Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM Lờ Vn Hong v tgk _ M RNG N CC DIRAC V YANG CHO KHễNG GIAN CHIU Lấ VN HONG*, NGUYN THNH SN** TểM TT S dng phộp bin i Hurwitz m rng chỳng tụi tỡm mi liờn h tng ng gia dao ng t iu hũa 16 chiu v nguyờn t ng dng hydro chiu trng nh chun SO(8) Da trờn phỏt hin ny, chỳng tụi cú cỏch n gin xõy dng mt n cc khụng gian chiu, chớnh l m rng ca n cc Dirac (1931) cho khụng gian chiu cng nh ca n cc Yang (1978) cho khụng gian chiu ABSTRACT Generalization of Dirac and Yang monopoles for 9-dimension space Using the generalized Hurwitz transformation, we find an equivalent correlation between a 16-dimension harmonic oscillator and a 9-dimension hydrogen-like atom in the SO (8) gauge field Based on this finding, we propose a simple method to establish a monopole in a 9-dimension space which is really a generalization of Dirac monopole (1931) for 3-dimension space as well as of Yang monopole (1978) for 5-dimension space M u Nm 1978, Yang Chen Ning ó m rng n cc t Dirac cho khụng gian chiu qua mụ hỡnh tng tỏc gia trng nh chun SU(2) vi ht cú isospin [10] Tớnh cht c bn ca trng n cc SU(2) l (i) thụng lng qua mt mt kớn khụng gian chiu cha n cc l khỏc khụng; (ii) trng cú i xng cu O(5) Mt ht n cc nh vy ng thi cú in tớch ngi ta gi l n cc Yang-Coulomb, c nghiờn cu tng i nhiu [6-8] T kt qu ca Yang, vic xõy dng n cc t cho khụng gian nhiu chiu khỏc l mt nhu cu t nhiờn v ó c tin hnh mt s cụng trỡnh * PGS TSKH, Khoa Vt lý Trng i hc S phm TP HCM ** ThS, Khoa Khoa hc C bn Trng i hc Kin trỳc TP HCM [9-10] Tuy nhiờn, cho n cha cú kt qu no tho lun v vic m rng n cc t theo lụ-gic ca Yang phỏt trin t n cc t Dirac chiu lờn khụng gian chiu õy, mt tớnh cht rt quan trng ca n cc Dirac cng nh Yang l kt hp vi in tớch nú khụng phỏ v cỏc tớnh cht i xng ca bi toỏn Coulomb C th nh s cú mt ca n cc Dirac khụng lm thay i i xng O(4) v tn ti mt bt bin l vộc-t Runge-Lenz cng nh i xng ng lc SO(4,2) [2] Tng t nh vy vi n cc Yang thỡ bi toỏn Coulomb chiu bo ton i xng O(6) [6], i xng ng lc SO(6,2) [8] Chỳng ta s gi mt n cc l m rng trc tip ca n cc Dirac v n cc Yang nu nh nú cú nhng tớnh cht tng t nh vy Trong cụng trỡnh [3], chỳng tụi ó m rng phộp bin i Hurwitz v da vo ú xõy dng mi liờn h gia bi Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM S 24 nm 2010 _ toỏn dao ng t 16 chiu vi bi toỏn Coulomb chiu vi s cú mt mt trng nh chun tng tỏc vi ht cú cỏc tớnh cht c c trng bng mt i s kớn bao gm 28 vi t iu ny gi ý cho mt cỏch khỏi quỏt húa n cc Yang lờn khụng gian chiu t mt hng tip cn hon ton mi liờn quan n mi liờn h gia dao ng t iu hũa n chiu v bi toỏn