BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ KIỀU MY HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CAO HUY LINH Huế, Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Hoàng Thị Kiều My ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, xin gửi đến TS Cao Huy Linh lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt trình Thầy giảng dạy lớp Cao học K22 trình hoàn thành Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn Anh, Chị học viên Cao học khóa 22, đặc biệt Anh, Chị chuyên ngành Đại số lý thuyết số tất bạn bè hỗ trợ suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn Bố, Mẹ toàn thể gia đình tôi-những người động viên nhiều động lực giúp hoàn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Hoàng Thị Kiều My iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 1.3 1.4 Chiều vành môđun Vành thương địa phương hóa Dãy quy độ sâu Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 1.4.1 Iđêan m-nguyên sơ 1.4.2 Hệ tham số iđêan tham số 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Vành môđun phân bậc Vành môđun Cohen-Macaulay Độ dài môđun Hàm Hilbert, hệ số Hilbert số Hilbert môđun Hàm tử xoắn đối đồng điều địa phương 1.9.1 1.9.2 1.10 Chỉ số 1.10.1 1.10.2 Hàm tử xoắn Đối đồng điều địa phương quy Castelnuovo-Mumford Chỉ số quy Hàm Hilbert số quy 11 11 12 phân bậc 13 15 16 17 19 19 20 21 21 22 HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 24 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 24 2.2 2.3 2.4 Mối liên hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết 25 Dãy phần tử siêu bề mặt 28 Tính không dương hệ số Hilbert 32 2.4.1 2.4.2 2.5 2.6 Tính không dương hệ số Chern 32 Tính không dương hệ số Hilbert iđêan tham số 36 d-dãy 40 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu môđun phân bậc liên kết 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Hàm Hilbert khái niệm lĩnh vực Đại số giao hoán có nhiều liên hệ mật thiết với bất biến khác số mũ rút gọn, số Hilbert, số quy Castelnuovo-Mumford Việc nghiên cứu hàm Hilbert cho nhiều thông tin cấu trúc vành môđun tương ứng Cho (R, m) vành địa phương Giả sử M R-môđun chiều d I iđêan định nghĩa M Khi hàm số Hilbert-Samuel, hay gọi tắt hàm Hilbert, M ứng với iđêan I hàm số học xác định bởi: HI : Z −→ N0 n −→ HI (n) :=   R (M/I n+1 M ) n ≥ n < 0, 0 đó, R (M/I n+1 M ) độ dài môđun M/I n+1 M Samuel chứng minh tồn đa thức PI (x) với hệ số hữu tỉ bậc d cho HI (n) = PI (n) với n đủ lớn Đa thức gọi đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) M ứng với iđêan I viết dạng: PI (n) = e0 (I) n+d d n+d−1 d−1 − e1 (I) + · · · + (−1)d ed (I) Các hệ số ei = ei (I), i = 0, 1, , d gọi hệ số Hilbert M ứng với iđêan I Đặc biệt, hệ số e0 (I) gọi số bội hệ số e1 (I) gọi số Chern Mục đích Luận văn nghiên cứu hệ số Hilbert môđun M ứng với iđêan tham số Từ khảo sát số cấu trúc môđun M xét Năm 2008, Vasconcelos [16] đưa giả thuyết tính âm hệ số Chern sau: Cho I iđêan tham số vành địa phương Noerther (R, m) Khi e1 (I) < R không Cohen-Macaulay Giả thuyết nhóm nghiên cứu Goto [8] chứng minh trọn vẹn vào năm 2010 Verma [17] có vài kết tính dương hệ số Chern Trong thời gian gần việc nghiên cứu hệ số Hilbert e2 trở nhà Toán học quan tâm Năm 2012, Lori Mccune [13] chứng minh số tính chất tính không dương hệ số Hilbert với giả thiết độ sâu vành R vành phân bậc liên kết GI (R) lớn d − (d chiều R) Năm 2013, Linh-Trung [1] giảm nhẹ giả thiết độ sâu vành phân bậc liên kết lớn d − Sau đó, Linh-Trung [2] chứng minh mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số ei độ sâu vành phân bậc liên kết trường hợp I iđêan tham số sinh d dãy: ei = depth(GI (R)) ≥ d − i + Kết Luận văn tổng quan lại kết liên quan đến hệ số Hilbert iđêan tham số mà chủ yếu kết liên quan đến hai báo [1], [2] Từ mở rộng kết môđun Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài: "Hệ số Hilbert độ sâu môđun phân bậc liên kết" để nghiên cứu với hy vọng làm phong phú số kết vấn đề Phương pháp mà sử dụng hoàn toàn tương tự phương pháp Linh-Trung [1], [2] Trở ngại mà gặp phải nhiều tính chất, kiện chưa phát biểu môđun Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, trình bày số kiến thức đại số giao hoán làm tảng cho chứng minh chương sau Trong chương 2, trình bày kết chính, nêu lên mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu môđun phân bậc liên kết Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày số kiến thức đại số giao hoán như: Chiều vành môđun, vành nhân tử hóa địa phương hóa, dãy quy độ sâu, iđêan nguyên sơ iđêan tham số, vành môđun phân bậc, hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc, số Hilbert, đối đồng điều địa phương, độ dài môđun, số quy Castelnuovo-Mumford, vành môđun Cohen-Macaulay Các kiến thức trình bày nhằm mục đích tham khảo cho nội dung chương sau Hầu hết kiến thức trình bày chương trích dẫn từ tài liệu theo cách tóm tắt lại kết Do đó, số chứng minh Bổ đề, Mệnh đề, Định lý không trình bày lại Nếu độc giả muốn tham khảo chứng minh xem tài liệu nêu cụ thể trích dẫn 1.1 Chiều vành môđun Cho R vành giao hoán Với dãy giảm (thực sự) iđêan nguyên tố vành R p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr ta gọi r độ dài dãy Chúng ta có định nghĩa chiều (Krull) vành môđun sau: Định nghĩa 1.1.1 (1) Cho R vành Ta định nghĩa chiều vành R độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R, kí hiệu dimR Tức dimR := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr dãy iđêan nguyên tố R (2) Cho M R-môđun Ta định nghĩa chiều môđun M dim R M := dimR/annR (M ) annR (M ) = {r ∈ R |rM = 0} Ta kí hiệu dimR thay cho dim R M trường hợp nhầm lẫn vành R Nhận xét 1.1.2 (1) Mỗi iđêan nguyên tố vành thương R/annR (M ) có dạng p/annR (M ) với p iđêan nguyên tố R chứa annR (M ) Do đó, chiều vành R/annR (M ) độ dài lớn dãy giảm iđêan nguyên tố R chứa annR (M ) Từ suy dimM ≤ dimR (2) Cho M R−môđun có chiều d N R−môđun M Khi đó, annR (N ) ⊇ annR (M ) nên dimN = dimR/annR (N ) ≤ dimR/annR (M ) = d Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có dimM/N ≤ d Ví dụ 1.1.3 (1) Xét vành số nguyên Z Mỗi iđêan nguyên tố khác (0) Z có dạng pZ với p số nguyên tố Hơn nữa, không tồn iđêan nguyên tố chứa thực pZ Do đó, dãy giảm iđêan nguyên tố Z có độ dài lớn phải có dạng pZ ⊃ (0) Vậy dim Z = (2) Xét R = k [x1 , x2 , , xn ] vành đa thức n biến trường k Ta chứng minh được: (x1 , x2 , , xn ) ⊃ (x1 , x2 , , xn−1 ) ⊃ ⊃ (x1 ) ⊃ (0) dãy giảm cực đại iđêan nguyên tố R Do đó, dimR = n Trong phần cuối mục này, trình bày khái niệm độ cao iđêan mối liên hệ với chiều vành Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành giao hoán khác không p iđêan nguyên tố R Khi đó, ta định nghĩa độ cao p, kí hiệu ht(p) sau: ht(p) = sup n ∃ p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = p dãy iđêan nguyên tố R Nhận xét 1.1.5 Từ định nghĩa chiều vành độ cao iđêan nguyên tố ta dễ dàng