Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ A. lí do chọn đề tài Biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ có vai trò quan trọng trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là một phần cơ bản trong chơng trình Toán của THCS. Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biết cách biến đổi một một thức hữu tỉ mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy đ- ợc hết khả năng của mình để tìm tòi , khám phá những kiến thức, bài toán liên quan . Trong chơng trình Toán 8 Sách giáo khoa đã cho học sinh nghiêm cứ rất kĩ về một trong những dạng biến đổi một biểu thức hữu tỉ, cụ thể là chơng Phân thức đại số. Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều các baìu toán liên quan và nâng cao mà có ý nghĩa áp dụng cho học sinh phát huy hết khả năng tìm tòi, sáng tạo đặc biệt là đối với học sinh khá - giỏi Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh. Tôi xin đa ra một số bài toán cũng nh định hớng về cách giải một số dạng Toán liên quan đến biến đổi Biểu thức hữu tỉ của học sinh lớp 8 - THCS. B. Nội dung Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Phần I : Lý Thuyết Các khái niệm cơ bản: 1- Khái niệm phân thức: Phân thức đại số là một biểu thức có dạng B A trong đó A,B là đa thức , A là tử thức , B làmẫu thức (* phân thức là một dạng đơn giản của biểu thức hữu tỉ) 2- Khái niệm biểu thức hữu tỉ. a, Một biểu thức chỉ chứa các phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia ) và chứa biến ở mẫu đợc gọi là biểu thức phân. b, Một đa thức còn đợc gọi là biểu thức nguyên. c, Khi thực hiện các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia để đa một biểu thức phân về dạng một phân thức đại số gọi là biến đỏi biểu thức hữu tỉ. 3- Giá trị của biểu thức phân . - ứng với mỗi giá trị của biến ,biểu thức phân nhận đợc giá trị tơng ứng. - giá trị của biểu thức phân chỉ đợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu khác 0. 4 - Chú ý: Một phân thức đại số có thể đợc viết dới dạng tổng của một đa thức và một phân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu . Phần II: Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ 1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức). * Đây là dạng bài tập cơ bản nhất của phần biến đổi Biểu Thức Hữu Tỉ. Nó là cơ sở cho hầu hết cho các dạng bài tập khác (tính giá trị của biểu thức,chứng minh chia hết, .). Về kiến thức của phần này tuy đơn giản song HS thờng hay nhầm lẫn .Do vậy GV cần cho HS có kỹ năng trình bày lời giải cho dạng bài tập này. Lí thuyết : Trong quá trình rút gọn cần nắm chắc đợc: 1-Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2-Sử dụng các phép toán và tính chất của các phép toán 3-Sử dụng 7 hằng đằng thức đáng nhớ (trong SGK Đại số 8) và một số hằng đẳng thức mở rộng: Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ a. (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB +2BC +2CA). b. A n -B n =(A-B)(A n-1 + A n-2 .B + .