Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Môn: Toán học SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút Câu (2,0 điểm) A= x +1 x −1 − − x −2 x +2 x −1 x ≥ 0, x ≠ , với Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) y = 2x + y = x2 Cho hàm số có đồ thị (P) đường thẳng ∆ có phương trình a Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng ∆ b Viết phương trình đường thẳng d biết d song song với ∆ tiếp xúc với (P) Câu (2,0 điểm) x2 − 2mx + m2 − m+ = Cho phương trình , với x ẩn số, m tham số a Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm x1, x2 b Giả sử nghiệm phương trình Tìm giá trị m để biểu thức 2 Q = x1 + x2 − 4x1x2 đạt giá trị lớn Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Các đường cao BD CE c tam D ∈ AC , E ∈ AB giác ABC cắt H ( ) a Chứng minh BCDE tứ giác nội tiếp BM = CH b Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M Chứng minh · ACB = α AB = x c Giả sử , Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AB cung nhỏ AB theo α x Câu (1,0 điểm)  x2 + y2 =   x + xy + = 2x + y Giải hệ phương trình Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Môn: Toán học BÀI GIẢI Câu (2,0 điểm) A= Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức A x +1 = = x −1 x−2 x+2 x ≥ 0, x ≠ Với , ta có = − A= ( x + 1)( x + 1) x +1 − − x −1 x −1 2( x − 1) 2( x + 1) − ( x − 1)( x − 1) x ≥ 0, x ≠ , với − x −1 − 4( x + 1) 2( x − 1)( x + 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1) x+ x + − x− x + − 4( x + 1) 2( x − 1)( x + 1) 2( x + 1)( x − 1) 2( x + 1)( x − 1) −2 x−1 b Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên x ≥ 0, x ≠ Với , ta có A nguyên x− Suy ước – , từ suy tiếp  x − 1= −2  x = −1 khong thoa dieu kien    x − 1= −1 ⇔  x =  x − 1= x =    x − 1= x = −2 x−1 nguyên x = 0; x = 2; x = Vậy x nhận giá trị Câu (2,0 điểm) y = 2x + y = x2 Cho hàm số có đồ thị (P) đường thẳng ∆ có phương trình a Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng ∆ Phương trình hoành độ giao điểm (P) đường thẳng ∆  x = −1 ⇔ x2 = 2x + ⇔ x2 − 2x − =  x = x = −1⇒ y = x = ⇒ y = Với ; Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Môn: Toán học Vậy (P) cắt đường thẳng ∆ hai điểm phân biệt N(−1;1) M (3;9) y = 2x + b b≠ b Đường thẳng d song song với ∆ phương trình có dạng với x2 = 2x + b Đường thẳng d tiếp xúc với (P) phương trình ∆ = + 4b ∆ = ⇔ + 4b = b = −1 Ta có ; y = 2x − Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm có nghiệm kép Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Môn: Toán học Câu (2,0 điểm) x − 2mx + m2 − m + = Cho phương trình , với x ẩn số, m tham số a Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm ∆ = 4m− 12 ∆′ = m− Ta có ;( ) ∆ ≥ ⇔ m≥ Phương trình cho có nghiệm m≥ Vậy x1, x2 b Giả sử nghiệm phương trình Tìm giá trị m để biểu thức 2 Q = x1 + x2 − 4x1x2 đạt giá trị lớn  x2 + x2 = 2m   x1x2 = m − m+ m≥ Với , theo Viet ta có Q = x12 + x22 − 4x1x2 = (x1 + x2)2 − 6x1x2 Theo biểu thức = −2m2 + 6m− 18 = − m2 − m2 + 2.3m− 9− = −m2 − (m− 3)2 − m= m= Nhận thấy m= m= Với bị loại ; nhận Q đạt giá trị lớn – 18 m= Vậy Q lớn – 18 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Các đường cao BD CE c tam D ∈ AC , E ∈ AB giác ABC cắt H ( ) a Chứng minh BCDE tứ giác nội tiếp Hình vẽ Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Môn: Toán học · · BD ⊥ AC ⇒ BDC = 900 CE ⊥ AB ⇒ CEB = 900 Ta có ; Suy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn đường kính BC BM = CH b Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M Chứng minh Ta cần chứng minh BMCH hình bình hành CH ⊥ AB BM ⊥ AB Ta có ; (gói nt chắn nửa đường tròn lấy đường kính AM) CH / / BM Suy (1) BH ⊥ AC CM ⊥ AC Ta có ; (gói nt chắn nửa đường tròn lấy đường kính AM) BH / /CM Suy (2) CH = BM Từ (1) (2) suy BMCH hình bình hành suy CH = BM Vậy · ACB = α AB = x c Giả sử , Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AB cung nh ỏ AB theo α x Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB · · ACB = ·AOI = IOB =α0 Ta có x x IO = IA = ∆OIA 2tanα 2sinα ; vuông I Diện tích tam giác OAB x2 SOAB = AB OI = 4tanα (đơn vị diện tích) Diện tích hình quạt tròn OanB π OA2.2α π α x2 SOAnB = = 3600 720sin2 α (đơn vị diện tích) Trang | Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Môn: Toán học Diện tích hình viên phân AnB SAnB = SOAnB − SOAB π α x x2 x2  π α  = − =  − ÷ 0  180sin α 720sin α 4tan α tan α  Câu (1,0 điểm) (đơn vị diện tích)  x2 + y2 = (1)   x + xy + = 2x + y (2) Giải hệ phương trình Từ phương trình (2) x2 + xy + = 2x + y ⇔ x2 − 2x + 1+ xy − y =  x − 1= (3) ⇔  ⇔ (x − 1)2 + y(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x+ y − 1) =  x + y − 1= (4) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình  x2 + y2 =  x = x = ⇔ hoac    x = y =  y = −2 Từ (1) (4) ta có hệ phương trình  x2 + y2 =  x + y =  x = −1 x = ⇔ ⇔ hoac    x + y = y =  y = −1  xy = Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (1; 2), (1; –2), (2; –1), (–1; 2) Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Môn: Toán học CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, em yêu thích toán mu ốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm việc ôn luy ện h ọc sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại - kết tốt Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c H ỌC247 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Trang | ... thích toán mu ốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 tr ường chuyên c c ả n ước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm. .. sáng tương lai Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Môn: Toán học CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi,... BCDE tứ giác nội tiếp Hình vẽ Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên năm 2017 Môn: Toán học · · BD ⊥ AC ⇒ BDC = 900 CE ⊥ AB ⇒ CEB = 900 Ta có ; Suy tứ