''  y Hướng dẫn giải Đáp án A x'  2x Vì   y'  y x''  2x' nên   y''  y' x''   2x   4zx  y''  y Suy ra:  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng BÀI PHÉP TỊNH TIẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khi đẩy cánh cửa trượt cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy điểm cánh cửa dịch chuyển đoạn AB theo hướng từ A đến B (h.1.2) Khi ta nói cánh cửa tịnh tiến theo vectơ AB I Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM'  v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v Phép tịnh tiến theo vectơ v thường ký hiệu Tv ,v gọi vectơ tịnh tiến Như vậy: Tv  M   M'  MM'  v Phép tịnh tiến theo vectơ – không phép đồng Ví dụ: Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng II Tính chất Tính chất Nếu Tv  M   M', Tv  N   N' M'N'  MN từ suy M'N'  MN Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 10 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Câu 39 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1; 2  Phép vị tự V  I;  biến điểm M  3;  thành điểm M’ có tọa độ là: A  11;10  C 11; 10  B  6; 8  D  6;  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: IM'  3I M  x'  11 x'   3  1   y'  10   y'     Do đó:  Câu 40 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1;  tam giác ABC với A  0;7  ,  1 B  3;  , C  9;  Gọi G trọng tâm tam giác ABC Phép vị tự V  I;   biến điểm G 2  thành điểm G’ có tọa độ là: A  2;  1      C   ;  B  ;1  2  D 1; 4  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Trọng tâm tam giác ABC G  2;  Ta có: IG'   IG   x'     1   x'   Do đó:   y'       y'     1 2  Vậy G'  ;1   Câu 41 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1;  parabol (P) có phương trình y2  4x Phép vị tự V  I;  biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là: A y2   x  1 B y2   x  1 C y2  4x  D y2  4  x  1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Nếu phép vị tự V  I;  biến điểm M  x; y  thành điểm M'  x'; y'  ta có: IM'  2IM  IM  IM' Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 111 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng  x'  x  x    x' 1     2  Do đó:  y'  y    y'  y       y'   x'  Thay vào phương trình (P) ta được:        y'2   x' 1  2 2 Vậy phương trình (P’) là: y2   x  1 Câu 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A  5; 2  đường tròn (C) có phương trình x2  y2  6x  2y  15  Phép vị tự V  A; 2  biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có phương trình là: A  x     y    100 B  x     y    64 C  x     y    36 D  x     y    25 2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Phương trình (C) viết lại là:  x     y  1  25 2 Suy (C) có tâm I  3; 1 bán kính R  Phép vị tự V  A; 2  biến điểm I thành điểm I'  a; b  với AI'  2AI  a   2    a    b  4   b   2  1   Suy ra:  Bán kính (C’) là: R'  2  10 Vậy phương trình (C’) là:  x     y    100 2 Câu 43 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) (T) định  C :  x  1   y  5 2  25,  T  : x2  y  6x  2y  15  Tâm vị tự (C) (T) điểm E có tọa độ là: A  1;  B  4; 1 C  3;  D  1; 2  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D + Đường tròn (C) có tâm I 1; 5  bán kính R  + Phương trình đường tròn (T) viết lại:  x     y  1  25 2 Suy (T) có tâm J  3;1 , bán kính r  Như hai đường tròn (C) (T) nhau, có phép vị tự biến (C) thành (T), phép vị tự Tâm vị tự trung điểm A IJ Ta có: A  1; 2  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 112 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Câu 44 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) (T) định  C :  x     y  1 2  4,  T  :  x     y    16 Tâm vị tự (C) (T) điểm P 2 có tọa độ là: A  6;  B  7; 5  C  5; 7  D  4;  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B + Đường tròn (C) có tâm I  2; 1 , bán kính R  + Đường tròn (T) có tâm J  3;  , bán kính r  Nếu P tâm vị tự (C) (T) ta có: PJ  r PI  2PI Tọa độ P là: R  3  2.2 xP  7   1   y    1  5  1  P Câu 45 Cho hai đường