suy tính chất sau: (1) Nếu p1 ⊆ p2 ht(p1 ) ≤ ht(p2 ) Hơn nữa, dấu "=" xảy p1 = p2 (2) Nếu dimR hữu hạn dimR = sup ht(p) | p iđêan nguyên tố R = sup ht(m) | m iđêan cực đại R Định nghĩa 1.1.6 Cho I iđêan vành giao hoán R Khi đó, độ cao iđêan I định nghĩa sau: ht(I) = ht(p) p iđêan cực đại R chứa I Cho I iđêan vành R Ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố tối tiểu I p chứa I không tồn iđêan nguyên tố nằm thực I p Ta kí hiệu tập iđêan nguyên tố tối tiểu I Min(I ) Chúng ta có định lí quan trọng độ cao iđêan sau đây: Định lý 1.1.7 ([4], Corollary 11.16) (Krull’s generalized principal ideal theorem) Cho R vành Noether I = (x1 , , xn ) iđêan thực R Khi đó, ht(p) ≤ n với p ∈ M in(I) Từ định lý định nghĩa độ cao iđêan ta có hệ sau Hệ 1.1.8 Cho R vành Noether I = (x1 , , xn ) iđêan thực R Khi đó, ht(p) ≤ n 1.2 Vành thương địa phương hóa Có thể nói vành thương địa phương hóa vành khái niệm quan trọng đại số giao hoán Thông qua việc nghiên cứu tính chất địa phương hóa vành ta suy phần tính chất toàn cục vành Cho R vành giao hoán Một tập S R gọi tập nhân đóng ∈ S ∀s, t ∈ S suy st ∈ S Trên tập R × S ta định nghĩa quan hệ ∼ sau: (a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : (at − bs) u = Dễ dàng kiểm tra quan hệ quan hệ tương đương Ta kí hiệu lớp tương đương quan hệ phần tử (a, s) ∈ R × S dạng phân thức a/s tập thương R × S theo quan hệ ∼ là: S −1 R = {a/s |a ∈ R, s ∈ S } Trên tập thương S −1 R ta định nghĩa hai phép toán sau: (a, s) + (b, t) = (at + bs) /st, (a, s) (b, t) = (ab/st) Giả sử x ∈ I\I m cho dạng khởi đầu x∗ GI (R) GI (M )-lọc quy Phần tử x gọi phần tử siêu bề mặt (superficial) M ứng với iđêan I Lúc (0 : x) < +∞ Đặt N = M/xM Ta có dim(N ) = M dim(M )−1 = d−1 Ta xét mối quan hệ ei (I, M ) ei (I, N ) với i = 1, , d−1 Từ dãy khớp −→ I n+1 M : x/I n M −→ M/I n −→ M/I n+1 −→ N/I n+1 N −→ 0, ta có (I n+1 M/I n M ) = (M/I n+1 ) − (M/I n ) = (N/I n+1 N ) − (I n+1 M : x/I n M ) Do x∗ GI (M )-lọc quy nên (I n+1 M : x/I n M ) = (0 : x) với n M Bổ đề 2.4.4 Nếu d = dim(M ) ≥ (1) ei (I, M ) = ei (I, N ) với i = 0, , d − 2; (2) ed−1 (I, M ) = ed−1 (I, N ) + (−1)d (0 : x) M Xét x ∈ I\I m phần tử siêu bề mặt M ứng với iđêan I Từ dãy khớp ngắn x −→ M/(0 : x) −→ M −→ M/xM −→ M Ta thu dãy khớp dài: x ϕ x 0 1 −→ (0 : x) −→ Hm (M ) −→ Hm (M ) −→ Hm (M/xM ) −→ Hm (M ) −→ Hm (M ) −→ M Lúc đó, ((0 : x)) = (Im(ϕ)) = (Hm (M/xM )) − ((0 M : Hm (M ) x)) ≤ (Hm (M/xM )) Định nghĩa 2.4.5 Một vành địa phương (R, m) chiều d gọi không trộn lẫn dim(R/p) = d với p ∈ Ass (R), R đầy đủ hóa m-adic R (xem khái niệm đầy đủ hóa [12]) Một cách tương tự, môđun hữu hạn sinh M chiều r gọi không trộn lẫn dim(R/p) = r với p ∈ Ass R (M ), M đầy đủ hóa m-adic M Định lý sau cho biết hệ số Chern iđêan tham số không dương Định lý 2.4.6 Cho (R, m) vành Noether, địa phương M R-môđun hữu hạn sinh, không trộn lẫn chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số M Lúc đó, e1 (q, M ) ≤ 35 Chứng minh Với d = 1, Định lí theo Hệ 2.4.2 Với d = 2, M không trộn lẫn nên Hm1 (M ) môđun hữu hạn sinh Suy ra, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Giả sử q = (x1 , x2 ) N = M/x1 M Theo Bổ đề 2.4.4, e1 (q, M ) = e1 (q, N ) + (0 : x) M (N )) Do Vì dim(N ) = nên theo Hệ 2.4.2, ta có e1 (q, N ) = − (Hm e1 (q, M ) = − (Hm (N )) + (0 : x) = − ((0 M : Hm (M ) x)) ≤ Với d > 2, giả sử q = (x1 , , xd ) đặt Ni = M/(x1 , , xi )M Không tính tổng quát, ta giả sử x1 , , xd dãy