Coulomb N chiu Cho n mi liờn h ny c xõy dng cho cỏc trng hp s chiu n đ N nh sau: đ , đ , đ v đ 16 [4] Mt tớnh cht rt quan trng ca mi liờn h ny l bi toỏn Coulomb c thờm n cc t thỡ mi liờn h vi dao ng t iu hũa tn ti Trong trng hp đ ta cú n cc t Dirac [5], cũn trng hp đ ú l n cc Yang [6-8] Cõu hi t l n cc no cho trng hp đ 16 thờm vo bi toỏn Coulomb chiu m khụng phỏ v mi liờn h vi dao ng t iu hũa 16 chiu? Trong cụng trỡnh ny, tr li cho cõu hi trờn mt cỏch trn vn, chỳng tụi xõy dng n cc khụng gian chiu theo mụ hỡnh i s SO(8) cho bi toỏn Coulomb vi s cú mt ca n cc ny tr thnh dao ng t iu hũa 16 chiu qua phộp bin i Hurwirz m rng [3] õy t chiu sang bi toỏn 16 chiu cú xut hin chiu khụng gian mi cỏc biu thc tng minh ca 28 vi t ca i s SO(8) Cỏc bin s mi ny c a vo thụng qua phộp bin i Hurwitz m rng Nh vy n cc c xõy dng tng minh ny cú th xem l mt dng m rng ca n cc t Dirac cng nh n cc Yang: Dimension :3 = 21 +1 đ Dirac monopole :5 = 22 +1 đ SU (2) Yang monopole :9 = 23 +1 đ SO(8) monopole Phộp bin i Hurwitz m rng Trong phn ny chỳng tụi s vit li phộp bin i Hurwitz m rng, c cụng b cụng trỡnh [3], ng thi a mt s cụng thc mi, tng minh, thun li cho vic s dng cỏc tớnh toỏn tip theo cụng trỡnh ny Phộp bin i bỡnh phng cho trng hp bin i gia khụng gian chiu ( x1 , x2 , , x9 ) v khụng gian 16 chiu ( u1 , u2 , , u8 , v1 , v2 , , v8 ) xõy dng u tiờn cụng trỡnh [4] cho iu kin Euler: r = xl xl = usus + vsvs (1) c tha Mi õy cụng trỡnh [3] phộp bin i ny c a di dng tng minh nh sau: x j = 2(G j )st us vt (2) x9 = us us - vs vs õy, cỏc ma trn G j cú dng: ự ộ ba a ộb ự , G2 = G1 = ỳ, ỳ ba1a ỷ ở0 bỷ ộa ự ộa ự G3 = ỳ , G = ỳ, -a1 ỷ a3 ỷ ộ -ibaa ộ -iaa 2ự 3ự , , G6 = G5 = ỳ ỷ ỳỷ ởiaa ởibaa ộ -ba3 ự ộ a1 ự , G8 = G7 = ỳ ỳ, ởa1 ỷ ởba3 ỷ (3) Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lờ Vn Hong v tgk Tp KHOA HC HSP TP HCM _ ộ sk ự ộI ự , ak = ú b = ỳ l cỏc ỳ ởs k ỷ ở0 - I ỷ ma trn Dirac; s k l cỏc ma trn Pauli Trong biu thc (2) v tip theo sut cụng trỡnh ny, s lp li cỏc ch s cú ngha l ly tng theo ton thay i ca nú: s, t = 1, 2, ,8 õy, cỏc ch s ca bin s xl c ký hiu theo mu t Hy Lp s cú giỏ tr: l = 1, 2, ,9 Tuy nhiờn, mt s trng hp ta s cn tỏch riờng bin s x9 , ú cỏc bin s cũn li cú ch s ký hiu theo ch La-tin x j , j = 1, 2, ,8 Cỏc ma trn G j hoc l i xng hoc phn i xng, c th ta cú GTk = G k vi k = 1,3, 4, 7,8 GTk = -G k vi k = 2,5, (ký hiu m T ch phộp chuyn v ma trn) Ngoi nú cũn tha tớnh cht sau : (4) GTs G i + GTt G s = 2d st I , vi d st l cỏc ký hiu delta Kroneker iu ny cú ngha l tớch bt k hai ma trn (3) no khỏc u l ma trn phn i xng Trong cụng trỡnh [3], ln u tiờn phộp bin