tròn (C) (T) tiếp xúc với điểm A Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Điểm A tâm vị tự hai đường tròn B Nếu (C) (T) tiếp xúc A tâm vị tự hai đường tròn C Nếu (C) (T) tiếp xúc A tâm vị tự hai đường tròn D Hai đường tròn (C) (T) có hai tâm vị tự (trong ngoài) Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A + Hiển nhiên A tâm vị tự hai đường tròn + Nếu (C) (T) tiếp xúc A tâm vị tự hai đường tròn + Nếu (C) (T) tiếp xúc A tâm vị tự hai đường tròn + Nếu (C) (T) tiếp xúc bán kính hai đường tròn tâm vị tự Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 113 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng BÀI PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Phép biến hình f gọi phép đồng dạng với tỉ số k  k   với hai điểm M, N ảnh M’, N’ chúng, ta có: M'N'  kMN Định lí: Mọi phép đồng dạng f tỉ số k  k   hợp thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hình D Tính chất phép đồng dạng Phép đồng dạng:  Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự ba điểm đó;  Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia;  Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k (k tỉ số đồng dạng);  Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k;  Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R'  kR ;  Biến góc thành góc Hai hình đồng dạng Định nghĩa: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định yếu tố phép đồng dạng Phương pháp giải: Sử dụng định lí: “Mọi phép đồng dạng f tỉ số k  k   hợp thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hình” Ví dụ: Cho phép đồng dạng f hợp thành phép quay tâm O, góc quay  phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k  k   Chứng minh ảnh M’ điểm M xác định bởi:  OM'  kOM  OM,OM'       Giải  OM  OM1   OM,OM1    Gọi M1 ảnh M phép quay tâm O, góc quay  Ta có:   1 2 Gọi M’ ảnh M1 phép vị tự tâm O, tỉ số k  k   , ta có:  OM'  kOM1 OM'  kOM1     OM1 ,OM'    3 4 Từ (1) (3) ta có: OM'  kOM Từ (2) (4) ta có:  OM,OM'    Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 114 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Tóm lại, phép đồng dạng f hợp thành phép quay Q  O;  phép vị tự  OM'  kOM V  O; k  ,  k   biến điểm M thành điểm M’ xác định bởi:    OM,OM'    Dạng Tìm ảnh điểm M qua phép đồng dạng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa phép đồng dạng Ví dụ: Chứng minh rằng, phép đồng dạng f biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm, trực tâm tam giác A’B’C’ Giải  Gọi D trung điểm cạnh BC, thì: f : D D' , D’ trung điểm cạnh B’C’ Do đó: f biến trung tuyến AD thành trung tuyến A’D’ Tương tự, f biến trung tuyến BE thành trung tuyến B’E’ Vậy: f : G  AD  BE G'  A' D' B'E' , tức f biến trọng tâm G tam giác ABC thành trọng tâm G’ tam giác A’B’C’  Gọi AA1 đường cao tam giác ABC thì: f : BC B'C'; f : AA1 A'A1 ' Mà AA1  BC nên A'A1 '  B'C' Như f biến đường cao AA1 tam giác ABC thành đường cao A'A1 ' tam giác A’B’C’ Tương tự, f biến đường cao BB1 tam giác ABC thành đường cao B' B1 ' tam giác A’B’C’ Do f biến H  AA1  BB1 thành H'  A'A1 ' B' B1 ' , tức f biến trực tâm H tam giác ABC thành trực tâm H’ tam giác A’B’C’ Tương tự, ta chứng minh f biến tâm O đường tròn (ABC) thành tâm O’ đường tròn (A’B’C’) Dạng Chứng minh hai hình H H’ đồng dạng Phương pháp giải: Ta chứng minh có phép đồng dạng f biến H thành H’ Ví dụ: Chứng minh đa giác có số cạnh đồng dạng với Giải Cho hai n – giác A1A2 An B1B2 Bn có số cạnh n có tâm O O’ Hai tam giác câu A1OA2 B1O' B2 có góc đỉnh A1OA2  B1O' B2  Do đó, đặt: k  B1B2 O' B1  A1A2 OA1 2 nên đồng dạng n (1) Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 115 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Gọi V  O; k  phép vị tự tâm O, tỉ số k, V  O; k  biến đa giác A1A2 An thành đa giác C1C2 Cn , ta có: C1C2 k A1A (2) Từ (1) (2) cho ta: C1C2  B1B2 Vậy, hai n – giác C1C2 Cn B1B2 Bn có cạnh nhau, nên có phép dời hình D biến C1C2 Cn thành B1B2 Bn Nếu gọi