siêu bề mặt M ứng với iđêan I Suy dim(Nd−2 ) = Tương tự trường hợp d = 2, ta có (Nd−1 )) + (0 : xd−2 ) = − ((0 e1 (q, M ) = e1 (q, Nd−2 ) = − (Hm Nd−2 2.4.2 : Hm (Nd−2 ) xd−1 )) ≤ Tính không dương hệ số Hilbert iđêan tham số Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh, chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số M Ta kí hiệu hệ số Hilbert iđêan q môđun M ei (q, M ) với i = 0, , d Trong phần trước, ta biết e1 (q, M ) ≤ Ví dụ sau cho ta biết hệ số Hilbert iđêan tham số nhận giá trị dương Ví dụ 2.4.7 Cho R = k[x, y, z, u, v, w]/I I = (x + y, z − u, w) ∩ (z, u − v, y) ∩ (x, u, w) q = (u − y, z + w, x − v) Khi R vành không trộn lẫn có chiều độ sâu 1, q iđêan tham số với Pq (n) = n+2 +2 n+1 + n Nói riêng e2 (q) = > Trong phần này, hệ số Hilbert ei (q, M ) với i = 1, , d không dương depth M ≥ d − depth Gq (M ) ≥ d − Để thuận lợi cho chứng minh tiếp theo, ta cần khái niệm hàm hiệu hàm số học Xét f : Z −→ Z hàm số học, ta định nghĩa hàm hiệu ∆(f ) f hàm số học cho ∆(f (n)) = f (n + 1) − f (n) Chúng ta có tính chất quan trọng hàm hiệu sau đây: 36 Bổ đề 2.4.8 ([1], Bổ đề 3.1) Cho hàm f : Z −→ Z thỏa mãn tính chất sau: (1) f (n) = 0, ∀n (2) ∃k ∈ Z : ∆(f (n)) ≥ 0, ∀n ≥ k (tương ứng ∆(f (n)) ≤ 0, ∀n ≥ k ) Khi đó, f (n) ≤ 0, ∀n ≥ k (tương ứng f (n) ≥ 0, ∀n ≥ k ) Trong trường hợp dimM = 1, Lori Mccune chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.4.9 ([1], Mệnh đề 3.2) Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều q = (a)M iđêan tham số M Khi (1) e0 (q, M ) = (M/a) a = ((ai+1 )M : ) với i M l−1 e1 (q, M ) = ( (M/a) − (M/((ai+1 )M : )) ≤ 0, M i=0 số nguyên cố định (2) Pq (n) − Hq (n) ≥ 0, ∀n ≥ −1 ∆(Pq (n) − Hq (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −1 Ta xét trường hợp dimM ≥ Nếu depth R ≥ d − depth Gq (R) ≥ d − 2, Linh-Trung [1] chứng minh rằng: (a) (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d, (b) (−1)d ∆(Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d Mệnh đề sau mở rộng sang môđun dùng phương pháp tương tự Linh-Trung [1], [2] để chứng minh Mệnh đề môđun Mệnh đề 2.4.10 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d > depth M ≥ d − Giả sử q iđêan tham số M cho depth Gq (M ) ≥ d − Khi đó, (a) (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d, (b) (−1)d ∆(Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo chiều d Với d = 1, Mệnh đề theo Mệnh đề 2.4.9 Với d = 2, depth M ≥ d − = nên ta chọn x ∈ q\q2 phần tử siêu bề mặt quy M Đặt M = M/(x)M q = q/(x), ta có q iđêan tham số môđun chiều M Với n ∈ Z, ta có dãy khớp R-môđun x −→ (qn+1 M : x)/qn M −→ M/qn M −→ M/qn+1 M −→ M/(qn+1 M, x) −→ 37 Theo công thức độ dài môđun, ta có: (M/(qn+1 M, x)) = (M/qn+1 M ) − (M/qn M ) + ((qn+1 M : x)/qn M ), ∀n ∈ Z Do đó: Hq (n) = Hq (n) − Hq (n − 1) + ((qn+1 M : x)/qn M ), ∀n ∈ Z (1) Do x phần tử siêu bề mặt quy nên ((qn+1 M : x)/qn M ) = (0 : x) = M 0, ∀n Do đó, từ phương trình (1) ta có Pq (n) = Pq (n) − P q (n − 1) (2) Lấy (2) − (1) ta có ∆(P q (n − 1) − H q (n − 1)) = Pq (n) − Hq (n) + ((qn+1 M : x)/qn M ), ∀n ∈ Z (3) Vì q iđêan tham số môđun M dim(M ) = nên ta có Pq (n) − Hq (n) ≥ 0, ∀n ≥ −1 Do đó, từ phương trình (3) suy ∆(P q (n) − H q (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −2, theo Bổ đề 2.4.8, ta có Pq (n) − Hq (n) ≤ 0, ∀n ≥ −2 Vậy mệnh đề trường hợp d = Với d = 3, depth Gq (M ) ≥ d − ≥ nên ta chọn x ∈ q\q2 cho x∗ ∈ q/q2 phần tử quy môđun phân bậc liên kết Gq (M ) Đặt M = M/(x)M , q = q/(x) xét dãy khớp: x −→ (qn+1 M : x)/qn M −→ M/qn M −→ M/qn+1 M −→ M/(qn+1 M, x) −→ tương tự ta có phương trình (1) Do x∗ Gq (M )-chính quy nên ((qn+1 M : x)/qn M ) = 0, ∀n ∈ Z Do phương trình (1) trở thành Hq (n) = H q (n) − H q (n − 1), ∀n ∈ Z (4) Từ phương trình (4), ta có phương trình (2) Lấy (2) − (4) ta có (−1)d ∆(P q (n − 1) − H q (n − 1)) = (−1)d (Pq (n) − Hq (n)), ∀n ∈ Z (5) Vì dimM = d − q iđêan tham số M thỏa mãn depth Gq (M ) ≥ d − nên theo giả thiết quy nạp ta có (−1)d (Pq (n) − Hq (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −(d − 1) 38 Do đó, từ phương trình (5) ta có (−1)d ∆(P q (n) − H q (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −d, theo Bổ đề 2.4.8 thu (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −d Tiếp tục sử dụng giả thiết Mệnh đề 2.4.10, thu hệ sau đây: Hệ 2.4.11 Nếu tồn k ≥ −d cho Pq (k) − Hq (k) = n(q) < k Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.10, ta có (−1)d (P q (n) − H q (n)) ≤ (−1)d (P q (n + 1) − H q (n + 1)), ∀n ≥ k Hay dãy an = (−1)d (P q (n) − H q (n)) dãy không giảm với n ≥ k Do ak = an = 0, ∀n nên ta có an = (−1)d (P q (n) − H q (n)) = 0, ∀n ≥ k Vậy n(q) < k Hệ 2.4.12 Nếu ed−1 (q, M ) = ed (q, M ) = Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo d Vì e0 (q, M ) > nên hệ trường hợp d = Với d = 2, e1 (q, M ) = nên M môđun Cohen-Macaulay Do ta có e2 (q, M ) = Vậy hệ trường hợp d = Với d = 3, depth Gq (M ) ≥ d − ≥ nên ta chọn x ∈ q\q2 phần tử siêu bề mặt q cho x∗ ∈ q/q2 phần tử G −q (M )chính quy Đặt M = M/(x)M q = q/(x) Theo Bổ đề 2.4.4, ta có ed−1 (q, M ) = ed−1 (q, M ) = Tương tự phần chứng minh trường hợp d ≥ Mệnh đề 2.4.10,ta chứng minh n(q) = n(q) + Theo Hệ 2.4.11, Pq (−1) = (−1)d−1 ed−1 (q, M ) = = Hq (−1) nên n(q) < −1 Vậy n(q) = n(q) − < −2 (−1)d ed (q, M ) = Pq (−1) − Hq (−1) = Hệ 2.4.13 Nếu tồn ei (q, M ) = với ≤ i ≤ d − ei+1 (q, M ) = = ed (q, M ) = 39 Chứng minh Ta chứng minh ei (q, M ) = kéo theo ei+1 (q, M ) = Ta chứng minh quy nạp theo d Theo Hệ 2.4.12, khẳng định trường hợp d = d = Với d ≥ 3, theo Hệ 2.4.12, Hệ với i = d − Giả sử ≤ i ≤ d − 2, ta chọn x ∈ q\q2 phần tử siêu bề mặt q cho x∗ ∈ q/q2 phần tử Gq (M )-chính quy Đặt M = M/xM q = q/(x), ta có q iđêan tham số môđun (d − 1)-chiều M với ei (q, M ) = ei (q, M ) = Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp ta có ei+1 (q, M ) = ei+1 (q, M ) = Sau kết chính: Định lý 2.4.14 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ depth M ≥ d − Giả sử q iđêan tham số M cho depth Gq (M ) ≥ d − Khi đó, với i = 1, , d ta có (1) ei (q, M ) ≤ (2) ei (q, M ) = n(q) < i − d − Chứng minh (1) Ta chứng minh ei (q, M ) ≤ Theo Mệnh đề 2.4.10, ta có (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −d Khi n = −1 ta có (−1)d+1 ((−1)d ed (q, M )−Hq (−1)) ≥ Từ suy ed (q, M ) ≤ Vậy định lý với i = d Ta chứng minh ei (q, M ) ≤ với ≤ i ≤ d − Ta chứng minh quy nạp theo d Hiển nhiên khẳng định với d = Với d ≥ 3, depth Gq (M ) ≥ d − ≥ nên ta chọn x ∈ q\q2 phần tử siêu bề mặt q cho x∗ ∈ q/q2 phần tử Gq (M )-chính quy Đặt M = M/xM q = q/(x), ta có q iđêan tham số môđun (d − 1)-chiều M Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp ta có ei (q, M ) = ei (q, M ) ≤ với ≤ i ≤ d − (2) Giả sử n(q) < i − d − Khi đó, ta có Pq (n) = với n = i − d − 1, i − d − 2, , −1 Lần lượt thay n = −1, −2, , i − d − vào phương trình Pq (n) = ta thu ed (q, M ) = ed−1 (q, M ) = = ei (q, M ) = Ngược