+B n-1 ). c. 1-x n = (1-x)(1+x+x 2 + . +x n-1 ) Dạng câu hỏi của phần này thờng là: - Đơn giản (rút gọn)biểu thức -Viết các biểu thức sau về dạng phân thức Chú ý:-Ta cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính khi rút gọn. -Ta có D C B A D C B A : = (A,B,C,D là các đa thức và B,C,D khác 0) Ví dụ1.1: Viết biểu thức P thành phân thức đại số. P= 2 2 22 6432 6 22 214 m mnmn m m + + Để giải bài toán này HS cần nắm chắc khái niệm phân thức đại số. ( Phân thức có dạng B A trong đó A,B là đa thức ;B 0 ). Nếu P viết về dạng phân thức thì P= B A . Khi A,B là đa thức (B0) Cách giải: Để tránh nhầm lẫn ta đặt : M= m m 22 214 2 + -6 N= 2 22 6432 m mnmn + Biến đôỉ : M = )1(2 1212214 2 m mm ++ = )1(2 9124 2 m mm ++ = )1(2 )32( 2 m m + N = )1)(1(2 )63()42( mm nmmn + + = )1)(1(2 )2(3)2(2 mm nnm + + = )1)(1(2 )32)(2( mm mn + + P = N M = 2 )1)(32( ++ n mm * Từ đó ta có một số bài tập tơng tự: Ví dụ 1.2 Viết biểu thức A, B, C thành phân thức đại số với : Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ A = 63 2 . 96 246 3 4 ). 7 1( 3369 253 3 3 +++ ++ x x xxx x xxxx x x ; B = xy xyz zx zxy yz yzx xy xyz zx zxy yz yzx )()()( )()()( 222 + + + + C = x x x x x x x x 31 1 1 31 1 1 31 31 1 1 31 1 1 1 + + + + + + + 2>Chứng minh đẳng thức: * Đây là dạng bài toán khó và hay, nó thờng gặp đối với HS, đặc biệt là HS lớp 8 học sinh thờng khó khăn khi giải bài tập dạng này. Qua thực tế đang giảng dạy tôi rút ra kinh nghiệm sau : Trớc tiên phải dạy cho HS phơng pháp chứng minh, sau đó có những ví dụ cụ thể minh hoạ (từ đơn giản đến phức tạp). ( Để làm đợc dạng bài tập HS cần có kỹ năng rút gọn biểu thức). Sau đây tôi đa ra một số phơng pháp chứng minh cùng một số bài tập minh hoạ. Ph ơng pháp chứng minh : Để chứng minh A=B có thể sử dụng những phơng pháp sau: 1. A=A 1 =A 2 = .=B ( VT= .=VP) 2. A-B =0 3. B A =1 4. = = CB CA A=B Ví dụ 2.1: Chứng minh đẳng thức sau: a, 3 2 x + 34 2 2 + xx x + 1 x x = 3 2 + x x b, ))(( caba a + ))(( cbab b + ))(( bcac c =o Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ c, 22 2 9 3 ba aba + + 22 22 96 352 baab baba = abanaan bnabana 33 2 2 + +++ H ớng dẫn: *Đối với câu a và câu b ta có nhận xét VT còn ở dạng phức tạp, còn VP là biểu thức đơn giản .Do vậy ta sẽ áp dụng phơng pháp giải là biến đổi VT (theo kiểu A= .=B) Đặt VT= 3 2 x + 34 2 2 + xx x + 1 x x Rút gọn VT ta đợc VT= 3 2 x + )3)(1( 2 xx x + 1 x x = )3)(1( )3(2)1(2 ++ xx xxxx = )3)(1( 2 2 + xx xx = 3 2 )3)(1( )2)(1( + = + x x xx xx vì VP = 3 2 + x x VT=VP (đpcm) Với câu b, cũng hớng dẫn HS làm nh vậy . *Đối với câu c, ta nhận xét vì VT và VP đều ở dạng phức tạp nên ta áp dụng phơng pháp = = CB CA A=B Rút gọn VT ta đợc VT= ab ba + 3 VP= ab ba + 3 VT=VP (đpcm). (*Đối với câu a, ta cũng có thể áp dụng phơng pháp : Xét hiệu A-B) Ghi chú : Đối với dạng này có rất nhiều bài tập để GV cho HS áp dụng Ví dụ 2.2 Chứng minh đẳng thức sau: a, + + + 2 32 2 23 4 )16( 2 a a a a a aa : aaa a 44 1 23 ++ = a a 1 3 b, ba 2 1 + 22 4 6 ab b - ba 2 2 + =- + + 1 4 4 2 1 22 22 ba ba a c, 3 2 x + 34 2 2 + xx x + 1 x x = 3 2 + x x 3> Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến. Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Ph ơng pháp : Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến ( biến phải thoả mãn điều kiện của bài ), ta phải sử dụng phơng pháp biến đổi để rút gọn biểu thức về dạng đơn giản mà không còn có biến trong kết quả đó. Khi hớng dẫn học sinh thực hiện giáo viên cần phải cho HS hiểu đợc khái niệm " không phụ thuộc vào biến " là gì, từ đó mới định hớng đợc cách giải. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho cách giải (*Để làm đợc dạng bài này đòi hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn biểu thức) Sơ đồ giải : A = .= k (k R) , trong đó A là biểu thức hữu tỉ. Ví dụ 3.1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau: a, A= (b-1) 2 ( 12 1 2 + bb + 1 1 2 b )+ 1 2 + b không phụ thuộc vào b với b 1 b, B= 2 + x x - 2 )2( 2 x .( 4 1 2 x - 44 1 2 + xx ) không phụ thuộc vào x với x 2 Bài giải: Ta sẽ đơn giản A nh sau: A=(b-1) 2 2 )1( 1 b +(b-1) 2 . )1)(1( 1 + bb + 1 2 + b =1 + 1 1 + b b + 1 2 + b =1+1=2 (không phụ thuộc vào b) B = 2 + x x - 2 )2( 2 x .( 4 1 2 x + 44 1 2 + xx ) = 2 + x x - 2 )2( 2 x . 4 1 2 x - 2 )2( 2 x . 44 1 2 + xx = 2 + x x - )2(2 2 + x x - 2 1 = )2(2 222 + + x xxx = 0 (không phụ thuộc vào x) Một số bài tập t ơng tự: Ví dụ 3.3 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau: P = 3 2 + y y +(y-3) 2 ( 2 69 2 yy + + 2 9 1 y ) không phụ thuộc vào y với y 3 Q=( 2 25 3 a + 2510 1 2 + aa ) . 2 )5( 2 a + 5 3 + a a không phụ thuộc vào a với a 5 4> Tính giá trị của biểu thức hữu tỉ. *Đây là dạng bài tập không phải là mới đối với HS lớp 8 .Xong để làm đợc nó đòi hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn biểu thức. Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Ph ơng pháp : Giả sử biểu thức hữu tỉ ở dạng đã đợc thu gọn;thì ta chỉ việc thay giá trị của biến vào biểu thức rồi tính toán. Nếu biểu thức cha đợc thu gọn thì ta cần phải thu gọn biểu thức rồi mới thay giá trị của biến rồi tính . Tóm tắt : Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm nh sau: B 1 : -Rút gọn biểu thức (nếu có thể). B 2 :-Thay giá trị thích hợp của biến vâo rồi tính Ví dụ 4.1: Tính giá trị của biểu thức : P = xy xyz zx zxy yz yzx xy xyz zx zxy yz yzx )()()( )()()( 222 + + + + Tính giá trị của biểu thức sau tại x=2004, y=2005, z=2006 Giải: Trớc hết ta rút gọn biểu thức P Ta có: P= xy xyz zx zxy yz yzx xy xyz zx zxy yz yzx )()()( )()()( 222 + + + + = )()()( )()()( 222 333 xyzzxyyzx xyzzxyyzx ++ ++ = zyx xzxyyx zyxxzzyyx ++= ++ ))()(( ))()()(( Tại x=2004 ; y=2005 ; z=2006 P=4015 Ví dụ 4.2 : Tính giá trị của biểu thức : Q= x x x xxx x + + + + 1 2 1 2 1 3 4 2 Trớc hết ta rút gọn P ta có:P = = ++ ++ )1(2 )1(2)1( 34 2 xxx xxxx xxx xxxx + ++ 44 22 2 222 = x xx + 2 23 2 = x xx 2 )2)(1( =x-1 tại x=2006(có thể cho x với giá trị bất kỳ cho phù hợp ) Sau đó thay x=2006 vào rồi tính P=2005. (*Có rất nhiều bài tập để cho HS vận dụng). Ví dụ 4.3: Tính giá trị của biểu thức A , B, P, Q : Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ A= 63 2 . 96 246 3 4 ). 7 1( 3369 6 253 3 3 +++ ++ x x xxx x xxxx x x tại x=1000 B = 2 22 22 + nm nm : + + n m nm nm + n m nm nm tại m=1 và n=2005. P= 22 2 2 1 ax x ax ax + + + tại x=2a ; Q = x x x x x x x x 31 1 1 31 1 1 31 31 1 1 31 1 1 1 + + + + + + + tại x=2005 5> Tìm giá trị nguyên của biến để giá trị của biểu thức là một số nguyên. *Đây là dạng toán không phải là mới đối với HS nó đã có từ lớp 6 nhng đã đợc phát triển qua từng lớp (6 7 8).