f hợp thành V  O; k  D, f phép đồng dạng biến n – giác A1A2 An thành n – giác B1B2 Bn Vậy hai n – giác A1A2 An B1B2 Bn đồng dạng với Dạng Tìm tập hợp điểm M’ ảnh điểm M qua phép đồng dạng Phương pháp giải:  Xác định phép đồng dạng f : M  Tìm tập hợp H điểm M Suy tập hợp điểm M’ H’, ảnh H qua phép M' đồng dạng f Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân A (các đỉnh vẽ theo chiều dương, tức ngược chiều quay kim đồng hồ) Biết đỉnh B cố định, đỉnh A di động đường tròn  O; R  Tìm tập hợp đỉnh C Giải Tam giác ABC vuông cân A nên BC  AB Xét phép vị tự tâm B tỉ số k  biến A thành A’, với BA'  2BA Ta có A’ thuộc nửa đường thẳng BA BA'  BA Từ O'   BC  BA' BA', BC  45o    suy ra:  C  Do C ảnh A’ phép quay tâm B, góc 45o , suy C ảnh A qua phép hợp thành phép vị tự  V B;  phép quay Q  B; 45  Vậy, C ảnh A A o O B qua phép đồng dạng tỉ số k  Theo giả thiết, A di động đường tròn  O; R  , nên tập   hợp C đường tròn O'; R , ảnh đường tròn  O; R  qua phép đồng dạng Tâm O’ xác định o   BO, BO'   45 bởi:    BO'  BO Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 116 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Phép vị tự với tỉ số k  phép đồng dạng B Phép đồng dạng phép dời hình C Phép vị tự với tỉ số k  1 phép dời hình D Phép quay phép đồng dạng Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Phép đồng dạng nói chung phép dời hình Thật vậy: Nếu phép đồng dạng với tỉ số k biến điểm M, N thành M’, N’ ta có: M'N'  kMN Do đó, k  M'N'  MN , trường hợp phép đồng dạng phép dời hình Câu Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Phép vị tự với tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số k B Phép đồng dạng phép vị tự C Nếu ta thực liên tiếp phép vị tự phép dời hình ta phép đồng dạng D Nếu hai đa giác đồng dạng tỉ số cạnh tương ứng chúng tỉ số đồng dạng Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm P  3; 1 Thực liên tiếp hai  1   phép vị tự V  O;  V  O;   điểm P biến thành điểm P’ có tọa độ là: A  4; 6  B  6; 2  C  6;  D 12; 4  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Giả sử ta có: Phép vị tự V  I; k1  biến điểm M thành điểm N phép vị tự V  I; k  biến điểm N thành điểm P Khi ta có: ON  k1 OM OP  k2 ON Suy OP  k1k2 OM Như P ảnh M qua phép vị tự V  O; k1k2  Áp dụng kết phép vị tự biến điểm P thành điểm P’ phép vị tự V tâm I theo tỉ số  1 k  k1k      2  2 Ta được: OP'  2OP  OP'   6;  Vậy P'  6;  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 117 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Nếu có phép đồng dạng biến cạnh AB thành cạnh BC tỉ số k phép đồng dạng bằng: A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta dễ thấy tỉ số đồng dạng k  BC AB   AB AB Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A  2;1 , B 0;  , C 1; 3  , D  2;  Nếu có phép đồng dạng biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD tỉ số k phép đồng dạng bằng: A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: AB  2 , CD  Suy tỉ số phép đồng dạng k  CD  AB Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:  C  : x2  y2  2x  2y   ,  D : x2  y2  12x  16y  Nếu có phép đồng dạng biến đường tròn (C) thành đường tròn (D) tỉ số k phép đồng dạng bằng: A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D + Phương trình  C  :  x  1   y  1    C  có tâm I  1;1 , bán kính R  2 + Phương trình  D :  x     y    100   T  có tâm J  6;  , bán kính r  10 2 Tỉ số phép đồng dạng k  r 5 R Câu Cho điểm A đường thẳng  không A d o 45 qua A Một điểm M thay đổi  Vẽ tam giác N AMN vuông cân M (các đỉnh tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ) Đi tìm tập hợp điểm N, học sinh lập luận qua ba bước sau: Bước 1: Từ giả thiết suy  AM; AN  45o H M I AN  2AM Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 118 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng   Suy N ảnh M qua phép đồng dạng gồm hợp hai phép vị tự V A; phép   quay Q A; 45o Bước 2: Do M thay đổi  tập hợp điểm