i Hurwitz m rng c xõy dng di dng (2) v ngoi cũn nh ngha thờm bin s ph f , f , f , a1 , a , a , a T õy phộp bin i ngc ó c xõy dng di dng tng minh nh sau : r + x9 us = bs (fa ) , xj vs = H sj (fa ) 2(r + x9 ) õy cỏc hm s bs (fa ) ch ph thuc vo cỏc bin s gúc: b1 = cos(f1 / 2) cos(f2 / 2) cos a1 , b2 = cos(f1 / 2) cos(f2 / 2) sin a1 , b3 = cos(f1 / 2) sin(f2 / 2) cos a , b4 = cos(f1 / 2) sin(f2 / 2) sin a , b5 = sin(f1 / 2) cos(f3 / 2) cos a , b6 = sin(f1 / 2) cos(f3 / 2) sin a , b7 = sin(f1 / 2) sin(f3 / 2) cos a , b8 = sin(f1 / 2) sin(f3 / 2) sin a Cỏc yu t ma trn H js (fa ) cng ch ph thuc vo bin s gúc nh vy v cú th biu din qua bs (fa ) Dng tng minh ca ma trn H (fa ) c a [3] cú dng ca ma trn Hurwitz, vi cỏc tớnh cht: det H (fa ) = , H T = H -1 Tớnh cht ny cựng vi cụng thc bin i ngc (5) cho phộp ta tớnh toỏn thun li cỏc phn sau Th n cc khụng gian chiu S dng phộp bin i (5) ta cú th chng minh cụng thc sau: ổ ả ả - i ( G j ) ỗ vt + us ữ st ảvt ứ ố ảus , (6) ổ ả = r ỗ -i - A k (r )Q kj (fa ) ữ ỗ ảx ữ j ố ứ ổ ả ả ả , - i ỗ us - vs ữ = -ir ố ảus ảvs ứ ảx9 ú: A k = xk 2r (r + x9 ) (7) Cỏc toỏn t Q kj ch ph thuc vo bin s (5) gúc (jf ) , dng tng minh cú th d dng thu nhn c cụng trỡnh [3] Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com S 24 nm 2010 Tp KHOA HC HSP TP HCM _ H cỏc toỏn t Q kj l phn i xng theo ch s ( jk ) , v cú tt c 28 toỏn t Chỳng to thnh mt i s kớn SO(8) theo cỏc h thc giao hoỏn sau: ộQ jk ,Qlm ự = id jmQlk -idkmQlj +id jlQkm -idklQ jm (8) ỷ Bõy gi chỳng ta quay li vi cỏc toỏn t (6) Nu khụng tớnh tha s r thỡ v phi chớnh l cỏc toỏn t xung lng khụng gian thc chiu: ả p j = -i - A k (r )Q kj (fa ) , ảx j p9 = -i ả ảx9 (9) Xột thnh phn tng tỏc A k (r )Q kj (fa ) biu thc xung lng (9) ta thy cú tt c toỏn t SO(8) iu ny gi ý cho ta nh ngha mt b by cỏc th vộc-t nh sau: A = ( -A , + A , + A , - A , + A , - A , + A , - A ,0) , 1l ( ) = ( +A , - A , + A , - A , + A , + A , - A , - A ,0) , = ( -A , - A , - A , + A , + A , + A , + A , - A ,0) , = ( +A , - A , + A , + A , + A , - A , - A , - A ,0) , = ( +A , - A , - A , - A , + A , + A , - A , + A ,0) , = ( -A , - A , + A , + A , - A , - A , + A , + A ,0) A2l = +A3, + A4, - A1, - A2, + A7 , - A8, - A5, + A6,0 , A3l A4l A5l A6l A7l 5 8 7 8 (10) Khi ú toỏn t xung lng khụng gian chiu cú th vit li di dng: ả (11) p j = -i - Ija (fa ) Aaj (r ) ảx j Trong biu thc (11), chỳng ta cú du ~ trờn ch s j ch rng khụng cú ly tng theo ch s ny, cũn cỏc toỏn t a = 1, 2, , v I ja (fa ) vi ch s j = 1, 2, ,8 chớnh l cỏc cỏc toỏn t Q vi cỏc du khỏc Dng c kj th ca I ja (fa ) cú th tỡm thy cụng trỡnh trc õy ca chỳng