ở lớp 8 nó đã đợc trình bày khoa học hơn và nhiều bài tập hơn ;HS đã có những công cụ để giải dạng bài tập này,về mặt phơng pháp thì HS tiếp cận cũng dễ dàng hơn .Để giải bài tập dạng này HS cần nắm chắc phơng pháp giải ;đặc biệt là kỹ năng rút gọn biểu thức ,phép chia đa thức. Ph ơng pháp :Xét biểu thức hữu tỉ P = B A , giả sử A,B là đa thức của cùng một biến (biến có giá trị là số nguyên). Dạng1: Nếu A =k (k Z) B Ư(A) Dạng 2: Nếu A là đa thức có bậc lớn hơn bậc của B, thì sử dụng phép chia đa thức A cho B để đa về dạng 1 ( thờng là sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử để rút gọn). Dạng 3: Nếu A là đa thức bậc nhất ,còn B là một số thì cho A là bội của B. (Chú ý: Ta có thể rút gọn biểu thức trớc khi đi vào giải chính thức.) Ví dụ 5.1: Cho biểu thức P = 1 )1(3 23 +++ + xxx x Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên. Bài giải: Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Trớc hết ta phải rút gọn A P = 1 )1(3 23 +++ + xxx x = )1()( )1(3 23 +++ + xxx x = )1()1( )1(3 2 +++ + xxx x = )1)(1( )1(3 2 ++ + xx x = )1( 3 2 + x Lúc này P đã có dạng1 Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x 2 +1 Ư(3)= }{ 3;1 Với x 2 +1=1 x=0 Với x 2 +1=-1 không có giá trị nào của x thoả mãn Với x 2 +1=3 x 2 = 2 x= 2 Z Với x 2 +1=-3 không có giá trị nào của x thoả mãn. Kết luận: Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên Ví dụ 5.2: ( Y/c nh VD 5.1) Với biểu thức Q=( x x 3 2 + + 1 2 + x -3): 1 42 + x x - x xx 3 13 2 + Rút gọn Q ta đợc P= 3 1 x Để Q nhận giá trị nguyên thì (x+1) B(3) x-1=3k (k Z) x=3k+1 Vậy với x=3k+1 ( k Z ) thì Q có giá trị nguyên. Sau đây là một số bài tập tơng tự: Ví dụ 5.3 Tìm giá trị nguyên của của biến x để giá trị của biểu thức sau đây nguyên A= 1 2 2 + x xx ; B = 2 412 3 + x xx Nhận xét : Cả 2 biểu thức A,B đều có dạng bậc của tử cao hơn bậc của mẫu. Về phơng pháp là ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức (tử chia cho mẫu). Tuy vậy cần hớng dẫn HS linh hoạt trong quá trình biến đổi . Chẳng hạn khi thực hiện biến đổi A ta đợc : A= 1 2 2 + x xx = 1 2)1( + x xx = x+ 1 2 x Để giá trị A là số nguyên thì (x-1) Ư(2)= { } 2;1 x { } 1;0;3;2 . đối với biểu thức B ta cần thực hiện phép chia đa thức B = 2 412 3 + x xx .Thực hiện phépchia đa thức ta đợc B = x 2 +2x+2+ 2 45 x ; với x Z x 2 +2x+2 Z. Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ Vậy để B có giá trị là số nguyên thì x-2 Ư(45) x-2= { } 45;9;5;1 x { } 43;7;3;1;47;11;7;3 Ta có một số bài tập tơng tự với các biểu thức Ví dụ 5.4 Tìm giá trị nguyên của của biến x để giá trị của biểu thức sau đây nguyên P= 1 2 23 + x xx ; Q= 2 42 3 + x xx ; R= 1 12 45 + x xxx 6> Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất . *Dạng toán này đã có ở lớp 7 tuy nhiên còn ở dạng nhỏ lẻ, cha có hệ thống. Đối với HS lớp 8 thì đợc đa vào nhiều hơn ,phong phú hơn .Giáo viên cần đa vào dạy cho HS thành mảng để dạy cho học sinh (đặc biệt là HS giỏi ). Dới đây tôi đa ra một số phơng pháp và một số bài tập minh hoạ. Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x); ta cần nắm vững một số kiến thức (phơng pháp) sau. + Nếu x, x R mà P(x) K (K R) thì giá trị nhỏ nhất của P(x) là K,đặc biệt trong tập hợp số không âm thì 0 là số nhỏ nhất. + Nếu x, x R mà P(x) K (K R) thì giá trị lớn nhất của P(x) là K, đặc biệt trongtập hợp số không dơng thì 0 là là giá trị lớn nhất. + Nếu một phân thức có tử không đổi thì trị số tuyệt đối của phân thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu của nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị tuyệt đối của phân thức đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu của nó đạt giá trị lớn nhất. Lu ý: A 2k + m m k N * n - A 2k n k N * Ví dụ 6.1: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 5x 2 -2x +1 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = -3x 2 +x-2 Lời giải: a. Ta có A= 5x 2 -2x+1= 5(x 2 - 5 2 x+ 5 1 ) =5. [ x 2 -2. 5 1 x+( 5 1 ) 2 - 25 1 ] + 5 1 = 5(x- 5 1 ) 2 + 5 4 Vì x, x R thì (x- 5 1 ) 2 0 nên ta có: A 5 4 vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 4 khi x = 5 1 [...]...Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ b Ta có B= -3 x2+x-2 =-3 (x 2- 1 3 =-3 [ x 2-2 =-3 (xVì x R thì (xx, 1 6 1 6 2 3 x+ 1 6 )2+ x+( ) 1 6 ) 2- 1 36 ]+ 2 3 3 4 )2 0 nên ta có Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 4 khi x = B 3 4 1 6 Ví dụ 6.2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của Tìm giá... khảo sau: 1- Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 8 ( Nhà xuất bản giáo dục) 2- Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc ( TG: Nguyễn Kiếm- Hồ Xuân Thắng) 3- 500 bài toán chọn lọc lớp 8 ( TG:Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Minh , Ngô Long Hậu ) 4 -Toán Đại Số nâng cao lớp 8 (TG: Nguyễn Vĩnh Cận) phụ lục Nội dung A Lí do chọn chuyên đề B Nội dung chính C Kết luận Trang Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài... thiện hơn giúp tôi giảng dạy trong những năm ti p theo Trong nội dung của chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong đợc sự góp ý nhận xét trân thành của hội đồng khoa học của trờng và bạn đọc ý định của tôi là sẽ ti p tục áp dụng chuyên đề này cho học sinh khối 9 theo dạng mở rông đối với các biểu thức có chứa CBH, Căn bậc ba Chuyên đề Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ... = k + M(x) với k là số thực - Cần xác định GTNN của M(x) - Từ đó sẽ tìm đợc GTNN của P(x) Tơng tự tìm đợc GTLN của Q(x) khi và chỉ khi x2 + 4 nhỏ nhất mà x2 + 4 nhỏ nhất khi và chỉ khi x2 nhỏ nhất Vì vậy x2 + 4 nhỏ nhất bằng 4 Từ đó tìm đợc GTLN của Q(x) = 17/4 khi x = 0 C - Kết luận Trên đây là chuyên đề tôi đa ra với mục đích là để tôi áp dụng cho việc bồi dỡng HS Khá - Giỏi Do vậy rất cần đợc sự . Đại số 8 - Một số bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ b. Ta có B= -3 x 2 +x-2 =-3 (x 2 - 3 1 x+ 3 2 ) =-3 [ x 2 -2 . 6 1 x+( 6 1 ) 2 - 36 1 ] + 3 2 =-3 (x- 6 1. +2CA). b. A n -B n =(A-B)(A n-1 + A n-2 .B + .+B n-1 ). c. 1-x n = (1-x)(1+x+x 2 + . +x n-1 ) Dạng câu hỏi của phần này thờng là: - Đơn giản