lại, giả sử ei (q, M ) = Khi đó, theo Hệ 2.4.13, ta có ei+1 (q, M ) = = ed (q, M ) = Do đó, Pq (i − d − 1) = = Hq (i − d − 1) theo Hệ 2.4.11, ta có n(q) < i − d − 2.5 d-dãy Định nghĩa 2.5.1 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh Một dãy phần tử x1 , , xs R gọi d-dãy môđun M 40 thỏa mãn: (x1 , , xi−1 ) M : xi ∩ qM = (x1 , , xi−1 ) M, M với i, k thỏa ≤ i ≤ s q = (x1 , , xs ) Bổ đề sau nhằm hỗ trợ cho chứng minh mệnh đề Bổ đề 2.5.2 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh Nếu q iđêan tham số sinh d-dãy regGq (M ) = Chứng minh Kết luận Bổ đề suy trực tiếp từ [[15], Corollary 1.2] Ta có kết công thức tính hệ số ed (q, M ) iđêan tham số q sinh d-dãy sau: Mệnh đề 2.5.3 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Giả sử q iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, ed (q, M ) = (−1)d (L), L = Hm0 (M ) Chứng minh Đặt M1 = M/L q1 = qM1 Do ≤ reg(Gq1 (M1 )) ≤ reg(Gq (M1 )) = nên reg(Gq1 (M1 )) = reg(Gq (M1 )) = Ta chứng minh p(Gq1 (M1 )) < Ta có : qn M /qn+1 M Gq (M ) = n≥0 qn M + L/qn+1 M + L Gq1 (M1 ) = n≥0 Vì qn+1 M ⊂ qn+1 M + L nên có toàn cấu tự nhiên từ Gq (M ) đến Gq1 (M1 ): (qn M ∩L)/(qn+1 M ∩L) có chiều dài hữu h : Gq (M ) −→ Gq1 (M1 ) với K = Kerh = n≥0 i (G (M )) HG q + i (G (M )) với i ≥ Nếu H (G (M )) = ∼ = HG q1 q1 G+ + hạn Suy a0 (Gq1 (M1 )) = −∞ Khi đó, reg(Gq1 (M1 )) = max {ai (Gq1 (M1 )) + i|i ≥ 1} = max {ai (Gq (M )) + i|i ≥ 1} = Suy ra: p(Gq1 (M1 )) = max {ai (Gq (M )) + i|i ≥ 1} < 41 Nếu HG0 + (Gq1 (M1 )) = depth Gq1 (M1 ) = Mà depth(M1 ) > nên theo [[9], Theorem 5.2], ta có a0 (Gq1 (M1 )) < a1 (Gq1 (M1 )) Từ suy reg(Gq1 (M1 )) = max {ai (Gq (M/L)) + i|i ≥ 1} ta có p(Gq1 (M1 ) < Như p(Gq1 (M1 ) < Theo [[5], Lemma 3.1], n(q1 ) = p(Gq1 (M1 ) + < Suy ed (q, M1 ) = Từ Bổ đề 2.4.3 ta có ed (q, M ) = ed (q, M1 ) + (−1)d (L) = (−1)d (L) Từ mệnh đề ta thấy q iđêan tham số sinh d-dãy (−1)d ed (q, M ) ≥ Trong phần tiếp theo, chứng minh kết tương tự cho hệ số ei (q, M ) với i = 1, , d − Bổ đề 2.5.4 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, (−1)d−1 ed−1 (q, M ) ≥ Chứng minh Xét trường hợp depth M ≥ 0, ta giả sử x1 phần tử siêu bề mặt quy M Đặt q = q/(x1 ) M = M/(x1 )M , ta có q iđêan tham số sinh d-dãy môđun M có chiều d − Do đó, theo Bổ đề 2.4.4 Mệnh đề 2.5.3, ta có (−1)d−1 ed−1 (q, M ) = (−1)d−1 ed−1 (q, M ) ≥ Tiếp tục, ta xét trường hợp M môđun có độ sâu Đặt M1 = M/L với L = Hm0 (M ) Vì depth M1 > 0, nên theo Bổ đề 2.4.3, ta có (−1)d−1 ed−1 (q, M ) = (−1)d−1 ed−1 (q, M1 ) ≥ Mệnh đề 2.5.5 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, (−1)i ei (q, M ) ≥ 0, ∀i = 1, , d Chứng minh Từ Mệnh đề 2.5.3 Bổ đề 2.5.4, ta có mệnh đề với i = d i = d − Tiếp theo, ta xét ≤ i ≤ d − Mà R/m trường vô hạn nên ta giả sử x1 , , xd dãy siêu bề mặt M ứng với iđêan q Đặt 42 q = q/(x1 , , xd−i−1 ) M = M/(x1 , , xd−i−1 )M , ta có q iđêan tham số sinh d-dãy môđun M với dim(M ) = i + Vậy, theo Bổ đề 2.5.4, ta có: (−1)i ei (q, M ) = (−1)i ei (q, M ) ≥ 2.6 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu môđun phân bậc liên kết Trong phần này, xét mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert với độ sâu môđun M môđun phân bậc liên kết Gq (M ) Mệnh đề 2.6.1 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, với ≤ i ≤ d, ta có ej (q, M ) = 0, ∀j ≥ i depth M ≥ d − i + Chứng minh Khi i = d, ta có ed (q, M ) = (L) = (theo Mệnh đề 2.5.3) Điều tương đương với depth M ≥ Do đó, mệnh đề