tụi [3] Quay li vi b by cỏc th vộc t (10) ta d dng kim tra cỏc tớnh cht sau: r - x9 xl Al k = , Ajl Ak l = d jk 4r (r + x9 ) (12) hon ton tng t tớnh cht ca th vộct n cc t Dirac khụng gian chiu: (-x2 , x1 ,0) , xl Al = , Al = 2r(r + x3 ) r - x3 (13) Al Al = 4r (r + x3 ) cng nh tớnh cht ca b ba th vộc-t n cc Yang SU(2): (- x2 , x1 , x4 , - x3 , 0) , A1,l = 2r (r - x5 ) A2,l = ( x3 , x4 , - x1 , - x2 ,0) , 2r (r - x5 ) A3,l = (x4 , -x3 , x2 , -x1,0) , (14) 2r(r - x5) cho khụng gian chiu: r-x xl Al k = , Ajl Akl = d jk 4r (r + x5 ) (15) Nh vy, ta va xõy dng mt dng th vộc-t theo mụ hỡnh SO(8) cho khụng gian chiu l m rng trc tip ca th n cc Dirac cho khụng gian chiu v th n cc Yang theo mụ hỡnh SU(2) cho khụng gian chiu Trong phn tip Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM Lờ Vn Hong v tgk _ theo sau ta s xõy dng mi liờn h gia bi toỏn dao ng t iu hũa 16 chiu vi nguyờn t hydro chiu vi s cú mt ca n cc SO(8) S tn ti ca mi liờn h ny cng l mt biu hin ca s khỏi quỏt húa t n cc Dirac, n cc Yang lờn n cc SO(8) Mi liờn h gia dao ng t iu hũa v nguyờn t hydro chiu vi s cú mt ca n cc SO(8) Xột dao ng t iu hũa khụng gian 16 chiu thc ( uv ), phng trỡnh Schrodinger ca nú c vit nh sau: H vt lý mụ t bi phng trỡnh (17) chớnh l nguyờn t ng dng hydro khụng gian chiu vi s cú mt ca n cc SO(8) vi biu thc tng minh (10) õy Z úng vai trũ l in tớch ht nhõn, E l nng lng vựng liờn kt (luụn luụn õm) Trong trng hp hm súng khụng ph thuc vo cỏc bin s gúc m ch ph thuc vo bin s khụng gian x1 , x2 , , x9 thỡ (17) ỡù 1ổ ả2 ỹù ả2 + ỗ ữ - w (usus +vsvs )ýY(u, v) ợù 8ố ảusảus ảvsảvs ứ ỵù = Z Y(u, v) trng hp xut hin tng tỏc vi th n cc SO(8) Ta thy bin s ph dựng mụ t nhng tớnh cht ni ti ca ht biu din qua 28 vi t ca i s SO(8) Bi toỏn ny cũn cú tờn gi l bi toỏn MIC-Kepler v l mt cỏc bi toỏn c bn c nghiờn cu nhiu cho trng hp khụng gian chiu v chiu Bi toỏn MIC-Kepler chiu vi mụ hỡnh SO(8) ln u tiờn a cụng trỡnh ny Kt lun v hng phỏt trin Nh vy, chỳng tụi ó phỏt trin phộp bin i Hurwitz m rng vi mt s cụng thc tng minh thun li tớnh toỏn gii tớch Trờn c s ú, cụng trỡnh ny ln u tiờn a mi liờn h gia dao ng t iu hũa 16 chiu vi bi toỏn nguyờn t hydro chiu vi s cú mt ca n cc SO(8) Xột n cc Dirac v n cc Yang cỏc mi liờn h tng t gia dao ng t iu hũa vi nguyờn t hydro vi s cú mt ca cỏc n cc ny, chỳng ta thy n cc SO(8) (16) Trong ú w , Z l cỏc s thc dng, cú ý ngha ln lt l tn s gúc v nng lng ca dao ng t iu hũa Bõy gi chỳng ta s chuyn phng trỡnh trờn v khụng gian chiu x1 , x2 , , x9 bng phộp bin i Hurwitz m rng (2), ú chiu d s biu din bng cỏc gúc f , f , f , a1 , a , a , a Phng trỡnh thu c nh