N ảnh đường thẳng d  qua đồng dạng Bước 3: Gọi H hình chiếu vuông góc A  , vẽ tam giác vuông cân AHI (hình vẽ); ta thấy d đường thẳng qua I tạo với  góc 45o Kết luận: tập hợp điểm N đường thẳng d Hỏi lập luận hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Lập luận hoàn toàn B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai hình tròn đồng dạng B Hai đa giác có số cạnh đồng dạng C Hai elip đồng dạng D Hai parabol đồng dạng Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C + Dễ thấy hai câu A B + Hai elip đồng dạng tỉ số độ dài trục lớn tỉ số độ dài trục nhỏ hai elip M H + Hai parabol đồng dạng Thật vậy, ta xem cách chứng minh toán tổng M1 H1 K1 K F quát sau đây: “Hai cô-nic có tâm sai đồng dạng” Ta xét hai cô-nic có tâm sai e: - Cô-nic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn  - Cô-nic (C’) có tiêu điểm F’, đường chuẩn  ' Ta thực liên tiếp phép tịnh tiến phép quay (tức thực phép dời hình) để biến F’ thành F biến  ' thành 1 song song với  Phép dời hình biến (C’) thành cô-nic  C1  với (C’),  C1  có tâm sai e Theo đề bài, ta chứng minh (C)  C1  đồng dạng với Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 119 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Gọi K K1 hình chiếu vuông góc F  1 Đặt k  Fk1 Fk Thực phép vị tự V tâm F tỉ số k, phép vị tự biến  thành 1 Trên (C) lấy điểm M bất kì, gọi H hình chiếu vuông góc M  Phép vị tự V biến M thành M1 H thành H1 , H1 hình chiếu vuông góc M1 1 Hai tam giác FMH FM1H1 đồng dạng cho: M1F MF  e MH M1H1 Do M1 nằm cô-nic  C1  Suy phép vị tự V biến (C) thành cô-nic  C1  , nên hai cô-nic (C)  C1  đồng dạng Vậy toán chứng minh Trở lại toán: Hai parabol đồng dạng chúng có tâm sai e  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 120 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng ÔN TẬP CHƯƠNG Các câu hỏi trắc nghiệm sau sử dụng mặt phẳng tọa độ Oxy Câu Cho đường thẳng d qua điểm A  3;1 , có vectơ phép tuyến n   2;  Ảnh d’ d phép tịnh tiến theo vectơ v   6;  có phương trình là: A 2x  3y   B 2x  3y   C 2x  3y   D 2x  3y   Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  1   Câu Đường thẳng d qua A  4;  với vectơ phương u   1;  có ảnh d’ phép tịnh tiến theo vectơ v  1; 2  là: A x  2y  10  B x  2y  10  C x  2y   D 2x  y   Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu Phương trình trục đối xứng Ñd : A A x  y   B x  y   B , với A  2;1  B  2;  là: C 2x  y   D 2x  y   Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C     Câu Cho hai điểm A 1; B 5; Trục đối xứng d Ñd có phương trình: A y  x  B y  x  D y  C x  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu Cho đường thẳng d : x  4y   Ảnh d phép tịnh tiến theo v   8;  d’ có phương trình: A x  4y   B x  4y   C 2x  3y   D Một phương trình khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Câu Đường thẳng d : 2x  y   có ảnh qua Ñd có phương trình: A 2x  y   B 2x  y   C x  2y   D x  2y   Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu Trong phép ÑO , ảnh đường tròn tâm I  3; 2  , bán kính R  có phương trình: A  x    y2  B  x    y2  Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 121 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng C  x    y2  D Một phương trình khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu Trong phép đối xứng ÑO , ảnh đường tròn có đường kính AB với A  3;1 B  2; 5  có phương trình: A x2  y2  x  4y  13  B x2  y2  x  4y  11  C x2  y2  x  4y  11  D x2  y2  x  4y  11  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Câu Ảnh đường tròn đường kính AB với A  9;  B  3;6  qua phép đối xứng trục ÑOx có phương trình là: A x2  y2  6x  8y  15  B x2  y2  6x  8y  15  C x2  y2  6x  8y  15  D Một phương trình khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 10 Ảnh đường tròn  C  : x2  y2  8x  2y   qua ÑOy có phương trình là: A x2  y2  8x  2y   B x2  y2  8x  2y   C x2  y2  8x  2y   D x2  y2  8x  2y   Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu 11 Cho phép quay tâm I 1;  biến M  x; y  thành M'  x'; y'  Điểm bất biến phép quay có tọa độ là: A  2;1 B  2;1 C  1;  D  1; 2  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Câu 12 Cho hai điểm A 1;0  B  3;0  Tìm tâm I phép quay có góc quay 90o biến A thành B A I 1;  B I  2;  C I  2;  D I  1;  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 13 Cho hai điểm M  2; 2  N  2;  Tìm tâm phép quay có góc quay 90o biến M thành N Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 122 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng A  0;  B  4;  C  0;  D  4;  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 14 Cho phép quay tâm I  2;  có góc quay 90o biến O thành O’ có tọa độ là: A O'  2; 2  B O'  2;1 C O'  2;  D O'  2; 2  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 15 Phép vị tự tâm A, tỉ số A 4AB  3CA  , biến điểm B thành điểm C, thỏa mãn hệ thức: B 4CA  3AB C 4CA  3CB D 4BC  3BA Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu 16 Hệ thức 4OA  5OB biệt thị phép vị tự tâm O, biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng: A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Câu 17 Nếu có hệ thức IA  2AB phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng: A B C D Một số khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 18 Nếu có hệ thức 2AI  IB phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng: A B C 2 D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Câu 19 Phép vị tự tâm O, tỉ số k  biến điểm M  1;  thành điểm M có tọa độ: A  2; 4  B  2;  C  2; 4  D  2;  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 20 Phép vị tự tâm O, tỉ số k  biến điểm trực tâm tam giác ABC với A 1;  , B 4;0  , C  2; 2  thành điểm sau đây? Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 123 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng    A 2;    C 2 2; B 2; D   2; 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 21 Phép vị tự tâm O, tỉ số k  2 biến đường tròn tâm A 1; 4  , bán kính R  thành đường tròn có phương trình: A x2  y2  2x  4y   B x2  y2  4x  16y  32  C x2  y2  2x  4y   D Một phương trình khác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 22 Trong phép tịnh tiến theo vectơ v   3;  , đường tròn  C  : x2  y2  4x  6y   có ảnh đường tròn: A x2  y2  2x  2y  14  B x2  y2  2x  2y  14  C x2  y2  2x  2y  14  D x2  y2  2x  2y  14  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Câu 23 Cho đường tròn  C  : x2  y2  Phép đồng dạng f biến (C) thành  C'  : x2  y2  có tỉ số đồng dạng bằng: A B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Câu 24 Phép đồng dạng tâm O, tỉ số  C : x k  , góc 45o biến đường tròn  y  2x   thành đường tròn (C’) có phương trình: A  x  1   y  1  B  x  1   y  1  C  x  1   y  1  D  x  1   y  1  2 2 2 2 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Câu 25 Trong phép đồng dạng tâm I, tỉ số k Câu sau đúng? A Biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d B Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ có độ dài AB k C Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng D Biến góc  thành góc  có số đo k Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 124 Hình Học 11: Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng ĐÁP ÁN C Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 125 ...    1  2;  1  1; 1 Mà M'  d' nên: 5 .1  3 .1  c   c  8 Vậy d' : 5x  3y   Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 012 3433 213 3 Page 11 Hình Học 11 : Chương I-Phép dời hình phép... 11 5 Dạng Chứng minh hai hình H H’ đồng dạng 11 5 Dạng Tìm tập hợp điểm M’ ảnh điểm M qua phép đồng dạng 11 6 ÔN TẬP CHƯƠNG 12 1 Ths Trần Đình Cư-Gv THPT Gia Hội, Huế SĐT: 012 3433 213 3... THPT Gia Hội, Huế SĐT: 012 3433 213 3 Page 19 Hình Học 11 : Chương I-Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Thế vào phương trình (P) ta được: y'   x'   y'  x'2  6x' 11 Vậy ảnh (P) parabol