trường hợp i = d Giả sử mệnh đề với i = k, k + 1, , d(k ≤ d), ta chứng minh mệnh đề với i = k − 1, tức ta cần phải chứng minh ej (q, M ) = 0, ∀j ≥ k − depth M ≥ d − k + Ta giả sử ek (q, M ) = = ed (q, M ) = Theo giả thiết quy nạp, ta có depth M ≥ d − k + Lúc tồn dãy x1 , , xd−k+1 dãy quy M Đặt q = q/(x1 , , xd−k+1 ) M = M/(x1 , , xd−k+1 )M , ta có q iđêan tham số sinh d-dãy môđun M chiều k − Mặt khác, ek−1 (q, M ) = ek−1 (q, M ) = nên depth M ≥ Vậy depth M = depth M + d − k + ≥ d − k + Ta chứng minh chiều ngược lại cách giả sử depth M ≥ d − k + Từ giả thiết quy nạp, ta có ek (q, M ) = = ed (q, M ) = Gọi x1 , , xd−k+1 dãy quy M đặt M = M/(x1 , , xd−k+1 )M Do depth M = depth M −(d−i+1) dimM = k − nên ek−1 (q, M ) = ek−1 (q, M ) = Mệnh đề 2.6.2 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn chiều d ≥ Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, với ≤ i ≤ d ta có ei (q, M ) = depth M ≥ d − i + 43 Chứng minh Ta thấy mệnh đề i = d (theo Mệnh đề 2.6.1) Nên ta cần chứng minh cho trường hợp i < d Với i = d − 1, depth M > nên ta chọn a ∈ q/mq phần tử siêu bề mặt quy M Đặt M = M/aM q = qM , ta có ed−1 (q, M ) = ed−1 (q, M ) = Do đó, theo Mệnh đề 2.6.1, ta có depth M ≥ Vậy depth M = depth M + ≥ Ta giả sử mệnh đề với i = d − k(k ≥ 1), ta cần chứng minh mệnh đề với i = d − k − Theo [[8], Proposition 2.2], ta chọn a ∈ q/mq phần tử siêu bề mặt quy cho Ass (M/(a)M ) ⊆ Assh (M/(a)M ) ∪ m Đặt S = M/(a)M Q = qS , ta có Q iđêan tham số sinh d-dãy S (S không thiết không trộn lẫn) Đặt U = US (0) S = S/U , Q = QS , ta có Q iđêan tham số sinh d-dãy môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn S chiều d − Bởi ed−k−1 (Q, S) = ed−k−1 (Q, S) = ed−k−1 (q, M ) = nên theo giả thiết quy nạp ta có depth S ≥ (d − 1) − (d − k − 1) + = k + Do đó, ta có Hmi (S) = 0, ∀i = 0, 1, , k Từ dãy khớp ngắn −→ U −→ S −→ S, ta có dãy khớp dài 0 1 −→ Hm (U ) −→ Hm (S) −→Hm (U ) −→ Hm (S) −→ Hm (S) −→ Hm (S) −→ k k k −→ Hm (U ) −→ Hm (S) −→ Hm (S) −→ Do Ass (S) ⊆ Assh (S) ∪ m nên Hm0 (S) = U , ∀i ≥ theo dãy khớp ta có i (S) = 0, ∀i = 1, , k Từ dãy khớp ngắn Hm a −→ M −→ M −→ S −→ 0, ta có dãy khớp dài a a 0 (M ) −→ Hm (S) −→ Hm (M ) −→ Hm (M ) −→ −→ −→ Hm (M ) −→ Hm Do M không trộn lẫn nên Hm0 (M ) = a Bên cạnh đó, toàn cấu Hm1 (M ) −→ Hm1 (M ) −→ kéo theo Hm1 (M ) = aHm1 (M ) Mà Hm1 (M ) hữu hạn sinh nên theo Bổ đề Nakayama, ta có Hm1 (M ) = Do đó, từ dãy khớp ta có Hm0 (S) = 0, ∀i = 0, 1, , k Vậy depth S ≥ k + depth M = depth S + ≥ k + 44 Tiếp theo, ta xét mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert với độ sâu môđun phân bậc liên kết Gq (M ) Bổ đề 2.6.3 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn chiều d ≥ Giả sử q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, ed (q, M ) = depth Gq (M ) ≥ Chứng minh Giả sử depth Gq (M ) ≥ Suy depth M ≥ Từ theo Mệnh đề 2.5.3, ta có ed (q, M ) = Ngược lại, giả sử ed (q, M ) = Theo Mệnh đề 2.6.1, ta có depth M > Chọn a ∈ q/mq phần tử siêu bề mặt quy M Theo [[13], Lemma 3.2], ta có ∞ ∞ d ((qk M : y)/qk−1 M ) (Hq (k)−Pq (k)) − (−1) ed (q, M ) = i=0 i=0 Mà q iđêan tham số sinh d-dãy môđun M nên n(q) = p(Gq (M )) ≤ hay Hq (k) − Pq (k) = 0, ∀k ≥ Thay vào ta có ((qk M : y)/qk−1 M ) = 0, ∀k ≥ Vậy a∗ phần tử quy Gq (M ) Vậy depth Gq (M ) ≥ Bổ đề 2.6.4 ([10], Lemma 2.2) Cho (R, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ M Giả sử x1 , , xk dãy siêu bề mặt M ứng với iđêan I đặt I = I/(x1 , , xk ), M = M/(x1 , , xk )M Khi đó, depth GI (M ) ≥ depth GI (M ) ≥ k + Định lí sau kết Luận văn Định lý 2.6.5 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số M sinh d-dãy Khi đó, với ≤ i ≤ d ta có ei (q, M ) = depth Gq (M ) ≥ d − i + Chứng minh Ta có depth M ≥ depth Gq (M ) nên theo Mệnh đề 2.6.2 ta suy depth Gq (M ) ≥ d−i+1 ⇒ ei (q, M ) = Vậy ta cần chứng minh depth Gq (M ) ≥ d − i + ei (q, M ) = Theo Bổ đề 2.6.3, mệnh đề với i = d Giả sử mệnh đề với i = d − k(k > 0) ta cần chứng minh mệnh đề với i = d − k − Vì ed−k−1 (q, M ) = nên theo Mệnh đề 2.6.2, ta có depth M ≥ k + Gọi x1 , , xk+1 dãy quy M Đặt q = q/(x1 , , xk+1 ) 45 M = M/(x1 , , xk+1 )M , ta có q iđêan tham số sinh d-dãy môđun M chiều d − k − Do ed−k−1 (q, M ) = ed−k−1 (q, M ) = nên theo Bổ đề 2.6.3, ta có depth Gq (M ) ≥ Vì vậy, theo Bổ đề 2.6.4 ta có depth Gq (M ) ≥ + (k + 1) = k + 46 KẾT LUẬN Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày thành hai chương Trong đó, chương nêu lên số kiến thức đại số giao hoán, làm tảng, sở cho chứng minh chương sau Kết Luận văn nằm chương Dựa kết Mccune, chứng minh q iđêan tham số môđun M thỏa depth Gq (M ) ≥ d − i + ei (q, M ) = 0, ∀i = 1, , d ngược lại Phương pháp chứng minh mà sử dụng hoàn toàn tương tự Linh-Trung Trở ngại mà gặp phải số mệnh đề kiện chưa phát biểu môđun Tác giả cố gắng kiểm tra lỗi tả nhiều lần sửa chữa ý diễn đạt trước kết thúc Luận văn thiếu sót khó tránh khỏi nên tác giả mong quý Thầy cô bạn đóng góp ý kiến để Luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn góp ý quan tâm đến Luận văn 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] C H Linh, V D Trung (2013), Hệ số Hilbert iđêan tham số, Tạp chí khoa học Đại Học Huế 87S.9, 93-102 [2] C H Linh, V D Trung, Hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết, Preprint [3] Cao Huy Linh (2006), Chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết, Luận án tiến sĩ Toán học, Huế Tiếng Anh [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [5] M Brodmann and C H Linh (2014), Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types, J Algebra 419 , 124–140 [6] M Brodmann and R.Y Sharp (1998), Local cohomology - an algebraicintroduction with geometric applications, Cambridge University Press [7] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [8] L Ghezzi, S Goto, J Hong, K Ozeki, T T Phuong and W V Vasconcelos (2010), Cohen–Macaulayness versus the vanishing of the first Hilbert coefficient of parameter ideals, J London Math Soc 81, 679-695 [9] L T Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals, J Pure Appl Algebra 109, 111-126 [10] S Huckaba and T Marley (1997), Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J London Math Soc (2) 56, 64-76 [11] T Marley (1989), The coefficients of the Hilbert polynomial and the reduction number of an ideal, J London Math Soc (2) 40, no.1, 1-8 48 [12] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [13] L Mccune (2013), Hilbert coefficients of parameter ideals, J Commutative Algebra 5, no 3, 399-412 [14] R Y Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge [15] N V Trung (1998), The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded ring, Trans Amer Math.Soc 350, 2813-2832 [16] W V Vasconcelos (2008), The Chern coefficients of local rings, Michigan Math J 57, 725-743 [17] J.K.Verma (2008), Hilbert coefficients and depth of associated graded ring of an ideal, arXiv:08014866v1 49