sau: Zỹ ỡ1 p l p l + I (fj ) - ýy (r, fa ) , (17) 2r rỵ ợ2 = Ey (r, fa ) ú pl vi cỏc ch s chy t n chớnh l toỏn t xung lng cú dng nh cụng thc (9) v (11); toỏn t I (fj ) = I I giao hoỏn vi tt c cỏc ja ja toỏn t I ja ; E = - w l phng trỡnh Schrodinger cho nguyờn t hydro chiu Trng hp tng quỏt hm súng cũn ph thuc vo bin s gúc f , f , f , a1 , a , a , a ta cú Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM S 24 nm 2010 _ khụng gian chiu chớnh l s m rng ca n cc t Dirac v n cc SU(2) ca Yang Trong cụng trỡnh tip theo, chỳng tụi s chng minh i xng ng hc SO(10,2) cho bi toỏn ang xột v 10 xõy dng bt bin tng t vộc-t Runge-Lenz Chỳng tụi cỏm n Qu Nghiờn cu Khoa hc Cụng ngh ca B Giỏo dc v o to ó ti tr cho cụng trỡnh ny TI LIU THAM KHO Akihiro Ito (1984), Generalized Wu-Yang Solution of the Yang-Mills Equation, Prog Theor Phys, (71), pp 1443-1446 Barut A., Kleinert H (1967), Dynamical Group O(4, 2) for Baryons and the Behavior of Form Factors, Phys Rev.,(161), pp 1464-1466 Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), A Hidden NonAbelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator, J Phys A 42, pp 175204-175212 Le Van Hoang, Komarov L I (1993), Theory of the generalized KustaanheimoStiefel transformation, Phys Lett A 177, pp 121-124 Kleinert H (1986), Path integral for Coulomb system with magnetic charges, Phys Lett A 116, pp 201-206 Mardoyan L G., Sissakian A N., Ter-Antonyan V M (1999), Hidden Symmetry of the YangCoulomb System, Mod Phys Lett A 14, pp 1303-1307 Nersessian A., Pogosyan G (2001), Relation of the oscillator and Coulomb systems on spheres and pseudo-spheres, Phys Rev A 63, pp 20103-20107 Pletyukhov M V., Tolkachev E A (1999), SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem, J Phys A 32, L249-253 Tchrakian T (2008), Dirac-Yang monopoles in all dimensions and their regular counterparts, Phys Atom Nucl., (71), pp 1116-1122 Yang C N (1978), Generalization of Diracs monopole to SU2 gauge fields, J Phys A 19, pp 320-328  ... dng mt dng th vộc-t theo mụ hỡnh SO(8) cho khụng gian chiu l m rng trc tip ca th n cc Dirac cho khụng gian chiu v th n cc Yang theo mụ hỡnh SU(2) cho khụng gian chiu Trong phn tip Created by Simpo... lng khụng gian thc chiu: ả p j = -i - A k (r )Q kj (fa ) , ảx j p9 = -i ả ảx9 (9) Xột thnh phn tng tỏc A k (r )Q kj (fa ) biu thc xung lng (9) ta thy cú tt c toỏn t SO(8) iu ny gi ý cho ta nh... 20103-20107 Pletyukhov M V., Tolkachev E A ( 199 9), SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem, J Phys A 32, L2 49- 253 Tchrakian T (2008), Dirac- Yang monopoles in all dimensions and their