PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Nội dung HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CÁC PHÉP TOÁN GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM LIÊN TỤC ĐẠO HÀM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Hàm số Định nghĩa Hàm số f liên kết phần tử x ∈ X ⊂ R với phần tử y ∈ Y ⊂ R, ký hiệu f (x) Ta viết f :X → Y x → y = f (x) Khi y gọi ảnh x qua f (hay ta cịn nói f biến x thành y ); X gọi miền xác định f , ký hiệu Df ; Tập Y = {y = f (x) |x ∈ D } tập ảnh f hay gọi tập xác định f , ký hiệu Rf Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh Hàm f : X → Y đơn ánh ∀x ∈ D, f (x) = f (x ) ⇒ x = x Hàm f : X → Y toàn ánh f (X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f (x) = y Hàm f : X → Y song ánh ∀y ∈ Y , ∃!x ∈ X : f (x) = y Nghĩa là, f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Hàm sơ cấp Hàm luỹ thừa thức: √ f (x) = x n f (x) = n x với x ∈ N Hàm mũ Logarit: f (x) = ax f (x) = loga x, với < a = Hàm lượng giác: f (x) = sin x; f (x) = cos x; f (x) = tan x Hàm lượng giác ngược: f (x) = arcsin x; f (x) = arccos x; f (x) = arctan x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Các phép toán Với hàm số f , g : X → Y , ta có i) (f ± g ) (x) = f (x) ± g (x) ii) (f · g ) (x) = f (x) · g (x) iii) (f /g ) (x) = f (x)/g (x) iv) f : X → Y ; g : Y → Z Hàm h : X → Z xác định h(x) = g ◦ f(x) = g [f(x)] Được gọi hàm hợp f g v) Cho f : X → Y song ánh Khi đó, ∀y ∈ Y , ∃!x = f −1 (y ) ∈ X : f (x) = y Bấy hàm f −1 : Y → X gọi hàm ngược f ∀x ∈ X , y ∈ Y , ta có x = f −1 (y) ⇔ f(x) = y Hơn nữa, ta có f f −1 (x) = x f −1 [f(x)] = x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Ví dụ Xác định g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f , g ◦ g , với a) f (x) = cos x g (x) = x x −1 b) f (x) = 2x + g (x) = c) Phân tích hàm sau thành hàm sơ cấp f (x) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ln (tan (cos (2x + 1))) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Giới hạn hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định Df Ta nói L giới hạn f a, ký hiệu lim f (x) = L x→a Với ε > cho trước, ta tìm số δ > cho ∀x ∈ Df |x − a| < δε |f (x) − L| < ε Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định Df Ta nói L giới hạn trái f a, ký hiệu lim f (x) = L x→a− Với ε > cho trước, ta tìm số δ > cho ∀x ∈ Df −δε < x − a < |f (x) − L| < ε Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định Df Ta nói R giới hạn phải f a, ký hiệu lim f (x) = R x→a+ Với ε > cho trước, ta tìm số δ > cho ∀x ∈ Df < x − a < δε |f (x) − R| < ε Ta nói lim f (x) tồn x→a lim [f (x)] = lim+ [f (x)] = lim [f (x)] x→a− Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) x→a GIẢI TÍCH x→a Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Các tính chất giới hạn i) Nếu f (x) = C (hằng số) lim f (x) = C x→a ii) Nếu f (x) b lim f (x) x→a b iii) Nếu ϕ (x) f (x) ψ (x) lim ϕ (x) = lim ψ (x) = A lim f (x) = A x→a x→a x→a iv) Nếu lim f (x) = A lim g (x) = B x→a x→a a lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B x→a x→a x→a b lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = AB x→a x→a x→a c lim [f (x)/g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A/B; B = x→a x→a d lim [f (x)]g (x) = lim f (x) x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) x→a GIẢI TÍCH x→a lim g (x) x→a = AB Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 23 Các dạng vô định thường gặp Dạng ∞ − ∞ xảy ta tính lim [f (x) ± g (x)] x→a ∞ hay xảy ta tính lim [f (x) /g (x)] x→a ∞ Dạng × ∞ xảy ta tính lim [f (x) · g (x)] Dạng x→a Dạng 1∞ ; 00 ; ∞0 xảy ta tính lim [f (x)]g (x) x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 11 / 23 Một số giới hạn sin x =1 x→0 x tan x 3) lim =1 x→0 x ln(1 + x) 5) lim =1 x→0 x arctan x 7) lim =1 x→0 x x 9) lim + =e x→∞ x 1) lim Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) − cos x = x→0 x2 ex − 4) lim =1 x→0 x arcsin x 6) lim =1 x→0 x α (1 + x) − 8) lim =α x→0 x 2) lim 10) lim (1 + x) x = e x→0 GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 12 / 23 Vô bé Định nghĩa Hàm α (x) gọi vô bé (VCB), x → a lim α (x) = x→a Hơn nữa, α (x) β (x) hai