Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: Chứng minh ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 1 + + =1 a b c a + b + c = ( + 5) + ( 3− 5) n 2) Với số nguyên dương n; chứng minh Bài 2: (2,5 điểm): ( )( ) n số nguyên dương x + − x − + x + x − 12 = 1) Giải phương trình  x + xy = y + y   = − x3 2 y + + x +1  2) Giải hệ phương trình hôm qua đánh nhầm Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác ABC cắt H Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) K khác A 1) Chứng minh A1 trung điểm HK HA HB HC + + AA1 BB1 CC1 2) Hãy tính 3) Gọi M hình chiếu vuông góc O BC Đường thẳng BB1 cắt (O) giao điểm thứ hai E, kéo dài MB1 cắt AE N Chứng minh Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn AN  AB1  = ÷ NE  EB1  x + y − 3xy = Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi số nguyên dương có hai chữ số tr lên Người ta thi ết l ập s ố m ới cách xóa chữ số hàng đơn vị số cho, sau cộng vào s ố l ại l ần s ố v ừa bị xóa Ban đầu bảng ghi số 6100 Hỏi sau số bước thực ta có th ể thu 1006 hay không ? Tại ? Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai x + y + z = xyz 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + yz y + xz z + xy Hế t HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: Chứng minh Từ GT ta có: ⇒ ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 1 + + =1 a b c a + b + c = 1 1 a+b a +b 1 1 1  + + = ⇒  + ÷+  − + =0 ÷= ⇒ a b c a +b+c  a b   c a +b +c  ab c ( a + b + c ) a+b a+b + = ⇒ ( a + b )  c ( a + b + c ) + ab  = ⇒ ( a + b ) ca + cb + c + ab  = ab c ( a + b + c ) a + b = => ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = ⇒ c + b = c + a = Nếu a + b = => c = => c – = => Nếu c + b = => a = => a – = => Nếu a + c = => b = => b – = => Vậy ta có đpcm ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = ( + 5) + ( 3− 5) n 2) Với số nguyên dương n; chứng minh Bài 2: (2,5 điểm): ( 1) Giải phương trình ĐKXĐ x≥2 ) )( số nguyên dương x + − x − + x + x − 12 = x + = a ≥ 0; x − = b ≥ ⇒ a − b = , đặt n PTTT: Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a = b 1 + ab − a − b = ( a − b ) ( + ab ) = a − b ⇔ ( a − b ) ( + ab − a − b ) = ⇔  +) với a = b taco : x + = x − vô nghiệm  a = ⇔ x + =  x + = vonghiem + ab − a − b = ⇔ ( a − 1) ( b − 1) = ⇔  ⇔ b = ⇔ x − =  x − = ⇔ x = 3(TM ) +) với PT cho có nghiệm x = 2) Giải hệ phương trình  x + xy = y + y ( 1)   = − x3 ( 2) 2 y + + x +1   x − y = ⇔ x = y2 ( 1) ⇔ ( x3 − y ) + xy − y ⇔ ( x − y ) ( x2 + xy + y + y ) = ⇔  2  x + xy + y + y = ( 3) x = 2  ( 3) ⇔  x + y ÷ + y + y = ⇔    y = Với x= y Thỏa mãn (2) Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x3 + y3 − xy = ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) − xy = x + y − 3xy = , đặt x + y = a xy = b (a, b nguyên) ta có: a − 3ab − 3b = ⇔ ( a + 1) ( a − a + 1) − 3b ( a + 1) = ⇔ ( a + 1) ( a − a + − 3b ) = Vì a, b nguyên nên có TH sau : a = a + =  1)  ⇔ −1 a − a + − 3b = b = a + = a = 2)  ⇔  a − a + − 3b = b = (loại) (nhận) a + = −1 a = −2 3)  ⇔ b = a − a + − 3b = −2 a + = −2 a = −3 4)  ⇔ a − a + − 3b = −1 b = x + y = ⇒ ⇒ ( x; y ) ∈ { ( 0;1) , ( 1;0 ) }  xy = (nhận) (nhận)  x + y = −2 ⇒ ⇒ ( x; y ) ∈ ∅  xy =  x + y = −3 ⇒ ⇒ ( x; y ) ∈ ∅  xy = Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai ( x; y ) ∈ { ( 0;1) , ( 1;0 ) } Vậy Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC a) góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK cân C, CA1 đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có: HA HB HC  HA1   HB1   HC1  + + = 1 − ÷+  − ÷+  − ÷ AA1 BB1 CC1  AA1   BB1   CC1   HA HB1 HC1  = 3− + + ÷=  AA1 BB1 CC1  S S S = −  HBC + HAC + HBA  S ABC S ABC S ABC  ÷= −1 =  c) Từ GT => M trung điểm BC => => ∆B1MC cân M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N B1 N ⊥ AE => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => Áp dụng hệ thức lương tam giác vuông ta có:  AB1  AN AE AN =  ÷ = EN EA EN  EB1  (đpcm) Bài 5: (1,5 điểm): 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn A= 2 x + y + z = 3xyz Chứng minh rằng: x y z + + ≤ x + yz y + xz z + xy Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có: x yz ≤ x + yz ⇔ x yz ≥ x2 ⇔ ≤ ( 1) 4 x + yz x + yz yz +) +) 1 11 1 ≤ + ⇔ ≤  + ÷ yz y z yz  y z  (2) x 1 1 ≤  + ÷ x + yz  y z  Từ (1) (2) => : Tương tự : y2 11 1 ≤  + ÷ y + xz  x z   1 1 1   1  xy + yz + zx ⇒ A ≤  + + + + + ÷=  + + ÷= × 4 y z x z x y  2 y z x xyz ; z2 11 1 ≤  + ÷ z + xy  x y  (3) Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Lại có xy + yz + zx ≤ x + y + z (4) x + y + z 3xyz ⇒ A≤ × = × = xyz xyz 2 Từ (3) (4) có : Dấu « = » xảy x = y = z =1 đpcm Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai - CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, em yêu thích toán mu ốn thi vào - lớp 10 trường chuyên Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước nh ững - năm qua Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luy ện h ọc sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết - tốt Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c H ỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Trang | ... ọc sinh gi ỏi, em yêu thích toán mu ốn thi vào - lớp 10 trường chuyên Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước nh ững - năm qua Đội ngũ giáo viên giảng... trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai - CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi... thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luy ện h ọc sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết - tốt Lớp học qua mạng, tương