VCB x → a, α(x) ± β(x), α(x) × β(x), C α(x) VCB, x →a α(x) × g (x) VCB, x → a, với hàm g (x) bị chặn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 13 / 23 So sánh hai vô bé Cho α (x) β (x) hai VCB x → a, ta đặt α(x) x→a β(x) k = lim Khi Nếu k = ta nói α(x) VCB cấp cao β(x), Nếu k = ∞ ta nói α(x) VCB cấp thấp β(x), Nếu k = ∧ k = ∞ ta nói α(x) β(x) hai VCB cấp Đặc biệt k = ta nói α(x) β(x) hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 14 / 23 Vô bé Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Giả sử f (x) g (x) tổng hữu hạn VCB x → a, f (x) VCB cấp thấp tử = lim x→a g (x) x→a VCB cấp thấp mẫu lim Một số VCB tương đương x → cần nhớ sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x x e −1∼x ln(1 + x) ∼ x arctan x ∼ x √ n x x2 + x − ∼ n − cos x ∼ ax − ∼ xlna (1 + x)r − ∼ rx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 15 / 23 Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f (x) xác định Df gọi liên tục a, i) f (x) xác định a ∈ Df , ii) lim f (x) tồn tại, x→a iii) lim f (x) = f (a) x→a Ví dụ Xét tính liên tục hàm sau x x = 0, a) f (x) = 3x + x = 1, b) f (x) = |x| 2x + 1, x > c) f (x) = x = 1, x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 16 / 23 Đạo hàm Định nghĩa Hàm số f : (a, b) → R gọi khả vi x0 ∈ (a, b) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) giới hạn lim tồn ∆x→0 ∆x Giới hạn gọi đạo hàm f x0 , ký hiệu ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x Ý nghĩa: Tính xấp xỉ cơng thức y − y0 = f (x0 ) (x − x0 ) Tính vận tốc tức thời Tỷ lệ thay đổi f (x) x điểm x0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 23 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm cấp n, f n , x ∈ (a, b) Khi đó, đạo hàm cấp n + f định nghĩa f (n+1) (x) = (f (n) ) (x) Tính chất Nếu f khả vi x f liên tục x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 18 / 23 Các tính chất Nếu f , g hàm số khả vi x ∈ (a, b) thì: (f + g ) (x) = f (x) + g (x) (αf ) (x) = αf (x), với α ∈ R (fg ) (x) = f (x)g (x) + f (x)g (x) f f (x)g (x) − f (x)g (x) (x) = g g (x) (g ◦ f ) (x) = g (f (x))f (x) Nếu f −1 tồn tại, khả vi y = f (x) f (x) = (f −1 ) (y ) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) 1 = −1 f (x) f (f (y )) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 19 / 23 Đạo hàm hàm sơ cấp f (x) f (x) f (x) √ xn nx n−1 n n x n−1 ex ex ln x x sin x cos x arcsin x √ + x2 arccos x − √ cos x − sin x + x2 1 tan x = + tan x arctan x cos2 x + x2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) f (x) √ n x GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 20 / 23 Ứng dụng đạo hàm Tính gần Áp dụng, công thức sau: f (x) − f (x0 ) = f (x0 ) (x − x0 ) (1) Khai triển Taylor Giả sử f : (a, b) → R khả vi đến cấp n + Khi đó, với x0 , x ∈ (a, b), ta có cơng thức khai triển Taylor sau f (x) = f (x0 ) + f (x0 ) f (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + 1! 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n + Rn (x) n! Trong Rn phần dư Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 23 Ứng dụng đạo hàm Khai triển Maclaurent Trong khai triển Taylor, x0 = 0, ta có cơng thức khai triển Maclaurent f (x) = f (0) + f (0) f (0) (x) + (x) + 1! 2! f (n) (0) n + (x) + Rn (x) n! Trong Rn phần dư Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 22 / 23 Ứng dụng đạo hàm Quy tắc L’hospital ∞ f (x) có dạng hay Khi đó, Giả sử lim x→a g (x) ∞ f (x) f (x) Nếu lim = A lim =A x→a g (x) x→a g (x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 23 / 23 ...Nội dung HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CÁC PHÉP TOÁN GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM LIÊN TỤC ĐẠO HÀM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 / 23 Hàm số Định nghĩa Hàm số f... đạo hàm cấp n + f định nghĩa f (n+1) (x) = (f (n) ) (x) Tính chất Nếu f khả vi x f liên tục x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 18 / 23 Các tính chất Nếu f , g hàm. .. ) (x − x0 ) Tính vận tốc tức thời Tỷ lệ thay đổi f (x) x điểm x0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Tốn cao cấp - MS: MAT1006 17 / 23 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm cấp n, f